文档内容
2 0 2 5 年 全 国 教 师 资 格 证
中学力学4
主讲老师 余贞
粉笔教师教育 粉笔教师（三）向心加速度与向心力
1.向心加速度
2 2
𝑣 4𝜋
2
（1）大小：𝑎 ＝ = 𝜔 𝑟 = 𝑟
𝑟 𝑇2
（2）方向：总指向圆心，时刻变化
（3）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。
2025FENBI2.向心力
2 2
𝑣 4𝜋
2
（1）大小： 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚 = m𝜔 𝑟 = 𝑚 𝑟
𝑟 𝑇2
（2）方向：总指向圆心，时刻变化
（3）物理意义
“向心力”是一种效果力。任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只
要其效果是使物体做圆周运动的，都可以作为向心力。“向心力”不一定是物体所受合外力，
也可以是某个力的分力。
做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心；做变速圆周运动的
物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆
2025FENBI
周的切线，使速度大小改变。水平圆盘面模型：与静摩擦力有关的临界极值问题
解题关键：物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
【例1】如图所示，小木块𝑎、𝑏和𝑐（可视为质点）放在水平圆盘上，𝑎、𝑏两个质量均为𝑚，𝑐的
𝑚
质量为 。𝑎与转轴OO′的距离为𝑙，𝑏、𝑐与转轴𝑂𝑂′的距离为2𝑙且均处于水平圆盘的边缘。木块与圆
2
盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的𝑘倍，重力加速度大小为𝑔，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地
加速转动，下列说法中正确的是（ ）。
A.𝑏、𝑐所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落
B.当𝑎、𝑏和𝑐均未滑落时，𝑎、𝑐所受摩擦力的大小相等
C.𝑏和𝑐均未滑落时线速度一定相等
D.𝑏开始滑动时的转速是 2𝑘𝑔𝑙
2025FENBI2025FENBI竖直平面内的圆周运动（结合临界问题分析）
1.轻绳模型
（1）概述：在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点的受力情况为无支撑，
称为“轻绳模型”，轻绳模型和圆轨道模型的受力特征是相同的。
（2）物体通过最高点的轻绳模型（圆轨道模型）
2
𝑣
弹力特征：弹力可能向下，也可能等于零。力学方程：𝑚𝑔 + 𝐹 = 𝑚 。
𝑇
𝑟
2
𝑣
刚好通过最高点时速度的临界条件：𝐹 = 0，𝑚𝑔 = 𝑚 ，得𝑣 = 𝑔𝑟。
𝑇
𝑟
2025FENBI2.轻杆模型
（1）概述：在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点的受力情况为有支撑，称
为“轻杆模型”，轻杆模型和圆管模型的受力特征是相同的。
（2）通过最高点的轻杆模型（光滑管道模型）
弹力特征：弹力可能向下，可能向上，也可能等于零。
2 2
𝑣 𝑣
力学方程：弹力向上时，为𝑚𝑔 − 𝐹 = 𝑚 ；弹力向下时，为𝑚𝑔 + 𝐹 = 𝑚 。
𝑁 𝑁
𝑟 𝑟
刚好通过最高点时速度的临界条件：𝐹 = 0，此时𝐹 = 𝑚𝑔，𝑣 = 0。
向 𝑁
2025FENBI【例1】一轻杆一端固定质量为𝑚的小球，以另一端𝑂为圆心，使小球在竖直面内做半
径为𝑅的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是（ ）。
A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B.小球过最高点的最小速度是 𝑔𝑅
C.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
2025FENBI【例2】如图所示，半径为𝑅的光滑半圆轨道竖直放置，一小球以某一速度进入半圆轨
