文档内容
2016年湖南省娄底市中考数学试卷（教师版）
一、选择题（本大题共10小题，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1．（3分）2016的相反数是（ ）
A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣
【考点】14：相反数．
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【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
【解答】解：2016的相反数是﹣2016，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数
是0．
2．（3分）已知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点
是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【考点】13：数轴；15：绝对值．
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【分析】根据各点到原点的距离进行判断即可．
【解答】解：∵点Q到原点的距离最远，
∴点Q的绝对值最大．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是绝对值的定义，掌握绝对值的定义是解题的关键．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．5a﹣2a＝3a2
C．（a3）4＝a12 D．（x+y）2＝x2+y2
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全
平方公式．
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【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则、
完全平方公式分别计算得出答案．
第1页（共20页）【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；
B、5a﹣2a＝3a，故此选项错误；
C、（a3）4＝a12，正确；
D、（x+y）2＝x2+y2+2xy，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及合并同类项、幂的乘方运算、完全平
方公式等知识，正确把握相关定义是解题关键．
4．（3分）下列命题中，错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．内错角相等
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法即可判断A、B、C正确．
【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确．
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确．
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确．
D、内错角相等，错误，缺少条件两直线平行，内错角相等．
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识，
解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法，属于中考常考题型．
5．（3分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
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【分析】分别分析四个选项中圆锥、圆柱、球体、三棱柱的主视图、俯视图，从而得出
都为矩形的几何体．
【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；
B、圆柱的主视图是矩形、俯视图是矩形，故本选项正确；
C、球的主视图、俯视图都是圆，故本选项错误；
第2页（共20页）D、三棱柱的主视图为矩形和俯视图为三角形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，关键是培养学生的思考能力和对几何体三种
视图的空间想象能力．
6．（3分）如图，已知AB是 O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为（ ）
⊙
A．20° B．40° C．50° D．70°
【考点】M5：圆周角定理．
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【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠ACB的度数，再由直角三角形的性质即可得出
结论．
【解答】解：∵∠D＝40°，
∴∠B＝∠D＝40°．
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相
等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
7．（3分）11名同学参加数学竞赛初赛，他们的得分互不相同，按从高分录到低分的原则，
取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进
入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【考点】WA：统计量的选择．
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【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，
只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要
判断是否进入前6名，故应知道中位数．
第3页（共20页）故选：B．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对
统计量进行合理的选择和恰当的运用．
8．（3分）函数y＝ 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠2 D．x＞2
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x≥0且x﹣2≠0，
解得x≥0且x≠2．
故选：A．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9．（3分）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷
的化学式CH ，乙烷的化学式是C H ，丙烷的化学式是C H ，…，设碳原子的数目为n
4 2 6 3 8
（n为正整数），则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示（ ）
A． n H 2n+2 B． n H 2n C． n H 2n﹣2 D． n H n+3
【考∁点】37：规律型：数字∁的变化类． ∁ ∁
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【分析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为a ，列出部分a 的值，
n n
根据数值的变化找出变化规律“a ＝2n+2”，依次规律即可解决问题．
n
【解答】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为a ，
n
观察，发现规律：a ＝4＝2×1+2，a ＝6＝2×2+2，a ＝8＝2×3+2，…，
1 2 3
∴a ＝2n+2．
n
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为 H ．
n 2n+2
