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2019年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，
不选，多选、错选，均不给分）
1．（4分）计算2a﹣3a，结果正确的是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣a D．a
2．（4分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．球
3．（4分）2019年台州市计划安排重点建设项目344个，总投资595200000000元．用科学记
数法可将595200000000表示为（ ）
A．5.952×1011 B．59.52×1010 C．5.952×1012 D．5952×109
4．（4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11
5．（4分）方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据x ，x ，x ，…，x ，可用如下算式计算
1 2 3 n
方差：s2＝ [（x ﹣5）2+（x ﹣5）2+（x ﹣5）2+…+（x ﹣5）2]，其中“5”是这组数据的
1 2 3 n
（ ）
A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数
6．（4分）一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，
下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全
程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程 +
＝ ，则另一个方程正确的是（ ）
A． + ＝ B． + ＝ C． + ＝ D． + ＝
7．（4分）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相
第1页（共24页）切，则 O的半径为（ ）
⊙
A．2 B．3 C．4 D．4﹣
8．（4分）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片
ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张
纸片交叉所成的角 最小时，tan 等于（ ）
α α
A． B． C． D．
9．（4分）已知某函数的图象C与函数y＝ 的图象关于直线y＝2对称．下列命题： 图象C
①
与函数y＝ 的图象交于点（ ，2）； 点（ ，﹣2）在图象C上； 图象C上的点的纵坐
② ③
标都小于4； A（x ，y ），B（x ，y ）是图象C上任意两点，若x ＞x ，则y ＞y ．其中真命
1 1 2 2 1 2 1 2
题是（ ）④
A． B． C． D．
10．（4分①）②如图是用8块A型瓷①砖③（④白色四边形）和8②块③B型④瓷砖（黑色三角①形）②不③重④叠、无空
隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为（
）
第2页（共24页）A． ：1 B．3：2 C． ：1 D． ：2
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：ax2﹣ay2＝ ．
12．（5分）若一个数的平方等于5，则这个数等于 ．
13．（5分）一个不透明的布袋中仅有2个红球，1个黑球，这些球除颜色外无其它差别．先随
机摸出一个小球，记下颜色后放回搅匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色不
同的概率是 ．
14．（5分）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC
上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为 ．
15．（5分）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3
的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着
把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是 3的
整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共 个．
16．（5分）如图，直线l ∥l ∥l ，A，B，C分别为直线l ，l ，l 上的动点，连接AB，BC，AC，线段
1 2 3 1 2 3
AC交直线l 于点D．设直线l ，l 之间的距离为m，直线l ，l 之间的距离为n，若∠ABC＝
2 1 2 2 3
90°，BD＝4，且 ＝ ，则m+n的最大值为 ．
第3页（共24页）三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第
24题14分，共80分）
17．（8分）计算： +|1﹣ |﹣（﹣1）．
18．（8分）先化简，再求值： ﹣ ，其中x＝ ．
19．（8分）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆
与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果
保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
20．（8分）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从
二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时
间x（单位：s）之间具有函数关系h＝﹣ x+6，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时
间x（单位：s）的函数关系如图2所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．
第4页（共24页）21．（10分）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全
市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使
用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图
表．
（1）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？
（2）该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人
数；
（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，比活动前增加了1
