中考冲刺：创新、开放与探究型问题--知识讲解（基础）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_52中考冲刺：创新、开放与探究型问题（基础）

让更多的孩子得到更好的教育 中考冲刺：创新、开放与探究型问题—知识讲解（基础） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【中考展望】 所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目 的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方 法． 由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热点． 通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案设计、 命题组合型、问题开放型等． 【方法点拨】 由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖， 构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力 求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径 完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路， 但是可以从以下几个角度考虑： 1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出 规律． 2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一 致． 3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既 不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果． 4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并 加以严密的论证． 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运 用． 【典型例题】 类型一、探究规律 2 2 3 3 4 4 5 5 1．观察下列各式： 2 2， 3 3， 4 4， 5 5，…想一想，什么样的 1 1 2 2 3 3 4 4 两数之积等于这两数之和？设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律． 【思路点拨】 所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等，因 此得出规律. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 【答案与解析】 所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等，因此 n1 n1 得到规律：  (n1) (n1)(n为正整数) n n 【总结升华】 这个规律是否正确呢？可将等式左右两边分别化简，即能得出结论．对于“数字规律”的观察，要善 于发现其中的变量与不变量，以及变量与项数之间的关系，将规律用代数式表示出来． 举一反三： 【变式】一根绳子，弯曲成如图(a)所示的形状，当用剪刀像图(b)那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为 5段；当用剪刀像图(c)那样沿虚线b(b∥a)把绳子再剪一次时，绳子被剪为9段，当用剪刀在虚线a，b之 间把绳子再剪(n-2)次(剪刀的方向与a平行)，这样一共剪n次时，绳子的段数是________ (用含n的代 数式表示)． 【答案】 首先，在剪0次时，有1段绳子；其次，每剪一次，绳子上多出4个断口，即绳子的段数增加4段，剪n 次之后绳子的段数多出4n段．故剪n次时，绳子的段数是4n+1(n为正整数)． 类型二、条件开放型 2．如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点． (1)若________________________，则△DEC≌△BFA(请你填上能使结论成立的一个条件)； (2)证明你的结论． 【思路点拨】 （1）已知了一边AD=BC，和一角（AD∥BC，∠DAC=∠BCA）相等．根据全等三角形的判定AAS、SAS、ASA等，只 要符合这些条件的都可以． （2）按照（1）中的条件根据全等三角形的判定进行证明即可． 【答案与解析】 解：(1)AE＝CF；(OE＝OF；DE⊥AC，BF⊥AC；DE∥BF等等) (2)以AE＝CF为例． ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠DCE＝∠BAF． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 又∵AE＝CF． ∴AC－AE＝AC－CF． ∴AF＝CE，∴△DEG≌△BAF． 【总结升华】 这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的一般方法是：从结论出发，由果寻因， 逆向推理，探寻出使结论成立的条件；有时也采取把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析考察． 举一反三： 【高清课堂：创新、开放与探究型问题 例1】 【变式】如图，飞机沿水平方向（A，B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必 须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能 飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求： （1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）； （2）用测出的数据写出求距离MN的步骤． A B N M 【答案】 解：此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理，可参照给分 ⑴如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为，测出飞机在B处对山顶的俯角为，测出AB的距离为d，连 接AM，BM． MN MN ⑵第一步，在RtAMN 中，tan ∴AN  ； AN tan MN MN 第二步，在RtBMN 中，tan ∴BN  ； BN tan dtantan 其中AN d BN ，解得MN  ． tantan 类型三、结论开放型 3．已知：如图(a)，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，试以图中标有字母的点为端点，连接两 条线段，如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 【思路点拨】 此题需分三种情况讨论：第一种相等CD=BE，第二种垂直AF⊥BD，第三种是平行DB∥CE．