文档内容
2017年广西南宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
2．（3分）在下列几何体中，三视图都是圆的为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）根据习近平总书记在“一带一路”国际合作高峰论坛开幕式上的演讲，中国将在未
来3年向参与“一带一路”建设的发展中国家和国际组织提供60000000000元人民币援
助，建设更多民生项目．其中数据60000000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.6×1010 B．0.6×1011 C．6×1010 D．6×1011
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣3（x﹣4）＝﹣3x+12 B．（﹣3x）2•4x2＝﹣12x4
C．3x+2x2＝5x3 D．x6÷x2＝x3
5．（3分）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）今年世界环境日，某校组织以保护环境为主题的演讲比赛，参加决赛的6名选手成
绩（单位：分）如下：8.5，8.8，9.4，9.0，8.8，9.5，这6名选手成绩的众数和中位数分别是（
第1页（共39页））
A．8.8分，8.8分 B．9.5分，8.9分
C．8.8分，8.9分 D．9.5分，9.0分
7．（3分）如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则
下列结论错误的是（ ）
A．∠DAE＝∠B B．∠EAC＝∠C C．AE∥BC D．∠DAE＝∠EAC
8．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸
出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为
（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图， O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧 的长等于（ ）
⊙
A． B． C． D．
10．（3分）一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用
时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为vkm/h，则可列方程为
（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
11．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北
方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的
第2页（共39页）距离为（ ）
A．60 nmile B．60 nmile C．30 nmile D．30 nmile
12．（3分）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C ：y＝x2（x≥0）和抛物线C ：y＝
1 2
（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C 交于点C，D，过点B作
2
EF∥x轴分别与y轴和抛物线C 交于点E，F，则 的值为（ ）
1
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算：|﹣6|＝ ．
14．（3分）红树林中学共有学生1600人，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目的情况，学
校随机抽查了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，则可估计该校学
生中最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的学生有 人．
15．（3分）已知 是方程组 的解，则3a﹣b＝ ．
16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2 ，将菱形按如图方式折
叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为 ．
第3页（共39页）17．（3分）对于函数y＝ ，当函数值y＜﹣1时，自变量x的取值范围是 ．
18．（3分）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P
（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第
一次旋转至图 位置，第二次旋转至图 位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点
P的坐标为 ① ． ②
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：﹣（﹣2）+ ﹣2sin45°+（﹣1）3．
20．（6分）先化简，再求值：1﹣ ÷ ，其中x＝ ﹣1．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣
4），C（﹣4，﹣1）．
（1）把△ABC向上平移3个单位后得到△A B C ，请画出△A B C 并写出点B 的坐标；
1 1 1 1 1 1 1
（2）已知点A与点A（2，1）关于直线l成轴对称，请画出直线l及△ABC关于直线l对称的
2
△A B C ，并直接写出直线l的函数解析式．
2 2 2
第4页（共39页）22．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
23．（8分）为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部
分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其
他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统
计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是
°；
（2）请补全条形统计图；
（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选
择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．
24．（10分）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每
年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，
2016年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；
（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人．如果
2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么
2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？
25．（10分）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过 上一点E作
EG∥AC交CD的延长线⊙于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
第5页（共39页）（2）求证：EG是 O的切线；
⊙
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG＝ ，AH＝3 ，求EM的值．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2 ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，
3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别
交于点M，N．
（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
（3）证明：当直线l绕点D旋转时， + 均为定值，并求出该定值．
第6页（共39页）2017 年广西南宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
【考点】K7：三角形内角和定理．
菁优网版权所有
【分析】根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：由三角形内角和定理得，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关
键．
2．（3分）在下列几何体中，三视图都是圆的为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
菁优网版权所有
【分析】根据常见几何体的三视图，可得答案．
【解答】解：A圆锥的主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、圆柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，故B不符合题意；
C、圆锥的主视图是梯形，左视图是梯形，俯视图是同心圆，故C不符合题意；
D、球的三视图都是圆，故D符合题意；
故选：D．
第7页（共39页）【点评】本题考查了常见几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
3．（3分）根据习近平总书记在“一带一路”国际合作高峰论坛开幕式上的演讲，中国将在未