人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计
图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
22．（12分）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边
都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各
条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．
（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．
如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；
①如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：
②（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）
如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．
若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（ ）
①若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形． （ ）
②
第5页（共24页）23．（12分）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为
16，求b的值．
24．（14分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接
PC交AD于点F，AP＝FD．
（1）求 的值；
（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM＝EB，连接MF，求证：MF＝PF；
（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ＝AP，连接BQ，BN．
将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上．请判断点B旋转后的对
应点B'是否落在线段BN上，并说明理由．
第6页（共24页）2019年浙江省台州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，
不选，多选、错选，均不给分）
1．【分析】根据合并同类项法则合并即可．
【解答】解：2a﹣3a＝﹣a，
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项法则的应用，能熟记合并同类项法则的内容是解此题的关
键．
2．【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体
是柱体，进而根据左视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
【解答】解：∵几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个圆，
故该几何体是一个圆柱，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果
有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数字595200000000科学记数法可表示为5.952×1011元．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据三角形的三边关系即可求
【解答】解：
A选项，3+4＝7＜8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形
B选项，5+6＝11＞10，10﹣5＜6，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三
第7页（共24页）角形
C选项，5+5＝10＜11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形
D选项，5+6＝11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形
故选：B．
【点评】此题主要考查三角形的三边关系，要掌握并熟记三角形的三边关系：在一个三角
形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
5．【分析】根据方差的定义可得答案．
【解答】解：方差s2＝ （[ x ﹣5）2+（x ﹣5）2+（x ﹣5）2+…+（x ﹣5）2]中“5”是这组数据的
1 2 3 n
平均数，
故选：B．
【点评】本题考查方差，解题的关键是掌握方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均
数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差．
6．【分析】直接利用已知方程得出上坡的路程为x，平路为y，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设未知数x，y，已经列出一个方程 + ＝ ，则另一个方程正确的是： +
＝ ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意得出等式是解题关键．
7．【分析】设 O与AC的切点为E，连接AO，OE，根据等边三角形的性质得到AC＝8，∠C＝
⊙
∠BAC＝60°，由切线的性质得到∠BAO＝∠CAO＝ BAC＝30°，求得∠AOC＝90°，解
直角三角形即可得到结论．
【解答】解：设 O与AC的切点为E，
连接AO，OE，⊙
∵等边三角形ABC的边长为8，
∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，
∵圆分别与边AB，AC相切，
∴∠BAO＝∠CAO＝ BAC＝30°，
∴∠AOC＝90°，
第8页（共24页）∴OC＝ AC＝4，
∵OE⊥AC，
∴OE＝ OC＝2 ，
∴ O的半径为2 ，
故⊙选：A．
【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是
解题的关键．
8．【分析】由“ASA”可证△CDM≌△HDN，可证MD＝DN，即可证四边形DNKM是菱形，当
点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，可求CM＝ ，即可求tan 的值．
α
【解答】解：如图，
∵∠ADC＝∠HDF＝90°
∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°
∴△CDM≌△HDN（ASA）
∴MD＝ND，且四边形DNKM是平行四边形
∴四边形DNKM是菱形
∴KM＝DM
∵sin ＝sin∠DMC＝
α
