文档内容
▹讲师：余贞
更多干货关注 粉笔教师教育 粉笔教师理 想 气 体 的 摩 尔 热 容
系统在某一无限小过程中吸收热量d𝑄与温度变化d𝑇的比值称为系统在该过程的热容量，用
𝐶表示，即
d𝑄
𝐶 =
d𝑇
热容量表示在该过程中，温度升高1K时系统吸收的热量，单位是J/K。单位质量的热容量
称为比热容𝑐，单位为J/ K ⋅ kg ，其值由物质和过程决定。热容量与比热容的关系为𝐶 =
𝑀𝑐。（一）摩尔定容热容
1mol理想气体在等容过程中吸收的热量d𝑄与温度的变化d𝑇之比称为摩尔定容热容，即
d𝑄 d𝑈 + 𝑝d𝑉 d𝑈 d𝑈
𝐶 = = = =
𝑉,𝑚
d𝑇 d𝑇 d𝑇 d𝑇
𝑉 𝑉 𝑉
上式最后一个等号用到了“理想气体的内能只是温度的单值函数、与体积无关”的结论。
𝑖
1mol理想气体的内能为𝑈 = 𝑅𝑇，代入上式得
𝑚
2
𝑖
d 𝑅𝑇
d𝑈 2 𝑖
𝐶 = = = 𝑅
𝑉,𝑚
d𝑇 d𝑇 2
式中，𝑖是理想气体分子的自由度。（二）摩尔定压热容
1mol理想气体在等压过程中吸收的热量d𝑄与温度的变化d𝑇之比称为摩尔定压热容，即
d𝑄 d𝑈 + 𝑝d𝑉 𝜕𝑈 𝜕𝑉 d𝑈 𝜕𝑉
𝐶 = = = + 𝑝 = + 𝑝
𝑝,𝑚
d𝑇 d𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 d𝑇 𝜕𝑇
𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝
上式最后一个等号用到了“理想气体内能只是温度的函数、与压强无关”的结论。
𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝑅
把1mol理想气体的状态方程𝑝𝑉 = 𝑅𝑇带入 求导，得 = ，有
𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝑝
𝑝 𝑝
𝐶 = 𝐶 + 𝑅
𝑝,𝑚 𝑉,𝑚
上式称为迈耶方程。
𝑖 𝑖+2
由于𝐶 = 𝑅，得𝐶 = 𝑅。
𝑉,𝑚 𝑝,𝑚
2 2（三）比热容比
摩尔定压热容与摩尔定容热容之比称为系统的比热容比，用𝛾表示，即
𝐶
𝑝,𝑚
𝛾 =
𝐶
𝑉,𝑚
𝑖 𝑖+2
对于理想气体，𝐶 = 𝑅，𝐶 = 𝑅，则
𝑉,𝑚 𝑝,𝑚
2 2
𝑖 + 2
𝛾 =
𝑖
由上式可以看出，𝛾 > 1，工程上称𝛾为绝热系数。绝 热 过 程
1.绝热过程方程
（1）定义
如果气体在变化过程中不与外界交换热量，这样的过程称为绝热过程。
（2）方程
绝热过程中d𝑄 = 0，由热力学第一定律得𝑑𝑈 = −𝑝d𝑉，对于理想气体，有d𝑈 = 𝐶 d𝑇，所以
𝑉,𝑚
𝐶 d𝑇 = −𝑝d𝑉。
𝑉,𝑚
由1mol理想气体的状态方程𝑝𝑉 = 𝑅𝑇，可得𝑝d𝑉 + 𝑉d𝑝 = 𝑅d𝑇，联立𝐶 d𝑇 = −𝑝d𝑉消去d𝑇，有
𝑉,𝑚
𝐶 d𝑉 d𝑝
𝑝,𝑚
𝐶 + 𝑅 𝑝d𝑉 + 𝐶 𝑉d𝑝 = 0，因为𝐶 + 𝑅 = 𝐶 ，𝛾 = ，得𝛾 + = 0，积分得
𝑉,𝑚 𝑉,𝑚 𝑉,𝑚 𝑝,𝑚
𝐶 𝑉 𝑝
𝑉,𝑚
𝑝𝑉𝛾 = 常数
上式就是理想气体准静态绝热过程方程，还可以写为
𝑉𝛾−1𝑇 = 常数，𝑝𝛾−1𝑇−𝛾 = 常数2.准静态绝热过程曲线
如图所示，曲线ab为准静态绝热过程，曲线cd为等温过程，可以看到绝热线比等温线要陡。绝
热线的斜率大于等温线的斜率。由等温线方程𝑝𝑉 = 常数，可得
