文档内容
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分
150分。
试卷总评：总体来说2012湖南理科数学试题相对于2010，2011年有着很大的变化：
试题难度变大，体现于解答题的难度相对于前两年有显著提高。着重体现在19题的内容更
换为数列的充分必要性的证明，考数列解答题可能很多人都有预测到，但是靠充分必要性
的证明可能预测到的少，另外函数应用问题较去年也有提高，着重了函数、不等式应用思
想的考查应用。而相对而言今年的选择题、填空题的布局与前两年吻合，注重对考生基础
知识，基本技能的考查。内容变换，将原有的三角解答题去掉，对立体集合问题不直接考
查角度的计算，而考查几何体体积的计算。突出了重点内容的考查，如函数与导数，圆锥
曲线等。 一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项
[来科网]
中，只有一项符合题目要求的。
1. 设集合 ， ,则 （ ）
A． B. C. D.
2. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）
A．若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
3. 某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
第1页 | 共17页4. 设某大学的女生体重 （单位： ）与身高 （单位： ）具有线性相关关系，根
据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的回归方程为
，则下列结论不正确的是（ ）
A． 与 具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心
C. 若该大学某女生身高增加1 ，则其体重约增加0.85kg
D. 若该大学某女生身高为170 ，则可断定其体重必为58.79kg
5. 已知双曲线 的焦距为10，点 在 的渐近线上，则 的方程为（
）
A． B. C. D.
[来
6. 函数 的值域为（ ）
源:Zxxk.Com]
A． B. C. D.
第2页 | 共17页7. 在 中， ,则 （ ）
A． B. C. D.
8. 已知两条直线 和 ， 与函数 的图象从左至
右相交于点 ， 与函数 的图象从左至右相交于点 ，记线段 和
在 轴上的投影长度分别为 .当 变化时， 的最小值为（ ）
第3页 | 共17页A． B. C. D.
。综上可知 的最小值为 。
【考点定位】函数图像与性质，基本不等式。
二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题
卡中对应题号的横线上。
一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记
分）
9. 在直角坐标系 中，已知曲线 （ 为参数）与曲线
（ 为参数， ）有一个公共点在 轴上，则 。
第4页 | 共17页11. 如图2，过点P的直线与 相交于 两点.若 ，则
的半径等于 。
第5页 | 共17页二、必做题（12~16题）
12．已知复数 （ 为虚数单位），则 。
[来源:Z|xx|k.Com]
14．如果执行如图3所示的程序框图，输入 ，则输出的数 。
第6页 | 共17页15．函数 的导函数 的部分图象如图4所示，其中， 为
图象与 轴的交点， ， 为图象与 轴的两个交点， 为图象的最低点。
（1）若 ，点 的坐标为 ，则 ；
（2）若在曲线段 与 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 内的概率为
。
【答案】（1）3，（2）
【解析】（1）因 ，所以 ，由 时点
的
第7页 | 共17页16．设 ，将 个数 依次放入编号为
的 个位置，得到排列 。将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，
并按原顺序依次放入对应的前 和后 个位置，得到排列
将此操作称为 变换。将 分成两段，每段 个数，并对每段作 变换，得到 ；当
时，将 分成 段，每段 个数，并对每段作 变换，得到 ，
例如，当 时， ，此时 位于 中的第4个位置。
（1）当 时， 位于 中的第 个位置；
第8页 | 共17页（2）当 时， 位于 中的第 个位置。
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随
机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数（人） 30 25 Y 10
结算时间（分
1 1.5 2 2.5 3
钟/人）
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
（1）确定 的值，并求顾客一次购物的结算时间 的分布列与数学期望；
（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾
客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率。
（注：将频率视为概率）
第9页 | 共17页[来源:Zxxk.Com]
18. （本小题满分12分）
如图5，在四棱锥 中， ⊥平面 ，
∠ ∠ 是 的中点。
（Ⅰ）证明： ⊥平面
第10页 | 共17页（Ⅱ）若直线 与平面 所成的角和 与平面 所成的角相等，求四棱锥
的体积。
第11页 | 共17页19. （本小题满分12分）
已知数列 的各项均为正数，记 ，
[来源:学。科。
网]
，
（Ⅰ）若 且对任意 ，三个数 ， ， 组成等差数列，
求数列 的通项公式；
（Ⅱ）证明：数列 是公比为 的等比数列的充分必要条件是：对任意 ，三个数
， ， 组成公比为 的等比数列.
第12页 | 共17页20. （本小题满分13分）
某企业接到生产3000台某产品的 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数
量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C
部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与
第13页 | 共17页生产A部件的人数成正比，比例系数为 （ 为正整数）.
（Ⅰ）设生产A部件的人数为 ，分别写出完成 三种部件生产需要的时间；
（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 的值，使完成订单任务的时间最
短，并给出时间最短时具体的人数分组方案。
第14页 | 共17页21. (本小题满分13分)
在直角坐标系 中，曲线 上的点均在圆 外，且对 上任意一点
, 到直线 的距离等于该点与 上点的距离的最小值。
（I）求曲线 的方程；
（Ⅱ）设 （ ）为 外一点，过 作圆 的两条切线，分别与曲线 相
交于点 和 ,证明：当 在直线 上运动时，四点 ， 的纵坐标之积
为定值。
第15页 | 共17页22. （本小题满分13分）
已知函数 ，其中 .
（I）若对一切 ， 恒成立，求 的取值集合；
（Ⅱ）在函数 的图象上取定两点 ，记直线 的
斜率为 .问：是否存在 ,使 成立？若存在，求 的取值范围；若不
存在，请说明理由.
【解析】（I）若 ，则对一切 ， 这与题设矛盾.又 ，故
.而 ，令 得 ，
第16页 | 共17页当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调
第17页 | 共17页
