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2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至
9页，共150分，考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡颇
擦干净后，再选涂其他答案。不能答在试卷上。
一、本大题共8小题，第小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
（1）若集合A={x|-2≤x≤3}≤3, B={x|x<-1或x>4}, 则集合A∩B等于
（A）{x|x≤3或x>4} （B）{x|－1b>c （B）b>a>c
（C）c>a>b （D）b>c>a
x2 y2 9
（3）“双曲线的方程为 1”是“双曲线的准线方程为x= ”的
9 16 5
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）已知△ABC中，a= 2 ,b= 3,B=60°,那么角A等于
（A）135° (B)90° (C)45° (D)30°
（5）函数f(x)=(x-1)2+1(x<1)的反函数为
（A）f --1(x)=1+ x1(x>1) （B）f--1(x)=1- x1(x>1)
（C）f --1(x)=1+ x1(x≥1) （D）f--1(x)=1- x1(x≥1)
x-y+1≥0,
（6）若实数x，y满足 x+y≥0, 则z=x+2y的最小值是
x≤0,
1
(A)0 (B) (C) 1
2
(D)2
（7）已知等差数列｛a ｝中，a =6,a =15.若b =a ,则数列｛b
n 2 5 n 2n
｝的前5项和等于
n
(A)30 （B）45
(C)90 (D)186
第1页 | 共9页（8）如图，动点P在正方体ABCD-
A B C D 的对角线BD 上，过点P作垂直平面BB D D的直线，与正方体表面相交于M、N.设
1 1 1 1 1 1 1
BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是
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2008年普通高等学校校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
三
题号 二 总分
15 16 17 18 19 20
分数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
(9)若角a的终边经过点P(1,-2),则tan 2a的值为 .
x1
(10)不等式 1的解集是 .
x2
(11)已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜= |b| = 4,那么a·b的值为 .
1
(12)若(x2 )5 展开式中常数项为 ；各项系数之和为
x3
.（用数字作答）
(13)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,
其中A,B,C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4
），则f(f(0))= ; 函数f(x)在x=1处的导数f′（1）=
.
(14)已知函数f(x)=x2- cos x,
π π
对于［－ ， ］上的任意x ,x ,有如下条件：
1 2
2 2
① x >x ; ②x2 >x2 ; ③|x |>x .
1 2 1 2 1 2
其中能使f(x )> f(x )恒成立的条件序号是 .
1 2
第2页 | 共9页三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明。演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
p
已知函数 f(x)sin2wx 3sinwxsin(wx )(w 0)的最小正周期为π.
f
2
（Ⅰ）求ω的值；
2p
（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0， ]上的取值范围.
3
（16）（本小题共14分）
如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.
（17）（本小题共13分）
已知函数 f(x) x3ax2 3bxc(b¹0),且g(x) f(x)2是奇函数.
（Ⅰ）求a,c的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.
（18）（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位
至少有一名志愿者.
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。
第3页 | 共9页（19）（本小题共14分）
已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2 3y2 4上，C在直线l: y=x+2上，且AB∥l.
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.
（20）（本小题共13分）
数列{a }满足a 1,a (n2 nl)a (n 1,2,......),l是常数.
n 1 n1 n
（Ⅰ）当a =-1时，求λ及a 的值；
2 3
（Ⅱ）数列{a }是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由
n
；
（Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m, 当n＞m时总有a ＜0.
n
第4页 | 共9页绝密★考试结束前
2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）D （2）A （3）A （4）C
（5）B （6）A （7）C （8）B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
4
（9） （10）|x|x＜-2|
3
（11）-8 （12）10 32
（13）2 -2 （14）②
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
1cos2wx 3
解：（Ⅰ） f(x) sin2wx
2 2
3 1 1
= sinwx cos2wx
2 2 2
p 1
=sin(2wx ) .
6 2
因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω＞0，
2p
所以 p
2w
解得ω=1.
p 1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f(x)sin(2x ) .
6 2
2p
因为0≤x≤ ，
3
p p 7p
所以 ≤2x ≤ .
6 6 6
1 p
所以 ≤sin(2x )≤1.
2 6
p 1 3 3
因此0≤sin(2x ) ≤ ，即f(x)的取值范围为[0， ]
6 2 2 2
（16）（共14分）
解法一：
（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.
∵AP=BP，
∴PD⊥AB.
第5页 | 共9页∵AC=BC.
∴CD⊥AB.
∵PD∩CD＝D.
∴AB⊥平面PCD.
∵PC平面PCD，
∴PC⊥AB.
（Ⅱ）∵AC=BC, AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC.
