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Born to win
1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1) 函数 的单调减少区间为______________.
(2) 由曲线 绕 轴旋转一周得到的旋转面在点 处的指向外侧
的单位法向量为______________.
(3) 设函数 的傅里叶级数展开式为
,则其中系数 的值为______________.
(4) 设数量场 则 ______________.
(5) 设 阶矩阵 的各行元素之和均为零,且 的秩为 ,则线性方程组 的通解
为______________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设 , 则当 时, 是 的 ( )
(A) 等价无穷小 (B) 同阶但非等价无穷小
(C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小
(2) 双纽线 所围成的区域面积可用定积分表示为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设有直线 与 ,则 与 的夹角为 ( )
(A) (B)
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(C) (D)
(4) 设曲线积分 与路径无关,其中 具有一阶连续
导数,且 ,则 等于 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(5) 已知 , 为三阶非零矩阵,且满足 ,则
(A) 时, 的秩必为1 (B) 时, 的秩必为2
(C) 时, 的秩必为1 (D) 时, 的秩必为2
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)
(1) 求 .
(2) 求 .
(3) 求微分方程 ,满足初始条件 的特解.
四、(本题满分6分)
计算 ,其中 是由曲面 与
所围立体的表面外侧.
五、(本题满分7分)
求级数 的和.
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1) 设在 上函数 有连续导数,且 证明 在
内有且仅有一个零点.
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(2) 设 ,证明 .
七、(本题满分8分)
已知二次型 ,通过正交变换化成标准形
,求参数 及所用的正交变换矩阵.
八、(本题满分6分)
设 是 矩阵, 是 矩阵,其中 , 是 阶单位矩阵,若 ,证明
的列向量组线性无关.
九、(本题满分6分)
设物体 从点 出发,以速度大小为常数 沿 轴正向运动.物体 从点 与
同时出发,其速度大小为 ,方向始终指向 ,试建立物体 的运动轨迹所满足的微分方
程,并写出初始条件.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)
(1) 一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第
二次抽出的是次品的概率为_______.
(2) 设随机变量 服从 上的均匀分布,则随机变量 在 内的概率分布密
度 _______.
十一、(本题满分6分)
设随机变量 的概率分布密度为 , .
(1) 求 的数学期望 和方差 .
(2) 求 与 的协方差,并问 与 是否不相关？
(3) 问 与 是否相互独立？为什么？
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1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】由连续可导函数的导数与 的关系判别函数的单调性.
将函数 两边对 求导,得 .
若函数 严格单调减少,则 ,即 .
所以函数 单调减少区间为 .
【相关知识点】函数的单调性：设函数 在 上连续,在 内可导.
(1) 如果在 内 ,那么函数 在 上单调增加；
(2) 如果在 内 ,那么函数 在 上单调减少.
(2)【答案】
【解析】先写出旋转面 的方程： .
令 .
则 在点 的法向量为
,
所以在点 处的法向量为
.
因指向外侧,故应取正号,单位法向量为
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.
(3)【答案】
【解析】按傅式系数的积分表达式 ,
所以 .
因为 为奇函数,所以 ；
为偶函数,所以
.
(4)【答案】
【解析】先计算 的梯度,再计算该梯度的散度.
因为 ,
所以 .
数量场 分别对 求偏导数,得
,
由对称性知
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, ,
将 分别对 求偏导,得
,
, ,
因此, .
(5)【答案】
【解析】因为 ,由 知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故
的通解形式为 .下面根据已知条件“ 的各行元素之和均为零”来分析推导
的一个非零解,它就是 的基础解系.
各行元素的和均为0,即
,
而齐次方程组 为
.
两者比较,可知 是 的解.所以应填 .
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二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(B)
【解析】 为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点 处导数都存在,
运用洛必达法则,有
.
因为当 , 所以 ,所以
,
所以 与 是同阶但非等价的无穷小量.应选(B).
【相关知识点】无穷小的比较：
设在同一个极限过程中, 为无穷小且存在极限 ,
(1) 若 称 在该极限过程中为同阶无穷小；
(2) 若 称 在该极限过程中为等价无穷小,记为 ；
(3) 若 称在该极限过程中 是 的高阶无穷小,记为 .
若 不存在(不为 ),称 不可比较.
(2)【答案】(A)
【解析】由方程可以看出双纽线关于 轴、 轴对称,(如草图)
只需计算所围图形在第一象限部分的面积；
双纽线的直角坐标方程复杂,而极坐标方程
较为简单： .
显然,在第一象限部分 的变化范围是
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.再由对称性得
,
应选(A).
(3)【答案】(C)
【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题, 与 的方向向量分别是
,
与 的夹角 的余弦为
,
所以 ,应选(C).
(4)【答案】(B)
【解析】在所考察的单连通区域上,该曲线积分与路径无关
,
即 ,
化简得 , 即 ,
解之得 , 所以 .
由 得 ,因此 ,故应选(B).
【相关知识点】曲线积分 在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是
.
(5)【答案】(C)
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【解析】若 是 矩阵, 是 矩阵, ,则 .
当 时,矩阵的三行元素对应成比例, ,有 ,知 ,
所以, 可能是1,也有可能是2,所以(A)、(B)都不准确；
当 时,矩阵的第一行和第三行元素对应成比例, ,于是从
得 ,又因 ,有 ,从而 必成立,所以应当选(C).
