文档内容
2017 年吉林省中考数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）计算（﹣1）2的正确结果是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
2．（2分）如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a6 D．（ab）2=ab2
4．（2分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D ．
5．（2分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于
点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ）
第1页（共32页）A．70° B．44° C．34° D．24°
6．（2分）如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB
交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）2016年我国资助各类家庭困难学生超过 84 000 000人次．将84 000
000这个数用科学记数法表示为 ．
8．（3分）苹果原价是每千克 x元，按8折优惠出售，该苹果现价是每千克
元（用含x的代数式表示）．
9．（3分）分解因式：a2+4a+4= ．
10．（3分）我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b
的根据是 ．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针
旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为
．
第2页（共32页）12．（3分）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆 AB的高度，使用长为2m
的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地
面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为 m．
13．（3分）如图，分别以正五边形 ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半
径画^BE，C^E．若AB=1，则阴影部分图形的周长为 （结果保留π）．
14．（3 分）我们规定：当 k，b 为常数，k≠0，b≠0，k≠b 时，一次函数
y=kx+b与y=bx+k互为交换函数．例如：y=4x+3的交换函数为y=3x+4．一次函数
y=kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
1 2
15．（5分）某学生化简分式 + 出现了错误，解答过程如下：
x+1 x2-1
1 2
原式= + （第一步）
(x+1)(x-1) (x+1)(x-1)
1+2
= （第二步）
(x+1)(x-1)
3
= ．（第三步）
x2-1
（1）该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
16．（5分）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，
其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为 342km，隧道累计长度的2倍比桥梁
累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．
第3页（共32页）17．（5分）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字 1，2，3，这
些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后
放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的
卡片上数字之和为奇数的概率．
18．（5 分）如图，点 E、F 在 BC 上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：
∠A=∠D．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如
下表：
月份 第1月 第2月 第3月 第4月 第5月
销售额
人员
甲 7.2 9.6 9.6 7.8 9.3
乙 5.8 9.7 9.8 5.8 9.9
丙 4 6.2 8.5 9.9 9.9
（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：
统计值 平均数（万元） 中位数（万元） 众数（万元）
数值
人员
甲 9.3 9.6
乙 8.2 5.8
丙 7.7 8.5
（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明
理由．
20．（7分）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，
每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．
第4页（共32页）（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点
上；（所画图形不全等）
（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．
21．（7分）如图，一枚运载火箭从距雷达站 C处5km的地面O处发射，当火
箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点
O，A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．
（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．）
k
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y= （x＞0）的图象
x
交于点A（m，2），B（2，n）．过点A作AC平行于x轴交y轴于点C，在y轴
1
负半轴上取一点D，使OD= OC，且△ACD的面积是6，连接BC．
2
（1）求m，k，n的值；
（2）求△ABC的面积．
第5页（共32页）五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD
沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，
BC'，如图②．
（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；
（2）四边形ABC'D′的周长为 ；
（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面
积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．