来3年向参与“一带一路”建设的发展中国家和国际组织提供60000000000元人民币援
助，建设更多民生项目．其中数据60000000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.6×1010 B．0.6×1011 C．6×1010 D．6×1011
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将60000000000用科学记数法表示为：6×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣3（x﹣4）＝﹣3x+12 B．（﹣3x）2•4x2＝﹣12x4
C．3x+2x2＝5x3 D．x6÷x2＝x3
【考点】4I：整式的混合运算．
菁优网版权所有
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵﹣3（x﹣4）＝﹣3x+12，故选项A正确，
∵（﹣3x）2•4x2＝9x2•4x2＝36x4，故选项B错误，
∵3x+2x2不能合并，故选项C错误，
∵x6÷x2＝x4，故选项D错误，
故选：A．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
5．（3分）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
菁优网版权所有
【分析】根据不等式解集的表示方法即可判断．
第8页（共39页）【解答】解：
解不等式 得：x＞﹣1，
解不等式①得：x≤2，
∴不等式②组的解集是﹣1＜x≤2，
表示在数轴上，如图所示：
．
故选：A．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是求
出不等式组的解集．
6．（3分）今年世界环境日，某校组织以保护环境为主题的演讲比赛，参加决赛的6名选手成
绩（单位：分）如下：8.5，8.8，9.4，9.0，8.8，9.5，这6名选手成绩的众数和中位数分别是（
）
A．8.8分，8.8分 B．9.5分，8.9分
C．8.8分，8.9分 D．9.5分，9.0分
【考点】W4：中位数；W5：众数．
菁优网版权所有
【分析】分别根据众数的定义及中位数的定义求解即可．
【解答】解：由题中的数据可知，8.8出现的次数最多，所以众数为8.8；
从小到大排列：8.5，8.8，8.8，9.0，9.4，9.5，
故可得中位数是 ＝8.9．
故选：C．
【点评】此题考查了中位数及众数的定义，属于基础题，注意掌握众数及中位数的定义及
求解方法．
7．（3分）如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则
下列结论错误的是（ ）
第9页（共39页）A．∠DAE＝∠B B．∠EAC＝∠C C．AE∥BC D．∠DAE＝∠EAC
【考点】JB：平行线的判定与性质；K8：三角形的外角性质；N3：作图—复杂作图．
菁优网版权所有
【分析】根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE＝∠B，进而判定AE∥BC，再根据平行线的
性质即可得出结论．
【解答】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE＝∠B，故A选项正确，
∴AE∥BC，故C选项正确，
∴∠EAC＝∠C，故B选项正确，
∵AB＞AC，
∴∠C＞∠B，
∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查了复杂作图，平行线的判定与性质以及三角形外角性质的运用，解
题时注意：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
8．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸
出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【考点】X6：列表法与树状图法．
菁优网版权所有
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小
球标号之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是： ＝ ．
故选：C．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以
第10页（共39页）列表列举．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（3分）如图， O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧 的长等于（ ）
⊙
A． B． C． D．
【考点】M5：圆周角定理；MN：弧长的计算．
菁优网版权所有
【分析】连接OB、OC，利用圆周角定理求得∠BOC＝60°，然后利用弧长公式l＝ 来
计算劣弧 的长．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝2，
∴劣弧 的长为： ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算以及等边三角形的判定与性质．根据圆周角
定理得到∠BOC＝60°是解题的关键所在．
10．（3分）一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用
时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为vkm/h，则可列方程为
（ ）
第11页（共39页）A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
菁优网版权所有
【分析】根据题意可得顺水速度为（35+v）km/h，逆水速度为（35﹣v）km/h，根据题意可得等
量关系：以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时
间相等，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得： ＝ ，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出顺水
和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，然后列出方程．
11．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北
方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的
距离为（ ）
A．60 nmile B．60 nmile C．30 nmile D．30 nmile
【考点】KU：勾股定理的应用；TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
菁优网版权所有
【分析】如图作PE⊥AB于E．在Rt△PAE中，求出PE，在Rt△PBE中，根据PB＝2PE即可
解决问题．
【解答】解：如图作PE⊥AB于E．
在Rt△PAE中，∵∠PAE＝45°，PA＝60nmile，
∴PE＝AE＝ ×60＝30 nmile，
在Rt△PBE中，∵∠B＝30°，
∴PB＝2PE＝60 nmile，
故选：B．
第12页（共39页）【点评】本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一
般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
12．（3分）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C ：y＝x2（x≥0）和抛物线C ：y＝
1 2
（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C 交于点C，D，过点B作
2
EF∥x轴分别与y轴和抛物线C 交于点E，F，则 的值为（ ）
1
A． B． C． D．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【分析】可以设A、B横坐标为a，易求得点E、F、D的坐标，即可求得OE、CE、AD、BF的长
度，即可解题．
【解答】解：设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为a2，点B的纵坐标为 ，
∵BE∥x轴，
∴点F纵坐标为 ，
∵点F是抛物线y＝x2上的点，
∴点F横坐标为x＝ ＝ ，
∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为a2，
第13页（共39页）∵点D是抛物线y＝ 上的点，
∴点D横坐标为x＝ ＝2a，
∴AD＝a，BF＝ a，CE＝ a2，OE＝ a2，
∴ ＝ ＝ × ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线上点的计算，考查了三角形面积的计算，本题中求得点E、F、D
的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算：|﹣6|＝ 6 ．
【考点】15：绝对值．
菁优网版权所有
【分析】根据绝对值的化简，由﹣6＜0，可得|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，即得答案．
【解答】解：﹣6＜0，
则|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，
故答案为6．
【点评】本题考查绝对值的化简求值，即|a|＝ ．
14．（3分）红树林中学共有学生1600人，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目的情况，学
校随机抽查了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，则可估计该校学