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)
(1)【解析】令 ,则当 时, ,
,
这是 型未定式,
,
而 是两个重要极限之一,即
.
所以 .
而 ,
故 .
(2)【解析】方法一： .
令 ,则 ,
所以
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,
所以
.
方法二：令 ,则 ,
所以
.
关于 的求解同方法一,所以
.
(3)【解析】解法一：所给方程为伯努利方程,两边除以 得
,即 .
令 ,则方程化为 ,即 ,
即 ,
积分得 .
由 得 ,
即 ,
代入初始条件 ,得 ,所以所求方程的特解是 .
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解法二：所给方程可写成 的形式,此方程为齐次方程.
令 ,则 ,所以方程可化为
,分离变量得 ,
积分得 , 即 .
以 代入上式,得 .代入初始条件 ,得 ,
故特解为 .
四、(本题满分6分)
【解析】将 表成 ,则
.
又 是封闭曲面,可直接用高斯公式计算.
记 围成区域 ,见草图, 取外侧,由高斯公式得
.
用球坐标变换求这个三重积分.
在球坐标变换下, 为： ,于是
.
五、(本题满分7分)
【解析】先将级数分解,
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.
第二个级数是几何级数,它的和已知
.
求第一个级数的和转化为幂级数求和.考察
.
,
所以 .
因此原级数的和 .
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1)【解析】证法一：由拉格朗日中值定理可知,在 存在一点 ,使得
,
即 .
因为 ,所以当 时, ,故 .
由 ,所以在 上由介值定理可知,必有一点 使得 .
又因为 ,故 为严格单调增函数,故 值唯一.
证法二：用牛顿-莱布尼兹公式,由于
,
以下同方法1.
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(2)【解析】先将不等式做恒等变形:
因为 ,故原不等式等价于 或 .
证法一：令 ,则 .
因为 ,所以 ,故 .
从而 在 时为严格的单调递增函数,故 .
由此 ,即 .
证法二：令 ,则 .
当 时, ,所以 为严格的单调递减函数,故存在 使得
成立.即 .
七、(本题满分8分)
【解析】写出二次型 的矩阵为 ,它的特征方程是
.
经正交变换化成标准形 ,那么标准形中平方项的系数1,2,5就是 的
特征值.
把 代入特性方程,得 .
因 知 .这时 .
对于 ,由 , ,得 .
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对于 ,由 , ,得 .
对于 ,由 , ,得 .
将 单位化,得
.
故所用的正交变换矩阵为
.
【相关知识点】二次型的定义：含有 个变量 的二次齐次多项式(即每项都是二
次的多项式)
其中 ,
称为 元二次型.令 , ,则二次型可用矩阵乘法表示为
其中 是对称矩阵 ,称 为二次型 的矩阵.
八、(本题满分6分)
【解析】证法一：对 按列分块,记 ,若
,
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即 , 亦即 .
两边左乘 ,得 ,即 ,亦即 .
所以 线性无关.
证法二：因为 是 矩阵, ,所以 .
又因 ,故 .所以 线性无关.
【相关知识点】1. 向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数 ,
使 ,则称 线性相关；否则,称 线性无
关．
2. 矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩
九、(本题满分6分)
【解析】如图,设当 运动到 时, 运动到 .
由 的方向始终指向 ,有 ,即
(1)
又由 , ,得
.
由题意, 单调增, ,所以 .亦即
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. (2)
由(1),(2)消去 , ,便得微分方程 .
初始条件显然是 .
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)
(1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽签原理.
方法一：从直观上看,第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关,所以考虑
用全概率公式计算.
设事件 “第 次抽出次品” 由已知得
.应用全概率公式
.
方法二：对填空题和选择题可直接用抽签原理得到结果.
由抽签原理(抽签与先后次序无关),不放回抽样中第二次抽得次品的概率与第一次抽得
次品的概率相同,都是 .
(2)【解析】方法一：可以用分布函数法,即先求出分布函数,再求导得到概率密度函数.
由已知条件, 在区间 上服从均匀分布,得 的概率密度函数为
.
先求 的分布函数 .
当 时, ；当 时, ；当 时,
.
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即
于是,对分布函数求导得密度函数
.
故随机变量 在 内的概率分布密度 .
方法二：也可以应用单调函数公式法.
由于 在(0,4)内单调,反函数 在(0,2)内可导,且导数
恒不为零,因此,由连续型随机变量函数的密度公式,得到随机变量 的概率
密度为
故随机变量 在 内的概率分布密度 .
十一、(本题满分6分)
【解析】(1)第一问是常规问题,直接运用公式对其计算可得期望与方差.
.
(因为被积函数 是奇函数,积分区域关于 轴对称,所以积分值为0.)
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(2) 根据协方差的计算公式 来计算协方差.
因为 ,所以
(因为被积函数 是奇函数,积分区域关于 轴对称,所以积分值为0.)
所以 与 不相关.
(3) 方法一：
对于任意正实数 ,事件 含于事件 ,且
,
所以 , ,
可见 ,
因此 与 不独立.
方法二：因为 ；
又 ，显然有
，因此 与 不独立.
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