中考冲刺：创新、开放与探究型问题--巩固练习（提高）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_53中考冲刺：创新、开放与探究型问题（提高）

让更多的孩子得到更好的教育 中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（提高） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【巩固练习】 一、选择题 1. 下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边 形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平 行四边形的个数为（ ） A、55 B、42 C、41 D、29 2．如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折 痕与AD交与点P；设PD的中点为D，第2次将纸片折叠，使点A与点D 重合，折痕与AD交于点P；设 1 1 1 1 2 PD 的中点为D，第3次将纸片折叠，使点A与点D 重合，折痕与AD交于点P；…；设 2 1 2 2 3 P D 的中点为D ，第n次将纸片折叠，使点A与点D 重合，折痕与AD交于点P（n＞2），则AP 的长 n﹣1 n﹣2 n﹣1 n﹣1 n 6 为（ ） A．535 B． 36 C．536 D． 37 212 529 214 5211 3．下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位 数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到 第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按 如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( ) A．495 B．497 C．501 D．503 二、填空题 4. 如图所示，一个4×2的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形，那么一个5×3的 矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是____ ____． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共11页让更多的孩子得到更好的教育 5. 一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样的 扇环面组成，每个扇环面如图2所示，它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O点的两条直线段 围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大． (1)使图①花圃面积为最大时R－r的值为 ，以及此时花圃面积为 ，其中R、r分 别为大圆和小圆的半径； (2)若L＝160 m，r＝10 m，使图面积为最大时的θ值为 ． 6．如图所示，已知△ABC的面积 ， S 1 △ABC AA BB CC 1 1 在图(a)中，若 1  1  1  ，则S  ； AB BC CA 2 △A 1 B 1 C 1 4 AA BB CC 1 1 在图(b)中，若 2  2  2  ，则S  ； AB BC CA 3 △A 2 B 2 C 2 3 AA BB CC 1 7 在图(c)，若 3  3  3  ，则S  ． AB BC CA 4 △A 3 B 3 C 3 16 … AA BB CC 1 按此规律，若 8  8  8  ，则S ________． △ABC AB BC CA 9 8 8 8 三、解答题 7．如图所示，∠ABM为直角，C为线段BA的中点，D是射线BM上的一个动点(不与点B重合)，连接AD，作 BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F． (1)求证：BF＝FD； (2)∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形?并说明理由； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共11页让更多的孩子得到更好的教育 1 (3)∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG  DA？并说明理由． 4 8.如图(a)、(b)、(c)，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形，BE， CD相交于点O． (1)①如图(a)，求证：△ADC≌△ABE； ②探究： 图(a)中，∠BOC＝________； 图(b)中，∠BOC＝________； 图(c)中，∠BOC＝________； (2)如图(d)，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向 △ABC外所作正n边形的一组邻边．BE，CD的延长相交于点O． ①猜想：图(d)中，∠BOC＝________________；(用含n的式子表示) ②根据图(d)证明你的猜想． 9. 如图(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC上任取一点P(P不与 B，C重合)，连接DP，作射线．PE⊥DP，PE与直线AB交于点E． (1)试确定CP＝3时，点E的位置； (2)若设CP＝x(x＞0)，BE＝y(y＞0)，试写出y关于自变量x的函数关系式； (3)若在线段BC上能找到不同的两点P，P，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a 1 2 的取值范围． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共11页让更多的孩子得到更好的教育 10. 点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC＝k·AB．连接AC，在直线AC 上任取一点E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线m于点F． (1)如图(a)，当k＝1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明； 说明： ①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)； ②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角)，在图(b)中补全图形，完成 证明． (2)如图(c)，若∠ABC＝90°，k≠l，探究线段EF与EB的关系，并说明理由． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C； 【解析】找出规律：∵图②平行四边形有5个=1+2+2，图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3， 图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，∴图⑥的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41. 故选C. 2.【答案】A； 【解析】由题意得，AD=1 BC=5 ，AD=AD﹣DD=15，AD=532 ，AD=533 ，AD=53n ， 1 1 2 3 n 2 2 8 25 27 22n1 故AP=5 ，AP=15，AP=532 …APn=53n1 ， 1 2 3 4 16 26 22n 故可得AP=535 . 6 212 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共11页让更多的孩子得到更好的教育 故选A. 3.【答案】A； 【解析】根据题意，当第1位数字是3时，按操作要求得到的数字是3624862486248…，从第2位数字起 每隔四位数重复一次6248，因为(100-1)被4整除得24余3，所以这个多位数前100位的所有数字之间和 是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)×24＝495，答案选A． 二、填空题 4.【答案】4或7或9或12或15； 【解析】 一个5×3的矩形可以有下面几种分割方式，如图所示． 5.【答案】（1）R－r的值为 L ，以及此时花圃面积为 L2 ； （2）θ值为240 ． 4 4  【解析】要使花圃面积最大，则必定要求扇环面积最大． 设扇环的圆心角为θ，面积为S，根据题意得： R r L  2(Rr) 180 180 (Rr)   2(Rr)， 180 180[L2(Rr)] ∴  (Rr) ∴ R2 r2  S    (R2 r2) 360 360 360  180[L2(Rr)]  (R2 r2)   360 (Rr) 1  [L2(Rr)] (Rr)  2 1 (Rr)2  L(Rr) 2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共11页让更多的孩子得到更好的教育  L 2 L2 ．  (Rr)     4 16 L ∵0 Rr  ， 2 ∴S在 L 时取最大值为 L2 ． Rr  4 16 ∴花圃面积最大时R－r的值为 L ，最大面积为 L2 L2 ． 4 4 16 4 L (2)∵当Rr  时，S取大值， 4 L 160 ∴Rr   40(m)， 4 4 R40r 401050(m)， 180[L2(Rr)] 180(160240) 240 ∴ ．    (Rr) 60  19 6.【答案】 ． 27 【解析】 1 1 1 S 1-3  = △A 1 B 1 C 1 2 2 4 2 1 1 S 1-3  = △A 2 B 2 C 2 3 3 3 3 1 7 S 1-3  = △A 3 B 3 C 3 4 4 16 … 8 1 57 19 S 1-3  = = △A 8 B 8 C 8 9 9 81 27 n 1 3n S 1-3  =1 △AnBnCn n1 n1 (n1)2 三、解答题 7．【答案与解析】 1 解：(1)Rt△AEB中，∵AC＝BC，∴CE＝ AB． 2 ∴CB＝CE．∴∠CEB＝∠CBE． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共11页让更多的孩子得到更好的教育 ∵∠CEF＝∠CBF＝90°， ∴∠BEF＝∠EBF． ∴EF＝BF． ∵∠BEF+∠FED＝90°， ∠EBD+∠EDB＝90°． ∴∠FED＝∠EDF． ∴EF＝FD． ∴BF＝FD． (2)由(1)得BF＝FD，而BC＝CA， ∴CF∥AD，即AE∥CF． 若AC∥EF，则AC＝EF，∴BC＝BF． ∴BA＝BD，∠A＝45°． ∴当0°＜∠A＜45°或45°＜∠A＜90°时，四边形ACFE为梯形． (3)作GH⊥BD，垂足为H，则GH∥AB． 1 1 ∵DG＝ DA，∴DH＝ DB． 4 4 又F为BD的中点，∴H为DF的中点． ∴GH为DF的中垂线． ∴∠GDF＝∠GFD． ∵点G在ED上，∴∠EFD≥∠GFD． ∵∠EFD+∠FDE+∠DEF＝180°， ∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180°． ∴3∠EDF≤180°． ∴∠EDF≤60°． 又∠A+∠EDF＝90°， ∴30°≤∠A＜90°． 1 ∴30°≤∠A＜90°时，DE上存在点G，满足条件DG＝ DA， 4 8．【答案与解析】 (1)证法一： ∵△ABD与△ACE均为等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°． ∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC， 即∠DAC＝∠BAE． ∴△ADC≌△ABE． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共11页让更多的孩子得到更好的教育 证法二：∵△ABD与△ACE均为等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE， 且∠BAD＝∠CAE＝60°． ∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到． ∴△ABE≌△ADC． ②120°，90°，72°． 360° (2)① ． n ②证法一：依题意，知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角，AB＝AD，AE＝AC， (n2)180° ∴∠BAD＝∠CAE＝ ． n ∴∠BAD－∠DAE＝∠CAE－∠DAE， 即∠BAE＝∠DAC． ∴△ABE≌△ADC． ∴∠ABE＝∠ADC． ∵∠ADC+∠ODA＝180°， ∴∠ABO+∠ODA＝180°． ∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC＝360°． ∴∠BOC+∠DAB＝180°． (n2)180° 360° ∴∠BOC＝180°－∠DAB＝180°  ． n n 证法二：延长BA交CO于F，证∠BOC＝∠DAF＝180°-∠BAD． 证法三：连接CE．证∠BOC＝180°－∠CAE． 9．【答案与解析】 解：(1)作DF⊥BC，F为垂足． 当CP＝3时，四边形ADFB是矩形，则CF＝3． ∴点P与点F重合． 又∵BF⊥FD， ∴此时点E与点B重合． (2)(i)当点P在BF上(不与B，F重合)时，(见图(a)) ∵∠EPB+∠DPF＝90°，∠EPB+∠PEB＝90°， ∴∠DPF＝∠PEB． ∴Rt△PEB∽△ARt△DPF． BE FP ∴  ． ① BP FD y x3 又∵ BE＝y，BP＝12-x，FP＝x-3，FD＝a，代入①式，得  12x a 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共11页让更多的孩子得到更好的教育 1 ∴y  (12x)(x3)，整理， a 1 得y  (x2 15x36)(3 x12) ② a BE FP (ii)当点P在CF上（不与C，F重合）时，（见上图(b))同理可求得  ． BP FD 1 由FP＝3-x得y  (x2 15x36)(0 x3)． a  1  (x2 15x36)(0 x3)  ∴  a y  1   (x2 1536)(3 x12).  a (3)解法一：当点E与A重合时，y＝EB＝a，此时点P在线段BF上． 1 由②式得a (x2 15x36)． a 整理得 ． ③ x2 15x36a2 0 ∵在线段BC上能找到两个不同的点P 与P 满足条件， 1 2 ∴方程③有两个不相等的正实根． ∴△＝(-15)2－4×(36+a2)＞0． 81 解得a2  ． 4 又∵a＞0， 9 ∴0a ． 2 解法二：当点E与A重合时， ∵∠APD＝90°， ∴点P在以AD为直径的圆上．设圆心为M，则M为AD的中点． ∵在线段BC上能找到两个不同的点P 与P 满足条件， 1 2 AD ∴线段BC与⊙M相交．即圆心M到BC的距离d满足0d  ． ④ 2 又∵AD∥BC， ∴d＝a． 9 ∴由④式得0a ． 2 10．【答案与解析】 解：(1)EF＝EB． 证明：如图(d)，以E为圆心，EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第9页 共11页让更多的孩子得到更好的教育 ∴EM＝EA，∴∠EMA＝∠EAM． ∵BC＝k·AB，k＝1， ∴BC＝AB． ∴∠CAB＝∠ACB． ∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB，∠FAB＝∠ABC． ∴∠MAC＝∠CAB． ∴∠CAB＝∠EMA． ∵∠BEF＝∠ABC， ∴∠BEF＝∠FAB． ∵∠AHF＝∠EHB， ∴∠AFE＝∠ABE． ∴△AEB≌△MEF． ∴EF＝EB． 探索思路：如上图(a)，∵BC＝k·AB，k＝1， ∴BC＝AB． ∴∠CAB＝∠ACB． ∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB． 添加条件：∠ABC＝90°． 证明：如图(e)，在直线m上截取AM＝AB，连接ME． ∵ BC＝k·AB，k＝1， ∴ BC＝AB． ∵ ∠ABC＝90°， ∴ ∠CAB＝∠ACB＝45°． ∵ m∥n， ∴ ∠MAE＝∠ACB＝∠CAB＝45°，∠FAB＝90°． ∵ AE＝AE，∴△MAE∽△BAE． ∴ EM＝EB，∠AME＝∠ABE． ∵ ∠BEF＝∠ABC＝90°， ∴ ∠FAB+∠BEF＝180°． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第10页 共11页让更多的孩子得到更好的教育 又∵ ∠ABE+∠EFA＝180°， ∴ ∠EMF＝∠EFA． ∴ EM＝EF． ∴ EF＝EB． 1 (2)EF＝ EB． k 说明：如图(f)，过点E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足为M，N． ∴ ∠EMF＝∠ENA＝∠ENB＝90°． ∵ m∥n，∠ABC＝90°， ∴ ∠MAB＝90°． ∴ 四边形MENA为矩形． ∴ ME＝NA，∠MEN＝90°． ∵∠BEF＝∠ABC＝90°． ∴∠MEF＝∠NEB． ∴△MEF∽△NEB． ME EF ∴  ， EN EB AN EF ∴  EN EB 在Rt△ANE和Rt△ABC中， EN BC tanBAC   k， AN AB 1 ∴EF  EB． k 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第11页 共11页