24．（8分）如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度
往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）
之间的函数图象如图②所示．
（1）正方体的棱长为 cm；
（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的
值．
第6页（共32页）六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点
A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB
于点 Q，D 为 PQ 中点，以 DQ 为边向右侧作正方形 DEFQ．设正方形 DEFQ 与
△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．
（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为 cm（用含x的代数式
表示）；
（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；
（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；
（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．
26．（10分）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：
4
【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 y=a（x﹣2）2﹣ 经过原点O，
3
与x轴的另一个交点为A，则a= ．
【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图
象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为 G，如图②．直接写出图象 G
对应的函数解析式．
【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左
第7页（共32页）至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y
随x增大而增大时x的取值范围．
【应用】P是图③中图象 G上一点，其横坐标为 m，连接 PD，PE．直接写出
△PDE的面积不小于1时m的取值范围．
第8页（共32页）2017 年吉林省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）（2017•吉林）计算（﹣1）2的正确结果是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】1E：有理数的乘方．
【分析】根据有理数乘方的定义计算即可．
【解答】解：原式=1．
故选A．
【点评】本题考查有理数的乘方，记住乘方法则是解题的关键．
2．（2 分）（2017•吉林）如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为
（ ）
A． B．
C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】根据正六棱柱的俯视图为正六边形，即可得出结论．
【解答】解：正六棱柱的俯视图为正六边形．
故选B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记正六棱柱的三视图是解题的关
第9页（共32页）键．
3．（2分）（2017•吉林）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a6 D．（ab）2=ab2
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）a2与a3不是同类项，故A错误；
（B）原式=a5，故B错误；
（D）原式=a2b2，故D错误；
故选（C）
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题
属于基础题型．
4．（2 分）（2017•吉林）不等式 x+1≥2 的解集在数轴上表示正确的是
（ ）
A． B． C． D ．
【考点】C6：解一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】先求出原不等式的解集，再根据解集即可求出结论．
【解答】解：∵x+1≥2，
∴x≥1．
故选A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基
本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向
要改变．
5．（2分）（2017•吉林）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径
画弧交边 BC 于点 D，连接 AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC 的度数是
第10页（共32页）（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
【考点】K7：三角形内角和定理．
【分析】由AB=BD，∠B=40°得到∠ADB=70°，再根据三角形的外角的性质即可
得到结论．
【解答】解：∵AB=BD，∠B=40°，
∴∠ADB=70°，
∵∠C=36°，
∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角
是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．
6．（2分）（2017•吉林）如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上
一点，连接OB交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】MC：切线的性质．
【分析】根据勾股定理，可得OB的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：由勾股定理，得
OB=√OA2+AB2=13，
CB=OB﹣OC=13﹣5=8，
故选：D．
第11页（共32页）【点评】本题考查了切线的性质，利用勾股定理得出OB的长是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）（2017•吉林）2016年我国资助各类家庭困难学生超过 84 000 000
人次．将84 000 000这个数用科学记数法表示为 8. 4 × 1 0 7 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数
点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，
n是负数．
【解答】解：84 000 000=8.4×107，
故答案为：8.4×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8．（3分）（2017•吉林）苹果原价是每千克x元，按8折优惠出售，该苹果现
价是每千克 0.8 x 元（用含x的代数式表示）．
