,、.数学历年真题全精解析•数学一
一、选择题(1~10小题，每小题5分，共50分.下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的.)
(1) 已知/(x)满足= 1,则
x->i In x
(/(Al)) = 0. (B) = 0.
x*l-
(0/(1) = 1. (D) = 1.
x*l-
(2) 已知z = (汀且 y(“)可导，若 + /(In y-\n 工),则
(/(Al)) = y,/(l) = 0. (B)f(l) = 0/(1) = y.
(0/(1) = 1,/(1) = 0. (D)/(l) = 0,/(l) = 1.
(3)设有数列&”},其中九满足一号冬九W于，则
(A) 若limcos(sin 工”)存在，则lima:” 存在.
71—>oo n*-o-o
(B) 若limsin(cos rr”)存在，则lirrtz” 存在.
8 n*oo-
(C) 若limcos(sin工”)存在，则limsin x„存在，但limx„不一定存在.
n
“一►OO —► OO 7J—>OO
(D) 若limsin(cos x„)存在，则limcos x„ 存在，但limrc” 不一定存在.
Jo 2(1 + cos 夂)山'“ ln(l +工)
(4)已知X djc,I3 7-^—吐,则
1 + cos X 1 十 sm j;
(AM <I2< I3. (B)I2 <I,< I3.
(CM <I3< I2. (D)I3 < I2 < Il
(5) 下列4个条件中，3阶矩阵A可以相似对角化的一个充分但非必要条件为
(A) A有3个不相等的特征值.
(B) A有3个线性无关的特征向量.
(C) A有3个两两线性无关的特征向量.
(D) A的属于不同特征值的特征向量相互正交.
(6) 设均为兀阶矩阵，如果方程组Ax = 0与Bx = 0同解，则
rA o-l
(A)方程组 y = 0只有零解.
Le
rE A -]
⑻方程组nJ 只有零解，
-A 汕B~] rB An
(C)方程组 =0与 y = 0同解.
-O LO A」
rAB Bl [BA
A…与J
(D)方程组 同解.
L o2022 年全国硕士研究生招生考试数学(一)J _/
■ 1'
I 3
⑺设© = g = A 心= 1 心= A ，若向量组a】，a2山3与ai ,a2 等价，则入的取
a,
.1. .A2,
值范围是
(A) {入丨入W R}. (B){A I A 6 RU 工一2}.
(C) {A | A G R 且入工一1，入 #— 2}. (D){A I A G R,入工一1}.
(8)设随机变量X〜U(0,3),随机变量Y服从参数为2的泊松分布，且X与Y的协方差为一1,则
D(2X-Y+1)=
(l.A) (B)5. (09. (D)12.
(9)设随机变量X】，X2,・・・,X”独立同分布，且X,的4阶矩存在•设冷=£(図)钦=1,2,3,4),则由切比
雪夫不等式，对火>0,有片|十£疋一"2
-2
(A— ⑻春. (C)十
①)卩黑'
(10)设随机变量X〜N(0,1),在X = 2条件下，随机变量Y〜N(工，1),则X与Y的相关系数为
(A)*. (B) j-. (C)晳. (D)孚
二、 填空题(11〜16小题，每小题5分，共30分.)
(11) 设_/■&,》)=+ 2y2,求其在(0,1)处的最大方向导数________ .
(12) 『寥也=________•
(13) 当工$ 0,)上0时，工2 + b W力旳恒成立，则％的取值范围是_______ •
(14) 已知级数£ 4e_nx的收敛域为(Q，+°°)，则a = ________•
n=l n
(15) 已知矩阵A和E-A可逆，其中E为单位矩阵，某矩阵B满足[E—(E —A)T]E = A,则B —
A =________.
(16) 设A,B,C为三个随机事件,A与B互不相容，A与C互不相容，B与C相互独立，且P(A)=
P(B) = P(C) = 则 P(£ U C | A U B U C) =________.
三、 解答题(17〜22小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•)
(17) (本题满分10分)
设函数》=夕(工)是微分方程 < 十亠V = 2+后的满足夕(1) = 3的解，求曲线y =》&)
的渐近线.P
匸 数学历年真题全精解析•数学一
（18）（本题满分12分）
号浮山
已知平面区域 D= | y — 2 x /1 — b ,0 W y £ 2｝，计算 f dy.
D 丿
（19）（本题满分12分）
L是曲面2：4x2+y+z2 = 1,工$0,夕$0,z$ 0的边界，曲面方向朝上，已知曲线L的方
向和曲面的方向符合右手法则，求
1 = $（妇—cos z）dz + 2j：z2dy + （2可z + min z）dz.
（20）（本题满分12分）
设函数 S 在（一 a, + a）上有2阶连续导数.
证明严（工）$ 0的充分必要条件是对不同的实数a,b J（申）W
（21）（本题满分12分）
3 3
已知二次型、工2，攵 工 ijXiXj.
3）=
i=
1 7=1
（I ）写出,22 ,血）对应的矩阵；
（U）求正交变换x = Qy,将/（劝皿®）化为标准形;
（in）求 ，工2,4）= o 的解.
（22）（本题满分12分）
设X】，X2,“・，X”为来自均值为0的指数分布总体X的简单随机样本,丫］,丫2，“・，丫”为来自均
值为20的指数分布总体Y的简单随机样本,且两个样本相互独立，其中0（0>0）为未知参数.
利用样本X】，X2,…，X”和匕，丫2,…，乙.
（I） 求&的最大似然估计量6；
（II） 求 D©）.
