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2015年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每小题都有代号A、B、C、D四个答
案选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）计算3+（﹣3）的结果是（ ）
A．6 B．﹣6 C．1 D．0
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x﹣2x＝x B．2x•3x＝6x C．（2x）2＝4x D．6x÷2x＝3x
3．（3分）如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置
计算机数量的3倍，则今年购置计算机的数量是（ ）
A．25台 B．50台 C．75台 D．100台
5．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮
沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（ ）
A．2海里 B．2sin55°海里
C．2cos55°海里 D．2tan55°海里
6．（3分）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ）
第1页（共24页）A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C． ＞ D．m2＞n2
7．（3分）如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，
指针落在有阴影的区域内的概率为a，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为b，关于a、b
大小的正确判断是（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．不能判断
8．（3分）如图，PA和PB是 O的切线，点A和点B是切点，AC是 O的直径，已知∠P＝
40°，则∠ACB的大小是（⊙ ） ⊙
A．40° B．60° C．70° D．80°
9．（3分）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为 cm，则对角线AC长和BD长之比为
（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1： D．1：
10．（3分）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n＝0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二
次方程y2+2ny+2m＝0同样也有两个整数根且乘积为正．给出三个结论： 这两个方程的
根都是负根； （m﹣1）2+（n﹣1）2≥2； ﹣1≤2m﹣2n≤1．其中正①确结论的个数是
（ ） ② ③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算 ﹣2sin45°的结果是 ．
第2页（共24页）12．（3分）不等式 ＞1的解集是 ．
13．（3分）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则
∠ACE的大小是 度．
14．（3分）从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上
数的绝对值小于2的概率是 ．
15．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆
交于点Q，连结DQ，给出如下结论： DQ＝1； ＝ ； S△PDQ ＝ ； cos∠ADQ
① ② ③ ④
＝ ，其中正确结论是 （填写序号）
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：（a+2﹣ ）• ．
18．（6分）某学校要了解学生上学交通情况，选取九年级全体学生进行调查，根据调查结果，
画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为60°，“自行车”对应的扇
形圆心角为120°，已知九年级乘公交车上学的人数为50人．
（1）九年级学业生中，骑自行车和乘公交车上学哪个更多？多多少人？
（2）如果全校有学生2000人，学校准备的400个自行车停车位是否足够？
第3页（共24页）19．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF＝2CD．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
21．（8分）反比例函数y＝ （k≠0）与一次函数y＝mx+b（m≠0）交于点A（1，2k﹣1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．
22．（8分）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点
A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）
（2）如果AM＝1，sin∠DMF＝ ，求AB的长．
23．（8分）某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5.5万元，电力公司规定，该工
厂每月用电量不得超过16万度，月用电量不超过4万度时，单价是1万元/万度；超过4万
