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2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
（1）若函数 在x=0连续，则
(A) (B) (C) (D)
（2）设二阶可到函数 满足 且 ，则
(A) (B)
(C) (D)
（3）设数列 收敛，则
(A)当 时， (B)当 时，则
(C)当 , (D)当 时，
（4）微分方程 的特解可设为
(A) (B)
(C) (D)
（5）设 具有一阶偏导数，且在任意的 ，都有 则
(A) (B)
(C) (D)
（6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度曲线 （单位:m/s）虚
线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位:
s）,则
(A) (B) (C) (D)
1（7）设 为三阶矩阵， 为可逆矩阵，使得 ，则
(A) (B) (C) (D)
（8）已知矩阵 ， ， ，则
(A) A与C相似，B与C相似 (B) A与C相似，B与C不相似
(C) A与C不相似，B与C相似 (D) A与C不相似，B与C不相似
二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.
（9）曲线 的斜渐近线方程为
（10）设函数 由参数方程 确定，则
（11） =
（12）设函数 具有一阶连续偏导数，且 ，则
=
（13）
（14）设矩阵 的一个特征向量为 ，则
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
2求
（16）（本题满分10分）
设函数 具有2阶连续偏导数， ,求 ,
（17）（本题满分10分）
求
（18）（本题满分10分）
已知函数 由方程 确定，求 的极值
（19）（本题满分10分）
在 上具有2阶导数， ，证明
设函数
（1）方程 在区间 内至少存在一个实根；
（2）方程 在区间 内至少存在两个不同的实根.
（20）（本题满分11分）
已知平面区域 ，计算二重积分
（21）（本题满分11分）
设 是区间 内的可导函数，且 ，点 是曲线 上的任意一点， 在点 处的切线与
轴相交于点 ，法线与 轴相交于点 ，若 ，求 上点的坐标 满足的方程。
（22）（本题满分11分）
三阶行列式 有3个不同的特征值，且
（1）证明
（2）如果 求方程组 的通解
（23）（本题满分11分）
3设二次型 在正交变换 下的标准型为
求 的值及一个正交矩阵 .
2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.
（1）设 ， ， .当 时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶
拓排序是（ ）
（A） . （B） .
（C） . （D） .
（2）已知函数 则 的一个原函数是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（3）反常积分 ， 的敛散性为（ ）
（A） 收敛， 收敛. （B） 收敛， 发散.
（C） 收敛， 收敛. （D） 收敛， 发散.
（4）设函数 在 内连续，求导函数的图形如图所示，则
（A）函数 有2个极值点，曲线 有2个拐点.
（B）函数 有2个极值点，曲线 有3个拐点.
（C）函数 有3个极值点，曲线 有1个拐点.
（D）函数 有3个极值点，曲线 有2个拐点.
4（5）设函数 具有二阶连续导数，且 ，若两条曲线 在点 处具
有公切线 ，且在该点处曲线 的曲率大于曲线 的曲率，则在 的某个领域内，有（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知函数 ，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）设 ， 是可逆矩阵，且 与 相似，则下列结论错误的是（ ）
（A） 与 相似 （B） 与 相似
（C） 与 相似 （D） 与 相似
（8）设二次型 的正、负惯性指数分别为1,2，则（ ）
（A） （B） （C） （D） 与
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
（9）曲线 的斜渐近线方程为____________.
（10）极限 ____________.
（11）以 和 为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.
（12）已知函数 在 上连续，且 ，则当 时， ____________.
（13）已知动点 在曲线 上运动，记坐标原点与点 间的距离为 .若点 的横坐标时间的变化率为常数 ，则
当点 运动到点 时， 对时间的变化率是
（14）设矩阵 与 等价，则
解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
求极限 .
5（16）（本题满分10分）
设函数 ，求 并求 的最小值.
（17）（本题满分10分）
已知函数 由方程 确定，求 的极值.
