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2015年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题
1．（3分）| |的值是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．四棱柱
3．（3分）2014年德州市农村中小学校含标准化工程开工学校项目356个，开工面积56.2万
平方米，开式面积量创历年最高，56.2万平方米用科学记数法表示正确的是（ ）
A．5.62×104m2 B．56.2×104m2
C．5.62×105m2 D．0.562×104m2
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． ﹣ ＝ B．b2•b3＝b6
C．4a﹣9a＝﹣5 D．（ab2）2＝a2b4
5．（3分）一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，
那么这组数中y表示的数为（ ）
A．8 B．9 C．13 D．15
6．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位
置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
7．（3分）若一元二次方程x2+2x+a＝0的有实数解，则a的取值范围是（ ）
第1页（共24页）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1
8．（3分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
若﹣1＜x＜﹣ ，则﹣2 ；
①
若﹣1≤x≤2，则1≤x2≤4
②凸多边形的外角和为360°；
③三角形中，若∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB．
④A．4 B．3 C．2 D．1
9．（3分）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需
扇形铁皮的圆心角应为（ ）
A．288° B．144° C．216° D．120°
10．（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小
相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列
四个结论：
OA＝OD；
①AD⊥EF；
②当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；
③AE2+DF2＝AF2+DE2．
④其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分②）③如图，平面直角坐标②系④中，A点坐标为（2，2①），③点④P（m，n）在直线y②＝﹣③x④+2上运动，
第2页（共24页）设△APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分）
13．（4分）计算2﹣2+（ ）0＝ ．
14．（4分）方程 ﹣ ＝1的解是 ．
15．（4分）在射击比赛中，某运动员的6次射击成绩（单位：环）为：7，8，10，8，9，6，计算这组
数据的方差为 ．
16．（4分）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的
仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度约为 m．（结果精确到
0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
第3页（共24页）17．（4分）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠A＝60°．取AB的中点A ，
1
连接A C，再分别取A C，BC的中点D ，C ，连接D C ，得到四边形A BC D ．如图2，同样
1 1 1 1 1 1 1 1 1
方法操作得到四边形A BC D ，如图3，…，如此进行下去，则四边形A B D 的面积为
2 2 2 n n n
． ∁
三、解答题：
18．（6分）先化简，再求值： ÷（a﹣ ），其中a＝2+ ，b＝2﹣ ．
19．（8分）2014年1月，国家发改委出台指导意见，要求2015年底前，所有城市原则上全面
实行居民阶梯水价制度，小明为了解市政府调整水价方案的社会反响，随机访问了自己居
住小区的部分居民，就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个问题进行
调查，并把调查结果整理成下面的图1，图2．
小明发现每月每户的用水量在5m3﹣35m3之间，有8户居民对用水价格调价涨幅抱无所
谓，不会考虑用水方式的改变，根据小明绘制的图表和发现的信息，完成下列问题：
（1）n＝ ，小明调查了 户居民，并补全图1；
（2）每月每户用水量的中位数和众数分别落在什么范围？
（3）如果小明所在小区有1800户居民，请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改
变”的居民户数有多少．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且
BE∥AC，AE∥OB，
第4页（共24页）（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）如果OA＝3，OC＝2，求出经过点E的反比例函数解析式．
21．（10分）如图， O的半径为1，A，P，B，C是 O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC⊙的形状： ； ⊙
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于 的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
22．（10分）某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y
（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象求y与x的函数关系式；
（2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定
为多少？
23．（10分）（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD•BC＝
AP•BP．
（2）探究
第5页（共24页）如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝ 时，上述结论是