第4页（共24页）度时，超过部分电量单价将按用电量进行调整，电价y与月用电量x的函数关系可用如图
来表示．（效益＝产值﹣用电量×电价）
（1）设工厂的月效益为（z 万元），写出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式，并写出自
变量的取值范围；
（2）求工厂最大月效益．
24．（10分）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2 ，
，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小；
（3）求CQ的长．
25．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B
的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1．
（1）求抛物线解析式．
（2）直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x ，y ），N（x ，y ）（x ＜x ），当|x ﹣x |最
1 1 2 2 1 2 1 2
小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．
（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最
小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．
第5页（共24页）第6页（共24页）2015年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每小题都有代号A、B、C、D四个答
案选项，其中只有一个是正确的．
1．【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可得解．
【解答】解：∵3与﹣3互为相反数，且互为相反数的两数和为0．
∴3+（﹣3）＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的加法运算，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．
2．【分析】根据同类项、整式的乘法、幂的乘方和整式的除法计算即可．
【解答】解：A、3x﹣2x＝x，正确；
B、2x•3x＝6x2，错误；
C、（2x）2＝4x2，错误；
D、6x÷2x＝3，错误；
故选：A．
【点评】此题考查同类项、整式的乘法、幂的乘方和整式的除法，关键是根据法则计算．
3．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：根据主视图的定义，可得它的主视图为： ，
故选：A．
【点评】本题考查三视图的有关知识，本题只要清楚了解各个几何体的三视图即可求解．
4．【分析】设今年购置计算机的数量是x台，根据今年购置计算机数量是去年购置计算机数
量的3倍列出方程解得即可．
【解答】解：设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是（100﹣x）台，
根据题意可得：x＝3（100﹣x），
解得：x＝75．
故选：C．
【点评】此题考查一元一次方程的应用，关键是根据今年购置计算机数量是去年购置计算
机数量的3倍列出方程．
第7页（共24页）5．【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA＝55°，AP＝2海里，∠ABP＝90°，再由
AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A＝∠NPA＝55°．然后解Rt△ABP，得出AB＝
AP•cos∠A＝2cos55°海里．
【解答】解：如图，由题意可知∠NPA＝55°，AP＝2海里，∠ABP＝90°．
∵AB∥NP，
∴∠A＝∠NPA＝55°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝55°，AP＝2海里，
∴AB＝AP•cos∠A＝2cos55°海里．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，
正确理解方向角的定义是解题的关键．
6．【分析】根据不等式的性质1，可判断A；根据不等式的性质2，可判断B、C；根据不等式的
性质3，可判断D．
【解答】解：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；
C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；
D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，
应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加
（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等
号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
7．【分析】分别利用概率公式将a和b求得后比较即可得到正确的选项．
【解答】解：∵正六边形被分成相等的6部分，阴影部分占3部分，
∴a＝ ＝ ，
第8页（共24页）∵投掷一枚硬币，正面向上的概率b＝ ，
∴a＝b，
故选：B．
【点评】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是分别利用概率公式求得a、b的值，难
度不大．
8．【分析】由PA、PB是 O的切线，可得∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和，求出
