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2016年浙江省温州市中考数学试卷
一、（共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意
的，请把正确的选项填在题后的括号内）
1．（4分）计算（+5）+（﹣2）的结果是（ ）
A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣3
2．（4分）如图是九（1）班45名同学每周课外阅读时间的频数直方图（每组含前一个边界值，
不含后一个边界值）．由图可知，人数最多的一组是（ ）
A．2～4小时 B．4～6小时 C．6～8小时 D．8～10小时
3．（4分）三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方
程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）若分式 的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2
6．（4分）一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从
第1页（共23页）袋中任意摸出一个球，是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）六边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
8．（4分）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不
包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的
函数表达式是（ ）
A．y＝x+5 B．y＝x+10 C．y＝﹣x+5 D．y＝﹣x+10
9．（4分）如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．现小林将纸片做三次
折叠：第一次使点A落在C处；将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处；再将纸片展
平做第三次折叠，使点A落在B处．这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c的大
小关系是（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
10．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于
点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B
时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S +S 的大小变化情况是（ ）
1 2
A．一直减小 B．一直不变
第2页（共23页）C．先减小后增大 D．先增大后减小
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11．（5分）因式分解：a2﹣3a＝ ．
12．（5分）某小组6名同学的体育成绩（满分40分）分别为：36，40，38，38，32，35，这组数据
的中位数是 分．
13．（5分）方程组 的解是 ．
14．（5分）如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长
线上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′＝ 度．
15．（5分）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图
1所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图2所示），则该凸六边形的周
长是 cm．
16．（5分）如图，点A，B在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，
D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是
△ADE的面积的2倍，则k的值是 ．
三、解答题（共8小题，满分80分）
第3页（共23页）17．（10分）（1）计算： +（﹣3）2﹣（ ﹣1）0．
（2）化简：（2+m）（2﹣m）+m（m﹣1）．
18．（8分）为了解学生对“垃圾分类”知识的了解程度，某学校对本校学生进行抽样调查，
并绘制统计图，其中统计图中没有标注相应人数的百分比．请根据统计图回答下列问题：
（1）求“非常了解”的人数的百分比．
（2）已知该校共有1200名学生，请估计对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较
了解”程度的学生共有多少人？
19．（8分）如图，E是 ▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
20．（8分）如图，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点四边形，
使P在四边形内部（不包括边界上），且P到四边形的两个顶点的距离相等．
（1）在图甲中画出一个 ▱ABCD．
（2）在图乙中画出一个四边形ABCD，使∠D＝90°，且∠A≠90°．（注：图甲、乙在答题纸
上）
第4页（共23页）21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的 O经过AB的
中点E，交AD的延长线于点F，连结EF． ⊙
（1）求证：∠1＝∠F．
（2）若sinB＝ ，EF＝2 ，求CD的长．
22．（10分）有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克
数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．