道，通过最高点𝑃时，对轨道的压力为其重力的一半，不计空气阻力，则小球落地点到𝑃点
的水平距离为( )。
A. 2𝑅 B. 3𝑅 C. 5𝑅 D. 6𝑅
2025FENBI𝐵
一、开普勒三定律
𝐴 𝐶
1.开普勒第一定律（轨道定律）
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。行星绕太阳的运动通常
按圆轨道处理。
2.开普勒第二定律（面积定律）
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
常见易错理解
问题：卫星从A点到B点经过的时间为𝑡 ，从B点到C点经过的时间为𝑡 ， 𝑡 和𝑡 是否相等？
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶
2025FENBI3.开普勒第三定律（比值定律）
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，
3
𝑎
公式为𝑘 = 。
𝑇2
2025FENBI2025FENBI二、万有引力定律
（1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质
量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。
𝑚 𝑚
（2）公式：𝐹 = 𝐺 1 2 （卡文迪许利用扭秤实验测得万有引力常量𝐺 = 6.67 ×
𝑟2
−
11 3 2
10 𝑚 /(𝑘𝑔 · 𝑠 ) ，r为可视为质点的两个物体间的距离，或质量分布均匀的球体球心间的
距离）
（3）万有引力定律的理解
①任何两个物体之间都存在引力。
②物体因为有质量而产生引力（质量是引力产生的原因）。
𝑂
𝑂′
2025FENBI
地球 月球（4）适用条件
①适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看
成质点，可直接利用万有引力定律计算。
②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可直接用公式计算，但式中的r指两球
心间的距离。
③当研究的物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质
点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力（此方法仅提供一种思路）
𝑂
𝑂′
2025FENBI
地球 月球三、万有引力定律的应用
（一）太阳—行星模型
环绕天体绕中心天体做圆周运动的向心力是由万有引力提供，有F =F 。
万 向
2
𝑀𝑚 𝑣 𝐺𝑀 2轨道
（1）线速度的推论公式：由𝐺 = 𝑚 ，得𝑣 = ；
𝑟2 𝑟 𝑟
1轨道
𝑀𝑚 𝐺𝑀
2
（2）角速度的推论公式：由𝐺 = 𝑚𝜔 𝑟，得𝜔 = ；
𝑟2 𝑟3
𝐺𝑀 2𝜋 𝑟3
（3）周期的推论公式：由𝜔 = 和𝜔 = ，得𝑇 = 2𝜋 ；
𝑟3 𝑇 𝐺𝑀
𝑀𝑚 𝑀
（4）向心加速度的推论公式：𝐺 = 𝑚𝑎 ，得𝑎 = 𝐺 。
向 向
𝑟2 𝑟2
2025FENBI
总结：𝑟越大，𝑣、𝜔、𝑎越小，𝑇越大。【例1】 （真题 2019 年下 · 初中）我国北斗导航系统中部分卫星的运行轨道如图
所示。已知𝑎、𝑏两颗卫星围绕不同的圆形轨道运行，轨道半径𝑟 > 𝑟 ，则（ ）
𝑎 𝑏
A.𝑎的加速度大于𝑏的加速度
B. 𝑎的线速度大于𝑏的线速度
C. 𝑎的角速度大于𝑏的角速度
D. 𝑎的运行周期大于𝑏的运行周期
2025FENBI【例2】我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年 5 月 9 日发射的“高分五号”
轨道高度约为705 𝑘𝑚，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36000𝑘𝑚，它们都绕地球做圆
周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )。
A.周期 B.角速度
C.线速度 D.向心加速度
2025FENBI万有引力与重力
1. 如果忽略地球自转的影响，质量为m的物体的重力加速度g可以认为是由地球对它的万有引