∠AOB，再根据圆周角⊙定理即可求∠ACB的度数．
【解答】解：连接OB，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∵PA、PB是 O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP＝∠⊙OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝140°，
由圆周角定理知，∠ACB＝ ∠AOB＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是连接OB，构造等腰三角
形解决问题．
9．【分析】首先设设AC，BD相较于点O，由菱形ABCD的周长为8cm，可求得AB＝BC＝
2cm，又由高AE长为 cm，利用勾股定理即可求得BE的长，继而可得AE是BC的垂直
平分线，则可求得AC的长，继而求得BD的长，则可求得答案．
【解答】解：如图，设AC，BD相较于点O，
∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB＝BC＝2cm，
∵高AE长为 cm，
第9页（共24页）∴BE＝ ＝1（cm），
∴CE＝BE＝1cm，
∴AC＝AB＝2cm，
∵OA＝1cm，AC⊥BD，
∴OB＝ ＝ （cm），
∴BD＝2OB＝2 cm，
∴AC：BD＝1： ．
故选：D．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的四条边都相等，对角线互相平
分且垂直．
10．【分析】设方程x2+2mx+2n＝0的两根为x 、x ，方程y2+2ny+2m＝0的两根为y 、y ．
1 2 1 2
根据方程解的情况可得出x •x ＝2n＞0、y •y ＝2m＞0，结合根与系数的关系可得出
1 2 1 2
①x +x ＝﹣2m、y +y ＝﹣2n，进而得出这两个方程的根都是负根， 正确； 由方程有两个
1 2 1 2
实数根结合根的判别式即可得出m2﹣2n≥0、n2﹣2m≥0，将（m﹣①1）2+（②n﹣1）2展开代入
即可得出 正确； 根据根与系数的关系可得出2m﹣2n＝（y +1）（y +1）﹣1、2n﹣2m＝
1 2
（x +1）（x②+1）﹣1，③结合x 、x 、y 、y 均为负整数即可得出﹣1≤2m﹣2n≤1， 成立．综上
1 2 1 2 1 2
即可得出结论． ③
【解答】解：设方程x2+2mx+2n＝0的两根为x 、x ，方程y2+2ny+2m＝0的两根为y 、y ．
1 2 1 2
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n＝0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次
①方程y2+2ny+2m＝0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x •x ＝2n＞0，y •y ＝2m＞0，
1 2 1 2
∵x +x ＝﹣2m，y +y ＝﹣2n，
1 2 1 2
∴这两个方程的根都是负根， 正确；
∵关于x的一元二次方程x2 ①+2mx+2n＝0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次
②方程y2+2ny+2m＝0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2﹣8n≥0，4n2﹣8m≥0，
第10页（共24页）∴m2﹣2n≥0，n2﹣2m≥0，
∴（m﹣1）2+（n﹣1）2＝m2﹣2n+1+n2﹣2m+1≥2， 正确；
∵y 1 •y 2 ＝2m，y 1 +y 2 ＝﹣2n， ②
③∴2m﹣2n＝y
1
•y
2
+y
1
+y
2
＝（y
1
+1）（y
2
+1）﹣1，
∵y 、y 均为负整数，
1 2
∴（y +1）（y +1）≥0，
1 2
∴2m﹣2n≥﹣1．
∵x •x ＝2n，x +x ＝﹣2m，
1 2 1 2
∴2n﹣2m＝x •x +x +x ＝（x +1）（x +1）﹣1，
1 2 1 2 1 2
∵x 、x 均为负整数，
1 2
∴（x +1）（x +1）≥0，
1 2
∴2n﹣2m≥﹣1，即2m﹣2n≤1．
∴﹣1≤2m﹣2n≤1， 成立．
综上所述：成立的结论③有 ．
故选：D． ①②③
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析3条结论的正误是解题的
关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．【分析】利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值求出即可．
【解答】解： ﹣2sin45°
＝2 ﹣2×
＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了实数运算等知识，正确掌握相关性质是解题关键．
12．【分析】利用不等式的基本性质来解不等式．
【解答】解：去分母得：x﹣1＞2，
移项得：x＞3，
所以不等式的解集是：x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力．
第11页（共24页）解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
13．【分析】由∠A＝80°，∠B＝40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和
得到∠ACD＝∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．
