中考冲刺：几何综合问题--知识讲解（提高）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_65中考冲刺：几何综合题（提高）

让更多的孩子得到更好的教育 中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（提高） 撰稿：赵炜 审稿：杜少波 【中考展望】 几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要 考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选 择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题 能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设 和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答. 几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用 性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力. 以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题： 1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）； 2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）； 3、几何计算问题； 4、动态几何问题等. 【方法点拨】 一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识： 1、与三角形有关的知识； 2、等腰三角形，等腰梯形的性质； 3、直角三角形的性质与三角函数； 4、平行四边形的性质； 5、全等三角形，相似三角形的性质； 6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算； 7、弧长公式与扇形面积公式. 二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面： 1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过 添加辅助线补全或构造基本图形； 2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经 验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点； 3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用 数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题. 【典型例题】 类型一、动态几何型问题 ABCD E BD E EF BD BC F DF G 1．已知正方形 中， 为对角线 上一点，过 点作 交 于 ，连接 ， 为 DF 中点，连接EG，CG． （1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系； （2）将图1中BEF绕B点逆时针旋转45，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG，CG，你在（1）中得到的 结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？ （不要求证明） 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 A D A D A D G F G E E E F B C B C B C F 图1 图2 图3 【思路点拨】本题的核心条件就是G是中点，中点往往暗示很多的全等关系，如何构建一对我们想要的全 等三角形就成为了分析的关键所在.连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发 现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线.于是两 个全等的三角形出现了. 第三问在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点.可以延长一倍EG到H，从而构造一个 和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡.要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形， 就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了. 【答案与解析】 （1）CGEG （2）（1）中结论没有发生变化，即CGEG． 证明：连接AG，过G 点作MN  AD于M ，与EF 的延长线交于N点． 在DAG与DCG中， ∵ADCD，ADGCDG，DGDG， ∴DAG≌DCG． ∴AGCG． 在DMG与FNG中， ∵DGM FGN，FGDG，MDGNFG， ∴DMG≌FNG． ∴MGNG 在矩形AENM 中，AM EN 在RtAMG与RtENG中， ∵AM EN，MGNG， ∴AMG≌ENG． ∴AGEG． ∴EGCG M A D G E F N B C 图2 （3）（1）中的结论仍然成立． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 A D G F E B C 图3 【总结升华】本题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题.从旋转45°到旋转任意角度，要求讨论其中 的不变关系. 举一反三： 【变式】已知：如图（1），射线AM //射线BN ，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM 、BN 上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合）， 在运动过程中始终保持DE  EC，且ADDE  AB  a． （1）求证：ADE∽BEC； （2）如图（2），当点E为AB边的中点时，求证：ADBC CD； （3）设AE  m，请探究：BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示 BEC的周长；若无关，请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵DE  EC，∴DEC 90． ∴AEDBEC 90． 又∵AB 90，∴AEDEDA90． ∴BEC EDA．∴ADE∽BEC． （2）证明：如图，过点E作EF //BC，交CD于点F ， 1 ∵E是AB的中点，容易证明EF  (ADBC)． 2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 1 在RtDEC中，∵ DF CF，∴ EF  CD． 2 1 1 ∴ (ADBC)  CD． 2 2 ∴ ADBC CD． （3）解：AED的周长 AE ADDE  am，BE  am． 设AD  x，则DE  ax． ∵ ，∴ ．即 ． A90 DE2  AE2  AD2 a2 2ax x2  m2  x2 ∴ a2 m2 ． x  2a 由（1）知ADE∽BEC， a2 m2 ∴ ADE的周长 AD am ．  2a  BEC的周长 BE  2a am 2a ∴ BEC的周长  ADE的周长 2a． am ∴ BEC的周长与m值无关． 2．在△ABC中，∠ACB=45º．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在 AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝ ， ，CD= ，求线 4 2 BC 3 x 段CP的长．（用含x的式子表示） 【思路点拨】(1)由题干可以发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传 递，就可以得解. (2)是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，和上题一 样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解. (3)D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去 考虑到底是4+X还是4-X.