2013年高考数学试卷（理）（天津）（空白卷）_1.高考2025全国各省真题+答案_01.2008-2024全国高考真题（按省份分类）_30.天津_2008-2024·（天津）数学高考真题

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ 卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用 条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷 和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮 擦干净后, 再选凃其他答案标号. 1.本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式: ·如果事件A, B互斥, 那么 P(AB)P(A)P(B) ·棱柱的体积公式V=Sh， 其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱 柱的高. ·如果事件A, B相互独立, 那么 P(AB)P(A)P(B) 4 ·球的体积公式V  R3. 3 其中R表示球的半径. 第1页 | 共5页一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则AB (A) (,2] (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x, y满足约束条件3x y60, 则目标函数 z  x y20,  y30, = y－2x的最小值为 (A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值 为1, 则输出S的值为 (A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: 1 ①若一个球的半径缩小到原来的 , 则其体积缩小到原来 2 1 的 ; 8 ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; 1 ③直线x + y + 1 = 0与圆x2  y2  相切. 2 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ①③ (D) ②③ x2 y2 (5) 已知双曲线  1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2 2px(p0)的准线分别交于 a2 b2 A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为 , 则p = 3 3 (A) 1 (B) (C) 2 (D) 3 2  (6) 在△ABC中, ABC  ,AB 2,BC 3,则sinBAC = 4 10 10 3 10 5 (A) (B) (C) (D) 10 5 10 5 (7) 函数 的零点个数为 f(x)2x |log x|1 0.5 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4  1 1 (8) 已知函数 f(x)x(1a|x|). 设关于x的不等式 f(xa) f(x) 的解集为A, 若  ,   A,  2 2 则实数a的取值范围是 第2页 | 共5页(A) 1 5  (B) 1 3   ,0  ,0     2 2     (C) 1 5   1 3 (D)  1 5  ,00,  ,        2 2 2       2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理 科 数 学 第Ⅱ卷 注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共12小题, 共110分. 二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. (9) 已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = . 6 (10)  1  的二项展开式中的常数项为 . x   x   (11) 已知圆的极坐标方程为4cos, 圆心为C, 点P的极坐标为4, , 则|CP| = .  3 (12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, BAD60, E为CD的中点. 若 · ＝1, 则AB的长为 . (13) 如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点 A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 . 1 |a| (14) 设a + b = 2, b>0, 则当a = 时,  取得最小值. 2|a| b 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)   已知函数 f(x) 2sin2x 6sinxcosx2cos2x1,xR.  4 (Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;   (Ⅱ) 求f(x)在区间 0, 上的最大值和最小值.  2 第3页 | 共5页(16) (本小题满分13分) 一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别 为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望. (17) (本小题满分13分) 如图, 四棱柱 ABCD－ABC D 中, 侧棱 AA⊥底面 1 1 1 1 1 ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA = AB = 2, E 1 为棱AA 的中点. 1 (Ⅰ) 证明BC ⊥CE; 1 1 (Ⅱ) 求二面角B－CE－C 的正弦值. 1 1 (Ⅲ) 设点M在线段C E上, 且直线AM与平面ADD A 1 1 1 2 所成角的正弦值为 , 求线段AM的长. 6 (18) (本小题满分13分) x2 y2 3 设椭圆  1(ab0)的左焦点为F, 离心率为 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截 a2 b2 3 4 3 得的线段长为 . 3 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) , 求k的值. AC·DB AD·CB8 (19) (本小题满分14分) 3 已知首项为 的等比数列{a }不是递减数列, 其前n项和为S (nN*), 且S + a, S + a, S + 2 n n 3 3 5 5 4 a 成等差数列. 4 (Ⅰ) 求数列 的通项公式; {a } n 1 (Ⅱ) 设T S  (nN*), 求数列{T }的最大项的值与最小项的值. n n S n n (20) (本小题满分14分) 已知函数 . f(x)x2lnx (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使t  f(s). (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为sg(t), 证明: 当t>e2时, 有 2 lng(t) 1   . 5 lnt 2 第4页 | 共5页第5页 | 共5页