甲种糖果 乙种糖果 丙种糖果
单价（元/千克） 15 25 30
千克数 40 40 20
（1）求该什锦糖的单价．
（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果
共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？
23．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点
B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE＝
2AC．
（1）用含m的代数式表示BE的长．
（2）当m＝ 时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．
（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．
若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．
①连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是 ．
②
第5页（共23页）24．（14分）如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6 ，O
是射线BD上一点， O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M．过M作EF⊥BD交
线段BA（或射线AD⊙）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点
G，H分别在围成菱形的另外两条射线上．
（1）求证：BO＝2OM．
（2）设EF＞HE，当矩形EFGH的面积为24 时，求 O的半径．
（3）当HE或HG与 O相切时，求出所有满足条件的⊙BO的长．
⊙
第6页（共23页）2016年浙江省温州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、（共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意
的，请把正确的选项填在题后的括号内）
1．【分析】根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：（+5）+（﹣2），
＝+（5﹣2），
＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的加法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．
2．【分析】根据条形统计图可以得到哪一组的人数最多，从而可以解答本题．
【解答】解：由条形统计图可得，
人数最多的一组是4～6小时，频数为22，
故选：B．
【点评】本题考查频数分布直方图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．【分析】主视图是分别从物体正面看，所得到的图形．
【解答】解：观察图形可知，三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的主视图是
．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现
在三视图中．
4．【分析】根据题意可得等量关系： 甲数+乙数＝7， 甲数＝乙数×2，根据等量关系列出方
程组即可． ① ②
【解答】解：设甲数为x，乙数为y，根据题意，
可列方程组，得： ，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是把已知量和未知量联
系起来，找出题目中的相等关系．
第7页（共23页）5．【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案．
【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
6．【分析】由题意可得，共有10可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有5情
况，利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：∵从装有2个黄球、3个红球和5个白球的袋中任意摸出一个球有10种等可能
结果，
其中摸出的球是白球的结果有5种，
∴从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是 ＝ ，
故选：A．
【点评】此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率
＝所求情况数与总情况数之比．
7．【分析】多边形内角和定理：n边形的内角和等于（n﹣2）×180°（n≥3，且n为整数），据此计
算可得．
【解答】解：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°＝720°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180°
（n≥3 ，且n为整数）．．
8．【分析】设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC＝x，PD＝y，根据题意可得到x、y之间
的关系式，可得出答案．
【解答】解：
设P点坐标为（x，y），如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，
∵P点在第一象限，
∴PD＝y，PC＝x，
∵矩形PDOC的周长为10，
∴2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，即y＝﹣x+5，
第8页（共23页）故选：C．
【点评】本题主要考查矩形的性质及点的坐标的意义，根据坐标的意义得出x、y之间的关
系是解题的关键．
9．【分析】（1）图1，根据折叠得：DE是线段AC的垂直平分线，由中位线定理的推论可知：