故选：A． ∁
【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“a ＝
n
2n+2”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据碳原子的变化找出氢原
子的变化规律是关键．
第4页（共20页）10．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与
点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（ ）
A．不变 B．增大
C．减小 D．先变大再变小
【考点】T2：锐角三角函数的增减性．
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【分析】设∠DCF＝∠DBE＝ ，易知BE+CF＝BC•cos ，根据0＜ ＜90°，由此即可作
出判断． α α α
【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF＝∠DBE，设∠DCF＝∠DBE＝ ，
∴CF＝DC•cos ，BE＝DB•cos ， α
∴BE+CF＝（DαB+DC）cos ＝BαC•cos ，
∵∠ABC＝90°， α α
∴O＜ ＜90°，
当点Dα从B→D运动时， 是逐渐增大的，
∴cos 的值是逐渐减小的α，
∴BE+αCF＝BC•cos 的值是逐渐减小的．
故选C． α
面积法：S△ABC ＝ •AD•CF+ •AD•BE＝ •AD（CF+BE），
∴CF+BE＝ ，
∵点D沿BC自B向C运动时，AD是增加的，
∴CF+BE的值是逐渐减小．
第5页（共20页）【点评】本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，
得到BE+CF＝BC•cos ，记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共8α小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）已知反比例函数y＝ 的图象经过点A（1，﹣2），则k＝ ﹣ 2 ．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】直接把点A（1，﹣2）代入y＝ 求出k的值即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点A（1，﹣2），
∴﹣2＝ ，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的
坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12．（3 分）已知某水库容量约为 112000 立方米，将 112000 用科学记数法表示为
1.12×10 5 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：112000＝1.12×105，
故答案为：1.12×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（3分）如图，四边形ABCD为 O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位
置关系是 AB ∥ CD ． ⊙
第6页（共20页）【考点】M6：圆内接四边形的性质．
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【分析】由圆内接四边形的对角互补的性质以及等角的补角相等求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为 O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180° ⊙
又∵∠C＝∠D，
∴∠A+∠D＝180°．
∴AB∥CD．
故答案为：AB∥CD．
【点评】本题主要考查的是圆内接四边形的性质、平行线的判定，求得∠A+∠D＝180°
是解题的关键．
14．（3分）如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的
条件是 AB ∥ DE ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
【解答】解：∵∠A＝∠D，
∴当∠B＝∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B＝∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
故答案为AB∥DE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．
15．（3分）将直线y＝2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是 y ＝ 2 x ﹣ 2 ．
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．
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【分析】根据函数的平移规则“上加下减”，即可得出直线平移后的解析式．
【解答】解：根据平移的规则可知：
第7页（共20页）直线y＝2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式为：y＝2x+1﹣3＝2x﹣2．
故答案为：y＝2x﹣2．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数平移的规则“上
加下减”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移
后的函数解析式是关键．
16．（3分）从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中任取一个，取
到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形；X4：概率公式．
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【分析】先找出既是轴对称图形又是中心对称图形的个数，再根据概率公式进行计算即
可．
【解答】解：∵在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对
称图形又是轴对称图形的有线段、圆、矩形、正六边形，共4个，
∴取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
17．（3分）如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB＝7，BC＝6，
则△BCD的周长为 1 3 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】利用翻折变换的性质得出AD＝CD，进而利用AD+CD＝AB得出即可．
【解答】解：∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点A与点C重合，
∴AD＝CD，
∵AB＝7，BC＝6，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB＝7+6＝13．
第8页（共20页）故答案为：13
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，根据题意得出AD＝CD是解题关键．
18．（3分）当a、b满足条件a＞b＞0时， + ＝1表示焦点在x轴上的椭圆．若
+ ＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是 3 ＜ m ＜ 8 ．
【考点】C6：解一元一次不等式．
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【分析】根据题意就不等式组，解出解集即可．
【解答】解：∵ + ＝1表示焦点在x轴上的椭圆，a＞b＞0，