d𝑝 𝑝
= −
d𝑉 𝑉
𝑇
由绝热曲线方程𝑝𝑉𝛾 = 常数，可得
d𝑝 𝑝
= −𝛾
d𝑉 𝑉
𝑄
由于𝛾 > 1，所以绝热线要比等温线陡。【例1】1𝑚𝑜𝑙单原子理想气体从300K加热到350K，（1）容积保持不变；（2）压强保持不变。
问在这两过程中各吸收了多少热量？增加了多少内能？对外做了多少功？（一）循环过程
系统从一个状态出发，经过一些列的中间状态，又回到出发时的状态，称系统经历了一个循环过
程，简称循环。循环工作的物质系统称为工作物质，简称工质。
（二）循环过程的效率
1.正循环过程的效率为一个循环过程中系统对外所做的净功与吸收热量之比，即对外输出的净功
占吸收热量的百分比。正循环过程的效率用𝜂表示。设系统在一个循环中从高温热源吸收热量𝑄 ，向
1
低温热源放出热量𝑄 ，则
2
𝐴
净
𝜂 =
𝑄
1
循环过程应遵守热力学第一定律，𝑄 = Δ𝑈 + 𝐴 。一个循环后Δ𝑈 = 0，而𝑄 = 𝑄 − 𝑄 ，所以
净 1 2
𝐴 = 𝑄 − 𝑄 ，因此有
净 1 2
𝑄 − 𝑄 𝑄
1 2 2
𝜂 = = 1 −
𝑄 𝑄
1 1
𝑄 和𝑄 都是绝对值。
1 22.逆循环过程的制冷系数为从低温物体吸收的热量与外界对系统所做净功之比。逆循环过
程的制冷系数用𝜔表示。设系统从低温热源吸收热量𝑄 ，向高温热源放出热量𝑄 ，外界对系统
2 1
′
做净功𝐴 ，则
净
𝑄
2
𝜔 =
′
𝐴
净
逆循环过程应遵守热力学第一定律，𝑄 = Δ𝑈 − 𝐴 ′ 。一个循环后，Δ𝑈 = 0，则𝐴 ′ = −𝑄 = 𝑄 − 𝑄 ，
净 净 1 2
有
𝑄
2
𝜔 =
𝑄 − 𝑄
1 2
𝑄 和𝑄 都是绝对值。
1 2（三）卡诺循环
卡诺循环是指由两条等温线和两条绝热线组成的循环。
如图（a）所示为卡诺正循环。𝑎 → 𝑏、𝑐 → 𝑑是两个等
温过程；𝑏 → 𝑐、𝑑 → 𝑎是两个绝热过程。𝑇 、𝑇 分别
1 2
是高温热源和低温热源的温度。系统从高温热源吸收热
量𝑄 ，向低温热源放出热量𝑄 。整个循环过程中系统
1 2
吸收的热量为𝑄 ，放出的热量为𝑄 。循环过程中系统
1 2
吸收的热量和放出的热量分别发生在两个等温过程中，
等温过程中热量的计算要依据热力学第一定律，故
𝑄 = ∆𝑈 + 𝐴 。
1 𝑎𝑏 𝑎𝑏因为理想气体的内能只是温度的函数，等温过程中理想气体
的内能不变，∆𝑈 = 0，故
𝑎𝑏
𝑉 𝑉
2 2 𝑚 d𝑉 𝑉
2
𝑄 = 𝐴 = න 𝑝d𝑉 = න 𝑅𝑇 = 𝑛𝑅𝑇 ln
1 𝑎𝑏 1 1
𝑀 𝑉 𝑉
𝑉 𝑉 1
1 1
𝑚
𝑛 = 为理想气体物质的量，同理可得
𝑀
𝑉
4
𝑄 = 𝑛𝑅𝑇 ln
2 2
𝑉
3
效率公式中的𝑄 取绝对值，而𝑉 < 𝑉 ，所以
2 4 3
𝑉
3
|𝑄 | = 𝑛𝑅𝑇 ln
2 2
𝑉
4卡诺循环的效率为
𝑉
3
𝑛𝑅𝑇 ln
𝑄 2 𝑉
2 4
𝜂 = 1 − = 1 −
𝑄 𝑉
1 𝑛𝑅𝑇 ln 2
1 𝑉
1
𝛾−1 𝛾−1
对𝑏 → 𝑐绝热过程，有𝑇 𝑉 = 𝑇 𝑉
1 2 2 3
𝛾−1 𝛾−1
对𝑑 → 𝑎绝热过程，有𝑇 𝑉 = 𝑇 𝑉
1 1 2 4
𝑉 𝑉
可得 2 = 3，有
𝑉 𝑉
1 4
𝑇
2
𝜂 = 1 −
𝑇
1
上式就是理想气体卡诺循环的效率公式。（四）卡诺制冷机的循环
令上述循环反向进行，则得卡诺制冷机的循环，卡诺制冷机的制冷系数为
𝑇
2
𝑤 =
𝑇 − 𝑇
1 2𝐶
