2020考研数学三真题公众号：小乖考研免费分享_06.数学三历年真题_普通版本数学三_2020考研数学（三）真题+答案解析

2020 年全国硕士研究生招生考试数学三试题 一、选择题：1~8题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 f(x)a sin f(x)sina （1）设lim b,则lim  （ ） xa xa xa xa A.bsina B.bcosa C.bsin f(a) D.bcos f(a) 1 ln1x ex1 （2）函数 f(x)  ex 1  x2  的第二类间断点的个数为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 （3）设奇函数 f(x)在 ,  上具有连续导数，则 （ ） x x A. [cos f(t) f(t)]dt 是奇函数 B. [cos f(t) f(t)]dt 是偶函数 0 0 x x C. [cos f(t) f(t)]dt 是奇函数 D. [cos f(t) f(t)]dt 是偶函数 0 0   （4）设幂级数na (x2)n的收敛区间为(2,6),则a (x1)2n的收敛区间为 （ ） n n n1 n1 A.(2,6) B.(3,1) C.(5,3) D.(17,15) （5）设4阶矩阵A(a )不可逆，a 的代数余子式A 0，,,, 为矩阵A的列向量组，A*为 ij 12 12 1 2 3 4 A的伴随矩阵，则方程组A*x0的通解为 （ ） A.xk k k,其中k ,k ,k 为任意数 1 1 2 2 3 3 1 2 3 B.xk k k,其中k ,k ,k 为任意数 1 1 2 2 3 4 1 2 3 C.xk k k,其中k ,k ,k 为任意数 1 1 2 3 3 4 1 2 3 D.xk k k,其中k ,k ,k 为任意数 1 2 2 3 3 4 1 2 3 （6）设A为3阶矩阵，, 为A的属于特征值1的线性无关的特征向量， 为A的属于特征值-1的特 1 2 3 1 0 0   征向量，则满足P1AP 0 1 0的可逆矩阵P可为 （ ）   0 0 1 A.( ,,) B.( ,,) C.( ,,) D.( ,,) 1 3 2 3 1 2 2 3 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 （7）设 A,B,C 为三个随机事件，且P(A) P(B) P(C) ,P(AB)0，P(AC) P(BC) ,则 4 12 A,B,C中恰有一个事件发生的概率为 （ ） 淘宝店铺：https://shop499712503.taobao.com/ 店主旺旺：慧园文化3 2 1 5 A. B. C. D. 4 3 2 12 1 （8）设随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0，0;1，4; ),则下列随机变量中服从标准正态分布且与X 独 2 立的是 （ ） 5 5 3 3 A. （X Y) B. （X Y) C. （X Y) D. （X Y) 5 5 3 3 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在横线上. （9）设z arctan  xysin(x y)  ,则dz ________. (0,) （10）曲线x ye2xy 0在(0,1)处的切线方程为________. 800 （11）设某厂家某产品的产量为Q，成本C(Q)10013Q,设产品的单价为P，需求量q(P) 2， P3 则该厂家获得最大利润时的产量为________.  x 1  （12）设平面区域D (x,y)  y ,0 x1,则D绕 y轴旋转所成的旋转体的体积为______.  2 1x2  a 0 1 1 0 a 1 1 （13）行列式 ________. 1 1 a 0 1 1 0 a 1   （14）设随机变量X 的概率分布为P X k  ,k 1,2,3,,Y 表示X 被3除的余数，则EY _____. 2k 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. （15）（本题满分10分） n  1 b 已知a,b为常数，若1  e与 在n时是等价无穷小，求a,b.  n na （16）（本题满分10分） 求函数f  x,y   x3 8y3 xy的极值. 淘宝店铺：https://shop499712503.taobao.com/ 店主旺旺：慧园文化（17）（本题满分10分） 设函数y  f(x)满足 y2y5y 0且f(0)1, f(0)1. （Ⅰ）求 f(x)的表达式.   （Ⅱ）设a   f(x)dx,求a . n n n n1 （18）（本题满分10分）   设D  (x,y)x2  y2 1,y0 ,连续函数f(x,y)满足 f(x,y) y 1x2 x f(x,y)dxdy,求xf(x,y)dxdy. D D （19）（本题满分10分）         设函数 f x 在区间 0,2 上具有连续导数， f 0  f 2 0,M max f(x),证明 0,2 （Ⅰ）(0,2)使得 f()  M; （Ⅱ）若对任意的x(0,2), f(x)  M,则M 0. 淘宝店铺：https://shop499712503.taobao.com/ 店主旺旺：慧园文化（20）（本题满分10分） x   y  设二次型 f(x ,x ) x2 4x x 4x2经正交变换 1Q 1化为二次型 1 2 1 1 2 2  x    y   2 2 g(y ,y )ay2 4y y by2,其中ab. 1 2 1 1 2 2 （Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）求正交矩阵Q. （21）（本题满分10分） 设A为2阶矩阵，P (,A),其中是非零向量且不是A的特征向量. （Ⅰ）证明P为可逆矩阵； （Ⅱ）若A2 A60，求P1AP,并判断A是否相似于对角矩阵. 淘宝店铺：https://shop499712503.taobao.com/ 店主旺旺：慧园文化（22）（本题满分10分）   设二维随机变量(X,Y)在区域D  (x,y)0 y 1x2 上服从均匀分布，令 1,X Y 0 1,X Y 0 Z  ，Z  1 0,X Y 0 2 0,X Y 0 （Ⅰ）求二维随机变量(Z ,Z )的概率分布； 1 2 （Ⅱ）求Z 与Z 的相关系数. 1 2 （23）（本题满分10分） 设某种元件的使用寿命T 的分布函数为   1e (  t )m ,t 0 F(t)  0, 其他. 其中,m为参数且大于零. （Ⅰ）求概率P  T t 与P  T  stT  s  ,其中s 0,t 0; （Ⅱ）任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t ,t ,,t ,若m已知，求的最大似 1 2 n 然估计值ˆ . 淘宝店铺：https://shop499712503.taobao.com/ 店主旺旺：慧园文化