【解答】解：∵∠ACD＝∠B+∠A，
而∠A＝80°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝80°+40°＝120°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝60°，
故答案为60
【点评】本题考查了三角形的外角定理，关键是根据三角形任意一个外角等于与之不相邻
的两内角的和．
14．【分析】根据写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于
2的有﹣1、0、1，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于
2的有﹣1、0、1、，
∴任意抽取一张卡片，所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是： ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质以及概率公式等知识，正确得出绝对值小于2的数
个数和正确运用概率公式是解题的关键．
15．【分析】将方程组用k表示出x，y，根据方程组的解互为相反数，得到关于k的方程，即可
求出k的值．
【解答】解：解方程组 得： ，
因为关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，
可得：2k+3﹣2﹣k＝0，
解得：k＝﹣1．
第12页（共24页）故答案为：﹣1．
【点评】此题考查方程组的解，关键是用k表示出x，y的值．
16．【分析】 连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．
结合OQ＝①OB，可证到∠AOD＝∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ＝DA＝1；
连接AQ，如图2，根据勾股定理可求出BP．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形
②
的性质可求出BQ，从而求出PQ的值，就可得到 的值；
过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求出
③QH，从而可求出S△DPQ 的值；
过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得
④
＝ ＝ ，把AN＝1﹣DN代入，即可求出DN，然后在Rt△DNQ中运用三角函数的
定义，就可求出cos∠ADQ的值．
【解答】解：正确结论是 ．
提示： 连接OQ，OD，①如②图④1．
①
易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．
结合OQ＝OB，可证到∠AOD＝∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，
则有DQ＝DA＝1．
故 正确；
①连接AQ，如图2．
②
第13页（共24页）则有CP＝ ，BP＝ ＝ ．
易证Rt△AQB∽Rt△BCP，
运用相似三角形的性质可求得BQ＝ ，
则PQ＝ ﹣ ＝ ，
∴ ＝ ．
故 正确；
②过点Q作QH⊥DC于H，如图3．
③
易证△PHQ∽△PCB，
运用相似三角形的性质可求得QH＝ ，
∴S△DPQ ＝ DP•QH＝ × × ＝ ．
故 错误；
③过点Q作QN⊥AD于N，如图4．
④
易得DP∥NQ∥AB，
根据平行线分线段成比例可得 ＝ ＝ ，
第14页（共24页）则有 ＝ ，
解得：DN＝ ．
由DQ＝1，得cos∠ADQ＝ ＝ ．
故 正确．
综④上所述：正确结论是 ．
故答案为： ． ①②④
【点评】本题①主②要④考查了圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性
质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、平行线的性质、
锐角三角函数的定义、勾股定理等知识，综合性比较强，常用相似三角形的性质、勾股定
理、三角函数的定义来建立等量关系，应灵活运用．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．【分析】首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可．
【解答】解：（a+2﹣ ）•
＝[ ﹣ ]×
＝ ×
＝﹣2a﹣6．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键．
18．【分析】（1）根据乘公交车的人数除以乘公交车的人数所占的比例，可得调查的样本容量，
根据样本容量乘以自行车所占的百分比，可得骑自行车的人数，根据有理数的减法，可得
答案；
（2）根据学校总人数乘以骑自行车所占的百分比，可得答案．
【解答】解：（1）乘公交车所占的百分比 ＝ ，
调查的样本容量50÷ ＝300人，
骑自行车的人数300× ＝100人，
骑自行车的人数多，多100﹣50＝50人；
第15页（共24页）（2）全校骑自行车的人数2000× ≈667人，
667＞400，
故学校准备的400个自行车停车位不足够．
【点评】本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决
问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE＝∠B，利用全等三角形的判定得
△AEF≌△CEB；
（2）由全等三角形的性质得AF＝BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC＝2CD，等