否依然成立？说明理由． θ
（3）应用
请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB＝6，AD＝BD＝5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，
沿边AB向点B运动，且满足∠DPC＝∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，
以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．
24．（12分）已知抛物线y＝﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（ ，0），B（ ，0），且 ＝﹣2，
α β
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存
在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留
作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形
时，求点P的坐标．
第6页（共24页）2015 年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0
的绝对值是0．
【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得| |＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的性质．
2．【分析】根据三视图的主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到
的图形进行分析可知几何体的名称．
【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱，
故选：B．
【点评】此题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何
体是柱体，椎体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：56.2万＝562000＝5.62×105，
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】A：根据二次根式的加减法的运算方法判断即可；
B：根据同底数幂的乘法法则判断即可；
C：根据合并同类项的方法判断即可；
D：积的乘方法则：（ab）n＝anbn（n是正整数），据此判断即可．
【解答】解：∵ ，
第7页（共24页）∴选项A错误；
∵b2•b3＝b5，
∴选项B错误；
∵4a﹣9a＝﹣5a，
∴选项C错误；
∵（ab2）2＝a2b4，
∴选项D正确．
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 底数必须相同； 按照运算性质，只有相乘时
才是底数不变，指数相加． ① ②
（2）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： （am）n
＝amn（m，n是正整数）； （ab）n＝anbn（n是正整数）． ①
（3）此题还考查了合并同类②项问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确合并同类项的
法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（4）此题还考查了二次根式的加减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次根式的
加减法的步骤： 如果有括号，根据去括号法则去掉括号． 把不是最简二次根式的二次
根式进行化简．① 合并被开方数相同的二次根式． ②
5．【分析】根据每个③数都等于它前面的两个数之和，可得x＝1+2＝3，y＝x+5＝3+5＝8，据此
解答即可．
【解答】解：∵每个数都等于它前面的两个数之和，
∴x＝1+2＝3，
∴y＝x+5＝3+5＝8，
即这组数中y表示的数为8．
故选：A．
【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解
答此题的关键是求出x的值是多少．
6．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′＝∠CAB，根据旋转的性质可得AC＝
AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转
角解答．
【解答】解：∵CC′∥AB，
第8页（共24页）∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是
解题的关键．
7．【分析】若一元二次方程x2+2x+a＝0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于
a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以△＝b2﹣4ac＝4﹣4a≥0，
解之得a≤1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞
0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有
实数根．
8．【分析】根据分式成立的条件对 进行判断；根据乘方的意义对 进行判断；根据多边形
外角和定理对 进行判断；根据①互余公式对 进行判断． ②
③ ④
【解答】解：若﹣1＜x＜﹣ ，﹣2 ，所以 正确；
①
若﹣1≤x≤2，则0≤x2≤4，所以 错误；
凸多边形的外角和为360°，所以 ②正确；
三角形中，若∠A+∠B＝90°，则③sinA＝cosB，所以 正确．
故选：B． ④
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和
结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成
“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
9．【分析】根据底面圆的半径与母线长的比设出二者，然后利用底面圆的周长等于弧长列式
计算即可．
【解答】解：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5，
第9页（共24页）∴设底面圆的半径为4x，
则母线长是5x，
设圆心角为n°，
则2 ×4x＝ ，
π
解得：n＝288，
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆
的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