（18）（本题满分10分）
设 是由直线 ， ， 围成的有界区域，计算二重积分
（19）（本题满分10分）
已知 ， 是二阶微分方程 的两个解，若 ，
，求 ，并写出该微分方程的通解。
（20）（本题满分11分）
设 是由曲线 与 围成的平面区域，求 绕 轴旋转一周所得旋转体
的体积和表面积。
（21）（本题满分11分）
已知 在 上连续，在 内是函数 的一个原函数，且 。
（Ⅰ）求 在区间 上的平均值；
6（Ⅱ）证明 在区间 内存在唯一零点。
（22）（本题满分11分）
设矩阵 ， ，且方程组 无解。
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求方程组 的通解。
（23）（本题满分11分）
已知矩阵
（Ⅰ）求
（Ⅱ）设3阶矩阵 满足 。记 ，将 分别表示为 的线性组
合。
72015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)下列反常积分中收敛的是（ ）
(A) (B) (C) (D)
(2)函数 在 内（ ）
（A）连续 （B）有可去间断点
（C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
(3)设函数 ，若 在 处连续，则（ ）
（A） (B)
(C) (D)
(4) 设函数 在 连续，其二阶导函数 的图形图所示，则曲线 的拐点个数为（ ）
（A）0 (B)1 (C)2 (D)3
(5).设函数 满足 ，则 与 依次是（ ）
8（A） ,0 (B)0， （C）- ,0 (D)0 ,-
(6). 设 是第一象限中曲线 与直线 围成的平面区域，函数 在 上连续，则
=（ ）
（A） （B）
（C） （D）
(7)．设矩阵 = ， = ,若集合 = ，则线性方程组 有无穷多个解的充分必要条件为（ ）
Ω
（A） (B) (C) (D)
(8)设二次型 在正交变换 下的标准形为 其中 ，若 ，则
在正交变换 下的标准形为（ ）
(A): (B)
(C) (D)
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 设
（10）函数 在 处的 阶导数
（11）设函数 连续， 若 ， ，则
（12）设函数 是微分方程 的解，且在 处 取值3，则 =
（13）若函数 由方程 确定，则 =
（14）设3阶矩阵 的特征值为2，-2,1， ，其中 为3阶单位矩阵，则行列式 =
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）
设函数 ， ，若 与 在 是等价无穷小，求 的值。
时
916、（本题满分10分）
设 ， 是由曲线段 及直线 所形成的平面区域， ， 分别表示 绕 轴
与绕 轴旋转所成旋转体的体积，若 ，求 的值。
17、（本题满分10分）
已知函数 满足 ， ， 求 的极值。
18、（本题满分10分）
计算二重积分 ，其中 。
19、（本题满分10分）
已知函数 ，求 零点的个数。
20、（本题满分11分）
已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一
初始温度为120 的物体在20 恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30 ，若要使物体的温度继续降至21
，还需冷却多长时间？
1021、（本题满分11分）
已知函数 在区间 上具有2阶导数， 设 曲线 在点
处的切线与 轴的交点是 ，证明： 。
22、（本题满分11分）
设矩阵 ,且 .
（1）求 的值；（2）若矩阵 满足 为3阶单位矩阵，求 。
23、（本题满分11分）
设矩阵 ，相似于矩阵 ，
（1）求 的值（2）求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵。
112014 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.
(1) 当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的取值范围是：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(2) 下列曲线中有渐近线的是：（ ）
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设函数 具有二阶导数， ，则在区间 上：（ ）
(A) 当 时， (B) 当 时，
(C) 当 时， (D) 当 时，
(4) 曲线 上对应于 的点处的曲率半径是：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(5) 设函数 ，若 ，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(6) 设函数 在有界闭区域 上连续，在 的内部具有2阶连续偏导数，且满足 及
，则：（ ）
(A) 的最大值和最小值都在 的边界上取得
(B) 的最大值和最小值都在 的内部上取得
(C) 的最大值在 的内部取得，最小值在 的边界上取得
(D) 的最小值在 的内部取得，最大值在 的边界上取得
12(7) 行列式 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(8) 设 均为3维向量，则对任意常数 ，向量组 线性无关是向量组 线性无
关的：（ ）
(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) __________.
