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2024 年中考第二次模拟考试（辽宁卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C A D D B B B B B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．2m(m+2n)(m-2n)
12．(2,-1)或(-2,1)
13．±√3
14．5
15．0.8
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．
【详解】（1）解：
(π-2024) 0+2sin45°-√25
√2
=1+2× -5
2
=1+√2-5
=√2-4 …………………………………… 4分
a2-b2 b
（2）解： ÷(1- )
3a a
(a+b)(a-b) a-b
= ÷
3a a
(a+b)(a-b) a
= ⋅
3a a-b
1
= (a+b) …………………………………… 8分
317．
【详解】（1）解：如图所示，
…………………………………… 3分
（2）解：如图所示
…………………………………… 6分
（3）解：旋转过程中，点C 所经过的路径长为以OC 为半径，90°为圆心角的弧长，
1 1
⌢ 90 3√2
∴C C = ×π×√32+32= π，
1 2 180 2
3√2
故答案为： π．…………………………………… 9分
2
18．
【详解】（1）解：抽取20辆这种型号汽车中，电池续航里程为470km的汽车最多，
∴众数为：470km，
抽取20辆这种型号汽车中，将电池续航里程从小到大排列，排在第9和第10的电池续航里程都是470km，
∴中位数是470km，
故答案为：470，470；…………………………………… 3分
2×450+4×460+5×470+4×480+1×490+4×500
（2）解： =475km，
20
答：抽取汽车电池续航里程的平均数475km；…………………………………… 6分4
（3）解： ×150=30（辆）
20
答：电池续航里程能达到500km的有30辆．…………………………………… 9分
19．
【详解】解：延长BA交DP于点E，
由题意得：EB=PC=28米，BE⊥DP，
在Rt△BEP中，∠BPE=64.5°，
BE 28
∴PE= ≈ ≈13.3
tan64.5° 21 (米) …………………………………… 3分
10
在Rt△AEP中，∠APE=31°，
3
∴AE=PE⋅tan31°≈13.3× =7.98(米) …………………………………… 5分
5
∴AB=BE-AE=28-7.98≈20(米) …………………………………… 7分
∴旋转观景楼的高度AB约为20米．…………………………………… 8分
20．
【详解】（1）解：由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为y=kx+b，
由题意得：当x=15时，y=200；当x=20时，y=160；
∴ ¿，
解得：k=-8，b=320．
∴y=-8x+320，
答：y与x之间的函数关系式为y=-8x+320；…………………………………… 2分
x-10
（2）解：由题意得：40%≤ ×100%≤100%，
10
解得：14≤x≤20，
设每日销售利润为w元，，…………………………………… 4分
∴w=(-8x+320)(x-10)=-8x2+400x-3200
∵a=-8，
∴开口向下，
∵对称轴为直线x=25，14≤x≤20，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=20时，利润最大为w=(-8×20+320)(20-10)=1600（元)，
答：每日销售的最大利润为1600元；…………………………………… 5分
（3）解：设成本每斤减少m元后每日销售利润为Q元，则
，
Q=(-8x+320)(x-10+m)=-8x2+(400-8m)x+320m-3200
50-m
∴对称轴为：直线x= ，
2
∵0<m≤8，
50-m
∴21< ≤25，…………………………………… 6分
2
∵15≤x≤30，
50-m
∴当x= 时，利润最大，
2
(
50-m )(50-m
)
∴ -8× +320 -10+m =2592，
2 2
解得：m=6或m=-66（不合题意舍去），
答：m的值为6．…………………………………… 8分
21．
