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2016年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题：每小题4分，共40分
1．（4分）（﹣2）2的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
2．（4分）某校进行书法比赛，有39名同学参加预赛，只能有19名同学参加决赛，他们预赛的
成绩各不相同，其中一名同学想知道自己能否进入决赛，不仅要了解自己的预赛成绩，还
要了解这39名同学预赛成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy﹣y2
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．（x﹣1）2＝x2﹣1
4．（4分）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（4分）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论
错误的是（ ）
A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
6．（4分）不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（4分）二次函数y＝x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
B．开口向下，顶点坐标为（1，4）
C．开口向上，顶点坐标为（1，4）
D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
8．（4分）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（ ）
A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm
第1页（共15页）9．（4分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2
10．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，AC＝6cm，则BC的长度为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
11．（4分）已知扇形的半径为6cm，面积为10 cm2，则该扇形的弧长等于 ．
12．（4分）旋转不改变图形的 和 π ．
13．（4分）已知点P（3，﹣2）在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，则k＝ ；在第四象
限，函数值y随x的增大而 ．
14．（4分）一个不透明的袋子，装了除颜色不同，其他没有任何区别的红色球3个，绿色球4
个，黑色球7个，黄色球2个，从袋子中随机摸出一个球，摸到黑色球的概率是 ．
三、解答题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
15．（8分）计算：20160+2|1﹣sin30°|﹣（ ）﹣1+ ．
16．（8分）有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿，问
笼中各有几只鸡和兔？
17．（8分）如图，已知AD＝BC，AC＝BD．
（1）求证：△ADB≌△BCA；
（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．
18．（8分）已知一次函数y＝2x+4
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（2）求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；
（3）在（2）的条件下，求出△AOB的面积；
（4）利用图象直接写出：当y＜0时，x的取值范围．
第2页（共15页）19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°
（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作 P；（要求：尺
规作图，保留作图痕迹，不写作法） ⊙
（2）请你判断（1）中BC与 P的位置关系，并证明你的结论．
⊙
20．（8分）甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人
出的牌不同，则A胜B，B胜C，C胜A；若两人出的牌相同，则为平局．
（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；
（2）求出现平局的概率．
21．（8分）如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC
上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．
22．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，O
为坐标原点．
第3页（共15页）（1）求此抛物线的解析式；
（2）若把抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向下平移 个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位
长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；
（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA＝∠CBA，求CP的长．
第4页（共15页）2016年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题4分，共40分
1．【分析】直接利用有理数的乘方化简，进而利用平方根的定义得出答案．
【解答】解：∵（﹣2）2＝4，
∴4的平方根是：±2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．
2．【分析】由于比赛取前19名参加决赛，共有39名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【解答】解：39个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有19个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否获奖了．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
3．【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式分别计算得出答案．
【解答】解：A、（x+y）2＝x2+y2+2xy，故此选项错误；
B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故此选项错误；
C、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，正确；
D、（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了完全平方公式以及平方差公式，正确应用乘法公式是解题关键．
4．【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△的关
系是解答此题的关键．