量代换得出结论．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，∠BCE+∠B＝90°，
∴∠CFD＝∠B，
∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠B
在△AEF与△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（AAS）；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2CD，
∵△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC，
∴AF＝2CD．
【点评】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的
性质是解答此题的关键．
20．【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；
（2）要使方程有整数解，那么 为整数即可，于是p可取0，4，10时，方程有整数
第16页（共24页）解．
【解答】解：（1）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2＝0，
∵△＝（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）＝4p2+9＞0，
∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
，
（2）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2＝0，
∵方程有整数解，
∴ 为整数即可，
∴p可取0，2，﹣2时，方程有整数解．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的
问题转化为解不等式的问题是解题的关键．
21．【分析】（1）把A（1，2k﹣1）代入y＝ 即可求得结果；
（2）根据三角形的面积等于3，求得点B的坐标，代入一次函数y＝mx+b即可得到结果．
【解答】解：（1）把A（1，2k﹣1）代入y＝ 得，
2k﹣1＝k，
∴k＝1，
∴反比例函数的解析式为：y＝ ；
（2）由（1）得k＝1，
∴A（1，1），
设B（a，0），
∴S△AOB ＝ •|a|×1＝3，
∴a＝±6，
∴B（﹣6，0）或（6，0），
把A（1，1），B（﹣6，0）代入y＝mx+b得： ，
第17页（共24页）∴ ，
∴一次函数的解析式为：y＝ x+ ，
把A（1，1），B（6，0）代入y＝mx+b得： ，
∴ ，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣ ．
所以符合条件的一次函数解析式为：y＝﹣ 或y＝ x+ ．
【点评】本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，三角形的面积，解题时注意数形结
合思想的体现．
22．【分析】（1）由矩形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可
得∠BPQ＝∠AMP＝∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；
（2）先证明MD＝MQ，然后根据sin∠DMF＝ ＝ ，设DF＝3x，MD＝5x，表示出AP、
BP、BQ，再根据△AMP∽△BPQ，列出比例式解方程求解即可．
【解答】解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
根据折叠的性质可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ＝∠BPQ，
∴∠APM+∠BPQ＝∠EPM+∠EPQ＝90°，
∵∠APM+∠AMP＝90°，
∴∠BPQ＝∠AMP，
∴△AMP∽△BPQ，
同理：△BPQ∽△CQD，
根据相似的传递性，△AMP∽△CQD；
第18页（共24页）（2）∵AD∥BC，
∴∠DQC＝∠MDQ，
根据折叠的性质可知：∠DQC＝∠DQM，
∴∠MDQ＝∠DQM，
∴MD＝MQ，
∵AM＝ME，BQ＝EQ，
∴BQ＝MQ﹣ME＝MD﹣AM，
∵sin∠DMF＝ ＝ ，
∴设DF＝3x，MD＝5x，
∴BP＝PA＝PE＝ ，BQ＝5x﹣1，
∵△AMP∽△BPQ，
∴ ，
∴ ，
解得：x＝ （舍）或x＝2，
∴AB＝6．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三
角函数的综合运用，在求AB长的问题中，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角
形的对应边列比例式．
23．【分析】（1）根据题意知电价y与月用电量x的函数关系是分段函数，当0≤x≤4时，y＝
1，当4＜x≤16时，函数过点（4，1）和（8，1.5）的一次函数，求出解析式；再根据效益＝产
值﹣用电量×电价，求出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式；
第19页（共24页）（2）根据（1）中得到函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质，求出最值．
【解答】解：（1）根据题意得：电价y与月用电量x的函数关系是分段函数，
当0≤x≤4时，y＝1，
当4＜x≤16时，函数过点（4，1）和（8，1.5）的一次函数，
设一次函数为y＝kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴y＝ ，
∴电价y与月用电量x的函数关系为：y＝
