中考冲刺：几何综合问题--知识讲解（基础）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_64中考冲刺：几何综合题（基础）

让更多的孩子得到更好的教育 中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（基础） 撰稿：赵炜 审稿：杜少波 【中考展望】 几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要 考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选 择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题 能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设 和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答. 几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用 性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力. 以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题： 1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）； 2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）； 3、几何计算问题； 4、动态几何问题等. 【方法点拨】 一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识： 1、与三角形有关的知识； 2、等腰三角形，等腰梯形的性质； 3、直角三角形的性质与三角函数； 4、平行四边形的性质； 5、全等三角形，相似三角形的性质； 6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算； 7、弧长公式与扇形面积公式. 二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面： 1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过 添加辅助线补全或构造基本图形； 2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经 验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点； 3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用 数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题. 【典型例题】 类型一、动态几何型问题 1．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动.如果 P、Q 同时出发，用 t(s)表示移动的时间 （0≤t≤6），那么： ⑴当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ ⑵求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论； ⑶当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？ D C Q A B P 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 【思路点拨】⑴中应由△QAP为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP，由AQ=6－t，AP=2t，可求出t 的值； ⑵中四边形QAPC是一个不规则图形，其面积可由矩形面积减去△DQC与△PBC的面积求出； ⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此需分类讨论. 【答案与解析】 解：（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t． 当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即6-t=2t，解得：t=2（s）， 所以，当t=2s时，△QAP为等腰直角三角形． （2）在△QAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12， 1 1 ∴S = QA•DC= （6-t）•12=36-6t． △QAC 2 2 在△APC中，AP=2t，BC=6， 1 1 ∴S = AP•BC= •2t•6=6t． △APC 2 2 ∴S =S +S =（36-6t）+6t=36（cm2）． 四边形QAPC △QAC △APC 由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．（也可提出：P、Q两 点到对角线AC的距离之和保持不变） （3）根据题意，可分为两种情况，在矩形ABCD中： QA AP ①当  时，△QAP∽△ABC，则有： AB BC 6t 2t  ，解得t=1.2（s）， 12 6 即当t=1.2s时，△QAP∽△ABC； QA AP ②当  时，△PAQ∽△ABC，则有： BC AB 6t 2t  ，解得t=3（s）， 6 12 即当t=3s时，△PAQ∽△ABC； 所以，当t=1.2s或3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似． 【总结升华】本题是动态几何题，同时也是一道探究题．要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就 要求我们通过计算分析，抓住其本质，揭示出变中不变的规律．四边形QAPC的面积也可由△QAC与△CAP 的面积求出，；⑶中考查了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性. ABCD AD∥BC AD3 DC 5 BC 10 M B 2．如图，在梯形 中， ， ， ， ，梯形的高为4．动点 从 点出 发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个 单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）． A D N B M C （1）当MN∥AB时，求t的值； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 （2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形． 【思路点拨】（1）M，N在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的.但是我们发现，和这些动态的条件密切 相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的.所以当题中设定MN//AB时，就变成 了一个静止问题.由此，从这些条件出发，列出方程，便可得出结果. （2）如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论，两腰一底一个都不能少.具体分类以 后，就成了较为简单的解三角形问题，可以轻松求解. 【答案与解析】 （1）由题意知，当M 、N运动到t秒时，如图(1)，过D作DE∥AB交BC于E点，则四边形ABED是平行 四边形． ∵AB∥DE，AB∥MN ． MC NC ∴DE∥MN ，∴  ． EC CD 102t t 50 ∴  ．解得t  ． 103 5 17 （2）分三种情况讨论： ① 当MN NC 时，如图(2)作NF BC交BC于F ，则有MC 2FC ． DF 4 ∵sinC   ， CD 5 3 ∴cosC  ， 5 3t ∴102t 2 ， 5 25 解得t  ． 8 ② 当MN MC时，如图（3），过M 作MH CD于H． 则CN 2CH ， 3 ∴t 2102t ． 5 60 ∴t  ． 17 ③ 当MC CN 时， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 10 则102t t ,t  ． 3 25 60 10 综上所述，当t  、 或 时，△MNC为等腰三角形． 8 17 3 【总结升华】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解， 但是对于大多数题目来说，都有一个由动转静的拐点. 3.已知：△ABC是边长为1的等边三角形，D是射线BC上一动点（与点B、C不重合），以AD为一边向 右侧作等边△ADE，连接CE． （1）当点D在线段BC上运动时（如图1），求证：①EC=DB；②EC∥AB； （2）当点D在线段BC的延长线上运动时（如图2），②中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）当EC=2时，求△ABC与△ADE的面积比． 