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2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.
(1) 若函数 在 处连续，则( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 二元函数 的极值点是( )
(A)（0，0） (B) （0，3） (C) （3，0） (D) （1，1）
(3) 设函数 可导，且 ，则( )
(A) (B) (C) (D)
(4)若续数 收敛，则 =( )
(A)1 (B) 2 (C) -1 (D) -2
(5) 设 为 维单位列向量， 为 阶单位矩阵，则( )
(A) 不可逆 (B) 不可逆
(C) 不可逆 (D) 不可逆
(6)已知矩阵 , , ,则( )
(A) 与 相似, 与 相似 (B) 与 相似, 与 不相似
(C) 与 不相似, 与 相似 (D) 与 不相似, 与 不相似
(7)设 ， ， 为三个随机事件，且 与 相互独立， 与 相互独立，则 与 相互独立的充
分必要条件是 （ ）
(A) 与 相互独立 （B） 与 互不相容
（C） 与 相互独立 （D） 与 互不相容
(8)设 为来自总体 的简单随机样本，记 则下列结论正确的是
（ ）
(A) 服从 分布 (B) 服从 分布(C) 服从 分布 (D) 服从 分布
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.
(9)
(10)差分方程 通解为 =
(11) 设生产某产品的平均成本 ，其中产量为 ，则边际成本为
(12)设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，则
=
(13)设矩阵 , 、 、 为线性无关的 维列向量组。则向量组 、 、 的秩
为
(14)设随机变量 的概率分布为 ， ， ，若 ,则
三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
求
(16)(本题满分10分)
计算积分 ，其中D是第一象限中以曲线 与x轴为边界的无界区域.
(17)(本题满分10分)
求
(18)(本题满分10分)
已知方程 在区间（0,1）内有实根，确定常数k的取值范围.
(19)(本题满分10分)
设 ， ， ， 为幂级数 的和函数
(I)证幂 的收敛半径不小于1.(II)证 ，并求 表达式.
(20)(本题满分11分)
设3阶矩阵 有3个不同的特征值，且 .
(I)证明 ；
(II)若 ，求方程组 的通解.
(21)(本题满分11分)
设二次型 在正交变换 下的标准形为
，求 的值及一个正交矩阵 .
(22)(本题满分11 分)
设随机变来那个为 ， 相互独立，且 的概率分布为 的概率密度
为
(I)求 ;
(II)求 的概率密度.
(23)(本题满分11 分)
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量 是已知的，
设n次测量结果 相互独立且均服从正态分布 .该工程师记录的是n次测量的绝对误
差 ，利用 估计 .
(I)求 的概率密度；
(II)利用一阶矩求 的矩估计量；
(III)求 的最大似然估计量.