(10) 设 是周期为 的可导奇函数，且 ，则 __________.
(11) 设 是由方程 确定的函数，则 __________.
(12) 曲线 的极坐标方程是 ，则 在点 处的切线的直角坐标方程是__________.
(13) 一根长为1的细棒位于 轴的区间 上,若其线密度 ,则该细棒的质心坐标
__________.
(14) 设二次型 的负惯性指数为1，则 的取值范围为_______.
三、解答题：15～23小题,共94分.将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
求极限
(16)(本题满分10分)
已知函数 满足微分方程 ，且 ，求 的极大值与极小值.
13(17)(本题满分10分)
设平面区域 计算 .
(18)(本题满分10分)
设函数 具有二阶连续导数， 满足 ，若 ，求
的表达式.
(19)(本题满分10分)
设函数 的区间 上连续，且 单调增加， .证明：
(I) ,
(II) .
(20)(本题满分11分)
设函数 ，定义函数列
，记 是由曲线 ，直线 及 轴所围成平面图形的面积，求极限 .
(21)(本题满分11分)
已知函数 满足 ，且 求曲线 所围成的图形绕直线
旋转所成的旋转体的体积.
14(22)(本题满分11分)
设矩阵 ， 为3阶单位矩阵.
(I)求方程组 的一个基础解系；
(II)求满足 的所有矩阵 .
(23)(本题满分11分)
证明 阶矩阵 与 相似.
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．设 ，当 时， （ ）
（A）比 高阶的无穷小量. （B）比 低阶的无穷小量.
（C）与 同阶但不等价无穷小量. （D）与 等价无穷小量.
2．已知函数 是由方程 确定，则 （ ）
（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2
３．设函数 ， 则（ ）
（Ａ） 为 的跳跃间断点． （Ｂ） 是函数 的可去间断点．
（Ｃ） 在 处连续但不可导． （Ｄ） 在 处可导．
４．设函数 ，且反常积分 收敛，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
５．设 ，其中函数 可微，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
6．设 是圆域 的第 象限的部分，记 ，则（ ）
15（A） （B） （C） （D）
7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价． （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价． （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．
8．矩阵 与矩阵 相似的充分必要条件是
（A） （B） ， 为任意常数
（C） （D） ， 为任意常数
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9． ．
10．设函数 ，则 的反函数 在 处的导数 ．
11．设封闭曲线L的极坐标方程为 ，则L所围成的平面图形的面积为 ．
12．曲线上 上对应于 的点处的法线方程为 ．
13．已知 是某二阶常系数非齐次线性微分方程三个解，则该方程满足条
件 的解为 ．
14．设 是三阶非零矩阵， 为 的行列式， 为元素 的代数余子式，若
，则 ．
三、解答题
15．（本题满分10分）
当 时， 与 是等价无穷小，求常数 的值．
16．（本题满分10分）
设D是由曲线 ，直线 及 轴所转成的平面图形， 分别是D绕 轴和 轴旋转一周所形成的
立体的体积，若 ，求 的值．
17．（本题满分10分）
16设平面区域D是由直线 所围成，计算 ．
18．（本题满分10分）
设奇函数 在 上具有二阶导数，且 ，证明：
（1）存在 ，使得 ；
（2）存在 ，使得 ．
19．（本题满分10分）
求曲线 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．
20．（本题满分11）
设函数
⑴求 的最小值；
⑵设数列 满足 ，证明极限 存在，并求此极限．
21．（本题满分11）
设曲线L的方程为 ．
（1）求L的弧长．
（2）设D是由曲线L，直线 及 轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标．
22．本题满分11分）
设 ，问当 为何值时，存在矩阵C，使得 ，并求出所有矩阵C．
23（本题满分11分）
设二次型 ．记 ．
（1）证明二次型 对应的矩阵为 ；
（2）若 正交且为单位向量，证明 在正交变换下的标准形为 ．
172012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项
前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)曲线 的渐近线条数 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数 ，其中 为正整数,则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设 ，则数列 有界是数列 收敛的
( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件
(C) 必要非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件
(4) 设 则有
( )
(A) (B)
(C) (D)
(5) 设函数 为可微函数，且对任意的 都有 则使不等式 成立的
一个充分条件是
( )
(A) (B)
(C) (D)
(6) 设区域 由曲线 围成，则
( )
(A) (B) 2 (C) -2 (D) -
(7) 设 , , , ,其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为
(A) (B) (C) (D)
18(8) 设 为3阶矩阵， 为3阶可逆矩阵，且 .若 ， 则
(A) (B) (C) (D)
二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 设 是由方程 所确定的隐函数，则 .