𝐺𝑀m
力产生的。由万有引力定律和牛顿第二定律有 = 𝑚𝑔，则地球表面的重力加速度
𝑟2
由此式可知，地球表面的重力加速度是由地球的质量和半径决定的。因为地球是椭球的，赤
道的半径大，两极的半径小，所以赤道上的重力加速度小，两极的重力加速度大。
2. 如果忽略地球极半径和赤道半径的差异，考虑自转，那么重力是万有引力的一个分力，物
体随地球自转的向心力是万有引力的另一个分力。
2025FENBI2025FENBI计算天体质量和密度
（1）利用天体表面的重力加速度𝑔和天体半径𝑅；
2
𝑀𝑚 𝑔𝑅 𝑀 𝑀 3𝑔
由于𝐺 = 𝑚𝑔，故天体质量𝑀 = ，天体密度𝜌 = = = 。
𝑅2 𝐺 𝑉 4 𝜋𝑅3 4𝜋𝐺𝑅
3
（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期𝑇和轨道半径𝑟；
2 2 3
𝑀𝑚 4𝜋 4𝜋 𝑟
由万有引力提供向心力，即𝐺 = 𝑚 𝑟，得出中心天体质量𝑀 = ；
𝑟2 𝑇2 𝐺𝑇2
3
𝑀 𝑀 3𝜋𝑟
若已知天体半径为𝑅，则天体的平均密度𝜌 = = = ；
𝑉 4 𝜋𝑅3 𝐺𝑇2𝑅3
3
3𝜋
如果卫星贴近星球表面运动：r=R，可得出𝜌 = ，即求出卫星环绕周期便可求出天体密
𝐺𝑇2
2025FENBI
度。卫星的变轨
（1）突变：一般发生在需要改变卫星圆轨道半径的过程中。如图所示，需要卫星从近地轨道Ⅰ
的P点点火加速，进入转移轨道Ⅱ；再在转移轨道Ⅱ的Q点点火加速，进入同步轨道 Ⅲ。卫星由圆
轨道Ⅰ变为圆轨道Ⅲ，线速度减小，周期增大，向心加速度（重力加速度）减小，动能减小，势能
增大，总机械能增大。
2025FENBI（2）渐变：由于某些因素的影响轨道半径渐渐变化，卫星每一周的运动仍能看做匀速圆周运动。
2
𝑀𝑚 𝑣
由于稀薄大气的影响，在轨卫星受到微弱的阻力而变轨。由𝐺 = 𝑚 分析：阻力做负功，速
𝑟2 𝑟
率υ减小，提供的向心力大于需要的向心力，发生向心运动，轨道半径r渐渐减小。该过程非常缓慢，
因此卫星的运动仍能看做圆周运动，渐变过程中速率υ将增大，周期将减小，向心加速度（重力加速
度）将增大，动能增大，重力势能减小，由于克服阻力做功，机械能减少。
2025FENBI【例1】（真题2018年上高中）登上火星是人类的梦想。若将地球和火星公转视为匀速圆
周运动，忽略行星自转影响。根据表，火星和地球相比，下列叙述正确的是（ ）。
A.火星的公转周期较小
行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m
B.火星做圆周运动的加速度较小
地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011
C.火星表面的重力加速度较大
火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011
D.火星的第一宇宙速度较大
2025FENBI【例2】（2017上高中）质量为𝑚的人造地球卫星在地面上受到的重力为𝑃，它在到地面的
距离等于地球半径𝑅的圆形轨道上运动时，下列叙述正确的是（ ）。
2𝑃𝑅 𝑚𝑅
A.速度大小为 B.周期为4𝜋
𝑚 𝑃
1
C.动能为 𝑅𝑃 D.重力为0
4
2025FENBI双星问题
宇宙中往往会有相距较近、质量可以相比的两颗星球，
它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可
以忽略不计。在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的
某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。
设双星中两颗星球间的距离为L，两颗星球的质量分别
为m1、m2，环绕半径分别为r 、r 。
1 2
2025FENBI（二）双星问题
1.向心力大小的关系
𝐺𝑚 𝑚
（1） 1 2 = 𝑚 𝜔 2 𝑟 = 𝑚 𝜔 2 𝑟
1 1 1 2 2 2
𝐿2
2 2
𝐺𝑚 𝑚 2𝜋 2𝜋
（2） 1 2 = 𝑚 𝑟 = 𝑚 𝑟
1 1 2 2
𝐿2 𝑇 𝑇
1 2
2.角速度和周期的关系
（1）𝜔 = 𝜔 = 𝜔 ；(2)𝑇 = 𝑇 = 𝑇 。
1 2 1 2
3.运动半径与两星间距的关系：𝑟 + 𝑟 = 𝐿
1 2
