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2017 年山东省烟台市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A，B，
C，D四个备选答案，其中有且只有一个正确的.
1．（3分）下列实数中的无理数是（ ）
A． B．π C．0 D．
2．（3分）下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）我国推行“一带一路”政策以来，已确定沿线有65个国家加入，共涉及
总人口约达46亿人，用科学记数法表示该总人口为（ ）
A．4.6×109 B．46×108 C．0.46×1010 D．4.6×1010
4．（3分）如图所示的工件，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为
48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（ ）
第1页（共37页）A．48° B．40° C．30° D．24°
6．（3分）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如
下：
则输出结果应为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）用棋子摆出下列一组图形：
按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（ ）
A．3n B．6n C．3n+6 D．3n+3
8．（3分）甲、乙两地去年12月前5天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是
（ ）
A．两地气温的平均数相同 B．甲地气温的中位数是6℃
C．乙地气温的众数是4℃ D．乙地气温相对比较稳定
9．（3分）如图， ▱ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则
的长为（ ）
第2页（共37页）A． π B． π C． π D． π
10．（3分）若x ，x 是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x +x =1﹣x x ，则m
1 2 1 2 1 2
的值为（ ）
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1
11．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列
结论：
①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
12．（3分）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面
A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测
得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为
（结果精确到0.1米， ≈1.414）（ ）
A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米
第3页（共37页）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）30×（ ）﹣2+|﹣2|= ．
14．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则sin = ．
15．（3分）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操
作，
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是 ．
16．（3分）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是
以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点
B′的坐标是 ．
17．（3分）如图，直线y=x+2与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点P，若
OP= ，则k的值为 ．
18．（3分）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形
AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交 于点D，点F是 上
第4页（共37页）一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，
DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（6分）先化简，再求值：（x﹣ ）÷ ，其中x= ，y= ﹣1．
20．（8分）主题班会课上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一
番热议，达成以下四个观点：
A．放下自我，彼此尊重；
B．放下利益，彼此平衡；
C．放下性格，彼此成就；
D．合理竞争，合作双赢．
要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟，根据同学们的选择情况，小明绘制
了如图两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
观点 频数 频率
A a 0.2
第5页（共37页）B 12 0.24
C 8 b
D 20 0.4
（1）参加本次讨论的学生共有 人；
（2）表中a= ，b= ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）现准备从A，B，C，D四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状
图的方法求选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率．
21．（9分）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足
球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品
牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．
（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
第6页（共37页）试问去哪个商场购买足球更优惠？
22．（9分）数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过
程是：当温度达到设定温度﹣20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐
上升，当上升到﹣4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至﹣
20℃时，制冷再次停止，…，按照以上方式循环进行．
同学们记录了44min内15个时间点冷柜中的温度y（℃）随时间x（min）的变化情
况，制成下表：
时间x/mi … 4 8 10 16 20 21 22 23 24 28 30 36 40 42 44 …
n
温度y/℃ … ﹣20﹣10﹣8 ﹣5 ﹣4 ﹣8﹣12﹣16﹣20﹣10 ﹣8 ﹣5 ﹣4 a ﹣20 …
（1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．
①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
（2）a的值为 ；
（3）如图，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余数据
对应的点，并画出当4≤x≤44时温度y随时间x变化的函数图象．
第7页（共37页）23．（10分）【操作发现】
（1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角
板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直
角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使
∠DCE=30°，连接AF，EF．
①求∠EAF的度数；
②DE与EF相等吗？请说明理由；
【类比探究】
（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB
重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转
后三角板的一直角边与 AB交于点 D，在三角板另一直角边上取一点 F，使
CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：
①∠EAF的度数；
②线段AE，ED，DB之间的数量关系．
第8页（共37页）24．（11分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，
动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点
B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另
一个动点也随之停止．设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB长为半
径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN．
（1）求BF的长（用含有t的代数式表示），并求出t的取值范围；
（2）当t为何值时，线段EN与⊙M相切？
（3）若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围．
第9页（共37页）25．（13分）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交
直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l
与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，
C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M
的坐标；若不存在，请说明理由．
第10页（共37页）第11页（共37页）2017 年山东省烟台市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A，B，
C，D四个备选答案，其中有且只有一个正确的.