5．【分析】先根据角平分线的性质得出PC＝PD，再利用HL证明△OCP≌△ODP，根据全等
三角形的性质得出∠CPO＝∠DPO，OC＝OD．
第5页（共15页）【解答】解：∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，
∴PC＝PD，故A正确；
在Rt△OCP与Rt△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠CPO＝∠DPO，OC＝OD，故C、D正确．
不能得出∠CPD＝∠DOP，故B错误．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查
了全等三角形的判定与性质，得出PC＝PD是解题的关键．
6．【分析】根据解不等式得基本步骤依次去括号、移项、合并同类项求得不等式的解集，在解
集内找到非负整数即可．
【解答】解：去括号，得：3x﹣3≤5﹣x，
移项、合并，得：4x≤8，
系数化为1，得：x≤2，
∴不等式的非负整数解有0、1、2这3个，
故选：C．
【点评】本题主要考查解不等式的基本技能和不等式的整数解，求出不等式的解集是解题
的关键．
7．【分析】根据a＞0确定出二次函数开口向上，再将函数解析式整理成顶点式形式，然后写
出顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣3的二次项系数为a＝1＞0，
∴函数图象开口向上，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要是开口方向与顶点坐标的求解，熟记性质是解
题的关键．
8．【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情
况．
第6页（共15页）【解答】解：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm＝8cm不满足三角形的三
边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题
目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，
这点非常重要，也是解题的关键．
9．【分析】根据分式的分母不为零、被开方数是非负数来求x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围．本题属于易错题，同学们往往忽略分母x﹣
2≠0这一限制性条件而解错．
10．【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可
求解．
【解答】解：∵sinA＝ ＝ ，
∴设BC＝4x，AB＝5x，
又∵AC2+BC2＝AB2，
∴62+（4x）2＝（5x）2，
解得：x＝2或x＝﹣2（舍），
则BC＝4x＝8cm，
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
11．【分析】设扇形的弧长为lcm，再由扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设扇形的弧长为lcm，
∵扇形的半径为6cm，面积为10 cm2，
π
∴ l×6＝10 ，解得l＝ cm．
π
第7页（共15页）故答案为： cm．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
12．【分析】根据旋转的性质（旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的位置．也就是旋转
前后图形全等，对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角）即可得出答案．
【解答】解：旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，
故答案为：形状，大小．
【点评】本题考查了有关旋转的性质的应用，注意：（1）旋转是指一个图形绕一点沿一定方
向旋转一定的角度，它有三要素： 旋转中心（绕着转的那个点）， 旋转方向（顺时针还
是逆时针） 旋转的角度；（2）旋①转的性质是： 旋转不改变图形②的大小与形状，只改变
图形的位置③，也就是旋转前后图形全等； 对应①点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转
角． ②
13．【分析】由点的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，根据k值结合反比
例函数的性质即可得出其函数图象在每个象限内的增减性，由此即可得出结论．
【解答】解：∵点P（3，﹣2）在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，
∴k＝3×（﹣2）＝﹣6．
∵k＝﹣6＜0，
∴反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限，且在每个象限内均单增，
∴在第四象限，函数值y随x的增大而增大．
故答案为：﹣6；增大．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键
是求出k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点的坐标利用反比例函数
图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k是关键．
14．【分析】先求出球的总数，再根据概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵红色球3个，绿色球4个，黑色球7个，黄色球2个，
∴球的总数＝3+4+7+2＝16，
∴摸到黑色球的概率＝ ．
故答案为： ．
第8页（共15页）【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果
数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
三、解答题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
15．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计
算，求出算式20160+2|1﹣sin30°|﹣（ ）﹣1+ 的值是多少即可．
【解答】解：20160+2|1﹣sin30°|﹣（ ）﹣1+
＝1+2×|1﹣ |﹣3+4
＝1+2× +1
＝1+1+1
＝3．
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行
实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数
的运算律在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： a0＝1
（a≠0）； 00≠1． ①
（3）此题还②考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．
（4）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： a﹣p
①
＝ （a≠0，p为正整数）； 计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计
②
算； 当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
16．【分③析】设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，根据“从上面数，有30个头；从下面数，有84