𝑚 𝑟
4.质量关系： 1 = 2
𝑚 𝑟
2 1
2025FENBI
𝐿3
5.周期大小：𝑇 = 2𝜋
𝐺 𝑚 +𝑚
1 2【例1】2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过
程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，
将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，
可以估算出这一时刻两颗中子星（ ）
A.质量之积 B.质量之和
C.速率之积 D.各自的自转角速度
2025FENBI一、功
1. 公式：力对物体做功等于力的大小、位移的大小、力和位移夹角的余弦这三者的
乘积，即W =Fxcosα。
2. 单位：焦耳，简称焦（J）
3. 标矢性：功是标量，只有大小，没有方向。
4. 功的正负
（1）正功：力对物体做功，向物体提供能量，即受力物体获得了能量。
（2）负功：物体克服外力做功，向外输出能量（以消耗自身的能量为代价），即负功表示
物体失去了能量。
5. 求合力做功的方法
2025FENBI
（1）先求各力的功，再求它们的代数和。（2）先求合力，求由公式W = Fxcosα得出合力
合
做的功。功是力与物体在力的方向上位移的乘积，表示力的作用效果在空间上的积累。
当力 F 的方向与运动方向成某一角度时，可以把力 F 分解为两个分力：
与位移方向垂直的分力做功情况：W1=0；
与位移方向平行的分力做功情况：W2= FXcos α。
2025FENBI二、功率
2025FENBI机车启动问题
1.以恒定功率启动
（1）运动过程分析
𝑃
第一过程：刚启动时，速度𝑣增加，牵引力𝐹 = 减小，机车所受到的摩擦力不变，所
𝑣
𝐹−𝑓
以𝑎 = 减小，此过程做加速度逐渐减小的变加速运动。
𝑚
𝑃
第二过程：当牵引力等于摩擦力时，即𝐹 = 𝑓，𝑎 = 0，速度达到最大𝑣 ，且𝑣 = ，
𝑚 𝑚
𝑓
此过程做匀速直线运动。
（2）运动过程的速度——时间图像
2025FENBI以恒定加速度启动
（1）运动过程分析
𝐹−𝑓
第一过程：刚启动时，𝑎不变，𝑎 = ，𝐹不变，𝑣逐渐增加，𝑃 = 𝐹𝑣逐渐增加，此过程做匀
𝑚
加速直线运动。
𝑃 𝐹−𝑓
第二过程：当𝑃 = 𝑃 ，此时的𝑎并不为零，所以𝑣仍增大；𝑣增加，𝐹 = 减小，𝑎 = 减小，
额
𝑣 𝑚
此过程做加速度逐渐减小的加速运动。
𝑃
第三过程：当𝐹 = 𝑓时，𝑎 = 0，速度达到最大𝑣 ，𝑣 = ，此过程做匀速直线运动。
𝑚 𝑚
𝑓
（2）运动过程的速度—时间图像
2025FENBI补充
2025FENBI【例1】（真题2017 年上· 初中）如图所示，用跨过光滑定滑轮将水平面上没有动力的
小船沿直线拖向岸边。若拖动的电机功率恒为P，小船质量为m，小船受到阻力大小恒为f，
经过A点时绳与水平方向夹角为θ，小船速度大小为v ，绳的质量忽略不计，则小船加速度a
0
和绳对船的拉力F的大小为（ ）。
1 𝑃 𝑃
A.𝑎 = − 𝑓 ，𝐹 =
𝑚 𝑣 cos𝜃 𝑣 cos𝜃
0 0
1 𝑃 𝑃
B.𝑎 = − 𝑓 ，𝐹 =
𝑚 𝑣 𝑣 cos𝜃
0 0
1 𝑃 𝑃
C.𝑎 = − 𝑓 ，𝐹 =
𝑚 𝑣 cos𝜃 𝑣
0 0
1 𝑃 𝑃
2025FENBI
D.𝑎 = − 𝑓 ，𝐹 =
𝑚 𝑣 𝑣
0 0三、功与能的关系
1. 能量简称为能，一个物体能够做功，我们就说这个物体具有能。能量是表示物体做功本领大
小的物理量。
2. 做功的过程就是能量转化过程。
做了多少功，就有多少能量发生转化，所以，功是能的转化量度。公式：W =∆E 。
3. 功是过程量；能是状态量。
4. 能量的形式有机械能、电能、内能、化学能、生物能、核能等。
5. 机械能：物体由于机械运动而具有的能叫机械能。
2025FENBI四、重力做功与重力势能的关系
1. 重力势能
（1）定义：物体由于处于高处而具有的能量。
重力做功跟物体运动路径无关。结合功和能的关系分析重力所做的功，所以mgh应当是
2025FENBI
物体的某种能量，且由质量和高度决定，在物理学中就用 mgh 来表示物体的重力势能。
重力势能的性质：系统性、相对性、任意性、变化的绝对性。2025FENBI在 粉 笔 ，
遇 见 不 一 样 的 自 己 !
粉笔教师教育 粉笔教师