DE是△ABC的中位线，得出DE的长，即a的长；
（2）图2，同理可得：MN是△ABC的中位线，得出MN的长，即b的长；
（3）图3，根据折叠得：GH是线段AB的垂直平分线，得出AG的长，再利用两角对应相等
证△ACB∽△AGH，利用比例式可求GH的长，即c的长．
【解答】解：第一次折叠如图1，折痕为DE，
由折叠得：AE＝EC＝ AC＝ ×4＝2，DE⊥AC
∵∠ACB＝90°
∴DE∥BC
∴a＝DE＝ BC＝ ×3＝
第二次折叠如图2，折痕为MN，
由折叠得：BN＝NC＝ BC＝ ×3＝ ，MN⊥BC
∵∠ACB＝90°
∴MN∥AC
∴b＝MN＝ AC＝ ×4＝2
第三次折叠如图3，折痕为GH，
由勾股定理得：AB＝ ＝5
由折叠得：AG＝BG＝ AB＝ ×5＝ ，GH⊥AB
∴∠AGH＝90°
第9页（共23页）∵∠A＝∠A，∠AGH＝∠ACB
∴△ACB∽△AGH
∴ ＝
∴ ＝
∴GH＝ ，即c＝
∵2＞ ＞
∴b＞c＞a
故选：D．
【点评】本题考查了折叠的问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形
状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．本题的关键是明确折痕是所折线段的垂
直平分线，准确找出中位线，利用经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边
这一性质得出对应折痕的长，没有中位线的可以考虑用三角形相似来解决．
第10页（共23页）10．【分析】设PD＝x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的
性质解决问题即可．
【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，
∴AB＝ ＝ ＝2 ，设PD＝x，AB边上的高为h，
h＝ ＝ ，
∵PD∥BC，
∴ ＝ ，
∴AD＝2x，AP＝ x，
∴S +S ＝ •2x•x+ （2 ﹣1﹣ x）• ＝x2﹣2x+4﹣ ＝（x﹣1）2+3﹣ ，
1 2
∴当0＜x＜1时，S +S 的值随x的增大而减小，
1 2
当1≤x≤2﹣ 时，S +S 的值随x的增大而增大．
1 2
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象、三角形面积，平行线的性质、勾股定理等知识，解
题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11．【分析】直接把公因式a提出来即可．
【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．
故答案为：a（a﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
12．【分析】直接利用中位数的定义分析得出答案．
【解答】解：数据按从小到大排列为：32，35，36，38，38，40，
则这组数据的中位数是：（36+38）÷2＝37．
故答案为：37．
【点评】此题主要考查了中位数的定义，正确把握中位数的定义是解题关键．
第11页（共23页）13．【分析】由于y的系数互为相反数，直接用加减法解答即可．
【解答】解：解方程组 ，
+ ，得：4x＝12，
①解得②：x＝3，
将x＝3代入 ，得：3+2y＝5，
解得：y＝1，①
∴ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，
当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
14．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ACA′＝67°，再由△ABC绕点C按顺时针方向
旋转至△A′B′C，得到△ABC≌△A′B′C，证明∠BCB′＝∠ACA′，利用平角即可解
答．
【解答】解：∵∠A＝27°，∠B＝40°，
∴∠ACA′＝∠A+∠B＝27°+40°＝67°，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠ACB﹣∠B′CA＝∠A′CB﹣∠B′CA，
即∠BCB′＝∠ACA′，
∴∠BCB′＝67°，
∴∠ACB′＝180°﹣∠ACA′﹣∠BCB′＝180°﹣67°﹣67°＝46°，
故答案为：46．
【点评】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由旋转得到△ABC≌△A′B′C．
15．【分析】由正方形的性质和勾股定理求出各板块的边长，即可求出凸六边形的周长．
【解答】解：如图所示：图形1：边长分别是：16，8 ，8 ；
图形2：边长分别是：16，8 ，8 ；
图形3：边长分别是：8，4 ，4 ；
图形4：边长是：4 ；
第12页（共23页）图形5：边长分别是：8，4 ，4 ；
图形6：边长分别是：4 ，8；
图形7：边长分别是：8，8，8 ；
∴凸六边形的周长＝8+2×8 +8+4 ×4＝32 +16（cm）；
故答案为：32 +16．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的
性质，求出各板块的边长是解决问题的关键．
16．【分析】过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，由△BCE的面积是△ADE的面积的2
倍以及E是AB的中点即可得出S△ABC ＝2S△ABD ，结合CD＝k即可得出点A、B的坐标，再
根据AB＝2AC、AF＝AC+BD即可求出AB、AF的长度，根据勾股定理即可算出k的值，此
题得解．
【解答】解：过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，如图所示．
∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，E是AB的中点，
∴S△ABC ＝2S△BCE ，S△ABD ＝2S△ADE ，
∴S△ABC ＝2S△ABD ，且△ABC和△ABD的高均为BF，
∴AC＝2BD，