10．【分析】此题可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，两辆汽车一辆左
转，一辆右转的有2种情况，根据概率公式求解即可．
【解答】解：画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：
∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果；
由“树形图”知，两辆汽车一辆左转，一辆右转的结果有2种，且所有结果的可能性相等，
∴P（两辆汽车一辆左转，一辆右转）＝ ．
故选：C．
【点评】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所
求情况数与总情况数之比求解．
11．【分析】 如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，所以 不正确．
首先根①据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE＝AF，DE＝DF①；然后根
②据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF．
首先判断出当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然
③后根据DE＝DF，判断出四边形AEDF是正方形即可．
根据△AED≌△AFD，判断出AE＝AF，DE＝DF，即可判断出AE2+DF2＝AF2+DE2成立．
④【解答】解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，
∴ 不正确；
①
第10页（共24页）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD∠FAD，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE2+DF2＝AF2+DE2，
∴ 正确；
④
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴ 正确；
②
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴ 正确．
综③上，可得
正确的是： ．
故选：D．②③④
【点评】（1）此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和
第11页（共24页）应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握．
12．【分析】根据题意得出临界点P点横坐标为1时，△APO的面积为0，进而结合底边长不
变得出即可．
【解答】解：∵点P（m，n）在直线y＝﹣x+2上运动，
∴当m＝1时，n＝1，即P点在直线AO上，此时S＝0，
当m≤1时，S△APO 不断减小，当m＞1时，S△APO 不断增大，且底边AO不变，故S与m是一
次函数关系．
故选：B．
【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意得出临界点是解题关键．
二、填空题（每小题4分）
13．【分析】首先根据负整数指数幂的运算方法，求出2﹣2的值是多少；然后根据a0＝1
（a≠0），求出 的值是多少；最后再求和，求出算式2﹣2+（ ）0的值是多少即可．
【解答】解：2﹣2+（ ）0
＝ +1
＝
故答案为： ．
【点评】（1）此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：（1）a﹣p＝ （a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数
幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0＝1
第12页（共24页）（a≠0）；（2）00≠1．
14．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解，
故答案为：x＝2
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
15．【分析】先计算出这组数据的平均数，然后根据方差公式求解．
【解答】解：平均数＝ （7+8+10+8+9+6）＝8，
所以方差S2＝ [（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2]＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查方差：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方差S2＝ （[ x ﹣
1 2 n 1
）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反
2 n
之也成立．
16．【分析】根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF的长后求差即可得到旗杆的高
度．
【解答】解：根据题意得：EF⊥AC，CD∥FE，
∴四边形CDEF是矩形，
已知底部B的仰角为45°即∠BEF＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴CD＝EF＝FB＝38，
在Rt△AEF中，
AF＝EF•tan50°＝38×1.19≈45.22
∴AB＝AF﹣BF＝45.22﹣38≈7.2，
∴旗杆的高约为7.2米．
故答案为：7.2．
第13页（共24页）【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直
角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．
17．【分析】首先求得梯形ABCD的面积，然后证明梯形AnBCnDn∽梯形A n﹣1 BC n﹣1 D n﹣1 ，然
后根据相似形面积的比等于相似比的平方即可求解．
【解答】方法一：
解：作DE⊥AB于点E．
在直角△ADE中，DE＝AD•sinA＝ a，AE＝ AD＝ a，
则AB＝2AD＝2a，S梯形ABCD ＝ （AB+CD）•DE＝ （2a+a）• a＝ a2．
如图2，∵D 、C 是A C和BC的中点，
1 1 1
∴D C ∥A B，且C D ＝ A B，
1 1 1 1 1 1
∵AA ＝CD，AA ∥CD，
1 1
∴四边形AA CD是平行四边形，
1
∴AD∥A C，AD＝A C＝a，
1 1
∴∠A＝∠CA B，
1
又∵∠B＝∠B，
∴∠D＝∠A D C ，∠DCB＝∠D C B，
1 1 1 1 1
＝ ，
∴梯形A BC D ∽梯形ABCD，且相似比是 ．
1 1 1
同理，梯形AnBCnDn∽梯形A n﹣1 BC n﹣1 D n﹣1 ，相似比是 ．