【考点】32：列代数式．
【分析】按8折优惠出售，就是按照原价的80%进行销售．
【解答】解：依题意得：该苹果现价是每千克80%x=0.8x．
故答案是：0.8x．
【点评】本题考查了列代数式．解题的关键是理解“按8折优惠出售”的含义．
9．（3分）（2017•吉林）分解因式：a2+4a+4= （ a + 2 ） 2 ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】44 ：因式分解．
【分析】利用完全平方公式直接分解即可求得答案．
【解答】解：a2+4a+4=（a+2）2．
故答案为：（a+2）2．
【点评】此题考查了完全平方公式法分解因式．题目比较简单，注意要细心．
第12页（共32页）10．（3分）（2017•吉林）我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所
示，直线a∥b的根据是 同位角相等，两直线平行 ．
【考点】N3：作图—复杂作图；J9：平行线的判定．
【分析】关键题意得出∠1=∠2；∠1和∠2是同位角；由平行线的判定定理即
可得出结论．
【解答】解：如图所示：
根据题意得出：∠1=∠2；∠1和∠2是同位角；
∵∠1=∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了复杂作图以及平行线的判定方法；熟练掌握平行线的判定
方法，根据题意得出同位角相等是解决问题的关键．
11．（3分）（2017•吉林）如图，在矩形 ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD
绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，
则B'C的长为 1 ．
第13页（共32页）【考点】R2：旋转的性质；LB：矩形的性质．
【分析】B′C=5﹣B′D．在直角△AB′D中，利用勾股定理求得B′D的长度即可．
【解答】解：由旋转的性质得到AB=AB′=5，
在直角△AB′D中，∠D=90°，AD=3，AB′=AB=5，
所以B′D=√AB'2-AD2=√52-32=4，
所以B′C=5﹣B′D=1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质．解题时，根据旋转的性质得到
AB=AB′=5是解题的关键．
12．（3分）（2017•吉林）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆 AB的高度，
使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶
端的影子在地面 O 处重合，测得 OD=4m，BD=14m，则旗杆 AB 的高为 9
m．
【考点】SA：相似三角形的应用．
【分析】由条件可证明△OCD∽△OAB，利用相似三角形的性质可求得答案．
【解答】解：
第14页（共32页）∵OD=4m，BD=14m，
∴OB=OD+BD=18m，
由题意可知∠ODC=∠OBA，且∠O为公共角，
∴△OCD∽△OAB，
OD CD 4 2
∴ = ，即 = ，解得AB=9，
OB AB 18 AB
即旗杆AB的高为9m．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，证得三角形相似得到关于 AB的方程
是解题的关键．
13．（3分）（2017•吉林）如图，分别以正五边形 ABCDE的顶点A，D为圆心，
6
以AB长为半径画^BE，C^E．若AB=1，则阴影部分图形的周长为 π + 1 （结
5
果保留π）．
【考点】MM：正多边形和圆．
【分析】由五边形 ABCDE可得出，AB=BC=CD=DE=EA=1、∠A=∠D=108°，利用
弧长公式可求出^BE、C^E的长度，再根据周长的定义，即可求出阴影部分图形
的周长．
【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB=1，
∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°，
108° 3
∴^BE=C^E= •πAB= π，
180° 5
6
∴C =^BE+C^E+BC= π+1．
阴影
5
6
故答案为： π+1．
5
第15页（共32页）【点评】本题考查了正多边形和圆、弧长公式以及周长的定义，利用弧长公式
求出^BE、C^E的长度是解题的关键．
14．（3分）（2017•吉林）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时
一次函数 y=kx+b 与 y=bx+k 互为交换函数．例如：y=4x+3 的交换函数为
y=3x+4．一次函数y=kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为 1 ．
【考点】FF：两条直线相交或平行问题．
【分析】根据题意可以得到相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
{& y=kx+2
，
& y=2x+k
{&x=1
解得， ，
& y=k+2
故答案为：1．
【点评】本题考查两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，列
出相应的方程组．
三、解答题（每小题5分，共20分）
1 2
15．（5分）（2017•吉林）某学生化简分式 + 出现了错误，解答过程
x+1 x2-1
如下：
1 2
原式= + （第一步）
(x+1)(x-1) (x+1)(x-1)
1+2
= （第二步）
(x+1)(x-1)
3
= ．（第三步）
x2-1
（1）该学生解答过程是从第 一 步开始出错的，其错误原因是 分式的基本
性质 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
【考点】6B：分式的加减法．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
第16页（共32页）【解答】解：（1）一、分式的基本性质用错；
x-1 2
（2）原式= +
(x+1)(x-1) (x+1)(x-1)
x+1
=
(x+1)(x-1)
1
=
x-1
故答案为：（1）一、分式的基本性质用错；
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题
属于基础题型．
16．（5分）（2017•吉林）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许
多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为 342km，隧道累计长
度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
【分析】设隧道累计长度为xkm，桥梁累计长度为yk，根据“隧道累计长度与
桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km”，
即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设隧道累计长度为xkm，桥梁累计长度为yk，
{&x+ y=342
根据题意得： ，
&2x= y+36
{&x=126
解得： ．
& y=216