生中最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的学生有 68 0 人．
【考点】V5：用样本估计总体．
菁优网版权所有
【分析】用样本中最喜欢的项目是跳绳的人数所占比例乘以全校总人数即可得．
【解答】解：由于样本中最喜欢的项目是跳绳的人数所占比例为 ，
∴估计该校学生中最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的学生有1600× ＝680，
故答案为：680．
【点评】本题主要考查样本估计总体，掌握总体中所占比值与样本中的所占比值近似相等
是解题的关键．
第14页（共39页）15．（3分）已知 是方程组 的解，则3a﹣b＝ 5 ．
【考点】97：二元一次方程组的解．
菁优网版权所有
【分析】首先把方程组的解代入方程组，即可得到一个关于a，b的方程组， + 即可求
得代数式的值． ① ②
【解答】解：∵ 是方程组 的解，
∴ ，
+ 得，3a﹣b＝5，
①故答②案为：5．
【点评】本题主要考查了方程组的解的定义，求得3a﹣b的值是解题的关键．
16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2 ，将菱形按如图方式折
叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为 7 ．
【考点】L8：菱形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
菁优网版权所有
【分析】根据菱形的性质得到∠ABO＝∠CBO，AC⊥BD，得到∠ABC＝60°，由折叠的性质
得到EF⊥BO，OE＝BE，∠BEF＝∠OEF，推出△BEF是等边三角形，得到∠BEF＝60°，得
到△AEO是等边三角形，推出EF是△ABC的中位线，求得EF＝ AC＝1，AE＝OE＝1，
同理CF＝OF＝1，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2 ，
∴∠ABO＝∠CBO，AC⊥BD，
∵AO＝1，BO＝ ，
∴tan∠ABO＝ ＝ ，
∴∠ABO＝30°，AB＝2，
∴∠ABC＝60°，
由折叠的性质得，EF⊥BO，OE＝BE，∠BEF＝∠OEF，
第15页（共39页）∴BE＝BF，EF∥AC，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BEF＝60°，
∴∠OEF＝60°，
∴∠AEO＝60°，
∴△AEO是等边三角形，
∴AE＝OE，
∴BE＝AE，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝ AC＝1，AE＝OE＝1，
同理CF＝OF＝1，
∴五边形AEFCD的周长为＝1+1+1+2+2＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角
三角形，正确的识别图形是解题的关键．
17．（3分）对于函数y＝ ，当函数值y＜﹣1时，自变量x的取值范围是 ﹣ 2 ＜ x ＜ 0 ．
【考点】G4：反比例函数的性质．
菁优网版权所有
【分析】先求出y＝﹣1时x的值，再由反比例函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵当y＝﹣1时，x＝﹣2，
∴当函数值y＜﹣1时，﹣2＜x＜0．
故答案为：﹣2＜x＜0．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
18．（3分）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P
（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第
一次旋转至图 位置，第二次旋转至图 位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点
P的坐标为 （① 605 3 ， 2 ） ． ②
第16页（共39页）【考点】D2：规律型：点的坐标；R7：坐标与图形变化﹣旋转．
菁优网版权所有
【分析】首先求出P ～P 的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．
1 5
【解答】解：第一次P （5，2），
1
第二次P （8，1），
2
第三次P （10，1），
3
第四次P （13，2），
4
第五次P （17，2），
5
…
发现点P的位置4次一个循环，
∵2017÷4＝504余1，
P 的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+12×504＝6053，
2017
∴P （6053，2），
2017
故答案为（6053，2）．
【点评】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊
到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：﹣（﹣2）+ ﹣2sin45°+（﹣1）3．
【考点】2C：实数的运算；T5：特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【分析】首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+2 ﹣2× ﹣1
＝1+ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（6分）先化简，再求值：1﹣ ÷ ，其中x＝ ﹣1．
【考点】6D：分式的化简求值．
菁优网版权所有
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子
第17页（共39页）即可解答本题．
【解答】解：1﹣ ÷
＝1﹣
＝1﹣
＝
＝ ，
当x＝ ﹣1时，原式＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣
4），C（﹣4，﹣1）．
（1）把△ABC向上平移3个单位后得到△A B C ，请画出△A B C 并写出点B 的坐标；
1 1 1 1 1 1 1
（2）已知点A与点A（2，1）关于直线l成轴对称，请画出直线l及△ABC关于直线l对称的
2
△A B C ，并直接写出直线l的函数解析式．
2 2 2
【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；P7：作图﹣轴对称变换；Q4：作图﹣平移变换．
菁优
网版权所有
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A B C 并写出点B 的坐标即可；
1 1 1 1
（2）连接AA ，作线段AA 的垂直平分线l，再作△ABC关于直线l对称的△A B C 即可．
2 2 2 2 2
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求，B （﹣2，﹣1）；
1 1 1 1
第18页（共39页）（2）如图，△A B C 即为所求，直线l的函数解析式为y＝﹣x．
2 2 2
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
22．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．
菁优网版权所有
【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，证出OE＝
OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝6，AC＝2OA＝12，在Rt△ABC中，由勾股
定理求出BC＝ ＝6 ，即可得出矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
在△AOE和△COF中， ，
∴△AOE≌△COF（SAS），
第19页（共39页）∴AE＝CF；
（2）解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝6，
∴AC＝2OA＝12，
在Rt△ABC中，BC＝ ＝6 ，
∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝6×6 ＝36 ．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾
股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键．
23．（8分）为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部
分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其
他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统
计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 200 0 名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角
是 10 8 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选
择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．
菁优网版权所有
【分析】（1）根据B组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，进而得出C组的人数，
再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；
（2）根据C组的人数，补全条形统计图；
（3）根据甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种画树状图或列表，
第20页（共39页）即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．