𝑝
（真题2019上高中）在图所示的理想气体循环中，若𝑇 , 𝑇 , 𝑇 , 𝑇 和𝛾已知，其中𝛾 = ，则其
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
𝐶
𝑉
效率𝜂为（ ）
𝑇 −𝑇 𝑇 −𝑇
A.1 − 𝛾 𝑑 𝑎 B.1 − 𝛾 𝑐 𝑏
𝑇 −𝑇 𝑇 −𝑇
𝑐 𝑏 𝑑 𝑎
𝑇 −𝑇 𝑇 −𝑇
C.1 − 𝛾 𝑎 𝑑 D.1 − 𝛾 𝑏 𝑐
𝑇 −𝑇 𝑇 −𝑇
𝑐 𝑏 𝑑 𝑎【例1】一定量的理想气体，经历如图所示的循环过程，𝐴𝐵、𝐶𝐷是等压过程，𝐵𝐶、𝐷𝐴为绝热
过程。已知𝑇 = 300𝐾，𝑇 = 400𝐾，求热机效率和制冷系数。
𝐶 𝐵光 的 干 涉
一、光源、光的相干性与叠加性、光程
（一）光源
1.光源的发光机理
光是由光源中的原子或分子的运动状态发生变化时辐射出来的。
2.光强
光是电磁波，它有两个相互垂直的振动矢量：电场强度𝐸和磁场强度𝐻。因为人眼和感光仪器的
检测主要是利用物质中的电子所受的电场力，而磁场强度𝐻的影响极小，所以光学中常用电场
强度𝐸代表光振动，并把𝐸矢量称为光矢量或电矢量。
在同一介质中常把振幅的平方所表征的光照强度定义为
2
𝐼 = 𝐸
0（二）光的相干性与叠加性
1.光的相干性
由于两列光波的相干叠加而引起光强重新分布，形成明暗相间的条纹，称
为光的干涉。
产生光的干涉有三个条件:频率相同；光矢量振动方向相同；相位差恒定。
以上条件称为相干条件，满足相干条件的光波称为相干光，产生相干光的
光源称为相干光源。
设两个频率相同、光矢量𝑬方向相同的光源所发出的光振幅和光强分别为
𝐸 、𝐸 和𝐼 、𝐼 ，它们在空间𝑃点处相遇，则𝑃点处合成光矢量的振幅𝐸
10 20 1 2
和光强𝐼为
𝐸2 = 𝐸 2 + 𝐸 2 + 2𝐸 𝐸 cos∆𝜑
10 20 10 20
𝐼 = 𝐼 + 𝐼 + 2 𝐼 𝐼 cos∆𝜑
1 2 1 22.光的叠加性
（1）非相干叠加
如果这两束光是分别来自两个独立的光源，由于分子或原子发光的独立性和随机性，这两个
光波列的相位差∆𝜑也将随机变化，它可以等于0~2𝜋之间的一切数值，并且概率相等，因而
cos∆𝜑对时间的平均值为0，故
𝐼 = 𝐼 + 𝐼
1 2
上式表明，来自两个独立光源的两束光，或同一光源不同部位所发出的光，叠加后的光强等
于两束单独照射时的光强𝐼 和𝐼 之和，故不能观察到干涉现象。
1 2（2）相干叠加
若两束相干光在光场中各指定点的相位差∆𝜑各有恒定值，则在相遇空间的𝑃
点处合成后的光强为
𝐼 = 𝐼 + 𝐼 + 2 𝐼 𝐼 cos∆𝜑
1 2 1 2
由于相位差∆𝜑恒定，所以𝑃点的光强始终不变。对于两光波相遇区域的不同
位置，其光强的大小将由这些位置的相位差决定，即空间各处光强分布由于
干涉项2 𝐼 𝐼 cos∆𝜑，将会出现有地方始终加强(𝐼 > 𝐼 + 𝐼 )，有些地方始终
1 2 1 2
减弱(𝐼 < 𝐼 + 𝐼 )的情况。如果振幅不等，则在干涉极小处的光强不为零。如
1 2
果振幅相等，则𝐼 = 𝐼 ，有
1 2
∆𝜑
𝐼 = 2𝐼 1 + cos∆𝜑 = 4𝐼 cos2
1 1
2
当∆𝜑 = ±2𝑘𝜋 𝑘 = 0，1，2， … 时，这些位置的光强最大(𝐼 = 4𝐼 )，称为
1
干涉相长；当∆𝜑 = ±(2𝑘 − 1)𝜋 𝑘 = 0，1，2， … 时，光强最小(𝐼 = 0)，称
为干涉相消。（三）光程