(10)
.
(11) 设
其中函数 可微，则 .
(12) 微分方程 满足条件 的解为
.
(13) 曲线 上曲率为 的点的坐标是
.
(14) 设 为3阶矩阵， ， 为 伴随矩阵，若交换 的第1行与第2行得矩阵 ，则 .
三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分 10 分)
已知函数 ，记 ，
(I)求 的值;
(II)若 时， 与 是同阶无穷小，求常数 的值.
(16)(本题满分 10 分)
求函数 的极值.
(17)(本题满分12分)
过 点作曲线 的切线,切点为 ,又 与 轴交于 点,区域 由 与直线 围成,求区域 的面
积及 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.
(18)(本题满分 10 分)
19计算二重积分 ，其中区域 为曲线 与极轴围成.
(19)(本题满分10分)
已知函数 满足方程 及 ,
(I) 求 的表达式;
(II) 求曲线 的拐点.
(20)(本题满分10分)
证明 , .
(21)(本题满分10 分)
(I)证明方程 ，在区间 内有且仅有一个实根；
(II)记(I)中的实根为 ，证明 存在，并求此极限.
(22)(本题满分11 分)
设 ，
(I) 计算行列式 ；
(II) 当实数 为何值时，方程组 有无穷多解，并求其通解.
(23)(本题满分11 分)
已知 ，二次型 的秩为2，
(I) 求实数 的值；
(II) 求正交变换 将 化为标准形.
202011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
（1）已知当 时，函数 与 是等价无穷小，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）设函数 在 处可导，且 ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）函数 的驻点个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（4）微分方程 的特解形式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（5）设函数 ， 均有二阶连续导数，满足 ， ，且 则函数 在点
处取得极小值的一个充分条件是（ ）
（A） ， （B） ，
（C） ， （D） ，
（6）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 ，再交换 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵。记
， ，则 =（ ）
（A） （B） （C） （D）
（8）设 是4阶矩阵， 为 的伴随矩阵。若 是方程组 的一个基础解系，则
的基础解系可为（ ）
21（A） （B） （C） （D）
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。
（9） 。
（10）微分方程 满足条件 的解为 。
（11）曲线 的弧长 。
（12）设函数 ，则 。
（13）设平面区域 由直线 ，圆 及 轴所围成，则二重积分 。
（14）二次型 ，则 的正惯性指数为 。
三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分）
已知函数 ，设 ，试求 的取值范围。
（16）（本题满分11分）
设函数 由参数方程 确定，求 的极值和曲线 的凹凸区间及
拐点。
（17）（本题满分9分）
设函数 ，其中函数 具有二阶连续偏导数，函数 可导，且在 处取得极值 ，
求 。
（18）（本题满分10分）
设函数 具有二阶导数，且曲线 与直线 相切于原点，记 为曲线 在点 处切线的倾
角，若 ，求 的表达式。
22（19）（本题满分10分）
（I）证明：对任意的正整数 ，都有 成立。
（II）设 ，证明数列 收敛。
（20）（本题满分11分）
一容器的内侧是由图中曲线绕 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 与
连接而成。
（I）求容器的容积；
（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？
（长度单位： ，重力加速度为 ，水的密度为 ）
（21）（本题满分11分）
已知函数 具有二阶连续偏导数，且 ， ， ，其中
，计算二重积分 。
23（22）（本题满分11分）
设向量组 ， ， 不能由向量组 ， ，
线性表示。
（I）求 的值；
（II）将 用 线性表示。
（23）（本题满分11分）
设 为3阶实对称矩阵， 的秩为2，且 。
（I）求 的所有的特征值与特征向量；
（II）求矩阵 。
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题
(A) （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.设 是一阶线性非齐次微分方程 的两个特解，若常数 使 是该方程的解，