【解答】解：（1）被调查的人数为：800÷40%＝2000（人），
C组的人数为：2000﹣100﹣800﹣200﹣300＝600（人），
∴C组对应的扇形圆心角度数为： ×360°＝108°，
故答案为：2000，108；
（2）条形统计图如下：
（3）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一种交通工具的有4种情况，
∴甲、乙两人选择同一种交通工具上班的概率为： ＝ ．
【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式的运用，解题的关键是仔细观察
统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数
据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（10分）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每
年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，
2016年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；
（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人．如果
2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么
2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？
【考点】AD：一元二次方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．
菁优网版权所有
【分析】（1）经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．
第21页（共39页）设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书7500（1+x）2本，即可列方
程求解；
（2）先求出2017年图书借阅总量的最小值，再求出2016年的人均借阅量，2017年的人均
借阅量，进一步求得a的值至少是多少．
【解答】解：（1）设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据
题意得
7500（1+x）2＝10800，
即（1+x）2＝1.44，
解得：x ＝0.2，x ＝﹣2.2（舍去）
1 2
答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%；
（2）10800×（1+0.2）＝12960（本）
10800÷1350＝8（本）
12960÷1440＝9（本）
（9﹣8）÷8×100%＝12.5%．
故a的值至少是12.5．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，增
长率问题的数量关系的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键．
25．（10分）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过 上一点E作
EG∥AC交CD的延长线⊙于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）求证：EG是 O的切线；
⊙
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG＝ ，AH＝3 ，求EM的值．
【考点】MR：圆的综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）由AC∥EG，推出∠G＝∠ACG，由AB⊥CD推出 ＝ ，推出∠CEF＝
第22页（共39页）∠ACD，推出∠G＝∠CEF，由此即可证明；
（2）欲证明EG是 O的切线只要证明EG⊥OE即可；
（3）连接 OC．设⊙ O 的半径为 r．在 Rt△OCH 中，利用勾股定理求出 r，证明
⊙
△AHC∽△MEO，可得 ＝ ，由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AC∥EG，
∴∠G＝∠ACG，
∵AB⊥CD，
∴ ＝ ，
∴∠CEF＝∠ACD，
∴∠G＝∠CEF，∵∠ECF＝∠ECG，
∴△ECF∽△GCE．
（2）证明：如图2中，连接OE，
∵GF＝GE，
∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
第23页（共39页）∵∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠GEF+∠AEO＝90°，
∴∠GEO＝90°，
∴GE⊥OE，
∴EG是 O的切线．
⊙
（3）解：如图3中，连接OC．设 O的半径为r．
⊙
在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G＝ ＝ ，
∵AH＝3 ，
∴HC＝4 ，
在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3 ，HC＝4 ，
∴（r﹣3 ）2+（4 ）2＝r2，
∴r＝ ，
∵GM∥AC，
∴∠CAH＝∠M，∵∠OEM＝∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EM＝ ．
【点评】本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定
第24页（共39页）理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相
似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2 ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，
3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别
交于点M，N．
（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
（3）证明：当直线l绕点D旋转时， + 均为定值，并求出该定值．
【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a＝3，故此可求得a的值，然后令y＝0得到
关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确
定出抛物线的对称轴；
（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO＝60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得
∠DAO＝30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD＝1，则可得到点D的坐标．设点
P的坐标为（ ，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD＝PA、
AD＝DP、AP＝DP三种情况列方程求解即可；
（3）设直线MN的解析式为y＝kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN
的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即
可．
【解答】解：（1）∵C（0，3）．
∴﹣9a＝3，解得：a＝﹣ ．
令y＝0得：ax2﹣2 ax﹣9a＝0，
∵a≠0，
∴x2﹣2 x﹣9＝0，解得：x＝﹣ 或x＝3 ．
第25页（共39页）∴点A的坐标为（﹣ ，0），B（3 ，0）．
∴抛物线的对称轴为x＝ ．
（2）∵OA＝ ，OC＝3，
∴tan∠CAO＝ ，
∴∠CAO＝60°．
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAO＝30°．
∴DO＝ AO＝1．
∴点D的坐标为（0，1）
设点P的坐标为（ ，a）．
依据两点间的距离公式可知：AD2＝4，AP2＝12+a2，DP2＝3+（a﹣1）2．
当AD＝PA时，4＝12+a2，方程无解．
当AD＝DP时，4＝3+（a﹣1）2，解得a＝0或a＝2（舍去），
∴点P的坐标为（ ，0）．
当AP＝DP时，12+a2＝3+（a﹣1）2，解得a＝﹣4．
∴点P的坐标为（ ，﹣4）．
综上所述，点P的坐标为（ ，0）或（ ，﹣4）．
（3）设直线AC的解析式为y＝mx+3，将点A的坐标代入得：﹣ m+3＝0，解得：m＝ ，
∴直线AC的解析式为y＝ x+3．
设直线MN的解析式为y＝kx+1．
把y＝0代入y＝kx+1得：kx+1＝0，解得：x＝﹣ ，
∴点N的坐标为（﹣ ，0）．
∴AN＝﹣ + ＝ ．
将y＝ x+3与y＝kx+1联立解得：x＝ ．
∴点M的横坐标为 ．
过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG＝ + ．
第26页（共39页）∵∠MAG＝60°，∠AGM＝90°，
∴AM＝2AG＝ +2 ＝ ．
∴ + ＝ + ＝ + ＝ ＝ ＝
．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次
函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M的坐标和点N的坐
标是解答问题（3）的关键．
第27页（共39页）考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
互为相反数的两个数绝对值相等；
①绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
②有理数的绝对值都是非负数．