第9页（共24页）∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，
设MD＝a＝BM，则CM＝8﹣a，
∵MD2＝CD2+MC2，
∴a2＝4+（8﹣a）2，
∴a＝
∴CM＝
∴tan ＝tan∠DMC＝ ＝
α
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求CM
的长是本题的关键．
9．【分析】函数y＝ 的图象在第一、三象限，则关于直线y＝2对称，点（ ，2）是图象C与函
数y＝ 的图象的交点； 正确；
①
点（ ，﹣2）关于y＝2对称的点为点（ ，6），在函数y＝ 上， 正确；
②
y＝ 上任意一点为（x，y），则点（x，y）与y＝2对称点的纵坐标为4﹣ ； 错误；
③
A（x ，y ），B（x ，y ）关于y＝2对称点为（x ，4﹣y ），B（x ，4﹣y ）在函数y＝ 上，可得4
1 1 2 2 1 1 2 2
﹣y ＝ ，4﹣y ＝ ，当x ＞x ＞0或0＞x ＞x ，有y ＞y ； 不正确；
1 2 1 2 1 2 1 2
④
【解答】解：∵函数y＝ 的图象在第一、三象限，
则关于直线y＝2对称，点（ ，2）是图象C与函数y＝ 的图象交于点；
∴ 正确；
①
点（ ，﹣2）关于y＝2对称的点为点（ ，6），
∵（ ，6）在函数y＝ 上，
第10页（共24页）∴点（ ，﹣2）在图象C上；
∴ 正确；
②
∵y＝ 中y≠0，x≠0，
取y＝ 上任意一点为（x，y），
则点（x，y）与y＝2对称点的纵坐标为4﹣ ；
∴ 错误；
③
A（x ，y ），B（x ，y ）关于y＝2对称点为（x ，4﹣y ），B（x ，4﹣y ）在函数y＝ 上，
1 1 2 2 1 1 2 2
∴4﹣y ＝ ，4﹣y ＝ ，
1 2
∵x ＞0＞x ，
1 2
∴y ＞y ；
1 2
∴ 不正确；
故④选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象及性质；熟练掌握函数关于直线后对称时，对应点关于
直线对称是解题的关键．
10．【分析】如图，作DC⊥EF于C，DK⊥FH于K，连接DF．求出△DFN与△DNK的面积比
即可．
【解答】解：如图，作DC⊥EF于C，DK⊥FH于K，连接DF．
由题意：四边形DCFK是正方形，∠CDM＝∠MDF＝∠FDN＝∠NDK，
∴∠CDK＝∠DKF＝90°，DK＝FK，DF＝ DK，
∴ ＝ ＝ ＝ （角平分线的性质定理，可以用面积法证明），
∴ ＝ ＝ ，
∴图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为 ：1，
故选：A．
第11页（共24页）【点评】本题考查图形的拼剪，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所
学知识解决问题．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．【分析】应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣ay2，
＝a（x2﹣y2），
＝a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一
定要彻底．
12．【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案．
【解答】解：若一个数的平方等于5，则这个数等于：± ．
故答案为：± ．
【点评】此题主要考查了平方根，正确把握相关定义是解题关键．
13．【分析】画出树状图然后根据概率公式列式即可得解．
【解答】解：画树状图如图所示：
一共有9种等可能的情况，两次摸出的小球颜色不同的有4种，
∴两次摸出的小球颜色不同的概率为 ；
故答案为： ．
第12页（共24页）【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
14．【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．
【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，
∵点D关于AC的对称点E在边BC上，
∴∠D＝∠AEC＝116°，
∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．
故答案为：52°．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出∠AEC的度数
是解题关键．
15．【分析】求出第一次编号中砸碎3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，再求第二次编号中
砸碎的3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，依次推理便可得到操作过程中砸碎编号是
“66”的“金蛋”总个数．
【解答】解：∵210÷3＝70，
∴第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下210﹣70＝140个金蛋，重新编号为1，2，
3，…，140；
∵140÷3＝46…2，
∴第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下140﹣46＝94个金蛋，重新编号为1，2，
3，…，94；
∵94÷3＝31…1，
∴第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下94﹣31＝63个金蛋，
∵63＜66，
∴砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”
共有3个．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了推理与论证，正确得出每次砸掉的和余下的金蛋个数是解题关键．
16．【分析】过B作BE⊥l 于E，延长EB交l 于F，过A作AN⊥l 于N，过C作CM⊥l 于M，
1 3 2 2
设AE＝x，CF＝y，BN＝x，BM＝y，得到DM＝y﹣4，DN＝4﹣x，根据相似三角形的性质得
到xy＝mn，y＝﹣ x+10，由 ＝ ，得到n＝ m，于是得到（m+n）
最大
＝ m，然后根据二
第13页（共24页）次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：过B作BE⊥l 于E，延长EB交l 于F，过A作AN⊥l 于N，过C作CM⊥l 于
1 3 2 2
M，
设AE＝x，CF＝y，BN＝x，BM＝y，
∵BD＝4，
∴DM＝y﹣4，DN＝4﹣x，
∵∠ABC＝∠AEB＝∠BFC＝∠CMD＝∠AND＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF，
∴△ABE∽△BFC，
∴ ，即 ＝ ，
∴xy＝mn，
∵∠ADN＝∠CDM，
∴△CMD∽△AND，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴y＝﹣ x+10，
∵ ＝ ，
∴n＝ m，
∴（m+n）
最大
＝ m，
∴当m最大时，（m+n）