当光波传播一个波长的距离时，其相位改变2𝜋。单色光在不同介质中的传播速度是不同的，在
1 1
折射率为𝑛的介质中，光传播的速度𝑢是真空中光速的 ，介质中光的波长是真空中的 。
𝑛 𝑛
设从同相位的相干光源发出的两相干光，分别在不同折射率的介质中传播，相遇点与两光源的
几何距离分别为𝑟 和𝑟 ，则由波动理论知两光束在相遇点的相位差为
1 2
𝑟
1
光源1
2𝜋 4𝜋
𝑟
光源2
2𝑟 𝑟 𝑟 𝑟
2 1 2 1
∆𝜑 = 𝜔 − = 2𝜋 −
𝑢 𝑢 𝜆 𝜆
2 1 2 1
𝑟 𝑛
1 1
𝑟 𝑟 𝑛 𝑟 − 𝑛 𝑟
2 1 2 2 1 1
= 2𝜋( − ) = 2𝜋
光源1
𝜆/𝑛 𝜆/𝑛 𝜆
2 1
式中，𝑢 和𝑢 分别在介质1和介质2中的传播速率；
1 2
𝜆 和𝜆 分别为光在介质1和介质2中的波长；𝑛 和𝑛 分别
1 2 1 2
为介质1和介质2中的折射率；𝜆为真空中的波长。
𝑟 𝑛
光源2 2 2在光通过不同介质、计算其相位差时，若统一用真空中的
光波波长 𝜆 ，则只需将相应介质中的几何路程 𝑟 换成 𝑛𝑟 即可。 𝑟 𝑛
1 1
光源1
定义光波在一介质中所经几何路程𝑟与介质的折射率𝑛之积
𝑛𝑟为光程，即：光程= 𝑛𝑟
若光波经过几种不同介质，有：光程= Σ𝑛 𝑟
𝑖 𝑖
𝑟 𝑛
用𝛿表示两束光波的光程差，即：𝛿 = 𝑛 𝑟 − 𝑛 𝑟 光源2 2 2
1 1 2 2
𝑟 𝑟 𝑛 𝑟 −𝑛 𝑟 2𝜋
则∆𝜑 = 2𝜋 2 − 1 = 2𝜋 2 2 1 1可以改写为：∆𝜑 = 𝛿
𝜆 𝜆 𝜆 𝜆
2 1
𝑐 𝑟
由光程的定义可知，在均匀介质中，有 𝑛𝑟 = 𝑟 = 𝑐 = 𝑐𝑡 ，
𝑢 𝑢
可见光程应该等于在相同时间内，光在真空中所通过的路
程。杨 氏 双 缝 干 涉 实 验
（一）实验装置
（二）干涉条纹位置的计算
干涉条纹的位置如图所示，设𝑆 与𝑆 之间相距为𝑑，它们到屏
1 2
幕的距离为𝐷，在实验中，一般地𝐷 ≫ 𝑑，它们到屏上任意点𝑃
的距离分别为𝑟 和𝑟 。
1 2
𝑑𝑥
当𝛿 = 𝑟 − 𝑟 = = ±𝑘𝜆时，得明纹中心在屏上的位置为𝑥 =
2 1
𝐷
𝐷𝜆
± 𝑘 ，（𝑘 = 0,1,2, …）
𝑑𝑑𝑥 𝜆
当𝛿 = 𝑟 − 𝑟 = = ± 2𝑘 − 1 时，得暗纹中心在屏上的
2 1
𝐷 2
位置为
2𝑘−1
𝑥 = ± 𝐷𝜆，（𝑘 = 0,1,2, …）
2𝑑
式中，𝑘称为干涉级，𝑘 = 0的明纹称为零级明纹或中央明
纹，𝑘 = 0,1,2, …对应的明条纹（或暗条纹）分别称为第一
明纹（暗纹）、第二级明纹（暗纹）、第三极明纹（暗
纹），以此类推。“±”表示干涉条纹对称分布于中央明
纹的两侧。（三）干涉条纹的特点
1.条纹分布：条纹对称地分布于中央明纹两侧且平行
于狭缝方向，明暗条纹交替排列。
2.条纹间距
𝐷𝜆
∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥 =
𝑘+1 𝑘
𝑑（2021下高中）在杨氏双缝干涉实验中，用波长为𝜆的单色光作为光源，光源到双缝的距离相等，中央
亮条纹在光屏处的𝑂点处，设双缝到观察屏的距离为𝐷，双缝的间距为𝑑，𝑑 ≤ 𝐷，光屏上𝑃点到𝑂点的距
离为𝑥，若在缝𝑆 的后面放置折射率为𝑛，厚度为𝑡的薄玻璃片，光线可近似看作垂直穿过薄玻璃片，如
1
图所示。求：（1）未放置玻璃片时，光源到𝑃点处的光程差 ；（5分）