答：隧道累计长度为126km，桥梁累计长度为216km．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方
程组是解题的关键．
17．（5分）（2017•吉林）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数
字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张
卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，
求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
第17页（共32页）【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两
次抽取的卡片上数字之和是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案即可．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况，
4
∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为 ．
9
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可
以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状
图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．
18．（5 分）（2017•吉林）如图，点 E、F 在 BC 上，BE=FC，AB=DC，
∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】14 ：证明题．
【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．
【解答】证明：∵BE=FC，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE；
又∵AB=DC，∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE；（SAS）
∴∠A=∠D．
【点评】此题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角
第18页（共32页）形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的
判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）（2017•吉林）某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单
位：万元）如下表：
月份 第1月 第2月 第3月 第4月 第5月
销售额
人员
甲 7.2 9.6 9.6 7.8 9.3
乙 5.8 9.7 9.8 5.8 9.9
丙 4 6.2 8.5 9.9 9.9
（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：
统计值 平均数（万元） 中位数（万元） 众数（万元）
数值
人员
甲 8. 7 9.3 9.6
乙 8.2 9. 7 5.8
丙 7.7 8.5 9. 9
（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明
理由．
【考点】W5：众数；W2：加权平均数；W4：中位数．
【分析】（1）根据算术平均数、众数、中位数的定义解答；
（2）根据平均数意义进行解答．
1
【解答】解：（1）x = （7.2+9.6+9.6+7.8+9.3）=8.7（万元）
甲 5
把乙按照从小到大依次排列，可得5.8，5.8，9.7，9.8，9.9；
中位数为9.7万元．
丙中出现次数最多的数为9.9万元．
故答案为：8.7，9.7，9.9；
（2）我赞同甲的说法．甲的平均销售额比乙、丙都高．
第19页（共32页）【点评】本题考查了众数、中位数、加权平均数的定义，学会分析图表是解题
的关键．
20．（7分）（2017•吉林）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形
构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．
（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点
上；（所画图形不全等）
（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．
【考点】N4：作图—应用与设计作图；KI：等腰三角形的判定；KK：等边三角
形的性质；L6：平行四边形的判定．
【分析】（1）根据等腰三角形的定义作图可得；
（2）根据平行四边形的判定作图可得．
【解答】解：（1）如图①、②所示，△ABC和△ABD即为所求；
（2）如图③所示， ▱ABCD即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，熟练掌握等腰三角形的定义和
平行四边形的判定是解题的关键．
第20页（共32页）21．（7分）（2017•吉林）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O
处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，
45°，其中点 O，A，B在同一条直线上．求 A，B两点间的距离（结果精确到
0.1km）．
（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】在Rt△AOC中，求出OA、OC，在Rt△BOC中求出OB，即可解决问题．
【解答】解：由题意可得：∠AOC=90°，OC=5km．
在Rt△AOC中，
OA
∵tan34°= ，
OC
∴OA=OC•tan34°=5×0.67=3.35km，
在Rt△BOC中，∠BCO=45°，
∴OB=OC=5km，
∴AB=5﹣3.35=1.65≈1.7km，
答：求A，B两点间的距离约为1.7km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助
仰角构造直角三角形并解直角三角形．
k
22．（7分）（2017•吉林）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB与函数y=
x
（x＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．过点A作AC平行于x轴交y
1
轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD= OC，且△ACD的面积是6，连接
2
BC．
第21页（共32页）（1）求m，k，n的值；
（2）求△ABC的面积．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
1
【分析】（1）由点A的纵坐标为2知OC=2，由OD= OC知OD=1、CD=3，根据
2
△ACD的面积为6求得m=4，将A的坐标代入函数解析式求得k，将点B坐标代
入函数解析式求得n；