③（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
①当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
②当a是零时，a的绝对值是零．
③即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n
是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整
数．】
（2）规律方法总结：
科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位
①数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用
②此法表示，只是前面多一个负号．
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方
运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，
最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、
第28页（共39页）特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到
右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混
合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地
解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
5．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注
意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必
要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择
合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都
有意义，且除数不能为0．
6．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有
关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，
这种方法主要用在求方程中的字母系数．
7．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方
程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，
则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
第29页（共39页）（3）形积问题： 利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． 利用三角形、矩
形、菱形、梯形和①圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方②程． 利用相似三
角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元③二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构
成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
8．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的
相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
9．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，
若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次
在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
10．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得
到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题
中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
第30页（共39页）弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
①根据题中的不等关系列出不等式．
②解不等式，求出解集．
③写出符合题意的解．
④11．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成
的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再
求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤： 求不等式组中每个不等式的解集； 利用数轴求公共部分．
解集的规律：①同大取大；同小取小；大小小大中间找②；大大小小找不到．
12．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
13．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方
程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y
＝kx+b，则需要两组x，y的值．
14．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝ （k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
15．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣ ， ）．
第31页（共39页）抛物线是关于对称轴x＝﹣ 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函
①
数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
②抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x
1
，0），（x
2
，0），则其对称
③
轴为x＝ ．
16．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系
式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即
为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键
是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，
并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直
角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取
值范围要使实际问题有意义．
17．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来
寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
18．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个
内角均大于0°且小于180°．
第32页（共39页）（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转
化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数． 直接根据两已知角求第三个角； 依据三角形中角的关
系，用代数方法求三个角； 在直①角三角形中，已知一锐角可利用两②锐角互余求另一锐角．
19．三角形的外角性质 ③
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
三角形的外角和为360°．
①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（③3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质 将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质 ，先从②最大角开始，观察它是哪个三角形
的外角． ③
20．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角
形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助
线构造三角形．
21．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关
键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型： 勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段
的长度． ①
由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为
②边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
③ 第33页（共39页）勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个
