文档内容
2017年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是
符合题目要求的）
1．（3分）25的算术平方根是（ ）
A．5 B．±5 C．﹣5 D．25
2．（3分）如图所示，已知AB∥CD，下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠4
3．（3分）3﹣ 的绝对值是（ ）
A．3﹣ π B． ﹣3 C．3 D．
4．（3分）π下列立体图形中，π主视图是圆的是（ ） π
A． B． C． D．
5．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使
管道对接，另一侧铺设的角度大小应为（ ）
A．120° B．100° C．80° D．60°
7．（3分）如图所示，边长为a的正方形中阴影部分的面积为（ ）
第1页（共20页）A．a2﹣ （ ）2 B．a2﹣ a2 C．a2﹣ a D．a2﹣2 a
π π π π
8．（3分）“救死扶伤”是我国的传统美德，某媒体就“老人摔倒该不该扶”进行了调查，将
得到的数据经统计分析后绘制成如图所示的扇形统计图，根据统计图判断下列说法，其中
错误的一项是（ ）
A．认为依情况而定的占27%
B．认为该扶的在统计图中所对应的圆心角是234°
C．认为不该扶的占8%
D．认为该扶的占92%
9．（3分）如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后
回家．其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为
（ ）
A．1.1千米 B．2千米 C．15千米 D．37千米
10．（3分）如图所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为（﹣
1，1），（﹣3，1），（﹣1，﹣1）．30秒后，飞机P飞到P′（4，3）位置，则飞机Q，R的位置
Q′，R′分别为（ ）
第2页（共20页）A．Q′（2，3），R′（4，1） B．Q′（2，3），R′（2，1）
C．Q′（2，2），R′（4，1） D．Q′（3，3），R′（3，1）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）将多项式mn2+2mn+m因式分解的结果是 ．
12．（3分）2016年，我国又有1240万人告别贫困，为世界脱贫工作作出了卓越贡献．将1240
万用科学记数法表示为a×10n的形式，则a的值为 ．
13．（3分）若抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是 ．（写一个即可）
14．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶
公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积
为S＝ ．现已知△ABC的三边长分别为1，2， ，则
△ABC的面积为 ．
15．（3分）如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为 ．
第3页（共20页）16．（3分）如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：
在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；
①
分别以D，E为圆心，以大于 DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；
②
作射线OC．
③则∠AOC的大小为 ．
17．（3分）掷一枚硬币两次，可能出现的结果有四种，我们可以利用如图所示的树状图来分
析所有可能出现的结果，那么掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率是 ．
18．（3分）如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R
处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°．n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则
火箭在这n秒中上升的高度是 km．
第4页（共20页）三、解答题（本大题共8小题，第19-25题每小题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必
要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（8分）计算：4sin60°﹣（ ）﹣1﹣ ．
20．（8分）如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．
21．（8分）先化简，再在﹣3，﹣1，0， ，2中选择一个合适的x值代入求值．
• ．
22．（8分）为提高节水意识，小申随机统计了自己家7天的用水量，并分析了第3天的用水情
况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图．（单位：升）
（1）求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数；
（2）求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比；
（3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的
建议后小申家一个月（按30天计算）的节约用水量．
23．（8分）某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆
小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
（2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案．在保持租用车辆总数
第5页（共20页）不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．
24．（8分）如图所示，直线DP和圆O相切于点C，交直径AE的延长线于点P．过点C作AE
的垂线，交AE于点F，交圆O于点B．作平行四边形ABCD，连接BE，DO，CO．
（1）求证：DA＝DC；
