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2008 年江苏省高考数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）（2008•江苏）若函数 最小正周期为 ，则ω= _________ ．
2．（5分）（2008•江苏）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩
具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 _________ ．
3．（5分）（2008•江苏）若将复数 表示为a+bi（a，b R，i是虚数单位）的形式，则a+b= _________ ．
∈
4．（5分）（2008•江苏）若集合A={x|（x﹣1）2＜3x+7，x R}，则A∩Z中有 _________ 个元素．
∈
5．（5分）（2008•江苏）已知向量 和 的夹角为120°， ，则 = _________ ．
6．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，
E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是 _________ ．
7．（5分）（2008•江苏）某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人
进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：
序号i 分组 组中值 频数 频率
（睡眠时间） （G） （人数） （F）
i i
1 [4，5） 4.5 6 0.12
2 [5，6） 5.5 10 0.20
3 [6，7） 6.5 20 0.40
4 [7，8） 7.5 10 0.20
5 [8，9 8.5 4 0.08
]
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为 _________ ．
第1页 | 共5页8．（5分）（2008•江苏）设直线y= x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为
_________ ．
9．（5分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，
0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，
CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为 ，请你完
成直线OF的方程： _________ ．
10．（5分）（2008•江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的
第3个数为 _________ ．
11．（5分）（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则 的最小值是 _________ ．
12．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的焦距为2c，以O为圆心，a
为半径作圆M，若过 作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 _________ ．
13．（5分）（2008•江苏）满足条件AB=2，AC= BC的三角形ABC的面积的最大值是 _________ ．
14．（5分）（2008•江苏）f（x）=ax3﹣3x+1对于x [﹣1，1 总有f（x）≥0成立，则a= _________ ．
∈ ]
二、解答题（共12小题，满分90分）
第2页 | 共5页15．（15分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别
交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是 ， ．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求α+2β的值．
16．（15分）（2008•江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求
证：
（1）直线EF∥面ACD；
（2）平面EFC⊥面BCD．
17．（15分）（2008•江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．
AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，
建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；
（ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．
18．（15分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x R）与两坐标轴有三个交
点．经过三个交点的圆记为C．
∈
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．
19．（15分）（2008•江苏）（1）设a ，a ，…，a 是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此
1 2 n
数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i）当n=4时，求 的数值；
第3页 | 共5页（ii）求n的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b ，b ，…，b ，其中任意三
1 2 n
项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
20．（15分）（2008•江苏）已知函数 ， （x R，p ，p 为常数）．函
1 2
∈
数f（x）定义为：对每个给定的实数x，
（1）求f（x）=f （x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p ，p 表示）；
1 1 2
（2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p ，p （a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b 上
1 2
的单调增区间的长度之和为 （闭区间[m，n∈的长度定义为n﹣m） ]
]
21．（2008•江苏）如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点
D．求证：ED2=EB•EC．
22．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵 对应的变换作用下得到曲线F，求F的
方程．
23．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆 上的一个动点，求S=x+y的最大值．
24．（2008•江苏）设a，b，c为正实数，求证： ．
25．（2008•江苏）记动点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A B C D 的对角线BD 上一点，记 ．当∠APC
1 1 1 1 1
为钝角时，求λ的取值范围．
26．（2008•江苏）请先阅读：
在等式cos2x=2cos2x﹣1（x R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）
•2=4cosx•（﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．
∈
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=C 0+C 1x+C 2x2+…+C nxn（x R，正整数n≥2），证明：
n n n n
． ∈
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i） ；
第4页 | 共5页（ii） ；
（iii） ．
第5页 | 共5页