最大
＝ m，
∵mn＝xy＝x（﹣ x+10）＝﹣ x2+10x＝ m2，
∴当x＝﹣ ＝ 时，mn最大 ＝ ＝ m2，
∴m最大 ＝ ，
第14页（共24页）∴m+n的最大值为 × ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的作
出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第
24题14分，共80分）
17．【分析】分别根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可求解．
【解答】解：原式＝ ．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的
运算．
18．【分析】根据分式的加减运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解： ﹣
＝
＝ ，
当x＝ 时，原式＝ ＝﹣6．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握同分母分式的减法法则是解题的关键．
19．【分析】过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，根据锐角三角函数的定义即可
求出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，
∵sin∠ABD＝ ，
第15页（共24页）∴AD＝92×0.94≈86.48，
∵DE＝6，
∴AE＝AD+DE＝92.5，
∴把手A离地面的高度为92.5cm．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于
基础题型．
20．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到y关于x的函数解析式；
（2）分别令h＝0和y＝0求出相应的x的值，然后比较大小即可解答本题．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式是y＝kx+b，
，解得， ，
即y关于x的函数解析式是y＝﹣ x+6；
（2）当h＝0时，0＝﹣ x+6，得x＝20，
当y＝0时，0＝﹣ x+6，得x＝30，
∵20＜30，
∴甲先到达地面．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和
数形结合的思想解答．
21．【分析】（1）宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，占抽取人数：
；
（2）估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数：30万× ＝5.31万（人）；
（3）宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比： ＝
第16页（共24页）8.9%，活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比： ，8.9%＜
17.7%，因此交警部门开展的宣传活动有效果．
【解答】解：（1）宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，
占抽取人数： ；
答：宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，占抽取人数的51%，
（2）估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数：30万× ＝5.31万（人），
答：估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数5.31万人；
（3）宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比： ＝
8.9%，
活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比： ，
8.9%＜17.7%，
因此交警部门开展的宣传活动有效果．
【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解
决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．【分析】（1） 由SSS证明△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB得出∠ABC＝
∠BCD＝∠CDE＝①∠DEA＝∠EAB，即可得出结论；
由SSS证明△ABE≌△BCA≌△DEC得出∠BAE＝∠CBA＝∠EDC，∠AEB＝∠ABE＝
②∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，由SSS证明△ACE≌△BEC得出∠ACE＝∠CEB，
∠CEA＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB，由四边形ABCE内角和为360°得出∠ABC+∠ECB＝
180°，证出AB∥CE，由平行线的性质得出∠ABE＝∠BEC，∠BAC＝∠ACE，证出∠BAE＝
3∠ABE，同理：∠CBA＝∠D＝∠AED＝∠BCD＝3∠ABE＝∠BAE，即可得出结论；
（2） 证明△AEF≌△CAB≌△ECD，如果△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三
角形①，则∠F＝∠D＝∠B＝90°，而正六边形的各个内角都为120°，即可得出结论；
证明△BFE≌△FBC得出∠BFE＝∠FBC，证出∠AFE＝∠ABC，证明△FAE≌△BCA
②得出AE＝CA，同理：AE＝CE，得出AE＝CA＝CE，由 得：六边形ABCDEF不是正六边
形． ①
【解答】（1） 证明：∵凸五边形ABCDE的各条边都相等，
①
第17页（共24页）∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
在△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、EAB中， ，
∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB（SSS），
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，
∴五边形ABCDE是正五边形；
解：若AC＝BE＝CE，五边形ABCDE是正五边形，理由如下：
②
在△ABE、△BCA和△DEC中， ，
∴△ABE≌△BCA≌△DEC（SSS），
∴∠BAE＝∠CBA＝∠EDC，∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，
在△ACE和△BEC中， ，
∴△ACE≌△BEC（SSS），
∴∠ACE＝∠CEB，∠CEA＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB，