∵ + ＝1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴ ，
解得3＜m＜8，
∴m的取值范围是3＜m＜8，
故答案为：3＜m＜8．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，能准确的列出不等式组是解题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）计算：（ ﹣ ）0+| ﹣1|+（ ）﹣1﹣2sin45°．
π
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函
数值．
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【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值、零指数幂的性质分析得出答案．
【解答】解：（ ﹣ ）0+| ﹣1|+（ ）﹣1﹣2sin45°
π
＝1+ ﹣1+2﹣
＝2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
第9页（共20页）20．（6分）先化简，再求值：（1﹣ ）• ，其中x是从1，2，3中选取的一
个合适的数．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】先括号内通分，然后计算除法，最后取值时注意使得分式有意义，最后代入化
简即可．
【解答】解：原式＝ •
＝ ．
当x＝2时，原式＝ ＝﹣2．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键熟练掌握分式的混合运算法则，注意运
算顺序，取值时注意使得分式有意义，属于基础题，中考常考题型．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
21．（8分）在2016CCTV英语风采大赛中，娄底市参赛选手表现突出，成绩均不低于 60
分．为了更好地了解娄底赛区的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成
绩x取整数，总分100分）作为样本进行了整理，得到如图的两幅不完整的统计图表：
根据所给信息，解答下列问题：
（1）在频数分布表中，m＝ 8 0 ，n＝ 0. 2 ．
成绩 频数 频率
60≤x＜70 60 0.30
70≤x＜80 m 0.40
80≤x＜90 40 n
90≤x≤100 20 0.10
（2）请补全图中的频数分布直方图．
（3）按规定，成绩在80分以上（包括80分）的选手进入决赛．若娄底市共有4000人
参赛，请估计约有多少人进入决赛？
第10页（共20页）【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图．
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【分析】（1）用抽查的总人数乘以成绩在70≤x＜80段的人数所占的百分比求出m；
用成绩在80≤x＜90段的频数除以总人数即可求出n；
（2）根据（1）求出的m的值，直接补全频数分布直方图即可；
（3）用娄底市共有的人数乘以80分以上（包括80分）所占的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
m＝200×0.40＝80（人），
n＝40÷200＝0.20；
故答案为：80，0.20；
（2）根据（1）可得：70≤x＜80的人数有80人，补图如下：
（3）根据题意得：
4000×（0.20+0.10）＝1200（人）．
第11页（共20页）答：估计约有1200人进入决赛．
【点评】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用
统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问
题．
22．（8分）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥
桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索 AB与水平
桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，
两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米， ≈1.732）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】设DH＝x米，由三角函数得出＝ x，得出BH＝BC+CH＝2+ x，求出AH
＝ BH＝2 +3x，由AH＝AD+DH得出方程，解方程求出x，即可得出结果．
【解答】解：设DH＝x米，
∵∠CDH＝60°，∠H＝90°，
∴CH＝DH•tan60°＝ x，
∴BH＝BC+CH＝2+ x，
∵∠A＝30°，
∴AH＝ BH＝2 +3x，
∵AH＝AD+DH，
∴2 +3x＝20+x，
解得：x＝10﹣ ，
∴BH＝2+ （10﹣ ）＝10 ﹣1≈16.3（米）．
答：立柱BH的长约为16.3米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关
键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23．（9分）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘
第12页（共20页）公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的 ，公交
车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同
学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是 x米/分钟，公交车
的速度是2x米/分钟，
根据题意列方程即可得到结论；
（2）300×2＝600米即可得到结果．
【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是 x米/分钟，公
交车的速度是2x米/分钟，
根据题意得 + ＝ ﹣2，
解得：x＝300米/分钟，
经检验x＝300是方程的根，
答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；
（2）∵300×2＝600米，
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，根据题意得到乙的运
动速度是解题关键．
24．（9分）如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转 度到△A BC 的位置，AB与
1 1
A C 相交于点D，AC与A C 、BC 分别交于点E、F． α
1 1 1 1 1
（1）求证：△BCF≌△BA D．
1
（2）当∠C＝ 度时，判定四边形A BCE的形状并说明理由．
1
α
第13页（共20页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；R2：旋转的性质．
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【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AB＝BC，∠A＝∠C，由旋转的性质得到A B
1
＝AB＝BC，∠A＝∠A ＝∠C，∠A BD＝∠CBC ，根据全等三角形的判定定理得到
1 1 1
△BCF≌△BA D；
1
（2）由旋转的性质得到∠A ＝∠A，根据平角的定义得到∠DEC＝180°﹣ ，根据四边
1
形的内角和得到∠ABC＝360°﹣∠A ﹣∠C﹣∠A EC＝180°﹣ ，证得四边α形A BCE是
1 1 1
平行四边形，由于A B＝BC，即可得到四边形A BCE是菱形．α
1 1
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转 度到△A BC 的位置，
1 1
∴A
1