（2）放置玻璃片后，光源到𝑃点处的光程差； （5分）
（3）放置玻璃片后，若发现中央亮纹恰好移动到了𝑃点处，玻璃片的厚度𝑡应满足的条件；（5 分）
（4）放置玻璃片后，两亮条纹的间距。（5分）劳 埃 德 镜
劳埃德镜是一种简单的观察干涉现象的装置。
波的振动在介质表面上反射时，突然改变了相位𝜋，可以认为是反射光的光程在介质表面反射
时损失了半个波长，这种现象称为半波损失。
劳埃德镜实验揭示了这一重要的事实：即光在介质（玻璃）表面上反射，且入射角接近
90°
时，
产生了半波损失。分 振 幅 干 涉
当一束光投射到两种透明媒质的分界面上时, 在同一点上, 光的能量一部分被反射,一部分被折
射。这种将同一束光分解成两部分的方法称为分振幅法。用分振幅法产生的光干涉称为分振
幅干涉。如果分振幅干涉是利用薄膜来实现的, 这种干涉则称为薄膜干涉。日常生活中所见到
的水面上的油膜、肥皂泡在光照下呈现美丽色彩就是这种薄膜干涉的结果。（一）等倾干涉
光线2和光线3之间没有因反射而引起的附加光程差,
它们之间的光程差为
𝛿 = 𝑛 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 − (𝑛 𝐴𝐷)
1 1
= 2𝑑 𝑛2 − 𝑛2sin2𝑖
1
𝜆
𝛿 = 2𝑑 𝑛2 − 𝑛2𝑠𝑖𝑛2𝑖 +
1
2
式中，𝑖和𝛾分别为入射角与折射角；𝑑为薄膜厚度。干涉条件为
𝜆
𝛿 = 2𝑑 𝑛2 − 𝑛2sin2𝑖 + = 𝑘𝜆，(𝑘 = 1,2, … )干涉
1
2
相长
𝜆 𝜆
𝛿 = 2𝑑 𝑛2 − 𝑛2sin2𝑖 + = 2𝑘 + 1 ，(𝑘 =
1
2 2
0,1,2, … )干涉相消
当垂直照射时，即𝑖 = 0，有
𝜆
𝛿 = 2𝑛𝑑 + = 𝑘𝜆，(𝑘 = 1,2, … )干涉相长
2
𝜆 𝜆
𝛿 = 2𝑛𝑑 + = 2𝑘 + 1 ，(𝑘 = 0,1,2, … )干涉相
2 2
消
式中，𝜆是光在真空中的波长。（二）等厚干涉
如图所示，两块平面玻璃片上，一端互相叠合，另一端夹一薄纸片（为便于作图，图中的薄纸片予以放
大），这时，在两玻璃片之间形成的空气薄膜称为空气劈尖。
当单色光垂直入射𝑖 = 0时，在空气劈尖的上下表面所引起的反射光线将形成相干光，劈尖在𝐶点的厚度为
𝜆
𝑑，在劈尖上下表面反射的两光线之间的光程差是𝛿 = 2𝑑 + ，干涉条件可写为如下形式
2
𝜆
𝛿 = 2𝑑 + = 𝑘𝜆，(𝑘 = 1,2, … )干涉相长
2
𝜆 𝜆
𝛿 = 2𝑑 + = 2𝑘 + 1 ，(𝑘 = 0,1,2, … )干涉相消
2 2（真题2022下高中）两个直径很小且相差甚微的圆柱体夹在两块平板玻璃之间构成空气劈尖，如图所示。
当单色光垂直照射时，可看到等厚干涉条纹。如果将两个圆柱之间的距离𝐿拉大，则𝐿范围内的干涉条纹
（ ）。
A.数目增加，间距不变
B.数目增加，间距变小
C.数目不变，间距变大
D.数目减少，间距变大夫 琅 禾 费 单 缝 衍 射
1.衍射：光波遇到狭缝、小孔等障碍物时，会偏离直线进入几何阴影区，并且在几何阴影
区和几何照明区光强分布不均匀，出现一系列的明暗相间条纹，这就是光的衍射。
2.夫琅禾费衍射：光源和接收屏与衍射屏的距离都是无限远时的衍射，即入射到衍射屏和
离开衍射屏的光都是平行光的衍射，称为夫琅禾费衍射。3.夫琅禾费衍射装置的介绍
𝑆是点光源，L 和L 是透镜，矩形狭缝的宽度为𝑎，缝的宽度远小于缝的长度，E是接收屏。𝑆置