∵四边形ABCE内角和为360°，
∴∠ABC+∠ECB＝180°，
∴AB∥CE，
∴∠ABE＝∠BEC，∠BAC＝∠ACE，
∴∠CAE＝∠CEA＝2∠ABE，
∴∠BAE＝3∠ABE，
同理：∠CBA＝∠D＝∠AED＝∠BCD＝3∠ABE＝∠BAE，
∴五边形ABCDE是正五边形；
（2）解： 若AC＝CE＝EA，如图3所示：
则六边形A①BCDEF是正六边形；假命题；理由如下：
∵凸六边形ABCDEF的各条边都相等，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，
在△AEF、△CAB和△ECD中， ，
∴△AEF≌△CAB≌△ECD（SSS），
第18页（共24页）如果△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F＝∠D＝∠B＝90°，
而正六边形的各个内角都为120°，
∴六边形ABCDEF不是正六边形；
故答案为：假；
若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：
②如图4所示：连接AE、AC、CE、BF，
在△BFE和△FBC中， ，
∴△BFE≌△FBC（SSS），
∴∠BFE＝∠FBC，
∵AB＝AF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴∠AFE＝∠ABC，
在△FAE和△BCA中， ，
∴△FAE≌△BCA（SAS），
∴AE＝CA，
同理：AE＝CE，
∴AE＝CA＝CE，
由 得：△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F＝∠D＝∠B＝90°，
而①正六边形的各个内角都为120°，
∴六边形ABCDEF不是正六边形；
故答案为：假．
第19页（共24页）【点评】本题是四边形综合题目，考查了正多边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰
三角形的性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等
是解题的关键．
23．【分析】（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，c＝2b；
（2）m＝﹣ ，n＝ ，得n＝2b﹣m2；
（3）y＝x2+bx+2b＝（x+ ）2﹣ +2b，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此
时y＝x2，最大值与最小值之差为25；当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，得
0≤b≤8当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣ +2b，当﹣5≤﹣ ＜﹣2时，函数有最大值
1+3b，当﹣2＜﹣ ≤1时，函数有最大值25﹣3b；
当最大值1+3b时，1+3b+ ﹣2b＝16，b＝6；当最大值25﹣3b时，b＝2；
【解答】解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，
得﹣2b+c＝0，
∴c＝2b；
（2）m＝﹣ ，n＝ ，
∴n＝ ，
∴n＝2b﹣m2＝﹣4m﹣m2；
（3）y＝x2+bx+2b＝（x+ ）2﹣ +2b，
第20页（共24页）对称轴x＝﹣ ，
当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；
此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0≤b≤8，
∴﹣4≤x＝﹣ ≤0，
当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣ +2b，
当﹣5≤﹣ ＜﹣2时，函数有最大值1+3b，
当﹣2＜﹣ ≤1时，函数有最大值25﹣3b；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值1+3b时，1+3b+ ﹣2b＝16，
∴b＝6或b＝﹣10，
∵4≤b≤8，
∴b＝6；
当最大值25﹣3b时，25﹣3b+ ﹣2b＝16，
∴b＝2或b＝18，
∵2≤b≤4，
∴b＝2；
综上所述b＝2或b＝6；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象，数形结合解题是关
键．
24．【分析】（1）设AP＝FD＝a，通过证明△AFP∽△DFC，可得 ，可求AP的值，即可
求AF的值，则可求解；
（2）在CD上截取DH＝AF，由“SAS”可证△PAF≌△HDF，可得PF＝FH，由勾股定理可
第21页（共24页）求CE＝EP＝ ，可得CM＝CH＝ ﹣1，由“SAS”可证△FCM≌△FCH，可得FM＝
FH＝PF；
（3）以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，用待定系数法可求BN解析式，
即可求B'坐标，计算B'Q'的长度，即可判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上．
【解答】解：（1）设AP＝FD＝a，
∴AF＝2﹣a，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD
∴△AFP∽△DFC
∴
即
∴a＝ ﹣1
∴AP＝FD＝ ﹣1，
∴AF＝AD﹣DF＝3﹣
∴ ＝
（2）在CD上截取DH＝AF
∵AF＝DH，∠PAF＝∠D＝90°，AP＝FD，
∴△PAF≌△HDF（SAS）
∴PF＝FH，
∵AD＝CD，AF＝DH
∴FD＝CH＝AP＝ ﹣1
∵点E是AB中点，
∴BE＝AE＝1＝EM
第22页（共24页）∴PE＝PA+AE＝
∵EC2＝BE2+BC2＝1+4＝5，
∴EC＝
∴EC＝PE，CM＝ ﹣1
∴∠P＝∠ECP
∵AP∥CD
∴∠P＝∠PCD
∴∠ECP＝∠PCD，且CM＝CH＝ ﹣1，CF＝CF
∴△FCM≌△FCH（SAS）
∴FM＝FH
∴FM＝PF
（3）若点B'在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，
∵EN⊥AB，AE＝BE
∴AQ＝BQ＝AP＝ ﹣1
由旋转的性质可得AQ＝AQ'＝ ﹣1，AB＝AB'＝2，Q'B'＝QB＝ ﹣1，
∵点B（0，﹣2），点N（2，﹣1）
∴直线BN解析式为：y＝ x﹣2
设点B'（x， x﹣2）
∴AB'＝ ＝2
∴x＝
第23页（共24页）∴点B'（ ，﹣ ）
∵点Q'（ ﹣1，0）
∴B'Q'＝ ≠ ﹣1
∴点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上．
【点评】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性
质，一次函数的性质，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．
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