B＝AB＝BC，∠A＝∠A
1
＝∠C，∠A
1
BαD＝∠CBC
1
，
在△BCF与△BA D中，
1
，
∴△BCF≌△BA D；
1
（2）解：四边形A BCE是菱形，
1
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转 度到△A BC 的位置，
1 1
∴∠A 1 ＝∠A， α
∵∠ADE＝∠A DB，
1
∴∠AED＝∠A BD＝ ，
1
∴∠DEC＝180°﹣ ，α
∵∠C＝ ， α
∴∠A
1
＝α，
第14页（共20页）
α∴∠A BC＝360°﹣∠A ﹣∠C﹣∠A EC＝180°﹣ ，
1 1 1
∴∠A 1 ＝∠C，∠A 1 BC＝∠A 1 EC， α
∴四边形A BCE是平行四边形，
1
∵A B＝BC，
1
∴四边形A BCE是菱形．
1
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确
的理解题意是解题的关键．
六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB＝∠DCO＝90°，O为AB的
中点．
（1）求证：∠B＝∠ACD．
（2）已知点E在AB上，且BC2＝AB•BE．
（i）若tan∠ACD＝ ，BC＝10，求CE的长；
（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的 A的位置关系，并请说明理由．
⊙
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）因为∠ACB＝∠DCO＝90°，所以∠ACD＝∠OCB，又因为点 O 是
Rt△ACB中斜边AB的中点，所以OC＝OB，所以∠OCB＝∠B，利用等量代换可知
∠ACD＝∠B；
（2）（i）因为BC2＝AB•BE，所以△ABC∽△CBE，所以∠ACB＝∠CEB＝90°，因为
tan∠ACD＝tan∠B，利用勾股定理即可求出CE的值；
（ii）过点A作AF⊥CD于点F，易证∠DCA＝∠ACE，所以CA是∠DCE的平分线，所
以AF＝AE，所以直线CD与 A相切．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝⊙∠DCO＝90°，
∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，
即∠ACD＝∠OCB，
第15页（共20页）又∵点O是AB的中点，
∴OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠ACD＝∠B，
（2）（i）∵BC2＝AB•BE，
∴ ＝ ，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴∠ACB＝∠CEB＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴tan∠ACD＝tan∠B＝ ，
设BE＝4x，CE＝3x，
由勾股定理可知：BE2+CE2＝BC2，
∴（4x）2+（3x）2＝100，
∴解得x＝2，
∴CE＝6；
（ii）过点A作AF⊥CD于点F，
∵∠CEB＝90°，
∴∠B+∠ECB＝90°，
∵∠ACE+∠ECB＝90°，
∴∠B＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝∠ACE，
∴CA平分∠DCE，
∵AF⊥CE，AE⊥CE，
∴AF＝AE，
∴直线CD与 A相切．
⊙
第16页（共20页）【点评】本题考查圆的综合问题，涉及等量代换，勾股定理，相似三角形的判定与性质，
锐角三角函数等知识，知识点较综合，需要学生灵活运用所学知识解决问题．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），
B（5，﹣6），C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存
在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共
有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）抛物线经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0），可利用两点式
法设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣6），代入B（5，﹣6）即可求得函数的解析
式；
（2）作辅助线，将四边形PACB分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设P（m，m2
﹣5m﹣6），四边形PACB的面积为S，用字母m表示出四边形PACB的面积S，发现是
一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点P的坐标．
（3）分三种情况画图： 以A为圆心，AB为半径画弧，交对称轴于Q 和Q ，有两个
1 4
符合条件的Q 和Q ； ①以B为圆心，以BA为半径画弧，也有两个符合条件的 Q 和
1 4 2
②
第17页（共20页）Q ； 作AB的垂直平分线交对称轴于一点Q ，有一个符合条件的Q ；最后利用等腰
5 3 3
三角形③的腰相等，利用勾股定理列方程求出Q 坐标．
3
【解答】解：（1）设y＝a（x+1）（x﹣6）（a≠0），
把B（5，﹣6）代入：a（5+1）（5﹣6）＝﹣6，
a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣6）＝x2﹣5x﹣6；
（2）存在，
如图1，分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，
设P（m，m2﹣5m﹣6），四边形PACB的面积为S，
则PM＝﹣m2+5m+6，AM＝m+1，MN＝5﹣m，CN＝6﹣5＝1，BN＝5，
∴S＝S△AMP +S梯形PMNB +S△BNC ，
＝ （﹣m2+5m+6）（m+1）+ （6﹣m2+5m+6）（5﹣m）+ ×1×6，
＝﹣3m2+12m+36，
＝﹣3（m﹣2）2+48，
当m＝2时，S有最大值为48，这时m2﹣5m﹣6＝22﹣5×2﹣6＝﹣12，
∴P（2，﹣12），
（3）这样的Q点一共有5个，
以A为圆心，以AB为半径画弧，交抛物线的对称轴于Q 、Q ，则AQ ＝AQ ＝AB，
1 4 1 4
①设对称轴交x轴于E，
y＝x2﹣5x﹣6＝（x﹣ ）2﹣ ；
∴抛物线的对称轴是：x＝ ，
∵A（﹣1，0），B（5，﹣6），
∴AB＝ ＝6 ，
∴AE＝ +1＝ ，
由勾股定理得：Q E＝Q E＝ ＝ ，
1 4
∴Q （ ， ），Q （ ，﹣ ）
1 4
第18页（共20页）以B为圆心，以AB为半径画弧，交抛物线的对称轴于Q 、Q ，
2 5
②∴Q
2
E＝Q
5
E＝AB＝6 ，
过B作BF⊥Q Q 于F，则Q F＝Q F，
1 5 2 5
∵B（5，﹣6），
∴BF＝ ，
由勾股定理得：Q F＝ ＝ ，
2
∴Q E＝ +6＝ ，
5
∴Q （ ，﹣ ），
5
∵Q E＝ ﹣6＝ ，
2
∴Q （ ， ），
2
连接Q A、Q B，
3 3
③
因为Q 在对称轴上，所以设Q （ ，y），
3 3
∵△Q AB是等腰三角形，且Q A＝Q B，
3 3 3
由勾股定理得：（ +1）2+y2＝（ ﹣5）2+（y+6）2，
y＝﹣ ，
∴Q （ ，﹣ ）．
3
综上所述，点Q的坐标为：∴Q （ ， ），Q （ ， ），Q （ ，﹣
1 2 3
），Q （ ，﹣ ），Q （ ，﹣ ），
4 5
第19页（共20页）【点评】本题考查了利用待定系数法求解析式，还考查了多边形的面积，要注意将多边
形分解成几个图形求解；
还要注意求最大值可以借助于二次函数．同时还结合了抛物线图形考查了等腰三角形的
一些性质，注意由一个动点与两个定点组成的等腰三角形三种情况的讨论．
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日期：2019/12/12 20:58:56；用户：初中数学；邮箱：sx0123@xyh.com；学号：30177373
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