（2）求∠P及∠AEB的大小．
25．（8分）如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线
分别相交于点M，N．
【问题引入】
（1）若点O是AC的中点， ＝ ，求 的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G．
【探索研究】
（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证： • • ＝1；
【拓展应用】
（3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，
E，F，若 ＝ ， ＝ ，求 的值．
第6页（共20页）26．（10分）如图所示，顶点为（ ，﹣ ）的抛物线y＝ax2+bx+c过点M（2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直
线y＝x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y＝ （k＞0）图象上一点，若以点
A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．
第7页（共20页）2017年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是
符合题目要求的）
1．【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵52＝25，
∴25的算术平方根是5．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2．【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠4，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案．
【解答】解：∵3﹣ ＜0，
∴|3﹣ |＝ ﹣3． π
故选：πB．π
【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握定义是解题关键．
4．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：A、的主视图是圆，故A符合题意；
B、的主视图是矩形，故B不符合题意；
C、的主视图是三角形，故C不符合题意；
D、的主视图是正方形，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
5．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解，然后在数轴上表示即可．
【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5．
在数轴上表示如下：
第8页（共20页）故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的范围及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是从三
个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式
的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6．【分析】根据两直线平行，同旁内角互补解答．
【解答】解：∵铺设的是平行管道，
∴另一侧的角度为180°﹣120°＝60°（两直线平行，同旁内角互补）．
故选：D．
【点评】本题考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键．
7．【分析】根据图形可知阴影部分的面积是正方形的面积减去直径为a的圆的面积，本题得
以解决．
【解答】解：由图可得，
阴影部分的面积为：a2﹣ ，
故选：A．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
8．【分析】根据百分比和圆心角的计算方法计算即可．
【解答】解：认为依情况而定的占27%，故A正确；
认为该扶的在统计图中所对应的圆心角是65%×360°＝234°，故B正确；
认为不该扶的占1﹣27%﹣65%＝8%，故C正确；
认为该扶的占65%，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了扇形统计图，掌握百分比和圆心角的计算方法是解题的关键．
9．【分析】小徐第一个到达的地方应是菜地，也应是第一次路程不再增加的开始，所对应的时
间为15分，路程为1.1千米．
【解答】解：由图象可以看出菜地离小徐家1.1千米，
故选：A．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义
是解题关键．
第9页（共20页）10．【分析】由点P（﹣1，1）到P′（4，3）知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位，据
此可得．
【解答】解：由点P（﹣1，1）到P′（4，3）知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位，
∴点Q（﹣3，1）的对应点Q′坐标为（2，3），点R（﹣1，﹣1）的对应点R′（4，1），
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握在平面直角坐标系确定点的坐标是
解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．【分析】根据提公因式法、公式法，可得答案．
【解答】解：原式＝m（n2+2n+1）＝m（n+1）2，
故答案为：m（n+1）2．
【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式、完全平方公式是解题关键．
12．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于1240万有8位，所以可以确定n＝8﹣1＝7．
【解答】解：1240万＝1.24×107，
故a＝1.24．
故答案为：1.24．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
13．【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，
∴a＜0，