24是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）
A. B.
C. D.
3. （ ）
A.4e B.3e Cm.2e D.e , n
4. 设 为 正 整 数 , 则 反 常 积 分
2
m ln (1 x)
1
dx
的收敛性（ ）
0 n x
m
A.仅与 取值有关 B. 仅 与
25n
取值有关
m, n
C. 与 取 值 都 有 关 D. 与
m, n
取值都无关
y z
z z( x, y)
F ( , ) 0
5.设函数 由方程 确定,
x x
26F
F 0,
其中 为可微函数,且
2
z z
x y
则 =（ ）
x y
x z
A B
x z
C D
27n n n
lim
6.(4) = （ ）
x (n i)(n2 j2)
i1 j1
1 1
1 x 1 x
dx dy dx dy
A B
0 0 (1 x)(1 y2) 0 0 (1 x)(1 y)
1 1
1 1 1 1
dx dy dx dy
C D
0 0 (1 x)(1 y) 0 0 (1 x)(1 y2)
7.设向量组 可由向量组 线性表示，下列命题正确的是:（ ）
A若向量组I线性无关，则 B若向量组I线性相关，则r>s
C若向量组II线性无关，则 D若向量组II线性相关，则r>s
A
8.设 为 4 阶 对 称 矩 阵 , 且
A
2
A A 0,
若 的 秩 为 3, 则
28A
相似于（ ）
1
1
1 1
9.A B C
1 1
0
0
1
1
1 1
D
1 1
0
0
二、填空题
9. 三阶常系数线性齐次微分方程 的通解y=__________
10.曲线 的渐近线方程为_______________
2911.函数
12.
13.已知一个长方形的长 以2cm/s的速率增加，宽 以3cm/s的速率增加，则当 =12cm, =5cm时，它的对角线增加的
速率为___________
14.设A，B为3阶矩阵，且
三、解答题
15.
1
1
ln t [ln(1 t)] n dt tn ln t dt(n 1,2, )
16.(1)比较 与 的大小,
0 0
说明理由.
lim u .
1
(2)记u lnt [ln(1t)]ndt(n 1,2,
), 求极限 n
n
0
x
17.设函数 由参数方程
18.一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 时，计
算油的质量。
（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为 单位为 .）
3019.
20.
21.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)= ,证明：存在
22.
3123.设 ，正交矩阵 使得 为对角矩阵，若 的第一列为 ，求a、 .
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的
字母填在题后的括号内.
（1）函数 的可去间断点的个数，则（ ）
1. 2. 3. 无穷多个.
（2）当 时， 与 是等价无穷小，则（ ）
. .
. .
（3）设函数 的全微分为 ，则点 （ ）
不是 的连续点. 不是 的极值点.
是 的极大值点. 是 的极小值点.
（4）设函数 连续，则 （ ）
. .
. .
（ 5 ） 若 不 变 号 ， 且 曲 线 在 点
32上的曲率圆
为 ， 则
在区间 内（ ）
33有极值点，无零点.
无极值点，有零点.
有极值点，有零点.
34无极值点，无零点.