1 2
于L 的焦平面上， E置于L 的焦平面上。光源𝑆发出的光经L 后成为平行光，过狭缝经L 在屏上
1 2 1 2
得到它的像。4.菲涅尔半波带
𝑂为点光源，𝑆为任一时刻的波面（球面），𝑅为半径。为了确
定光波到达对称轴上任一点𝑃时波面𝑆所起的作用，连接𝑂、𝑃与
𝑆 𝑟
𝑟 = 𝑟 + 3( )
球面相交于 𝐵 点，点 𝐵 称为 𝑃 点对于波面的极点。令 𝑃𝐵 = 𝑟 。 3 0
0 0 0 0 𝐵 2
3
𝑟
设想将波面分为许多环形带，使从每两个相邻带的相邻边缘到𝑃
𝑟 = 𝑟 + 2( )
2 0
2
𝐵
2
点的距离相差半波长，即
𝐵
𝜑 1
𝐵 𝑃 − 𝐵 𝑃 = 𝐵 𝑃 − 𝐵 𝑃 = 𝐵 𝑃 − 𝐵 𝑃 = ⋯ 𝑂 𝑅 𝐵 𝑃
1 0 2 1 3 2 0 𝑟
0
𝑟
𝑟 = 𝑟 +
𝑟 1 0 2
𝐵 𝑃 − 𝐵 𝑃 =
𝑘 𝑘−1
2
在这种情况下，由任何相邻两带的对应部分所发出的次波到达𝑃
𝑟
点时的光程差为 ，它们同时到达𝑃点，而相位差为𝜋。这样分成
2
的环形带称为菲涅尔半波带。5.用菲涅尔半波带法分析明暗条纹产生的条件
设单缝的宽度为𝑎，𝐴𝐵上各点都可以看成是新的
波源，它们发出的子波到达空间某处时，会叠加
𝐸
产生干涉。每一子波源发出的光线有无穷多条，
𝐴
每个可能的方向都有，这些光线都称为衍射光线， 1
𝜑
𝐶
夹角𝜑称为衍射角。平行衍射光束经过透镜后，
2
𝑃
会聚于焦平面𝐸上的不同位置处，由于各平行光 0
𝑎
𝑥
间有干涉作用，会在屏幕上形成明暗相间的衍射
𝑃
𝐵
条纹。
𝑓对于衍射光线1，经过透镜后会聚于焦点𝑃 。由于𝐴𝐵是同相面，这些衍射光的相位是相同的，它们
0
经过透镜后不会引起附加的光程差，所以它们在𝑃 点会聚时保持相同的相位，因为互相加强，在焦
0
点𝑃 处出现明条纹，称为中央明纹。
0
𝐸
𝐴
1
𝜑
𝐶
2
𝑃
0
𝑎
𝑥
𝑃
𝐵
𝑓在其他方向上，再考虑一束与原入射方向成𝜑角的衍
射光线2，它们经透镜后会聚于屏幕上的𝑃点处。由
单缝𝐴𝐵上各点发出的衍射光到达𝑃点的光程并不相等，
𝐸
它们在𝑃点处的相位也不相同，如果过𝐵点作平面𝐵𝐶
𝐴
与衍射光线2垂直，由透镜的等光程性可知，𝐵𝐶面上 1
𝜑
各点到达𝑃的光程都相等，因此各衍射光到达𝑃点时 𝐶
2
𝑃
0
的相位差就等于它们在𝐵𝐶 面上的相位差，它取决于 𝑎
𝑥
𝜑
各衍射光从𝐴𝐵面上相应位置到𝐵𝐶面上的相位差。从
𝑃
𝐵
单缝的𝐴、𝐵两端来看，两点衍射光间的光程差𝐴𝐶 =
𝑎sin𝜑，这是沿𝜑角方向各衍射光线之间的最大光程
𝑓
差。𝑎sin𝜑
𝜆
𝜆
6. 由菲涅耳提出的半波带法来讨论单缝衍射条纹
2 𝜆
2
将波阵面𝐴𝐵分割成许多面积相等的半波带，将𝐴𝐶用 𝐴 2
一系列平行于𝐵𝐶的平面来划分，这些平面中两相邻
𝐴
1 𝐶
𝜆
平面间的距离等于入射单色光的半波长 。这些平面
2
𝐴
同时也将单缝处的波阵面𝐴𝐵分为𝐴𝐴 、𝐴 𝐴 、𝐴 𝐵 2
1 1 2 2
等整数个波带，称为半波带。
𝐵
𝜑
注：波阵面
在波动过程中，介质中振动相位相同的点连成的面
称为波阵面，简称波面。由于波面上各点的相位相
同，所以波面是同相面。𝑎sin𝜑
𝜆
𝜆
由于这些波带的面积相等，所以波带上子波
2 𝜆
2
源的数目也相等，任意两个相邻的波带上对 𝐴 2
𝜆
应点发出的光线到达𝐵𝐶面的光程差均为 ，
2 𝐴
1 𝐶
即相位差为𝜋，经透镜会聚于𝑃点处时，将相