∴a的值可能是﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，是基础题，需熟记．
14．【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2， 的面积，从而可
以解答本题．
【解答】解：∵S＝ ，
∴△ABC的三边长分别为1，2， ，则△ABC的面积为：
第10页（共20页）S＝ ＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式
解答．
15．【分析】首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠E＝∠EDC＝120°，
∵EF＝DE，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
∴∠FDC＝90°，
故答案为：90°
【点评】此题考查了正多边形和圆．等腰三角形的性质，此题难度不大，注意数形结合思想
的应用．
16．【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论．
【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝ ∠AOB＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
17．【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出掷一枚硬币两次，至少有一次出
现正面的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的结果数为3，
所以掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概
第11页（共20页）率．
18．【分析】分别在Rt△ALR，Rt△BLR中，求出AL、BL即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ARL中，
∵LR＝AR•cos30°＝40× ＝20 （km），AL＝AR•sin30°＝20（km），
在Rt△BLR中，∵∠BRL＝45°，
∴RL＝LB＝20 ，
∴AB＝LB﹣AL＝（20 ﹣20）km，
故答案为（20 ﹣20）km．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题
的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念解决问题．
三、解答题（本大题共8小题，第19-25题每小题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必
要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．【分析】依据特殊锐角三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质进行解答即可．
【解答】解：原式＝4× ﹣2﹣2
＝2 ﹣2﹣2
＝﹣2．
【点评】本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握特殊锐角三角函数值、负整数指数幂的
性质、二次根式的性质是解题的关键．
20．【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，根据等角对等边
可得OB＝OC，然后求出AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明；
（2）根据正方形的判定方法添加即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
第12页（共20页）∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判断，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形
的判定方法与性质是解题的关键．
21．【分析】根据分式的乘法和加法可以化简题目中的式子，然后在﹣3，﹣1，0， ，2中选择
一个使得原分式有意义的x的值代入即可解答本题．
【解答】解： •
＝
＝
＝
＝
＝x，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的方法．
22．【分析】（1）根据平均数和中位数的定义求解可得；
第13页（共20页）（2）用洗衣服的水量除以第3天的用水总量即可得；
（3）根据条形图给出合理建议均可，如：将洗衣服的水留到冲厕所．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 这 7 天 内 小 申 家 每 天 用 水 量 的 平 均 数 为
＝800（升），
将这7天的用水量从小到大重新排列为：780、785、790、800、805、815、825，
∴用水量的中位数为800升；
（2） ×100%＝12.5%，
答：第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比为12.5%；
（3）小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所，
采用以上建议，每天可节约用水100升，一个月估计可以节约用水100×30＝3000升．
【点评】此题主要考查了统计图、平均数、中位数，关键是看懂统计表，从统计表中获取必
要的信息，熟练掌握平均数，中位数与众数的计算方法．
23．【分析】（1）根据题意结合每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个以及师生共300人
参加一次大型公益活动，分别得出等式求出答案；
（2）根据（1）中所求，进而利用总人数为300+30，进而得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）设每辆小客车的乘客座位数是x个，大客车的乘客座位数是y个，
根据题意可得： ，
解得： ，
答：每辆小客车的乘客座位数是18个，大客车的乘客座位数是35个；
（2）设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则
18a+35（11﹣a）≥300+30，
解得：a≤3 ，
符合条件的a最大整数为3，
答：租用小客车数量的最大值为3．
