中考冲刺：创新、开放与探究型问题--巩固练习（基础）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_52中考冲刺：创新、开放与探究型问题（基础）

让更多的孩子得到更好的教育 中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（基础） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【巩固练习】 一、选择题 1．若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如： 2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位 现象；51是“连加进位数”，因为51+52+63＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中 任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( ) A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.91 2．如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符 合条件的点M有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 他们研究过图(1)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，类似地，称 图(2)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A．15 B．25 C．55 D．1225 二、填空题 4．电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB＝AC＝BC＝6．如果跳蚤开始时在BC边的P 处，BP＝2．跳蚤第 0 0 一步从P 跳到AC边的P(第1次落点)处，且CP＝CP；第二步从P 跳到AB边的P(第2次落点)处，且AP 0 1 1 0 1 2 2 ＝AP；第三步从P 跳到BC边的P(第3次落点)处，且BP＝BP；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n 1 2 3 3 2 次落点为P(n为正整数)，则点P 与点P 之间的距离为__________． n 2009 2010 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 5．下图为手的示意图，在各个手指间标记字母 A，B，C，D，请你按图中箭头所指方向(如 A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的 字母是________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第2n+1次出现时(n为 正整数)，恰好数到的数是________(用含n的代数式表示)． 6. (1)如图(a)，∠ABC＝∠DCB，请补充一个条件：________，使△ABC≌△DCB． (2)如图(b)，∠1＝∠2，请补充一个条件：________，使△ABC≌△ADE． 三、解答题 7．如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点(点 E不与B，C两点重合)，EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G． (1)求证：四边形EFOG的周长等于2OB； (2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使 得结论“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明． 2 8．如图所示，平面直角坐标系内有两条直线l ，l ，直线l 的解析式为y  x1．如果将坐标纸折叠， 1 2 1 3 使直线 与 重合，此时点(-2，0)与点(0，2)也重合． l l 1 2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 (1)求直线 的解析式； l 2 (2)设直线 与 相交于点M．问：是否存在这样的直线 ，使得如果将坐标纸沿直线 折叠， l l l: y  xt l 1 2 点M恰好落在x轴上？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由． 9．解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆 向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一 个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长 为14，求矩形面积的最大值”，等等． (1)设 3x x ， x2 4，求A与B的积； A  B x2 x2 x (2)提出(1)的一个“逆向”问题，并解答这个问题． 10. 已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A，D，B三点，CB的延长线交⊙O于点 E(如图(a))． 在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变(如图(b))，在这个变化过程中， 有些线段总保持着相等的关系． (1)观察上述图形，连接图(b)中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE相等； (2)在图(b)中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F． ①若CF＝CD，求sin∠CAB的值； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 CF ②若 n(n0)，试用含n的代数式表示sin∠CAB(直接写出结果)． CD 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A； 【解析】不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12个． 