（2）作BE⊥AC，得BE=2，根据三角形面积公式求解可得．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（m，2），AC平行于x轴，
∴OC=2，AC⊥y轴，
1
∵OD= OC，
2
∴OD=1，
∴CD=3，
∵△ACD的面积为6，
1
∴ CD•AC=6，
2
∴AC=4，即m=4，
k
则点A的坐标为（4，2），将其代入y= 可得k=8，
x
8
∵点B（2，n）在y= 的图象上，
x
∴n=4；
（2）如图，过点B作BE⊥AC于点E，则BE=2，
第22页（共32页）1 1
∴S = AC•BE= ×4×2=4，
△ABC
2 2
即△ABC的面积为4．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据三角形的面积
求得点A的坐标及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）（2017•吉林）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，
AD=1．将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接
AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．
（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；
（2）四边形ABC'D′的周长为 4√3 ；
（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面
积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．
【考点】LA：菱形的判定与性质；LB：矩形的性质；PC：图形的剪拼；Q2：平
移的性质．
【分析】（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此进行证明即可；
（2）先判定四边形ABC'D'是菱形，再根据边长AB=√3AD=√3，即可得到四边形
ABC'D′的周长为4√3；
第23页（共32页）（3）根据两种不同的拼法，分别求得可能拼成的矩形周长．
【解答】解：（1）∵BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，
由平移可得，B'C'=BC=AD，∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°，
∴AD∥B'C'
∴四边形AB'C'D是平行四边形，
∵B'为BD中点，
1
∴Rt△ABD中，AB'= BD=DB'，
2
又∵∠ADB=60°，
∴△ADB'是等边三角形，
∴AD=AB'，
∴四边形AB'C'D是菱形；
（2）由平移可得，AB=C'D'，∠ABD'=∠C'D'B=30°，
∴AB∥C'D'，
∴四边形ABC'D'是平行四边形，
由（1）可得，AC'⊥B'D，
∴四边形ABC'D'是菱形，
∵AB=√3AD=√3，
∴四边形ABC'D′的周长为4√3，
故答案为：4√3；
（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面
积相等的矩形如下：
第24页（共32页）∴矩形周长为6+√3或2√3+3．
【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理的运用，
解题时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四
边形是菱形．
24．（8分）（2017•吉林）如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现
以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注
水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．
（1）正方体的棱长为 1 0 cm；
（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的
值．
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）直接利用一次函数图象结合水面高度的变化得出正方体的棱长；
（2）直接利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用函数图象得出自变量 x
的取值范围；
（3）利用一次函数图象结合水面高度的变化得出t的值．
第25页（共32页）【解答】解：（1）由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为 10cm，12秒后
水槽内高度变化趋势改变，
故正方体的棱长为10cm；
故答案为：10；
（2）设线段AB对应的函数解析式为：y=kx+b，
∵图象过A（12，0），B（28，20），
{&12k+b=10
∴ ，
&28k+b=20
5
{&k=
8
解得： ，
5
&b=
2
5 5
∴线段AB对应的解析式为：y= x+ （12≤x≤28）；
8 2
（3）∵28﹣12=16（cm），
∴没有立方体时，水面上升10cm，所用时间为：16秒，
∵前12秒由立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒，
∴将正方体铁块取出，经过4秒恰好将此水槽注满．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，正确利用函数图象获取正确信息是
解题关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10 分）（2017•吉林）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=45°，
AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点 P作
PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形 DEFQ．
设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x
（s）．
第26页（共32页）（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为 x cm（用含x的代数式表
示）；
（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；
（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；
（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）国际已知条件得到∠AQP=45°，求得PQ=AP=2x，由于D为PQ中
点，于是得到DQ=x；
（2）如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP=2x，由于D为PQ中点，得到
DQ=x，求得GP=2x，列方程于是得到结论；
4 4
（3）如图②，当0＜x≤ 时，根据正方形的面积公式得到y=x2；如图③，当