1．（3分）下列实数中的无理数是（ ）
A． B．π C．0 D．
【考点】26：无理数．
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【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解： ，0， 是有理数，
π是无理数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无
限不循环小数为无理数．如π， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个
0）等形式．
2．（3分）下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
第12页（共37页）D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键
是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，
旋转180度后两部分重合．
3．（3分）我国推行“一带一路”政策以来，已确定沿线有65个国家加入，共涉及
总人口约达46亿人，用科学记数法表示该总人口为（ ）
A．4.6×109 B．46×108 C．0.46×1010 D．4.6×1010
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是
负数．
【解答】解：46亿=4600 000 000=4.6×109，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图所示的工件，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
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【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
第13页（共37页）5．（3分）某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为
48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（ ）
A．48° B．40° C．30° D．24°
【考点】JA：平行线的性质；KH：等腰三角形的性质．
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【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠1=∠BAE=45°，然后根据三角形外
角性质计算∠C的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠BAE=48°，
∵∠1=∠C+∠E，
∵CF=EF，
∴∠C=∠E，
∴∠C= ∠1= ×48°=24°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；
两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
6．（3分）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如
下：
第14页（共37页）则输出结果应为（ ）
A． B． C． D．
【考点】25：计算器—数的开方．
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【分析】根据2ndf键是功能转换键列式算式，然后解答即可．
【解答】解：依题意得：[ +（﹣3）2]÷2= ．
故选：C．
【点评】本题考查了利用计算器进行数的开方，是基础题，要注意2ndf键的功能．
7．（3分）用棋子摆出下列一组图形：
按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（ ）
A．3n B．6n C．3n+6 D．3n+3
【考点】38：规律型：图形的变化类．
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【分析】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增
加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找
出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
【解答】解：∵第一个图需棋子3+3=6；
第二个图需棋子3×2+3=9；
第三个图需棋子3×3+3=12；
…
∴第n个图需棋子3n+3枚．
故选：D．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，
是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求
解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
8．（3分）甲、乙两地去年12月前5天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是
（ ）
第15页（共37页）A．两地气温的平均数相同 B．甲地气温的中位数是6℃
C．乙地气温的众数是4℃ D．乙地气温相对比较稳定
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数；W7：方差．
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【分析】分别计算出甲乙两地的平均数、中位数、众数和方差，然后对各选项进行
判断．
【解答】解：甲乙两地的平均数都为6℃；甲地的中位数为6℃；乙地的众数为4℃
和8℃；乙地气温的波动小，相对比较稳定．
故选：C．
【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，
则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度
越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数和中位数．
9．（3分）如图， ▱ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则
的长为（ ）
A． π B． π C． π D． π
【考点】L5：平行四边形的性质；M5：圆周角定理；MN：弧长的计算．
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【分析】连接 OE，由平行四边形的性质得出∠D=∠B=70°，AD=BC=6，得出
OA=OD=3，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE=40°，再由弧
长公式即可得出答案．
【解答】解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
第16页（共37页）∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，
∴OA=OD=3，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠D=70°，
∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，
∴ 的长= = ；
故选：B．
【点评】本题考查了弧长公式、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟
练掌握平行四边形的性质，求出∠DOE的度数是解决问题的关键．
10．（3分）若x ，x 是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x +x =1﹣x x ，则m
1 2 1 2 1 2
的值为（ ）
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1
【考点】AB：根与系数的关系．
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【分析】根据根与系数的关系结合x +x =1﹣x x ，即可得出关于m的一元二次方程
1 2 1 2
解之即可得出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m
的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而可确定m的值．
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，
1 2
∴x +x =2m，x •x =m2﹣m﹣1．
1 2 1 2
∵x +x =1﹣x x ，
1 2 1 2
∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=0，
解得：m =﹣2，m =1．
1 2
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根，
∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0，
解得：m≥﹣1．
∴m=1．
第17页（共37页）故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系以及
x +x =1﹣x x ，找出关于m的一元二次方程是解题的关键．
1 2 1 2
11．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列