分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 【答案与解析】 （1）结论：CF⊥BD； 证明如下：AB=AC ，∠ACB=45º，∴∠ABC=45º． 由正方形ADEF得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º， ∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD． ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD． （2）CF⊥BD．(1)中结论仍成立． 理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF⊥BD （3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， ①点D在线段BC上运动时， ∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴DQ=4-x， CP CD CP x 易证△AQD∽△DCP，∴  ，∴  ， DQ AQ 4x 4 x2 CP x． 4 ②点D在线段BC延长线上运动时， ∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4， ∴DQ=4+x． 过A作AQ⊥BC， ∴∠Q=∠FQC=90°，∠ADQ=∠AFC， 则△AQD∽△ACF． ∴CF⊥BD， ∴△AQD∽△DCP， CP CD CP x ∴  , ∴  , DQ AQ 4+x 4 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 x2 CP x． 4 【总结升华】此题综合性强，需要综合运用全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的题目． 3．已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE 沿直线AE翻折，点B落在点B′ 处． BE （1）当 =1 时，CF=______cm， CE BE （2）当 =2 时，求sin∠DAB′ 的值； CE BE （3）当 = x 时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系 CE 式，（只要写出结论，不要解题过程）． 【思路点拨】动态问题未必只有点的平移、图形的旋转，翻折（即轴对称）也是一大热点.(1)给出比例为1， (2)比例为2，(3)比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目.需要仔细把握翻折过程 中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化.一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形 也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系.尤其要注意的是，本题中 给定的比例都是有两种情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要分类讨论，不要遗漏. 【答案与解析】 （1）CF=6cm； （2）① 如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M， 图1 BE AB ∵ AB∥CF，∴ △ABE∽△FCE，∴  ． CE FC BE ∵ =2， ∴ CF=3． CE ∵ AB∥CF，∴∠BAE=∠F． 又∠BAE=∠B′ AE， ∴ ∠B′ AE=∠F．∴ MA=MF． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 设MA=MF=k，则MC=k -3，DM=9-k． 在Rt△ADM中，由勾股定理得： 13 5 k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA= ． ∴ DM= ． 2 2 DM 5 ∴ sin∠DAB′=  ； AM 13 ②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B′ E于点N， 图2 同①可得NA=NE． 设NA=NE=m，则B′ N=12-m． 在Rt△AB′ N中，由勾股定理，得 15 9 m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN= ． ∴ B′N= ． 2 2 BN 3 ∴ sin∠DAB′=  ． AN 5 18x （3）①当点E在BC上时，y= ； x1 18x18 ②当点E在BC延长线上时，y= ． x 【总结升华】动态几何问题当中有点动，线动，乃至整体图形动几种可能的方式，动态几何问题往往作为压 轴题出现,所以难度不言而喻,但是拿到题后不要慌张,因为无论是题目以哪种形式出现，始终把握的都 是在变化过程中那些不变的量.只要一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松 了. 类型二、几何计算型问题 ABCD AD∥BC，AD2，BC 4， M AD △MBC 4．已知如图，在梯形 中， 点 是 的中点， 是等 边三角形． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形； （2）动点P、Q分别在线段BC和MC 上运动，且∠MPQ60保持不变．设PC  x，MQ  y， 求 y 与x的函数关系式； （3）在（2）中，当 y 取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由． 【思路点拨】（1）属于纯静态问题，只要证两边的三角形全等就可以了. (2)是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的.题目给定∠MPQ=60°，其实就 是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以很自然想到要通 过相似三角形找比例关系. (3)条件又回归了当动点静止时的问题，由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当x取对称轴的值 时y有最小值，接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了，由已知的BC=4，自然看出P是中 点，于是问题轻松求解. 【答案与解析】 （1）证明：∵△MBC是等边三角形 ∴MBMC，∠MBC ∠MCB 60 ∵M 是AD中点 ∴AM MD ∵AD∥BC ∴∠AMB∠MBC 60， ∠DMC ∠MCB60 ∴△AMB≌△DMC ∴AB DC ∴梯形ABCD是等腰梯形． （2）解：在等边 中， △MBC MBMC  BC 4，∠MBC ∠MCB60，∠MPQ60 ∴ ∴ ∠BMP∠BPM ∠BPM ∠QPC 120 ∠BMP ∠QPC ∴ △BMP∽△CQP PC CQ ∴  BM BP ∵ ∴ PC  x，MQ  y BP 4x，QC 4 y x 4 y 1 ∴  ∴y  x2 x4 4 4x 4 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 （3）解： 为直角三角形， △PQC 1 ∵y  x22 3 4 ∴当y取最小值时，x PC 2 ∴ 是 的中点， 而 P BC MP BC， ∠MPQ60， ∴ ∠CPQ 30， ∴ ∠PQC 90 △PQC为直角三角形. ∴ 【总结升华】以上题目是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等， 某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解.如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条 件是保持不变的. 举一反三： 【高清课堂：几何综合问题 例3】 【变式】已知：如图，N、M是以O为圆心，1为半径的圆上的两点，B是 上一动点（B不与点M、N重合）， MN ∠MON=90°，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相 交于点P，DE与AG相交于点Q． （1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形； （2）若四边形EPGQ是矩形，求OA的值. 