5 5
1
＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH= AB=2，根据正方形和三角
2
23
形面积公式得到y=﹣ x2+20x﹣8；如图④，当1＜x＜2时，PQ=4﹣2x，根据三
2
角形的面积公式得到结论；
（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，得到x=1，当Q为BC的中点时，BQ=
3
√2，得到x= ，于是得到结论．
2
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，
∴∠AQP=45°，
∴PQ=AP=2x，
∵D为PQ中点，
∴DQ=x，
故答案为：x；
第27页（共32页）（2）如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP=2x，
∵D为PQ中点，
∴DQ=x，
∴GP=2x，
∴2x+x+2x=4，
4
∴x= ；
5
4
（3）如图②，当0＜x≤ 时，y=S =DQ2=x2，
5
正方形DEFQ
∴y=x2；
4 1
如图③，当 ＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH= AB=2，
5 2
∵PQ=AP=2x，CK=2﹣2x，
∴MQ=2CK=4﹣4x，FM=x﹣（4﹣4x）=5x﹣4，
1
∴y=S ﹣S =DQ2﹣ FM2，
正方形DEFQ △MNF
2
1 23
∴y=x2﹣ （5x﹣4）2=﹣ x2+20x﹣8，
2 2
23
∴y=﹣ x2+20x﹣8；
2
如图④，当1＜x＜2时，PQ=4﹣2x，
∴DQ=2﹣x，
1
∴y=S = DQ2，
△DEQ
2
1
∴y= （2﹣x）2，
2
1
∴y= x2﹣2x+2；
2
（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，
即2x=2，
∴x=1，
当Q为BC的中点时，BQ=√2，
PB=1，
第28页（共32页）∴AP=3，
∴2x=3，
3
∴x= ，
2
3
∴边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围为：1＜x＜ ．
2
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，图形面积的计算，
正确的作出图形是解题的关键．
26．（10分）（2017•吉林）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：
4
【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 y=a（x﹣2）2﹣ 经过原点O，
3
1
与x轴的另一个交点为A，则a= ．
3
第29页（共32页）【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图
象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为 G，如图②．直接写出图象 G
对应的函数解析式．
【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左
至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y
随x增大而增大时x的取值范围．
【应用】P是图③中图象 G上一点，其横坐标为 m，连接 PD，PE．直接写出
△PDE的面积不小于1时m的取值范围．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；
【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值
的解析式；
【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点 CDEF的坐
标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；
【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1；
分三部分进行讨论：
1 4
①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m， (m-2) 2- ]，根据h≥1，列
3 3
不等式解出即可；
②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；
③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4．
【解答】解：【问题】
4
∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣ 经过原点O，
3
4
∴0=a（0﹣2）2﹣ ，
3
第30页（共32页）1
a= ，
3
1
故答案为： ；
3
1 4
【操作】：如图①，抛物线：y= （x﹣2）2﹣ ，
3 3
对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），
1 4
沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣ （x﹣2）2+
3 3
1 4
{& (x-2) 2- (x≤0或x≥4)
3 3
如图②，图象G对应的函数解析式为：y= ；
1 4
&- (x-2) 2+ (0＜x＜4)
3 3
【探究】：如图③，由题意得：
1 4
当y=1时， （x﹣2）2﹣ =0，
3 3
解得：x =2+√7，x =2﹣√7，
1 2
∴C（2﹣√7，1），F（2+√7，1），
1 4
当y=1时，﹣ （x﹣2）2+ =0，
3 3
解得：x =3，x =1，
1 2
∴D（1，1），E（3，1），
由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+√7时，函数y随x
增大而增大；
【应用】：∵D（1，1），E（3，1），
∴DE=3﹣1=2，
1
∵S = DE•h≥1，
△PDE
2
∴h≥1；
第31页（共32页）1 4
①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m， (m-2) 2- ]，
3 3
1 4
∴h= （m﹣2）2﹣ ﹣1≥1，
3 3
（m﹣2）2≥10，
m﹣2≥√10或m﹣2≤﹣√10，
m≥2+√10或m≤2﹣√10，
②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，
4
∵H（2， ），
3
4 1
∴HM= ﹣1= ＜1，
3 3
∴当点P不可能在DE的上方；
③∵MN=1，
且O（0，0），a（4，0），
∴P与O或A重合时，符合条件，
∴m=0或m=4；
综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣
√10或m≥2+√10．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析
式、对称性、二次函数的性质、图形和坐标特点、折叠的性质；运用了数形结
合的思想和分类讨论的思想，应用部分有难度，根据面积的条件，先求出底边
的长和确定高的取值是关键．
第32页（共32页）