结论：
①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
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【专题】31：数形结合．
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到b的
符合，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对
②进行判断；利用x=1时，y＜0和c＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴
方程得到b=﹣2a，加上x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，
∴b=﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
而c＜0，
第18页（共37页）∴a+b+2c＜0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，
∴b=﹣2a，
而x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，所以④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c
（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上
开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对
称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时
（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴
交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数有△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x
轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，
抛物线与x轴没有交点．
12．（3分）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面
A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测
得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为
（结果精确到0.1米， ≈1.414）（ ）
A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，
∵∠BDB'=∠B'DC=22.5°，
∴EB'=B'F，
第19页（共37页）∵∠BEB′=90°，
∴EB′=B′F=10 ，
∴DF=20+10 ，
∴DC=DF+FC=20+10 +1.6≈35.74=35.7．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生借助俯角构
造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）30×（ ）﹣2+|﹣2|= 6 ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
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【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值3个考点．在计算时，需要针对
每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：30×（ ）﹣2+|﹣2|
=1×4+2
=4+2
=6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．
解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运
算．
14．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则sin = ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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第20页（共37页）【分析】根据∠A的正弦求出∠A=60°，再根据30°的正弦值求解即可．
【解答】解：∵sinA= = ，
∴∠A=60°，
∴sin =sin30°= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解
题的关键．
15．（3分）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操
作，
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是 x ＜ 8 ．
【考点】C9：一元一次不等式的应用．
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【分析】根据运算程序，列出算式：3x﹣6，由于运行了一次就停止，所以列出不等
式3x﹣6＜18，通过解该不等式得到x的取值范围．
【解答】解：依题意得：3x﹣6＜18，
解得x＜8．
故答案是：x＜8．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是通过程序表达式，将程
序转化问题化为不等式，难度一般．
16．（3分）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是
以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点
B′的坐标是 （﹣ 2 ， ） ．
第21页（共37页）【考点】D5：坐标与图形性质；SC：位似变换．
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【分析】把B的横纵坐标分别乘以﹣ 得到B′的坐标．
【解答】解：由题意得：△A′OB′与△AOB的相似比为2：3，
又∵B（3，﹣2）
∴B′的坐标是[3× ，﹣2× ]，即B′的坐标是（﹣2， ）；
故答案为：（﹣2， ）．
【点评】本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与
相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相
似比的正负．
17．（3分）如图，直线y=x+2与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点P，若
OP= ，则k的值为 3 ．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】可设点P（m，m+2），由OP= 根据勾股定理得到m的值，进一步得到P
点坐标，再根据待定系数法可求k的值．
【解答】解：设点P（m，m+2），
∵OP= ，
第22页（共37页）∴ = ，
解得m =1，m =﹣3（不合题意舍去），
1 2
∴点P（1，3），
∴3= ，
解得k=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，
能够求得点P的坐标，难度不大．
18．（3分）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形
AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交 于点D，点F是 上
一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，
DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 36π﹣10 8 ．
【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．
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【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE= OD=3，先根据S =S
弓形BD 扇
﹣S 求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．
形BOD △BOD
【解答】解：如图，∵CD⊥OA，
∴∠DCO=∠AOB=90°，
∵OA=OD=OB=6，OC= OA= OD，
∴∠ODC=∠BOD=30°，
作DE⊥OB于点E，
第23页（共37页）则DE= OD=3，
∴S =S ﹣S = ﹣ ×6×3=3π﹣9，
弓形BD 扇形BOD △BOD
则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108，
故答案为：36π﹣108．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积计算公式及折叠的
性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（6分）先化简，再求值：（x﹣ ）÷ ，其中x= ，y= ﹣1．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化