首先利用全 等三角形的性质，再利用三角形全等的判定定理分别进行证明即可． 【答案与解析】 解：可以写出的结论有：CD＝BE，DB∥CE，AF⊥BD，AF⊥CE等． (1)如图(b)，连接CD，BE，得CD＝BE． 证明：∵△ABC≌△ADE， ∴AB＝AD，AC＝AE． 又∠CAB＝∠EAD，∴∠CAD＝∠EAB． 1 ∴△ADC≌△ABE． ∴CD＝BE． (2)如图(c)，连接DB，CE，得DB∥CE． 证明：∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB． ∴∠ADB＝∠ABD． ∵∠ABC＝∠ADE， ∴∠BDF＝∠FBD． 由AC＝AE可得∠ACE＝∠AEC． ∵∠ACB＝∠AED，∴∠FCE＝∠FEC． ∵∠BDF+∠FBD＝∠FCE+∠FEC， ∴∠FCE＝∠DBF． ∴DB∥CE． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 (3)如图(d)，连接DB，AF，得AF⊥BD． ∵△ABC≌△ADE， ∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADE＝90°． 又∵AF＝AF，∴△ADF≌△ABF． ∴∠DAF＝∠BAF． ∴AF⊥BD． (4)如图(e)，连接CE、AF，得AF⊥CE． 同(3)得∠DAF＝∠BAF． 可得∠CAF＝∠EAF． ∴AF⊥BD． 【总结升华】本题考查了全等三角形的判定及性质；要对全等三角形的性质及三角形全等的判断定理进行 熟练掌握、反复利用，达到举一反三． 举一反三： 【高清课堂：创新、开放与探究型问题 例2】 【变式】数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的 一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N.当CP=6时，EM与EN的比值是 多少？ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则 DF DE 可得：  ，因为 ，所以 .可求出 和 的值，进而可求得EM与EN的比值. FC EP DE EP DF FC EF EG (1) 请按照小明的思路写出求解过程. (2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DPMN 的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如 果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由. 【答案】 （1）解：过E 作直线平行于BC交DC，AB分别于点F ，G， DF DE EM EF 则  ，  ，GF  BC 12. FC EP EN EG ∵DE EP，∴DF FC . 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 1 1 ∴EF  CP 63，EGGF EF 12315. 2 2 EM EF 3 1 ∴    . EN EG 15 5 （2）证明：作MH ∥BC交AB于点H ， 则MH CBCD，MHN 90. ∵DCP1809090， ∴DCPMHN . ∵MNH CMN DME 90CDP，DPC 90CDP， ∴DPC MNH .∴DPC MNH . ∴DPMN . 类型四、动态探究型 AC 4．如图所示，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧 上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交 AC于点F，P为．ED的延长线一点． (1)当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切？为什么？ (2)点D在劣弧 的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF？为什么？ AC 【思路点拨】 (1)连接OC．要使PC与⊙O相切，则只需∠PCO＝90°即可．由∠OCA＝∠OAC，∠PFC＝∠AFH，即可寻找出 △PCF所要满足的条件； AD DF (2)要使AD2＝DE·DF，即  ，也就是要使△DAF∽△DEA，这样问题就较容易解决了． DE AD 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 【答案与解析】 解： (1)当PC＝PF(或∠PCF＝∠PFC，或△PCF是等边三角形)时，PC与⊙O相切． 证明：连接OC．∵PC＝PF，∴∠PCF＝∠PFC． ∴∠PCO＝∠PCF+∠OCA＝∠PFC+∠OAC＝∠AFH+∠AHF＝90°． ∴PC与⊙O相切． (2)当点D是 的中点时，AD2＝DE·DF． AC 连接AE，∵ ，∴∠DAF＝∠DEA． ADCD 又∴∠ADF＝∠EDA． ∴△DAF∽△DEA． AD DF ∴  ，∴AD2＝DE·DF． DE AD 【总结升华】 本题是探索条件半开放题，在解决这类问题时，我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条 件．如第(1)小题中，若要PC与⊙O相切，则我们需要怎样的条件；第(2)小题也是如此． 类型五、创新型 5．认真观察图3的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： 图3 图4 （1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征． 特征1：_________________________________________________； 特征2：_________________________________________________． （2）请在图4中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征 【思路点拨】 本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的知识点，以及学生的观察能力及空间想象能力． 【答案与解析】 （1）特征1：都是轴对称图形； 特征2：都是中心对称图形； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积等． （2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，就可以得满分． 图5 【总结升华】 本题为开放型试题，答案并不唯一，只要考生能够写出一种符合要求的情景即可，该题为考生提供了 一个广阔的发挥空间，但是学生必须通过前四个图形发现其中蕴涵的规律，依照此规律来画出自己想象 中的美妙图形． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共8页