互抵消。如果𝐴𝐶是半波带的偶数倍，则可将 𝐴
2
单缝上的波面𝐴𝐵分成偶数个半波带，于是𝑃
𝐵
点处将出现暗条纹；如果𝐴𝐶是半波带的奇数 𝜑
倍，则可将单缝上的波面𝐴𝐵分成奇数个半波
带，每相邻半波带发出的衍射光都成对一一
抵消，最后剩下一个半波带的光线没有被抵
消，于是𝑃点处将出现明条纹。综上所述，当平行单色光垂直单缝入
射时，单缝衍射明暗条纹的条件为
当𝑎sin𝜑 = 0时，为中央明纹中心
当𝑎sin𝜑 = ±𝑘𝜆 ，为暗条纹
𝜆
当𝑎sin𝜑 = ±(2𝑘 + 1) 时，为明条纹
2
(𝑘 = 1,2,3, … )
式中，𝑘为级数，“±”表示衍射条纹
对称分布于中央明纹的两侧。在衍射角很小时，tan𝜑 ≈ sin𝜑 ≈ 𝜑，于是𝜑与透镜焦距𝑓
以及条纹在屏上距中心𝑃 的距离𝑥之间的关系为
0
𝑥 = 𝜑𝑓
第一级暗条纹距中心𝑃 的距离为
0
𝜆
𝑥 = 𝜑 𝑓 = 𝑓
1 1
𝑎
故中央明纹的宽度为
𝜆
𝑙 = 2𝑥 = 2 𝑓
0 1
𝑎
其他任意两相邻暗纹的距离（即明纹的宽度）为
𝜆
𝑙 = 𝜑 𝑓 − 𝜑 𝑓 = 𝑓
𝑘+1 𝑘
𝑎
由此可知，所有其他明纹均具有同样的宽度，中央明纹的
宽度为其他明纹宽度的2倍。（高中真题2017年下）【例】在夫琅禾费单缝衍射实验中,对于给定的入射单色光,当缝宽变
小时,除中央亮纹的中心位置不变外,各级衍射条纹（ ）。
A.对应的行射角变小 B.对应的衍射角变大
C.对应的衍射角不变 D.宽度保持不变【例】用波长𝜆 = 400nm和𝜆 = 700nm的混合光垂直照射单缝，在衍射图样中，𝜆 的第𝑘
1 2 1 1
级明纹中心位置恰与𝜆 的第𝑘 级暗纹中心位置重合，则𝑘 和𝑘 分别为（ ）。
2 2 1 2
A．𝑘 = 7，𝑘 = 5 B．𝑘 = 5，𝑘 = 4
1 2 1 2
C．𝑘 = 4，𝑘 = 2 D．𝑘 = 3，𝑘 = 2
1 2 1 2衍 射 光 栅
由大量等间距、等宽度的平行狭缝所组成的光学元件称
为衍射光栅。在一块玻璃片上刻画许多等间距、等宽度
的平行刻痕，刻痕处相当于毛玻璃而不易透光，刻痕之
间的光滑部分可以透光，相当于一个单缝。设不透光的
宽度为𝑏，透光的宽度为𝑎，则𝑎 + 𝑏称为光栅常数，用𝑑
表示。
如图所示，当一束平行单色光垂直照射到光栅上时，每
一狭缝都要产生衍射，而缝与缝之间透过的光又要发生
干涉。用透镜把光束会聚到屏幕上，就会呈现光栅衍射
条纹，这些条纹的特点是：明条纹很亮很窄，相邻明纹
间的暗区很宽，衍射图样十分清晰。（二）光栅方程
从图可以看出，两相邻狭缝发出的衍射角为𝜑的两束衍射光，
当它们会聚于屏上𝑃点时，其光程差为(𝑎 + 𝑏)sin𝜑，如果此
光程差恰好是入射光波长𝜆的整数倍，则𝑃点的干涉加强。其
他任意两缝沿该衍射角𝜑方向射出的两束衍射光，到达𝑃点处
的光程差也一定是𝜆的整数倍，于是所有各缝沿该衍射角𝜑的
衍射光在屏上会聚时，均会相互极加强，形成明纹。当衍射
角𝜑满足方程
𝑎 + 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑘𝜆 (𝑘 = 0, ±1, ±2, … )
时，屏上形成明条纹。该方程称为光栅方程，式中𝑘为明纹级
数。这些明纹细窄而明亮，通常称为主极大条纹。𝑘 = 0，为
零级主极大；𝑘 = 1，为第一级主极大，其余依次类推。“±”
