文档内容
2008 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3
至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知全集 ，集合 ， ，那么集合
等于（ ）
A． B．
C． D．
2．若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．“函数 存在反函数”是“函数 在 上为增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若点 到直线 的距离比它到点 的距离小1，则点 的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5．若实数 满足 则 的最小值是（ ）
A．0 B．1 C． D．9
第1页 | 共5页6．已知数列 对任意的 满足 ，且 ，那么 等于（
）
A． B． C． D．
7．过直线 上的一点作圆 的两条切线 ，当直线 关于
对称时，它们之间的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，动点 在正方体 的对角线 上．过点 作垂直于平面
的直线，与正方体表面相交于 ．设 ， ，则函数
的图象大致是（ ）
y y y y
A
1
O x O x O x O x
A． B． C． D．
A
2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
第Ⅱ卷
（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．已知 ，其中 是虚数单位，那么实数 ．
10．已知向量 与 的夹角为 ，且 ，那么 的值为 ．
11．若 展开式的各项系数之和为32，则 ，其展开式中的常数
项为 ．（用数字作答）
12 ． 如 图 ， 函 数 的 图 象 是 折 线 段 ， 其 中 的 坐 标 分 别 为
y
，则 ；
A
4 C
3
2
第2页 | 共5页 1
B
O 1 2 3 4 5 6 x．（用数字作答）
13．已知函数 ，对于 上的任意 ，有如下条件：
① ； ② ； ③ ．
其中能使 恒成立的条件序号是 ．
14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 棵树种植
在点 处，其中 ， ，当 时，
表示非负实数 的整数部分，例如 ， ．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为
．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知函数 （ ）的最小正周期为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的取值范围．
16．（本小题共14分）
如 图 ， 在 三 棱 锥 中 ， ， ， ，
． P
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离． A B
C
第3页 | 共5页17．（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 四个不同的岗位服务，每个岗位至
少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量 为这五名志愿者中参加 岗位服务的人数，求 的分布列．
18．（本小题共13分）
已知函数 ，求导函数 ，并确定 的单调区间．
19．（本小题共14分）
已知菱形 的顶点 在椭圆 上，对角线 所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线 过点 时，求直线 的方程；
（Ⅱ）当 时，求菱形 面积的最大值．
20．（本小题共13分）
对于每项均是正整数的数列 ，定义变换 ， 将数列 变换成数列
．
对于每项均是非负整数的数列 ，定义变换 ， 将数列 各项从大到
小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 ；
又定义 ．
设 是每项均为正整数的有穷数列，令 ．
（Ⅰ）如果数列 为5，3，2，写出数列 ；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列 ，证明 ；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 ，存在正整数 ，当
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