∴OD＝2OC．
∵CD＝k，
∴点A的坐标为（ ，3），点B的坐标为（﹣ ，﹣ ），
∴AC＝3，BD＝ ，
∴AB＝2AC＝6，AF＝AC+BD＝ ，
∴CD＝k＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
第13页（共23页）【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理，
构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k值是解题的关键．
三、解答题（共8小题，满分80分）
17．【分析】（1）直接利用二次根式的性质结合零指数幂的性质分别分析得出答案；
（2）直接利用平方差公式计算，进而去括号得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2 +9﹣1
＝2 +8；
（2）（2+m）（2﹣m）+m（m﹣1）
＝4﹣m2+m2﹣m
＝4﹣m．
【点评】此题主要考查了实数运算以及整式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】（1）根据扇形统计图可以求得“非常了解”的人数的百分比；
（2）根据扇形统计图可以求得对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程
度的学生共有多少人．
【解答】解：（1）由题意可得，
“非常了解”的人数的百分比为： ，
即“非常了解”的人数的百分比为20%；
（2）由题意可得，
对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有：1200×
＝600（人），
即对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有600人．
【点评】本题考查扇形统计图好、用样本估计总体，解题的关键是明确扇形统计图的特点，
第14页（共23页）找出所求问题需要的条件．
19．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE＝∠F，∠D＝
∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝EF＝3，由平行线的性质证出∠AED＝∠BAF＝90°，由
勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，
∵E是 ▱ABCD的边CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）解：∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF＝3，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠BAF＝90°，
在 ▱ABCD中，AD＝BC＝5，
∴DE＝ ＝ ＝4，
∴CD＝2DE＝8．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行
四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
20．【分析】（1）先以点P为圆心、PB长为半径作圆，会得到4个格点，再选取合适格点，根据
平行四边形的判定作出平行四边形即可；
（2）先以点P为圆心、PB长为半径作圆，会得到8个格点，再选取合适格点记作点C，再以
AC为直径作圆，该圆与方格网的交点任取一个即为点D，即可得．
【解答】解：（1）如图 ：
①
第15页（共23页）．
（2）如图 ，
②
．
【点评】本题主要考查了中垂线性质，平行四边形的判定、性质及圆周角定理的应用，熟练
掌握这些判定、性质及定理并灵活运用是解题的关键．
21．【分析】（1）连接DE，由BD是 O的直径，得到∠DEB＝90°，由于E是AB的中点，得到
DA＝DB，根据等腰三角形的性⊙质得到∠1＝∠B等量代换即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的判定定理得到AE＝EF＝2 ，推出AB＝2AE＝4 ，在Rt△ABC
中，根据勾股定理得到BC＝ ＝8，设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，根据勾股定
理列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：连接DE，
∵BD是 O的直径，
∴∠DEB⊙＝90°，
∵E是AB的中点，
∴DA＝DB，
∴∠1＝∠B，
∵∠B＝∠F，
∴∠1＝∠F；
（2）∵∠1＝∠F，
∴AE＝EF＝2 ，
∴AB＝2AE＝4 ，
第16页（共23页）在Rt△ABC中，AC＝AB•sinB＝4，
∴BC＝ ＝8，
设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，
∵AC2+CD2＝AD2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，即CD＝3．
【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正
确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．【分析】（1）根据加权平均数的计算公式和三种糖果的单价和克数，列出算式进行计算即
可；
（2）设加入丙种糖果x千克，则加入甲种糖果（100﹣x）千克，根据商家计划在什锦糖中加
入甲、丙两种糖果共100千克和锦糖的单价每千克至少降低2元，列出不等式进行求解即
可．
【解答】解：（1）根据题意得：
＝22（元/千克）．
答：该什锦糖的单价是22元/千克；
（2）设加入丙种糖果x千克，则加入甲种糖果（100﹣x）千克，根据题意得：
≤20，
解得：x≤20．
答：加入丙种糖果20千克．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求15、25、30这三个数的
平均数，对平均数的理解不正确．