④正整数的直角三角形的斜边．
22．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
菱形具有平行四边形的一切性质；
①菱形的四条边都相等；
②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
③菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
④（3）菱形的面积计算
利用平行四边形的面积公式．
①
菱形面积＝ ab．（a、b是两条对角线的长度）
②
23．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
平行四边形的性质矩形都具有；
①角：矩形的四个角都是直角；
②边：邻边垂直；
③对角线：矩形的对角线相等；
④矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在
⑤的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半．
24．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件： 顶点在圆上． 角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中①，同弧或等弧所对②的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧
第34页（共39页）一定要掌握．
（4）注意： 圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的
顶点和底角①的关系进行转化． 圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转
化． 定理成立的条件是“同一②条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，
把不③同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
25．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2 R
π
（2）弧长公式：l＝ （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
①若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
②题设未标明精确度的，可以将弧长用 表示．
③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念π，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不
④一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
26．圆的综合题
圆的综合题．
27．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图
方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆
解成基本作图，逐步操作．
28．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊
的对称点开始的，一般的方法是：
由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
①直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得
②到线段的另一端点，即为对称点；
连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
③29．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置
第35页（共39页）变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图
形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求
的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适
当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出
正确的未知数．
30．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点
后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
31．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的⇒坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常
见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
32．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝ ； cos30°＝ ；tan30°＝ ；
sin45°＝ ；cos45°＝ ；tan45°＝1；
sin60°＝ ；cos60°＝ ； tan60°＝ ；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐
减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，
在解直角三角形中应用较多．
33．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向
第36页（共39页）角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化
为所需要的角．
34．简单几何体的三视图
（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（2）常见的几何体的三视图：
圆柱的三视图：
35．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含
的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布
情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差
）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精
确．
36．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分
第37页（共39页）数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表
示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是
①各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． 按比例取适当半径画一个圆；
按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的②度数；
在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
④37．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然
后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
①在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
②在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
③按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
④38．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位
置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数
据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现
在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中
位数描述其趋势．
39．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，
此时众数就是这多个数据．
第38页（共39页）（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中
程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
40．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所
有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B
的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个
事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，
最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/22 19:50:47；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第39页（共39页）