第14页（共24页）则四边形A B D 的面积为 a2．
n n n
∁
故答案是： a2．
方法二：
∵ABCD∽A1BC1D1，
∴ ，
∴S ＝ ，
ABCD
∴S ＝ ，q＝ ，
A1BC1D1
∴S ＝ ＝ ．
AnBCnDn
【点评】本题考查了相似多边形的判定与性质，正确证明梯形AnBCnDn∽梯形A n﹣1 BC n﹣
1 D n﹣1 是关键．
三、解答题：
18．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则计算，
约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ ÷ ＝ • ＝ ，
当a＝2+ ，b＝2﹣ 时，原式＝ ＝ ＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．【分析】（1）首先根据圆周角等于360°，求出的值是多少即可；然后用“视水价格调价涨
第15页（共24页）幅抱无所谓态度”的居民的户数除以它占被调查的居民户数的分率，求出小明调查了多
少户居民；最后求出每月每户的用水量在15m3﹣20m3之间的居民的户数，补全图1即可．
（2）根据中位数和众数的含义分别进行解答即可．
（3）根据分数乘法的意义，用小明所在小区居民的户数乘以“视调价涨幅采取相应的用水
方式改变”的居民户数占被调查的居民户数的分率，求出“视调价涨幅采取相应的用水
方式改变”的居民户数有多少即可．
【解答】解：（1）n＝360﹣30﹣120＝210，
∵8÷
＝
＝96（户）
∴小明调查了96户居民．
每月每户的用水量在15m3﹣20m3之间的居民的户数是：
96﹣（15+22+18+16+5）
＝96﹣76
＝20（户）．
（2）96÷2＝48（户），15+22＝37（户），15+22+20＝57（户），
∵每月每户的用水量在5m3﹣15m3之间的有37户，每月每户的用水量在5m3﹣20m3之间
的有57户，
∴把每月每户用水量这组数据从小到大排列后，第48个、第49个数在15﹣20之间，
∴第48个、第49个数的平均数也在15﹣20之间，
∴每月每户用水量的中位数落在15﹣20之间；
第16页（共24页）∵在这组数据中，10﹣15之间的数出现的次数最多，出现了22次，
∴每月每户用水量的众数落在10﹣15之间．
（3）∵1800× ＝1050（户），
∴“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有1050户．
故答案为：210、96．
【点评】（1）此题主要考查了对条形统计图的认识和了解，要善于从条形统计图中获取信
息，并能利用获取的信息解决实际问题．
（2）此题还考查了用样本估计总体，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确众数、中位数、
平均数、标准差与方差等的含义以及求法．
20．【分析】（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA＝DB，即可证
出四边形AEBD是菱形；
（2）连接DE，交AB于F，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出
点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：y＝ ，把点E坐标代入求出k的值即可．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵四边形OABC是矩形，
∴DA＝ AC，DB＝ OB，AC＝OB，
∴DA＝DB，
∴四边形AEBD是菱形；
（2）解：连接DE，交AB于F，如图所示：
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB与DE互相垂直平分，
∵OA＝3，OC＝2，
∴EF＝DF＝ OA＝ ，AF＝ AB＝1，3+ ＝ ，
∴点E坐标为：（ ，1），
设经过点E的反比例函数解析式为：y＝ ，
第17页（共24页）把点E（ ，1）代入得：k＝ ，
∴经过点E的反比例函数解析式为：y＝ ．
【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、
坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）
中，需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果．
21．【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝
60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝
CD，即可证得；
（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两
个三角形的面积进行计算，当点P为 的中点时，PE+CF＝PC从而得出最大面积．
【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在 O中
∵∠BAC与∠⊙CPB是 所对的圆周角，∠ABC与∠APC是 所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD＝AP，如图1，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．
又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB，
第18页（共24页）在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP＝CD，
又∵PD＝AP，
∴CP＝BP+AP；
（3）当点P为 的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB ＝ AB•PE，S△ABC ＝ AB•CF，
∴S四边形APBC ＝ AB•（PE+CF），
当点P为 的中点时，PE+CF＝PC，PC为 O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大． ⊙
又∵ O的半径为1，
∴其⊙内接正三角形的边长AB＝ ，
∴S四边形APBC ＝ ×2× ＝ ．
第19页（共24页）【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全
等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．
22．【分析】（1）根据图象可设y＝kx+b，将（40，160），（120，0）代入，得到关于k、b的二元一
次方程组，解方程组即可；
（2）根据每千克的利润×销售量＝2400元列出方程，解方程求出销售单价，从而计算销售
量，进而求出销售成本，与3000元比较即可得出结论．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