表示各级主极大在零级主极大两侧对称分布。（真题2018年上）【例】某光栅每厘米有3150条刻线，用该光栅做衍射实验，则在第五级衍
射光谱中可观察到的最大可见光波长为（ ）。
A.3150Å B.3174Å C.7875Å D.6349Å寻 常 光 和 非 常 光
（一）寻常光和非常光
观察一束通过玻璃、石英等各向同性介质的光，可以看到它的折射光只
有一束。一束光通过方解石晶体(CaCO )等各向异性介质时，对应一束
3
入射光可能观察到两束折射光，这种现象称为双折射。
一束平行自然光正入射到方解石晶体的一个表面上，在另一表面有两束
光出射，在不同的入射角下进行实验，可以发现晶体内的两束折射光中
O光
的一束总符合通常的折射定律，即折射率为一常数。另一束光不遵从通
e光
常的折射定律，对于不同的入射角，它的折射率不同，且此折射光不一
定在入射面内。通常把晶体内前一种折射光称为寻常光(简称o光)，后
一种折射光称为非常光(简称e光)。
o光和e光均是偏振光。
注：由入射光线与入射点处的法线所构成的平面被称为入射面。（二）光轴
由实验知道，当光在方解石晶体中沿一特殊方
向传播时，o光和e光不分开，它们在该方向具
有相同的传播速度，这个特殊的方向称为晶体
的光轴。如图，𝛼和𝛽的数值均为实验测出，光
沿𝑂𝑂′
方向射向方解石晶体， o光和e光不分开，
在晶体中与𝑂𝑂′
平行的任何直线都是光轴。
有一个光轴方向的晶体称为单轴晶体，例如方
解石、石英、冰等。有两个光轴方向的晶体称
为双轴晶体，如云母、硫黄等。我们只讨论单
轴晶体。（三）波晶片
双折射晶体可用来改变两个分量之间相对相位，从而改变偏振态的光学器件，该器件称为波晶片。波
晶片是从单轴晶体上切割下来的平行平面板，其表面与光轴平行。若光线垂直光轴入射在晶体表面，
在晶体内o光和e光的折射率𝑛 和𝑛 是不相等的。设晶片厚度为𝑑，同一时刻两光在出射界面射出时尽
o e
管传播方向相同，但其相位比入射界面的相位分别落后
2𝜋 2𝜋
𝜑 = 𝑛 𝑑，𝜑 = 𝑛 𝑑
o o e e
𝜆 𝜆
光矢量
𝑂
𝑂′
O光 e光
𝑑
偏振面o光和e光通过波晶片后，前者的相位比后者多延迟了
2𝜋
Δ𝜑 = 𝜑 − 𝜑 = (𝑛 − 𝑛 )𝑑
o e o e
𝜆
适当选择厚度𝑑，可以使两分量之间产生任意数值的相对相位延迟，即任意相位差。
𝜆 𝜆
实际中常用的波晶片是四分之一波片（ 波片）和二分之一波片（ 波片或半波片）。前者满足
4 2
𝜆 𝜋 𝜆
光程差𝛿 = 𝑛 − 𝑛 𝑑 = ，相应的相位差为Δ𝜑 = ；后者满足光程差𝛿 = 𝑛 − 𝑛 𝑑 = ，相
o e o e
4 2 2
应的相位差Δ𝜑 = 𝜋。这些波晶片都是对特定波长的光而言的。
𝑂
𝑂′
O光 e光
𝑑𝜆
在实际制作的过程中， 波片是四分之一波长的
4
奇数倍，
𝜆
有𝛿 = 𝑛 − 𝑛 𝑑 = ± 2𝑘 + 1
o e
4
𝑘 = 0,1,2,3 … 𝑂
𝑂′
𝜆
波片是半波长的奇数倍，
O光 e光
2
𝑑
𝜆
有𝛿 = 𝑛 − 𝑛 𝑑 = ± 2𝑘 + 1
o e
2
𝑘 = 0,1,2,3 …（高中真题2019年上）【例】某种双折射材料对600nm的寻常光的折射率是1.71，对非常
光的折射率为1.74。用这种材料制成四分之一波片，其厚度至少应为（ ）。
A.2.1 × 10−3mm B.3.0 × 10−3mm
C.4.0 × 10−3mm D.5.0 × 10−3mm
𝑂
𝑂′
O光 e光
𝑑
