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2024年上半年中小学国家教师资格考试（高级中学）押题卷(cid:3)二
一、单项选择题（本大题共(cid:3)8 小题，每小题(cid:3)5 分，共(cid:3)40 分）
(𝑥−1)𝑎𝑠𝑖𝑛 1 ，𝑥 ≠ 1
1.设函数𝑓(𝑥) = { 2(1−𝑥) 在𝑥 = 1处可导，则常数𝑎的取值
0， 𝑥 = 1
范围为（ ）。
A.𝑎 < 0
B.0 < 𝑎 < 1
C.𝑎 = 1
D.𝑎 > 1
1 0 2
2.已知矩阵𝐴 = (2 1 3)，则𝐴−1 =（ ）
3 2 5
1 0 0
A.(−2 1 0)
−3 0 1
1 0 0
B.(−2 1 0)
1 −2 1
−1 4 −2
C.(−1 −1 1 )
1 −2 1
1 4 2
D.(1 1 1)
1 2 1
3.已知𝑓(𝑥) = ∫
𝑒𝑥
(𝑡+1)𝑑𝑡，则𝑓′(𝑥) =（ ）。
1
𝑥
A.𝑒2𝑥 +𝑒𝑥 − 1 − 1
𝑥2 𝑥3
B.𝑒2𝑥 +𝑒𝑥 + 1 + 1
𝑥2 𝑥3
C.2𝑒𝑥 + 1 + 1
𝑥2 𝑥3
D.𝑒2𝑥 −𝑒𝑥 + 1 − 1
𝑥2 𝑥3
4.已知𝑓(𝑥) = 1−
𝑥2
+
𝑥4
−⋯+(−1)𝑛
𝑥2𝑛
，则𝑓(2) =（ ）
2! 4! (2𝑛)!
A.𝑒2
B.𝑠𝑖𝑛2C.𝑐𝑜𝑠2
D.𝑡𝑎𝑛2
𝑥−𝑦 = 6
𝑥−1 𝑦−5 𝑧+8
5.直线𝑙 ： = = 与直线𝑙 ：{ 的夹角为（ ）。
1 1 −2 1 2 2𝑦+𝑧 = 3
𝜋
A.
6
𝜋
B.
4
𝜋
C.
3
𝜋
D.
2
6.二次型2𝑥2 +𝑥𝑦+𝑦2是（ ）。
A.正定的
B.负定的
C.半正定的
D.半负定的
7.教师讲授知识，学生在教师的指导下进行独立作业，通过独立作业掌握基
础知识与基本技能，培养能力，发展智力的方法是对（ ）的阐述。
A.讲授法
B.谈话法
C.讲练结合法
D.发现法
8.以下关于评价的语句，错误的是（ ）
A.评价的目的是考查学生学习的成效，进而也考查教师教学的成效
B.通过考查，诊断学生学习过程中的优势与不足，进而诊断教师教学过程中
的优势与不足
C.通过诊断，改进学生的学习行为，进而改进教师的教学行为，促进学生数
学学科核心素养的达成
D.评价就是为了检验学生对于知识的掌握程度
二、简答题（本大题共 5小题，每小题 7分，共 35分）
𝑥2 𝑦2
9.求双曲线 − = 1在点(2𝑎,√3𝑏)处的切线方程和法线方程。
𝑎2 𝑏210.已知函数𝑓(𝑥) = 2𝑥3 −6𝑥2 −18𝑥 +3，试求：
（1）函数𝑓(𝑥)的单调区间、极值；
（2）函数𝑓(𝑥)在[−2,1]上的最大值、最小值。
𝑎 0
11.设矩阵𝑀 = ( )（其中𝑎 > 0，𝑏 > 0）
0 𝑏
（1）若𝑎 = 2，𝑏 = 3，求矩阵𝑀的逆矩阵𝑀−1；
（2）若曲线𝐶：𝑥2 +𝑦2 = 1在矩阵𝑀所对应的线性变换作用下得到曲线𝐶′：
𝑥2
+𝑦2 = 1，求𝑎，𝑏的值。
412.简单说明创造良好课堂教学气氛的意义。
13.谈谈如何培养学生的模型思想？
三、解答题（本大题 1小题，10分）
14.设𝑓(𝑥)为可导函数，且当𝑥 < 2𝑎（𝑎 > 0）时𝑓′(𝑥) > 0，当𝑥 > 2𝑎时
𝑓′(𝑥) < 0，证明：在开区间(0，𝑎)内至少存在一点 ξ，使𝑓(𝜉 +𝑎) = 𝑓(𝜉 +2𝑎).四、论述题（本大题 1小题，15分）
15.举例说明直观想象的含义，内容及表现是什么？
五、案例分析题（本大题 1小题，20分）
16.“直线与圆的位置关系”的教学片段。
教师：同学们在海边看过日出吗？下面请同学们欣赏一段视频，海边看日出
视频。（多媒体播放视频，学生看视频）
教师：如果我们从数学的角度看，看到的是怎样的几何图形？请同学们猜想
并动手画一画。
学生：画一画。
教师：通过观察这几幅图，知道直线与圆的位置关系有哪几种吗？分别怎样
定义？
学生：直线与圆有三种位置关系：相离、相切、相交。当直线与圆有两个公
共点时，我们说直线与圆相交；当直线与圆有唯一个公共点时，我们说直线与圆
相切，这个公共点叫切点，直线叫做圆的切线；当直线与圆没有公共点时，我们
说直线与圆相离。
教师：能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离𝑑和半径𝑟作比较，类
似地推出如何用点到直线的距离𝑑和半径𝑟之间的关系来确定三种位置关系呢？
学生：从点到直线的距离（𝑑与𝑟的大小关系来判断）：𝑑 < 𝑟时，直线与圆相
交；𝑑 = 𝑟时，直线与圆相切；𝑑 > 𝑟时，直线与圆相离。
教师：那若给直线和圆的方程，大家应该清楚如何判定二者位置关系了吧？
学生：……（一片沉寂，窃窃私语）问题：
（1）分析上述教学片段，教学过程中教师哪些教学行为值得肯定？
（2）分析上述教学过程中存在的问题，并进行改进。
六、教学设计题（本大题 1小题，30分）
17.“椭圆及其标准方程”是用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们
的方程，通过方程研究它们的简单性质的。在此基础上完成下列问题：
（1）在学习本节内容前，学生已具备了哪些相关知识和数学活动经验？
（2）写出本节内容的教学重点和教学难点；
（3）设计本节内容的教学过程。