将（40，160），（120，0）代入，
得 ，解得 ，
所以y与x的函数关系式为y＝﹣2x+240（40≤x≤120）；
（2）由题意得（x﹣40）（﹣2x+240）＝2400，
整理得，x2﹣160x+6000＝0，
解得x ＝60，x ＝100．
1 2
当x＝60时，销售单价为60元，销售量为120千克，则成本价为40×120＝4800（元），超过
了3000元，不合题意，舍去；
当x＝100时，销售单价为100元，销售量为40千克，则成本价为40×40＝1600（元），低于
3000元，符合题意．
所以销售单价为100元．
答：销售单价应定为100元．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，利用待定系数法求出y与x
的函数关系式是解题的关键．
23．【分析】（1）如图1，由∠DPC＝∠A＝∠B＝90°可得∠ADP＝∠BPC，即可证到
△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）如图2，由∠DPC＝∠A＝∠B＝ 可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然
后运用相似三角形的性质即可解决问θ题；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE＝BE＝3，根据勾股
定理可得DE＝4，由题可得DC＝DE＝4，则有BC＝5﹣4＝1．易证∠DPC＝∠A＝∠B．根
据AD•BC＝AP•BP，就可求出t的值．
【解答】解：（1）如图1，
第20页（共24页）∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，
∴∠ADP+∠APD＝90°，
∠BPC+∠APD＝90°，
∴∠ADP＝∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴ ＝ ，
∴AD•BC＝AP•BP；
（2）结论AD•BC＝AP•BP仍然成立．
理由：如图2，
∵∠BPD＝∠DPC+∠BPC，∠BPD＝∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC＝∠A+∠ADP．
∵∠DPC＝∠A＝∠B＝ ，
∴∠BPC＝∠ADP， θ
∴△ADP∽△BPC，
∴ ＝ ，
∴AD•BC＝AP•BP；
（3）如图3，
第21页（共24页）过点D作DE⊥AB于点E．
∵AD＝BD＝5，AB＝6，
∴AE＝BE＝3．
由勾股定理可得DE＝4．
∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，
∴DC＝DE＝4，
∴BC＝5﹣4＝1．
又∵AD＝BD，
∴∠A＝∠B，
∴∠DPC＝∠A＝∠B．
由（1）、（2）的经验可知AD•BC＝AP•BP，
∴5×1＝t（6﹣t），
解得：t ＝1，t ＝5，
1 2
∴t的值为1秒或5秒．
【点评】本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的
性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方
程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．
24．【分析】（1）利用根据与系数的关系得出 + ＝ ， ＝﹣2，进而代入求出m的值即可得
α β αβ
出答案；
（2）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称
点E′，得出四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，进而利用勾股定理求出即可；
（3）利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为±4，进而分别求出即可．
【解答】解：（1）由题意可得：， 是方程﹣mx2+4x+2m＝0的两根，由根与系数的关系可得，
α β
第22页（共24页）+ ＝ ， ＝﹣2，
α β αβ
∵ ＝﹣2，
∴ ＝﹣2，即 ＝﹣2，
解得：m＝1，
故抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x+2；
（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，
∵y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6，
∴抛物线的对称轴l为x＝2，顶点D的坐标为：（2，6），
又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，
∴E点坐标为：（4，2），
作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，
则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2），
连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，
此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：
延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F＝6，E′F＝8，
则D′E′＝ ＝ ＝10，
设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG＝4，EG＝2，
∴DE＝ ＝ ＝2 ，
∴四边形DNME的周长最小值为：10+2 ；
（3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，
∴PH＝DG＝4，
∴|y|＝4，
∴当y＝4时，﹣x2+4x+2＝4，
解得：x ＝2+ ，x ＝2﹣ ，
1 2
第23页（共24页）当y＝﹣4时，﹣x2+4x+2＝﹣4，
解得：x ＝2+ ，x ＝2﹣ ，
3 4
无法得出以DE为对角线的平行四边形，
故P点的坐标为；（2﹣ ，4），（2+ ，4），（2﹣ ，﹣4），（2+ ，﹣4）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理、利用轴对称求最短路线等知识，
利用数形结合以及分类讨论得出P点坐标是解题关键．
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日期：2019/10/23 19:56:56；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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