（6）设函数 在区间 上的图
形为：
f (x)
O
0 x
-2 1 2 3
-1
则函数 的图形为（ ）
35. .
f (x) f (x)
1 1
0 x 0 x
-2 1 2 3 -2 1 2 3
-1 -1
. .
f (x) f (x)
1 1
0 x 0 x
-1 1 2 3 -2 1 2 3
-1
（7）设 、 均为 2 阶矩阵， 分别为 、 的伴随矩阵。若 ，则分块矩阵
的伴随矩
阵为（ ）
.
.
36.
.
37（8）设 均为3阶矩阵， 为 的转置矩阵，且 ，若
，则 为（ ）
. .
. .
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）曲线 在 处的切线方程为
（10）已知 ,则
38（11）
（12）设 是由方程 确定的隐函数，则
（13）函数 在区间 上的最小值为
(14)设 为3维列向量， 为 的转置，若矩阵 相似于 ，则
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）求极限
（16）（本题满分10 分）计算不定积分
（17）（本题满分10分）设 ，其中 具有2阶连续偏导数，求 与
（18）（本题满分10分）
设非负函数 满足微分方程 ，当曲线 过原点时，其与直线 及
围成平面区域 的面积为2，求 绕 轴旋转所得旋转体体积。
（19）（本题满分10分）计算二重积分 ，其中
（20）（本题满分12分）
设 是区间 内过 的光滑曲线，当 时，曲线上任一点处的法线都过原点，当
39时，函数 满足 。求 的表达式
（21）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数 在 上连续，在 内可导，则存在点 ，使得
；
（Ⅱ）证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且 ，则 存在，且 。
（22）（本题满分11分）设 ，
（Ⅰ）求满足 的所有向量
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量 ，证明： 线性无关。
（23）（本题满分11分）设二次型
（Ⅰ）求二次型 的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型 的规范形为 ，求 的值。
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的
字母填在题后的括号内.
（1）设函数 ，则 的零点个数为（ ）
0 1. 2 3
（2）曲线段的方程为 ，函数 在区间 上有连续导数，则定积分 等于（ ）
曲边梯形ABOD面积.
40梯形ABOD面积.
曲边三角形 面积.
三角形 面积.
（3）在下列微分方程中，以 （ 为任意常数）为通解的是（ ）
（4）设函数 有（ ）
（A）1个可去间断点，1个跳跃间断点 （B）1个可去间断点，1个无穷间断点
（C）2个跳跃间断点 （D）2个无穷间断点
（5）设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（ ）
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
（6）设函数 连续，若 ，其中区域 为图中阴影部分，则
（7）设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵. 若 ，则（ ）
不可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆.
可逆， 可逆. 可逆， 不可逆.
（8）设 ，则在实数域上与 合同的矩阵为（ ）
. .
. .
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
41（9） 已知函数 连续，且 ，则 .
（10）微分方程 的通解是 .
（11）曲线 在点 处的切线方程为 .
（12）曲线 的拐点坐标为______.
（13）设 ，则 .
（14）设3阶矩阵 的特征值为 .若行列式 ，则 .
三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)（本题满分9分）求极限 .
(16)（本题满分10分）
设函数 由参数方程 确定，其中 是初值问题 的解.求 .
（17）（本题满分9分）求积分 ..
(18)（本题满分11分）
求二重积分 其中
(19)（本题满分11分）
设 是区间 上具有连续导数的单调增加函数，且 .对任意的 ，直线 ，
曲线 以及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积
的2倍，求函数 的表达式.
(20)（本题满分11分）
(1) 证明积分中值定理：若函数 在闭区间 上连续，则至少存在一点 ，使得
42(2)若函数 具有二阶导数，且满足 ，则至少存在一点
（21）（本题满分11分）
求函数 在约束条件 和 下的最大值与最小值.
（22）（本题满分12分）
设 元线性方程组 ，其中
， ， ，
（1）证明行列式 ；
（2） 为何值，该方程组有唯一解，并求 ；
（3） 为何值，该方程组有无穷多解，并求通解.
（23）（本题满分10分）
设 为3阶矩阵， 为 的分别属于特征值 特征向量，向量 满足 ，
（1）证明 线性无关；
（2）令 ，求 .
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