【详解】（1）连接DF交AE于点O，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AF=DE，OF=OA=OD=OE，
∴点O是⊙O的圆心，…………………………………… 3分
∵E是CD的中点，∴DE=CE，
∵DC=AB ，
∴AF=BF，
∵AO=OE，
∴OF∥BE，
∵FG⊥BE，
∴FG⊥OF，
∴FG是⊙O的切线；…………………………………… 5分
（2）∵AB=16，
1
∴BF= AB=8，…………………………………… 7分
2
∵EF=AD=6，∠BFE=180°-∠AFE=90°，
∴ ，
BE=√EF2+BF2=10
BF 4
∴cos∠EBA= = ．…………………………………… 9分
BE 5
22．
【详解】（1）①=；②2．
根据勾股定理，得 ．
BC=√AB2+AC2=4=OP
根据题意，可知∠ABC=∠POQ=45°，
∴AF=BF，∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2=8，
解得AF=2，
所以点A到BD的距离是2．
故答案为：=，2；…………………………………… 4分（2）根据题意可知∠QPA=∠QAP=∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠AMC=∠BAN=45°+∠BAM，
∴△ABN∽△MCA；…………………………………… 6分
（3）如图，连接CE,PE，
∵∠D=90°,CD=DE,
∴∠DCE=∠DEC=45°，
则∠ACE=90°．
∵∠CAE=60°,AC=2√2，
∴AE=2AC=4√2．
∵∠QAP=∠QPA=∠B=45°,∠CAE=60°
∴∠CAP=∠CAE-∠QAP=15°，
则∠BAP=∠BAC+∠CAP=105°,∠APB=180°-∠ABC-∠BAP=30°．
∵∠ABC=∠OPQ=45°，∠BAC=∠OPQ=90°，BC=OP，
∴△OPQ≌△BCA, …………………………………… 8分
∴OQ=AB=2√2．
又AE=4√2,
∴QE=AQ=PQ=2√2．
又∠PQO=∠PQE=90°,
∴∠QPE=45°,
根据勾股定理，得 ，
PE=√QE2+PQ2=4
∴∠EPD=180°-∠APB-∠QPA-∠QPE=60°，
∴PD=PE⋅cos∠EPD=2,
根据勾股定理，得 ，
CD=DE=√PE2-DP2=2√3
∴BP=BC+CD-DP=4+2√3-2=2+2√3．…………………………………… 10分（4）7或2√3+5．
由（3）知，当△OPQ从初始位置旋转到点P落在CD上时，∠BAP=∠BAC+∠CAP=105°，
则旋转所用时间为105°÷15°=7(s)；
当△OPQ平移到点P落在DE上时，如图2，连接CE，由（3）知∠ACE=90°,∠CED=45°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°-60°+45°=75°，
∴∠QPE=90°-75°=15°，在QP取点M，使得∠MEP=∠MPE=15°，
∴∠QME=∠MEP+∠MPE=30°．
设QE=x，则EM=PM=2QE=2x,QM=√3QE=√3x，
由QM+PM=QP，
得√3x+2x=2√2，
解得x=4√2-2√6,
∴点 平移的距离为 ，
Q 2√2-(4√2-2√6)=2√6-2√2
平移所用的时间为 ，
∴ (2√6-2√2)÷√2=(2√3-2)s
故当 平移到点 落在 上时，所运动的总时间为 ．
△OPQ P DE 2√3-2+7=(2√3+5)s
综上所述，t的值为7或2√3+5．…………………………………… 12分
23．
【详解】（1）解：当x=1时，
y=(1+1) 2×(1-2)
=4×(-1)
=-4．
故答案为：-4．…………………………………… 2分
（2）解：根据列表，描点，画图象如下：…………………………………… 5分
（3）解：观察函数图象，
当x<-1或x>1时，y随x的增大而增大；
当-1<x<1时，y随x的增大而减小；
故答案为：当x<-1或x>1时，y随x的增大而增大；当-1<x<1时，y随x的增大而减小；
…………………………………… 7分
（4）解：①观察函数图象，
函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程 有2个互不相等的实数根；
(x+1) 2 (x-2)=0
故答案为：2，2；…………………………………… 9分
②由图象可知，当-4<a<0时，直线y=a与函数图象有3个交点，
∴a的取值范围是-4<a<0，
故答案为：-4<a<0．…………………………………… 12分