条腿”列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，
根据题意得： ，
解得； ；
第9页（共15页）答：笼子里鸡有18只，兔有12只．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用；根据题意列出方程组是解决问题的关键的关
键；注意鸡有两只脚，兔有四只脚．
17．【分析】（1）根据SSS定理推出全等即可；
（2）根据全等得出∠OAB＝∠OBA，根据等角对等边得出即可．
【解答】（1）证明：∵在△ADB和△BCA中，
，
∴△ADB≌△BCA（SSS）；
（2）解：OA＝OB，
理由是：∵△ADB≌△BCA，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴OA＝OB．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定的应用，能正确运用定
理进行推理是解此题的关键．
18．【分析】（1）利用两点法就可以画出函数图象；（2）利用函数解析式分别代入x＝0与y＝0
的情况就可以求出交点坐标；（3）通过交点坐标就能求出面积；（4）观察函数图象与x轴
的交点就可以得出结论．
【解答】解：（1）当x＝0时y＝4，当y＝0时，x＝﹣2，则图象如图所示
（2）由上题可知A（﹣2，0）B（0，4），
第10页（共15页）（3）S△AOB ＝ ×2×4＝4，
（4）x＜﹣2．
【点评】本题考查了一次函数的图象和一次函数图象上点的坐标特征．正确求出一次函数
与x轴与y轴的交点是解题的关键．
19．【分析】（1）根据题意作出图形，如图所示；
（2）BC与 P相切，理由为：过P作PD⊥BC，交BC于点P，利用角平分线定理得到PD＝
PA，而PA⊙为圆P的半径，即可得证．
【解答】解：（1）如图所示， P为所求的圆；
（2）BC与 P相切，理由为：⊙
过P作PD⊥⊙BC，垂足为D，
∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，
∴PD＝PA，
∵PA为 P的半径．
∴BC与⊙P相切．
⊙
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及作图﹣复杂作图，证明切线的方法有两种：
一种是连接证明垂直；一种是作垂线，证明垂线段等于半径．
20．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得出现平局的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
则共有9种等可能的结果；
第11页（共15页）（2）∵出现平局的有3种情况，
∴出现平局的概率为： ＝ ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
情况数之比．
21．【分析】（1）根据EH∥BC即可证明．
（2）如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利
用△AEH∽△ABC，得 ＝ ，列出方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，
∴△AEH∽△ABC．
（2）解：如图设AD与EH交于点M．
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF＝DM，设正方形EFGH的边长为x，
∵△AEH∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴x＝ ，
∴正方形EFGH的边长为 cm，面积为 cm2．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相
似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．
22．【分析】（1）根据A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
第12页（共15页）（2）可先求得抛物线的顶点坐标，再利用坐标平移，可得平移后的坐标为（1+n，1），再由
B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式，可求得y＝1时，对应的x的值，从而可求得n
的取值范围；
（3）当点P在y轴负半轴上时，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，根据条件可知
∠PAD＝45°，设PD＝DA＝m，由△COA∽△CDP，可求出m和PC的长，此时可求得PO
＝12，利用等腰三角形的性质，可知当P点在y轴正半轴上时，则有OP＝12，从而可求得
PC＝5．
【解答】解：
（1）把A、B、C三点的坐标代入函数解析式可得
，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x+5；
（2）∵y＝﹣ x2+ x+5，
∴抛物线顶点坐标为（1， ），
∴当抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向下平移 个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长
度后，得到的新抛物线的顶点M坐标为（1+n，1），
设直线BC解析式为y＝kx+m，把B、C两点坐标代入可得 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
令y＝1，代入可得1＝﹣x+5，解得x＝4，
∵新抛物线的顶点M在△ABC内，
∴1+n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，
即n的取值范围为0＜n＜3；
（3）当点P在y轴负半轴上时，如图1，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，
第13页（共15页）由题意可知OB＝OC＝5，
∴∠CBA＝45°，
∴∠PAD＝∠OPA+∠OCA＝∠CBA＝45°，
∴AD＝PD，
在Rt△OAC中，OA＝3，OC＝5，可求得AC＝ ，
设PD＝AD＝m，则CD＝AC+AD＝ +m，
∵∠ACO＝∠PCD，∠COA＝∠PDC，
∴△COA∽△CDP，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
由 ＝ 可求得m＝ ，
∴ ＝ ，解得PC＝17；
可求得PO＝PC﹣OC＝17﹣5＝12，
如图2，在y轴正半轴上截取OP′＝OP＝12，连接AP′，
则∠OP′A＝∠OPA，
第14页（共15页）∴∠OP′A+∠OCA＝∠OPA+∠OCA＝∠CBA，
∴P′也满足题目条件，此时P′C＝OP′﹣OC＝12﹣5＝7，
综上可知PC的长为7或17．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及到的知识点有待定系数法、坐标的平移、
三角形的外角、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及分类讨论等．在（2）中
确定出M点向右平移的最大位置是解题的关键，在（3）中利用∠OPA+∠OCA＝∠CBA＝
45°构造三角形相似是解题的关键．本题目考查知识点多，综合性强，特别是第（3）问难度
很大．
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日期：2020/9/16 12:37:48；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第15页（共15页）