第14页（共20页）【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不
等关系是解题关键．
24．【分析】（1）欲证明DA＝DC，只要证明Rt△DAO≌△Rt△DCO即可；
（2）想办法证明∠P＝30°即可解决问题；
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∵CB⊥AE，
∴AD⊥AE，
∴∠DAO＝90°，
∵DP与 O相切于点C，
∴DC⊥O⊙C，
∴∠DCO＝90°，
在Rt△DAO和Rt△DCO中，
，
∴Rt△DAO≌△Rt△DCO，
∴DA＝DC．
（2）∵CB⊥AE，AE是直径，
∴CF＝FB＝ BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴CF＝ AD，
∵CF∥DA，
∴△PCF∽△PDA，
∴ ＝ ＝ ，
∴PC＝ PD，DC＝ PD，
∵DA＝DC，
∴DA＝ PD，
第15页（共20页）在Rt△DAP中，∠P＝30°，
∵DP∥AB，
∴∠FAB＝∠P＝30°，
∵AE是 O的直径，
∴∠ABE⊙＝90°，
∴∠AEB＝60°．
【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形
中30度角的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形
或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．【分析】（1）作AG∥MN交BN延长线于点G，证△ABG∽△MBN得 ＝ ，即 ＝
，同理由△ACG∽△OCN得 ＝ ，结合AO＝CO得NG＝CN，从而由 ＝ ＝
可得答案；
（2）由 ＝ 、 ＝ 知 • • ＝ • • ＝1；
（3）由（2）知，在△ABD中有 • • ＝1、在△ACD中有 • • ＝1，从而 •
• ＝ • • ，据此知 ＝ • • ＝ • ＝ ．
【解答】解：（1）过点A作AG∥MN交BN延长线于点G，
∴∠G＝∠BNM，
又∠B＝∠B，
∴△ABG∽△MBN，
第16页（共20页）∴ ＝ ，
∴ ﹣1＝ ﹣1，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
同理，在△ACG和△OCN中， ＝ ，
∴ ＝ ，
∵O为AC中点，
∴AO＝CO，
∴NG＝CN，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
（2）由（1）知， ＝ 、 ＝ ，
∴ • • ＝ • • ＝1；
（3）在△ABD中，点P是AD上的一点，过点P的直线与AC、BD的延长线相交于点C，
由（2）得 • • ＝1，
在△ACD中，点P是AD上一点，过点P是AD上一点，过点P的直线与AC、AD的延长线
分别相交于点E、B，
由（2）得 • • ＝1，
∴ • • ＝ • • ，
∴ ＝ • • ＝ • ＝ × ＝ ．
【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质及比例
式的基本性质是解题的关键．
第17页（共20页）26．【分析】（1）设抛物线方程为顶点式y＝a（x﹣ ）2﹣ ，将点M的坐标代入求a的值即可；
（2）设直线y＝x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）．则直角△AOG是等腰直角三角形
∠AGO＝45°．点C是直线y＝x+1上一点（处于x轴下方），而k＞0，所以反比例函数y＝
（k＞0）图象位于点一、三象限．故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能
有如下2种情况：
此菱形以AB为边且AC也为边， 此菱形以AB为对角线，利用点的坐标与图形的性
①质，勾股定理，菱形的性质和反比例②函数图象上点的坐标特征求得k的值即可．
【解答】解：（1）依题意可设抛物线方程为顶点式y＝a（x﹣ ）2﹣ （a≠0），
将点M（2，0）代入可得：a（2﹣ ）2﹣ ＝0，
解得a＝1．
故抛物线的解析式为：y＝（x﹣ ）2﹣ ；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为：y＝（x﹣ ）2﹣ ．
则对称轴为x＝ ，
∴点A与点M（2，0）关于直线x＝ 对称，
∴A（﹣1，0）．
令x＝0，则y＝﹣2，
∴B（0，﹣2）．
在直角△OAB中，OA＝1，OB＝2，则AB＝ ．
设直线y＝x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）．
∴直角△AOG是等腰直角三角形，
∴∠AGO＝45°．
∵点C是直线y＝x+1上一点（处于x轴下方），而k＞0，所以反比例函数y＝ （k＞0）图
象位于点一、三象限．
第18页（共20页）故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：
此菱形以AB为边且AC也为边，如图1所示，
①过点D作DN⊥y轴于点N，
在直角△BDN中，∵∠DBN＝∠AGO＝45°，
∴DN＝BN＝ ＝ ，
∴D（﹣ ，﹣ ﹣2），
∵点D在反比例函数y＝ （k＞0）图象上，
∴k＝﹣ ×（﹣ ﹣2）＝ + ；
此菱形以AB为对角线，如图2，
②作AB的垂直平分线CD交直线y＝x+1于点C，交反比例函数y＝ （k＞0）的图象于点
D．
再分别过点D、B作DE⊥x轴于点F，BE⊥y轴，DE与BE相较于点E．
在直角△BDE中，同 可证∠AGO＝∠DBO＝∠BDE＝45°，
∴BE＝DE． ①
可设点D的坐标为（x，x﹣2）．
∵BE2+DE2＝BD2，
∴BD＝ BE＝ x．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BD＝ x．
∴在直角△ADF中，AD2＝AF2+DF2，即（ x）＝（x+1）2+（x﹣2）2，
解得x＝ ，
∴点D的坐标是（ ， ）．
∵点D在反比例函数y＝ （k＞0）图象上，
∴k＝ × ＝ ，
第19页（共20页）综上所述，k的值是 + 或 ．
【点评】本题考查了二次函数综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，
菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．解答（2）题时要分类讨论，以防
漏解．
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