23．【分析】（1）根据A、C两点纵坐标相同，求出点A横坐标即可解决问题．
第17页（共23页）（2）求出点D坐标，然后判断即可．
（3） 首先根据EO＝2FG，证明BG＝2DE，列出方程即可解决问题．
求出①直线AE、BO的解析式，求出交点M的横坐标，列出方程即可解决问题．
②【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），AC⊥OC，
∴点A纵坐标为﹣3，
y＝﹣3时，﹣3＝x2﹣mx﹣3，解得x＝0或m，
∴点A坐标（m，﹣3），
∴AC＝m，
∴BE＝2AC＝2m．
（2）∵m＝ ，
∴点A坐标（ ，﹣3），
∴直线OA为y＝﹣ x，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣ x﹣3，
∴点B坐标（2 ，3），
∴点D纵坐标为3，
对于函数y＝﹣ x，当y＝3时，x＝﹣ ，
∴点D坐标（﹣ ，3）．
∵对于函数y＝x2﹣ x﹣3，x＝﹣ 时，y＝3，
∴点D在落在抛物线上．
（3） ∵∠ACE＝∠CEG＝∠EGA＝90°，
∴四边①形ECAG是矩形，
∴EG＝AC＝BG，
∵FG∥OE，
∴OF＝FB，∵EG＝BG，
∴EO＝2FG，
∵ •DE•EO＝ •GB•GF，
∴BG＝2DE，
∵DE∥AC，
∴ ＝ ＝ ，
∵点B坐标（2m，2m2﹣3），
第18页（共23页）∴OC＝2OE，
∴3＝2（2m2﹣3），
∵m＞0，
∴m＝ ．
∵A（m，﹣3），B（2m，2m2﹣3），E（0，2m2﹣3），
②
∴直线AE解析式为y＝﹣2mx+2m2﹣3，直线OB解析式为y＝ x，
由 消去y得到﹣2mx+2m2﹣3＝ x，解得x＝ ，
∴点M横坐标为 ，
∵△AMF的面积＝△BFG的面积，
∴ •（ +3）•（m﹣ ）＝ •m• •（2m2﹣3），
整理得到：2m4﹣9m2＝0，
∵m＞0，
∴m＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查二次函数综合题、三角形面积问题、一次函数等知识，解题的关键是学会
构建一次函数，通过方程组解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
24．【分析】（1）设 O切AB于点P，连接OP，由切线的性质可知∠OPB＝90°．先由菱形的
⊙
第19页（共23页）性质求得∠OBP的度数，然后依据含30°直角三角形的性质证明即可；
（2）设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．先依据特殊锐角三角函数值求得BD的
长，设 O的半径为r，则OB＝2r，MB＝3r．当点E在AB上时．在Rt△BEM中，依据特殊
锐角三⊙角函数值可得到EM的长（用含r的式子表示），由图形的对称性可得到EF、ND、
BM的长（用含r的式子表示，从而得到MN＝18﹣6r，接下来依据矩形的面积列方程求解
即可；当点E在AD边上时．BM＝3r，则MD＝18﹣3r，最后列方程求解即可；
（3）先根据题意画出符合题意的图形， 如图4所示，点E在AD上时，可求得DM＝
r，BM＝3r，然后依据BM+MD＝18，列方①程求解即可； 如图5所示；依据图形的对称性
②
可知得到OB＝ BD； 如图6所示，可证明D与O重合，从而可求得OB的长； 如图7
③ ④
所示：先求得DM＝ r，OMB＝3r，由BM﹣DM＝DB列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1所示：设 O切AB于点P，连接OP，则∠OPB＝90°．
⊙
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD＝ ∠ABC＝30°．
∴OB＝2OP．
∵OP＝OM，
∴BO＝2OP＝2OM．
（2）如图2所示：设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
第20页（共23页）∴BD＝2BQ＝2AB•cos∠ABQ＝ AB＝18．
设 O的半径为r，则OB＝2r，MB＝3r．
∵⊙EF＞HE，
∴点E，F，G，H均在菱形的边上．
如图2所示，当点E在AB上时．
①在Rt△BEM中，EM＝BM•tan∠EBM＝ r．
由对称性得：EF＝2EM＝2 r，ND＝BM＝3r．
∴MN＝18﹣6r．
∴S矩形EFGH ＝EF•MN＝2 r（18﹣6r）＝24 ．
解得：r ＝1，r ＝2．
1 2
当r＝1时，EF＜HE，
∴r＝1时，不合题意舍
当r＝2时，EF＞HE，
∴ O的半径为2．
∴⊙BM＝3r＝6．
如图3所示：
当点E在AD边上时．BM＝3r，则MD＝18﹣3r．
MN＝18﹣2（18﹣3r）＝6r﹣18，EF＝2EM＝2× （18﹣3r）
∴S矩形EFGH ＝EF•MN＝ •（18﹣3r）（6r﹣18）＝24 ．
解得：r＝4或5（舍弃），
综上所述， O的半径为2或4．
（3）解设G⊙H交BD于点N， O的半径为r，则BO＝2r．
当点E在边BA上时，显然不存⊙在HE或HG与 O相切．
如图4所示，点E在AD上时． ⊙
①
第21页（共23页）∵HE与 O相切，
∴ME＝r⊙，DM＝ r．
∴3r+ r＝18．
解得：r＝9﹣3 ．
∴OB＝18﹣6 ．
如图5所示；
②
由图形的对称性得：ON＝OM，BN＝DM．
∴OB＝ BD＝9．
如图6所示．
③
∵HG与 O相切时，MN＝2r．
∵BN+M⊙N＝BM＝3r．
∴BN＝r．
∴DM＝ FM＝ GN＝BN＝r．
∴D与O重合．
∴BO＝BD＝18．
如图7所示：
第22页（共23页）
④∵HE与 O相切，
∴EM＝r⊙，DM＝ r．
∴3r﹣ r＝18．
∴r＝9+3 ．
∴OB＝2r＝18+6 ．
综上所述，当HE或GH与 O相切时，OB的长为18﹣6 或9或18或18+6 ．
【点评】本题主要考查的是⊙四边形的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、切线的
性质、特殊锐角三角函数值的应用、矩形的面积公式，根据题意画出符合题意的图形是解
题的关键．
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