10012 ∴P(取到“连加进位数”)＝ 0.88． 100 2.【答案】D； 【解析】如图，①过圆点O作AB的垂线交 和 于M，M． 1 2 AB APB ②以B为圆心AB为半径作弧交圆O于M． 3 ③以A为圆心，AB为半径弧作弧交圆O于M． 4 则M，M，M，M 都满足要求． 1 2 3 4 3.【答案】D； 二、填空题 4.【答案】2． 【解析】如图，按要求作出P，P，P…． 4 5 6 可发现如下规律： P，P，P ，P …重合； 0 6 12 18 P，P，P ，P …重合； 1 7 13 19 P，P、P ，P …重合； 2 8 14 20 P，P、P ，P …重合； 3 9 15 21 P，P ，P ，P …重合； 4 10 16 22 P，P ，P ，P …重合．(以6为周期循环) 5 11 17 23 ∵2009＝334×6+5，2010＝335×6， ∴P 与P 重合；P 与P 重合；求P 与P 之间距离也就是求P 与P 之间距离， 2009 5 2010 0 2009 2010 5 0 △BPP 是等边三角形． 0 5 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 ∴PP＝2，即P 与P 之间距离为2． 0 5 2009 2010 5.【答案】B； 603； 6n+3． 【解析】由题意知 A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔 6 个数重复一次 “A→B→C→D→C→B→”，所以，当数到12时对应的字母是B；当字母C第201次出现时，恰 好数到的数是201×3＝603；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是 (2n+1)×3＝6n+3． AB AC 6.【答案】答案不唯一．(1)如图(a)中∠A＝∠D，或AB＝DC；(2)图(b)中∠D＝∠B，或  等． AD AE 三、解答题 7.【答案与解析】 (1)证明：∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝CD， ∴∠ABC＝∠DCB． 又∵BC＝CB，AB＝DC， ∴△ABC≌△DCB． ∴∠1＝∠2． 又∵ GE∥AC，∴∠2＝∠3． ∴∠1＝∠3． ∴EG＝BG． ∵EG∥OC，EF∥OB， ∴四边形EGOF是平行四边形． ∴EG＝OF，EF＝OG． ∴四边形EGOF的周长＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB． (2)方法1：如图乙，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC上一个动点(点E不与B，C 两点重合)，EF∥BD，交AC于点F，EG∥AC交BD于点G． 求证：四边形EFOG的周长等于2OB．图略． 方法2：如图丙，已知正方形ABCD中，……其余略． 8. 【答案与解析】 解：(1)直线 与y轴交点的坐标为(0，1)． l 1 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 由题意，直线 与 关于直线 对称，直线 与x轴交点的坐标为(-1，0)． l l y x l 1 2 2 又∵直线 与直线 的交点为(-3，3)， l y x 1 ∴直线 过点(-1，0)和(3，3)． l 2 设直线 的解析式为y＝kx+b．则有 l 2  3 k  , kb0, 解得   2   3kb3.  3 b .  2 3 3 所求直线l 的解析式为y  x ． 2 2 2 (2)∵直线l与直线y x互相垂直，且点M(-3，3)在直线y x上， ∴如果将坐标纸沿直线l折叠，要使点M落在x轴上，那么点M必须与坐标原点O重合，此时直线l 过线段OM的中点 3 3．  ,    2 2 3 3 将x ，y  代入y＝x+t，解得t＝3． 2 2 ∴直线l的解析式为y＝x+3． 9．【答案与解析】 解：(1)  3x x  x2 4 A B       x2 x2 x 2x(x4) x2 4 ．  2x8  (x2)(x2) x (2)“逆向”问题一： 已知 ， x2 4，求A． A  B 2x8 B x 解答： x 2x2 8x ． A(A B)B(2x8)    x2 4 x2 4 “逆向”问题二： 3x x 已知A  B 2x8，A  ，求B． x2 x2 解答：  3x x  B(A B)A(2x8)      x2 x2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 2x(x4) (2x8) (x2)(x2) (x2)(x2) x2 4 ． 2(x4)   2x(x4) x “逆向”问题三： 已知A·B＝2x+8，A+B＝x+10，求(A－B)2． 解答：(A－B)2＝(A+B)2－4A·B ＝(x+10)2－4(2x+8) ＝x2+12x+68． 10．【答案与解析】 解：(1)连接AE．求证：AE＝CE． 证法一：如图(a)，连接OD． ∵∠ABC＝90°，CB的延长线交⊙O于点E， ∴∠ABE＝90°． ∴AE是⊙O的直径． ∵D是AC的中点，O是AE的中点， 1 ∴OD CE． 2 1 ∵OD AE ， 2 ∴AE＝CE． 证法二：如图(b)，连接DE．同证法一，得AE是⊙O的直径． ∴∠ADE＝90°． ∵D是AC的中点， ∴DE是线段AC的垂直平分线． ∴AE＝CE． (2)①根据题意画出图形．如图(c)，连接DE． ∵AE是⊙O的直径，EF是⊙O的切线， ∴∠ADE＝∠AEF＝90°． ∴Rt△ADE∽Rt△EDF． 1 AD DE ∴  ． DE DF 设AD＝k是(k＞0)，则DF＝2k． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 k DE ∴  ． DE 2k ∴ ． DE  2k 在Rt△CDE中，∵ CE2＝CD2+DE2＝3k2， ∴ ． CE  3k ∵∠CAB＝∠DEC． ∴sin∠CAB＝sin∠DEC＝CD 3 ．  CE 3 ② n2 ． sinCAB (n0) n2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共8页