简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（x﹣ ）÷
=
=
=x﹣y，
当x= ，y= ﹣1时，原式= =1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（8分）主题班会课上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一
第24页（共37页）番热议，达成以下四个观点：
A．放下自我，彼此尊重；
B．放下利益，彼此平衡；
C．放下性格，彼此成就；
D．合理竞争，合作双赢．
要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟，根据同学们的选择情况，小明绘制
了如图两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
观点 频数 频率
A a 0.2
B 12 0.24
C 8 b
D 20 0.4
（1）参加本次讨论的学生共有 5 0 人；
（2）表中a= 1 0 ，b= 0.16 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）现准备从A，B，C，D四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状
图的方法求选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率．
【考点】V7：频数（率）分布表；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．
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【分析】（1）由B观点的人数和所占的频率即可求出总人数；
（2）由总人数即可求出a、b的值，
（3）由（2）中的数据即可将条形统计图补充完整；
（4）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：
第25页（共37页）（1）总人数=12÷0.24=50（人），
故答案为：50；
（2）a=50×0.2=10，b= =0.16，
故答案为：
（3）条形统计图补充完整如图所示：
（4）根据题意画出树状图如下：
由树形图可知：共有12中可能情况，选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率有
6种，
所以选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率= = ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（9分）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足
球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品
牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．
（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
第26页（共37页）试问去哪个商场购买足球更优惠？
【考点】AD：一元二次方程的应用．
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【分析】（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根
据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解
之取其小于1的值即可得出结论；
（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，
比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，
根据题意得：200×（1﹣x）2=162，
解得：x=0.1=10%或x=1.9（舍去）．
答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%．
（2）100× = ≈90.91（个），
在A商城需要的费用为162×91=14742（元），
在B商城需要的费用为162×100× =14580（元）．
14742＞14580．
答：去B商场购买足球更优惠．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据2015年及
2017年该品牌足球的单价，列出关于x的一元二次方程；（2）根据两商城的促
销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用．
22．（9分）数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过
程是：当温度达到设定温度﹣20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐
上升，当上升到﹣4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至﹣
20℃时，制冷再次停止，…，按照以上方式循环进行．
第27页（共37页）同学们记录了44min内15个时间点冷柜中的温度y（℃）随时间x（min）的变化情
况，制成下表：
时间 … 4 8 10 16 20 21 22 23 24 28 30 36 40 42 44 …
x/
mi
n
温度 … ﹣ ﹣ ﹣8 ﹣5 ﹣4 ﹣8 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣8 ﹣5 ﹣4 a ﹣ …
y/ 2 1 1 1 2 1 2
℃ 0 0 2 6 0 0 0
（1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．
①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数解析式 y=﹣ ；
②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数解析式 y=﹣4 x + 7 6 ；
（2）a的值为 ﹣ 1 2 ；
（3）如图，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余数据
对应的点，并画出当4≤x≤44时温度y随时间x变化的函数图象．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）①由x•y=﹣80，即可得出当4≤x＜20时，y关于x的函数解析式；
②根据点（20，﹣4）、（21，﹣8），利用待定系数法求出y关于x的函数解析式，再
代入其它点的坐标验证即可；
（2）根据表格数据，找出冷柜的工作周期为20分钟，由此即可得出a值；
（3）描点、连线，画出函数图象即可．
【解答】解：（1）①∵4×（﹣20）=﹣80，8×（﹣10）=﹣80，10×（﹣8）=﹣80，16×
（﹣5）=﹣80，
∴当4≤x＜20时，y=﹣ ．
第28页（共37页）故答案为：y=﹣ ．
②当20≤x＜24时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将（20，﹣4）、（21，﹣8）代入y=kx+b中，
，解得： ，
∴此时y=﹣4x+76．
当x=22时，y=﹣4x+76=﹣12，
当x=23时，y=﹣4x+76=﹣16，
当x=24时，y=﹣4x+76=﹣20．
∴当20≤x＜24时，y=﹣4x+76．
故答案为：y=﹣4x+76．
（2）观察表格，可知该冷柜的工作周期为20分钟，
∴当x=42时，与x=22时，y值相同，
∴a=﹣12．
故答案为：﹣12．
（3）描点、连线，画出函数图象，如图所示．
【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、一次（反比
例）函数图象上点的坐标特征以及一次（反比例）函数图象，解题的关键是：
（1）①根据x、y成反比例，找出函数解析式；②利用待定系数法求出一次函数
解析式；（2）根据表格数据找出冷柜的工作周期；（3）描点、连线，画出函数图
象．
23．（10分）【操作发现】
（1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角
第29页（共37页）板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直
角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使
∠DCE=30°，连接AF，EF．
①求∠EAF的度数；
②DE与EF相等吗？请说明理由；
【类比探究】
（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB
重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转
后三角板的一直角边与 AB交于点 D，在三角板另一直角边上取一点 F，使
CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：
①∠EAF的度数；
②线段AE，ED，DB之间的数量关系．
【考点】RB：几何变换综合题．
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【分析】（1）①由等边三角形的性质得出 AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出
∠ ACF=∠ BCD ， 证 明 △ ACF≌ △ BCD ， 得 出 ∠ CAF=∠ B=60° ， 求 出
∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；
②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；
（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，
由 SAS 证 明 △ ACF≌ △ BCD ， 得 出 ∠ CAF=∠ B=45° ， AF=DB ， 求 出
∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；
②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾
股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，
第30页（共37页）∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，
∵∠DCF=60°，
∴∠ACF=∠BCD，
在△ACF和△BCD中， ，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴∠CAF=∠B=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；
②DE=EF；理由如下：
∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，
∴∠FCE=60°﹣30°=30°，
∴∠DCE=∠FCE，
在△DCE和△FCE中， ，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE=EF；
（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°，
∵∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠BCD，
在△ACF和△BCD中， ，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；
②AE2+DB2=DE2，理由如下：
∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，
∴∠FCE=90°﹣45°=45°，
∴∠DCE=∠FCE，
第31页（共37页）在△DCE和△FCE中， ，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE=EF，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
又∵AF=DB，
∴AE2+DB2=DE2．
【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等
三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题
综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
24．（11分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，
动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点
B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另
一个动点也随之停止．设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB长为半
径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN．
（1）求BF的长（用含有t的代数式表示），并求出t的取值范围；
（2）当t为何值时，线段EN与⊙M相切？
（3）若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）连接MF．只要证明MF∥AD，可得 = ，即 = ，解方程即可；
（2）当线段EN与⊙M相切时，易知△BEN∽△BOA，可得 = ，即 = ，
解方程即可；
第32页（共37页）（3）由题意可知：当0＜t≤ 或 ＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点；
【解答】解：（1）连接MF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8，
在Rt△AOB中，AB= =10，
∵MB=MF，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=∠MFB，
∴MF∥AD，
∴ = ，
∴ = ，
∴BF= t（0＜t≤8）．
（2）当线段EN与⊙M相切时，易知△BEN∽△BOA，
∴ = ，
∴ = ，
∴t= ．
∴t= s时，线段EN与⊙M相切．
（3）由题意可知：当0＜t≤ 时，⊙M与线段EN只有一个公共点．
当点N在⊙M内部时，也满足条件，当F与N重合时 t+2t=16，解得t= （s），
∴ ＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点，
第33页（共37页）综上所述，满足条件的t的范围为0＜t≤ 或 ＜t＜8．
【点评】本题考查圆综合题、菱形的性质、切线的性质、勾股定理、平行线分线段成
比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．学会用构建方程
的思想思考问题．属于中考压轴题．
25．（13分）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交
直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l
与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，
C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M
的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表
示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则
第34页（共37页）可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，
可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，
从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．
【解答】解：
（1）∵矩形OBDC的边CD=1，
∴OB=1，
∵AB=4，
∴OA=3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2﹣ x+2；
（2）在y=﹣ x2﹣ x+2中，令y=2可得2=﹣ x2﹣ x+2，解得x=0或x=﹣2，
∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式为y=﹣x，
由题意可得P（m，﹣ m2﹣ m+2），
∵PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∵P在直线OE的上方，
∴PG=﹣ m2﹣ m+2﹣（﹣m）=﹣ m2﹣ m+2=﹣ （m+ ）2+ ，
∵直线OE解析式为y=﹣x，
∴∠PGH=∠COE=45°，
∴l= PG= [﹣ （m+ ）2+ ]=﹣ （m+ ）2+ ，
∴当m=﹣ 时，l有最大值，最大值为 ；
第35页（共37页）（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称
轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，
则∠ALF=∠ACO=∠FNM，
在△MFN和△AOC中
∴△MFN≌△AOC（AAS），
∴MF=AO=3，
∴点M到对称轴的距离为3，
又y=﹣ x2﹣ x+2，
∴抛物线对称轴为x=﹣1，
设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，
当x=2时，y=﹣ ，当x=﹣4时，y=﹣ ，
∴M点坐标为（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）；
②当AC为对角线时，设AC的中点为K，
∵A（﹣3，0），C（0，2），
∴K（﹣ ，1），
第36页（共37页）∵点N在对称轴上，
∴点N的横坐标为﹣1，
设M点横坐标为x，
∴根据中点坐标公式：x+（﹣1）=2×（﹣ ）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，
∴M（﹣2，2）；
综上可知点M的坐标为（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）或（﹣2，2）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直
角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、方程
思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A、B的坐标是解题的关键，在（2）
中确定出PG与l的关系是解题的关键，在（3）中确定出M的位置是解题的关
键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
第37页（共37页）