又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
且AC∩PC=C，
∴BC⊥平面PAC
取AP中点E,连接BE,CE
∵AB=BP
∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
3
在△BCE中，∠BCE=90°, BC=2, BE= AB 6，
2
BC 6
∴sin∠BEC= .
BE 3
6
∴二面角B-AP-C的大小为aresin .
3
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC, AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC.
∴PC⊥BC.
∵AC∩BC=C,
∴PC⊥平面ABC.
∵AB平面ABC，
∴PC⊥AB.
(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.
设P（0，0，t）,
∵｜PB｜=｜AB｜＝2 2 ，
第6页 | 共9页∴t=2, P(0,0,2).
取AP中点E，连结BE，CE.
∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,
∴CE⊥AP, BE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
∵E(0,1,1),EC (0,1,1),EB (2,1,1),
EC EB 2 3
.
∴cos∠BEC=
EC EB 2 6 3
3
∴二面角B-AP-C的大小为arccos .
3
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，
所以，对任意的x∈R, g (-x)= -g (x), 即f (-x)- 2= -f (x)+2.
又f(x)=x3+ax2+3bx+c,
所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.
a a,
{
所以
c2 c2.
解得a=0，c＝2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x3+3bx+2.
所以f′(x)=3x2+3b(b≠0).
当b＜0时，由f′(x)=0得x=± b.
x变化时，f′(x)的变化情况如下表：
x (-∞,- b ) - b (- b , b ) b ( b ,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
所以，当b＜0时，函数f (x)在（-∞，- b ）上单调递增，在（-
b ， b ）上单调递减，在（ b ，+∞）上单调递增.
当b＞0时，f′(x)＞0.所以函数f (x)在（-∞，+∞）上单调递增.
（18）（共13分）
解：
（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E ，那么
A
A3 1
P（E ）= 3 .
A C2A4 40
3 4
1
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是 .
40
第7页 | 共9页（Ⅱ）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E，那么
A4 1
P（E）＝ 4 .
C2A4 10
3 4
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
9
P（E）=1-P(E)= .
10
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.
设A，B两点坐标分别为（x ,y ）,(x ,y ).
1 1 2 2
ìx2 3y2 4,
由í 得x1,
î y x
所以 AB 2 x x 2 2.
1 2
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
1
所以h 2.S AB h2.
VABC 2 g
（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m.
ìx2 3y2 4,
由í 得4x2 6mx3m2 40.
î y xm
因为A，B在椭圆上，
所以D12m2 64＞0.
设A，B两点坐标分别为（x , y ），（x , y ）.
1 1 2 2
3m 3m2 4
则x x ,x x ,
1 2 2 1 2 4
326m2
所以 AB 2 x x .
1 2 2
2m
又因为BC的长等于点（0, m）到直线l的距离，即 BC .
2
所以 AC 2 AB 2 BC 2 m2 2m10(m1)2 11.
所以当m=-1时，AC边最长.（这时 1264＞0）
V
此时AB所在直线的方程为y=x-1.
(20)（共13分）
解：（Ⅰ）由于a (n2 nl)a (n1,2,),且a =1，
n1 n 1
所以当a = -1时，得12l,
2
故l3.
第8页 | 共9页从而a (22 23)´(1)3.
3
（Ⅱ）数列{a }不可能为等差数列.证明如下：
n
由a =1，a (n2 nl)a 得
1 n1 n
a 2l,a (6l)(2l),a (12l)(6l)(2l).
2 3 4
若存在l，使｛a ｝为等差数列，则a -a =a -a ,即
n 3 2 2 1
(5l)(2l)1l，
解得l=3.
于是a a 1l2,a a (11l)(6l)(2l)24.
2 1 4 3
这与｛a ｝为等差数列矛盾，所以，对任意l，{a }都不可能是等差数列.
n n
（Ⅲ）记b n2 nl(n1,2,),根据题意可知，b ＜0且b ¹0，即l＞2且
n 1 n
l¹n2 n(nÎN*)，这时总存在n ÎN*，满足：当n≥n 时，b ＞0；当n≤n -
0 0 n 0
1时，b ＜0.
n
所以由a =b a 及a =1＞0可知，若n 为偶数，则a ＜0，从而当n＞n
n+1 n n 1 0 n 0
0
时a ＜0；若n 为奇数，则a ＞0，从而当n＞n 时a ＞0.
n 0 n 0 n
0
因此“存在mÎN*，当n＞m时总有a ＜0”的充分必要条件是：n 为偶数，
n o
记n =2k(k=1,2, …)，则l满足
o
ì b (2k)2 2kl＞0，
2k
í
b (2k1)2 2k1l＜0.
î
2k1
故l的取值范围是4k2 2k＜l＜4k2+2k (kÎN*).
第9页 | 共9页