∴ z 与 月 用 电 量 x （ 万 度 ） 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： z ＝
即z＝
（2）当0≤x≤4时，z＝
∵ ，
∴z随x的增大而增大，
∴当x＝4时，z有最大值，最大值为： ＝18（万元）；
当4＜x≤16时，z＝﹣ ＝﹣ ，
第20页（共24页）∵﹣ ，
∴当x≤22时，z随x增大而增大，
16＜22，则当x＝16时，z最大值为54，
故当0≤x≤16时，z最大值为54，即工厂最大月效益为54万元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是图中的函数为分段函数，分别求
出个函数的解析式，注意自变量的取值范围．对于最值问题，借助于一次函数的性质和二
次函数的性质进行解答．
24．【分析】（1）根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，所以AP＝AP′，∠PAD＝
∠P′AB，因为∠PAD+∠PAB＝90°，所以∠P′AB+∠PAB＝90°，即∠PAP′＝90°，故
△APP′是等腰直角三角形；
（2）根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形，再根据平角定义求出结果；
（3）作BE⊥AQ，垂足为E，由∠BPQ＝45°，P′B＝2 ，求出PE＝BE＝2，在Rt△ABE中，
运用勾股定理求出AB，再由cos∠EAB＝cos∠EBQ，求出BQ，则CQ＝BC﹣BQ．
【解答】解：（1）∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，
∴根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AB，
∵∠PAD+∠PAB＝90°，
∴∠P′AB+∠PAB＝90°，
即∠PAP′＝90°，
∴△APP′是等腰直角三角形；
（2）由（1）知∠PAP′＝90°，AP＝AP′＝1，
∴PP′＝ ，
∵P′B＝PD＝ ，PB＝2 ，
∴P′B2＝PP′2+PB2，
∴∠P′PB＝90°，
∵△APP′是等腰直角三角形，
∴∠APP′＝45°，
∴∠BPQ＝180°﹣90°﹣45°＝45°；
第21页（共24页）（3）作BE⊥AQ，垂足为E，
∵∠BPQ＝45°，PB＝2 ，
∴PE＝BE＝2，
∴AE＝2+1＝3，
∴AB＝ ＝ ，BE＝ ＝2，
∵∠EBQ＝∠EAB，cos∠EAB＝ ，
∴cos∠EBQ＝ ，
∴ ，
∴BQ＝ ，
∴CQ＝ ﹣ ＝ ．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及逆定理、锐角
三角函数的综合运用，有一定难度，作BE⊥AQ，构造等角的余弦值相等列方程或运用相
似三角形对应线段成比例求出BQ是解决问题的关键．
25．【分析】（1）根据对称轴公式求出b的值，再根据根与系数的关系求出c的值，从而求出
二次函数解析式；
（2）将一次函数与二次函数组成方程组，得到一元二次方程x2+（k﹣2）x﹣1＝0，根据根与
系数的关系求出k的值，进而求出M（﹣1，0），N（1，4）；
（3）O，B，P，C构成多边形的周长L＝OB+BP+PC+CO，根据线段OB平移过程中，OB、PC
长度不变，得到要使L最小，只需BP+CO最短，作点P关于x轴（或OB）对称点P′（1，
﹣4），
连接C′P′与x轴交于点B′，然后根据平移知识和勾股定理解答．
第22页（共24页）【解答】解：（1）由已知对称轴为x＝1，得﹣ ＝1，
∴b＝2，
抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0），
即﹣x2+2x+c＝0的解为m﹣2和2m+1，
（m﹣2）+（2m+1）＝2，
3m＝3，
m＝1，
将m＝1代入（m﹣2）（2m+1）＝﹣c得，
（1﹣2）（2+1）＝﹣c，
∴c＝3，
∴m＝1，c＝3，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由 ，
∴x2+（k﹣2）x﹣1＝0，
x +x ＝﹣（k﹣2），x x ＝﹣1，
1 2 1 2
∴（x ﹣x ）2＝（x +x ）2﹣4x x ＝（k﹣2）2+4，
1 2 1 2 1 2
∴当k＝2时，（x ﹣x ）2的最小值为4，即|x ﹣x |的最小值为2，
1 2 1 2
∴x2﹣1＝0，由x ＜x 可得x ＝﹣1，x ＝1，即y ＝4，y ＝0，
1 2 1 2 1 2
∴当|x ﹣x |最小时，抛物线与直线的交点为M（﹣1，0），N（1，4）；
1 2
（3）O（0，0），B（3，0），P（1，4），C（0，3），
O，B，P，C构成多边形的周长L＝OB+BP+PC+CO，
∵线段OB平移过程中，OB、PC长度不变，
∴要使L最小，只需BP+CO最短，
如图，平移线段OC到BC′，四边形OBC′C是矩形，
∴C′（3，3），
作点P关于x轴（或OB）对称点P′（1，﹣4），
连接C′P′与x轴交于点B′，
第23页（共24页）设C′P′解析式为y＝ax+n，
∴ ，解得 ，
∴y＝ x﹣ ，
当y＝0时，x＝ ，
∴B′（ ，0），
又3﹣ ＝ ，
故点B向左平移 ，平移到B′，
同时，点O向左平移 ，平移到0′（﹣ ，0）．
即线段OB向左平移 时，周长L最短，
此时，线段BP，CO之和最短为P′C′＝ ＝ ，O′B′＝OB＝3，CP＝ ，
∴当线段OB向左平移 ，即点O平移到O′（﹣ ，0），点B平移到B′（ ，0）时，周长
L最短为 + +3．
【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、函数与方程的
关系、最短路径问题等，综合性强，值得关注．
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