【答案】 （1）是． 证明：连接OB，如图①， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第9页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 ∵BA⊥OM，BC⊥ON， ∴∠BAO=∠BCO=90°， ∵∠AOC=90°， ∴四边形OABC是矩形． ∴AB∥OC，AB=OC， ∵E、G分别是AB、CO的中点， ∴AE∥GC，AE=GC， ∴四边形AECG为平行四边形． ∴CE∥AG， ∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点， ∴GF∥OB，DE∥OB， ∴PG∥EQ， ∴四边形EPGQ是平行四边形； （2）解：如图②， ∵口EPGQ是矩形． ∴∠AED+∠CEB=90°． 又∵∠DAE=∠EBC=90°， ∴∠AED=∠BCE． ∴△AED∽△BCE， AD AE ∴  ， BE BC x y y 设OA=x，AB=y，则 :  :x 2 2 2 得y2=2x2， 又∵OA2+AB2=OB2， 即x2+y2=12． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第10页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 ∴x2+2x2=1， 解得：x= 3 ． 3 即当四边形EPGQ是矩形时，OA的长度为 3 ． 3 5．在 ABCD 中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转 90 得到线段EF (如图1) （1）在图1中画图探究： ①当P为射线CD上任意一点（P 不与C重合）时，连结EP绕点E逆时针旋转 得到线段EC.判 1 1 1 90 断直线FC 与直线CD的位置关系，并加以证明； 1 ②当P 为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP,将线段EP 绕点E 逆时针旋转 得到线段 2 2 2 90 EC.判断直线CC 与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. 2 1 2 4 PFC （2）若AD=6,tanB= ,AE=1,在①的条件下，设CP=x，S 1 1= y ，求 y 与x之间的函数关系式，并写 1 3 出自变量x的取值范围. 图1 备用图 【思路点拨】(1)本题在于如何把握这个旋转90°的条件.旋转90°自然就是垂直关系，于是出现了一系 列直角三角形，于是证角、证线就手到擒来了. (2)是利用平行关系建立函数式，但是不要忘记分类讨论. 【答案与解析】（1）①直线 与直线 的位置关系为互相垂直． FG CD 1 证明：如图1，设直线 与直线 的交点为 ． FG CD H 1 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第11页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 G 1 F G 2 P 1 H A D E B C P 2 图1 ∵线段 分别绕点 逆时针旋转90°依次得到线段 ， EC、EP E EF、EG 1 1 ∴ ． PEG CEF 90°，EG  EP，EF  EC 1 1 1 1 ∵ ， ， GEF 90°PEF PEC 90°PEF 1 1 1 1 ∴ ． GEF PEC 1 1 ∴ ． △GEF≌△PEC 1 1 ∴ ． GFE PCE 1 1 ∵EC⊥CD， ∴ ， PCE 90° 1 ∴ ． GFE 90° 1 ∴EFH 90°． ∴FHC 90°． ∴ ． FG ⊥CD 1 ②按题目要求所画图形见图1，直线 与直线 的位置关系为互相垂直． GG CD 1 2 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BADC． 4 ∵AD6，AE 1，tanB ， 3 4 ∴DE 5，tanEBC tanB ． 3 可得CE 4． 由（1）可得四边形EFCH 为正方形． ∴CH CE 4． ①如图2，当 点在线段 的延长线上时， P CH 1 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第12页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 G 1 F P 1 H A E D B C 图2 ∵ ， FG CP  x，PH  x4 1 1 1 1 x(x4) ∴S  FG PH  ． △P 1 FG 1 2 1 1 2 1 ∴y  x2 2x(x4)． 2 ②如图3，当 点在线段 上（不与 两点重合）时， P CH C、H 1 G 1 F H A D E P 1 B C 图3 ∵ ， FG CP  x，PH  x4 1 1 1 1 x(4x) ∴S  FG PH  ． △P 1 FG 1 2 1 1 2 1 ∴y  x2 2x(0 x4)． 2 ③当 点与 点重合时，即 时， 不存在． P H x4 △PFG 1 1 1 1 综 上 所 述 ， y 与 x之 间 的 函 数 关 系 式 及 自 变 量 x的 取 值 范 围 是 y  x2 2x(x4)或 2 1 y  x2 2x(0 x4)． 2 【总结升华】本题着重考查了二次函数的解析式、图形的旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重 要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 举一反三： 【变式】已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转 交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°． （1）利用图1，求证：PA=PB； （2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S =3S 时，求PB与PC的比值； △POB △PCB （3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第13页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 【答案】（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F ∵四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°， ∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°， ∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB， ∴∠EPA=∠FPB， 由角平分线的性质，得PE=PF， ∴△EPA≌△FPB，即PA=PB； （2）∵S =3S ，∴PO=3PC， △POB △PCB 1 1 由（1）可知△PAB为等腰三角形，则∠PBC= （180°-∠APB）= ∠MON=∠BOP， 2 2 又∵∠BPC=∠OPB（公共角）， ∴△PBC∽△POB， PB PC ∴  ， PO PB 即PB2=PO•PC=3PC2， PB ∴  3 PC （3）作BH⊥OT，垂足为H， 当∠MON=60°时，∠APB=120°， 1 由PA=PB，得∠PBA=∠PAB= （180°-∠APB）=30°， 2 又∵∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°， 1 ∴∠ABO= （180°-30°）=75°，则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°， 2 在△OBP中，∵∠BOP=30°，∴∠BPO=45°， 1 在Rt△OBH中，BH= OB=1，OH= 3， 2 在Rt△PBH中，PH=BH=1， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第14页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 ∴OP=OH+PH= +1． 3 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第15页 共15页