【思路点拨】（1）根据△ADE与△ABC都是等边三角形，容易得到全等条件证明△CAE≌△BAD，再根据全等 三角形的性质可以证明题目的结论； （2）根据（1）可知D的位置对△CAE≌△BAD没有影响，所以结论仍然成立，证明方法完全相同； 1 （3）当BD=2时，AB=BC=AC= BD，△ABD是直角三角形．这样在Rt△ABD解直角三角形中可以求出AD的长， 2 然后利用相似三角形的性质解决问题． 【答案与解析】 （1）证明： ①∵△ADE与△ABC都是等边三角形， ∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°． ∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD． 即∠CAE=∠BAD． ∴△CAE≌△BAD． ∴EC=DB． ②由△CAE≌△BAD ∴∠ACE=∠B=60°． ∴∠ACE=∠BAC=60°． ∴EC∥AB． （2）解：②中得到的结论仍然成立． ∵△CAE≌△BAD（SAS）． ∴∠ACE=∠B=60°． ∴∠ACE=∠BAC=60°． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 ∴EC∥AB． （3）解：∵△CAE≌△BAD． ∴BD=CE=2． ∵△ABC是边长为1的等边三角形， ∴当BD=2时，点D在线段BC的延长线上， 1 AB=BC=AC= BD， 2 ∴△ABD是直角三角形． 在Rt△ABD中，AD=BD•sinB=2× 3 = ． 3 2 ∵△ABC∽△ADE． ∴△ABC与△ADE的面积比为1：3． 【总结升华】本题主要是在动态的情形下考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质和相似三角形 的性质等知识． 举一反三： 【变式】△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0＜∠PBC＜180°，且∠PBC平分线上的 一点D满足DB=DA， （1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °； （2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数； （3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形． 【答案】（1）∠BPD= 30°； （2）如图3，连结CD． ∵ 点D在∠PBC的平分线上， ∴ ∠1=∠2． ∵ △ABC是等边三角形， ∴ BA=BC=AC，∠ACB= 60°． ∵ BP=BA， ∴ BP=BC． ∵ BD= BD， ∴ △PBD≌△CBD． ∴ ∠BPD=∠3． ∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 ∴ △BCD≌△ACD． 1 ∴ 34 ACB30． 2 ∴ ∠BPD =30°． （3）∠BPD= 30°或 150°. 类型二、几何计算型问题 【高清课堂：几何综合问题 例1 】 4.如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B与点C重合，折痕与 AB、BC的交点分别为D、E. (1) DE的长为 ； (2) 将折叠后的图形沿直线AE剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ． 【思路点拨】（1）由题意可得：DE是线段BC的垂直平分线，易证DE∥AC，即DE是△ABC的中位线，即可求得 DE的长； 1 （2）由DE∥AC，DE= AC，易证△AOC∽△EOD，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得OA：OE=2，然后 2 求得△ACE的面积，利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案． 【答案与解析】 （1）根据题意得：DE⊥BC，CE=BE， ∵∠ACB=90°， 即AC⊥BC， ∴DE∥AC， ∴AD=BD， 1 1 ∴DE= AC= ×8=4； 2 2 1 （2）∵DE∥AC，DE= AC， 2 ∴△AOC∽△EOD， ∴OA：OE=AC：DE=2， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 1 1 ∵CE= BC= ×6=3， 2 2 ∵∠ACB=90°，AC=8， 1 1 ∴S = CE•AC= ×3×8=12， △ACE 2 2 1 ∴S = S =4， △OCE △ACE 3 ∴S +S =S -4-12=8， △ADE △ODE △ABC ∴其中最小一块的面积等于4． 【总结升华】考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质． 此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系,是一道典型的几何综合题． 举一反三 【变式】在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得 △AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是 . 【答案】在Rt△ABE中，∵∠B=45°，AB=2， ∴AE=BE= ，∴S =1． △ABE 2 由翻折的性质可知：△AB′E≌△ABE，∴EB′=EB= 2 ∴B′C=BB′－BC=2 －2， 2 ∵四边形ABCD是菱形，∴CF∥BA． ∴∠ B′FC=∠B′AB=90°, ∠B′CF=∠B=45° ∴CF= ∴S =1 =3－2 CF2 2 ， 2 ∴S阴=S －S =2 －2． 2 5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10 cm，CD=4 cm，等腰直角△PMN的斜边MN=10 cm， A点与N点重合， MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角△PMN沿AB所在直线以1 cm／s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止. (1)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由________形变化为________形； (2)设当等腰直角△PMN移动x (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm2)，求y 与x之间的函数关系式； (3)当x=4 (s)时，求等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 【思路点拨】（1）根据已知求出∠PNM=∠DAB=45°，求出∠AEN，根据等腰直角三角形的判定判断即可；推 出∠DAB=∠PNM=45°，根据等腰梯形的判定判断即可； （2）可分为以下两种情况： ①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN，AN=x（cm），过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN， 求出EH，根据三角形的面积公式求出即可；②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED，求出 AN=x（cm），CE=BN=10-x，DE=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，求出DF，代入梯形面积公式 求出即可. 【答案与解析】 (1)等腰直角三角形；等腰梯形. (2)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重合部分图形的形状可分为以下两种情况： ①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN(如图①).此时AN=x(cm)，过点E作EH⊥AB于点 H，则EH平分AN， ∴EH= AN= x， ∴y=S = AN·EH= x· x= . △ANE ②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED(如图②)． 此时，AN=x(cm)，∵∠PNM=∠B=45°，∴EN∥BC， ∵CE∥BN，∴四边形ENBC是平行四边形， CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6， 过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G， 则AF=BG，DF=AF= (10-4)=3， ∴y=S = (DE+AN)·DF= (x-6+x)×3=3x-9. 梯形ANED 综上， . (3)当等腰直角△PMN运动到PN边经过点D时，移动时间为6(s)， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 ∴当x=4 (s)时，y= x2= ×42=4. ∴当x=4 (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2. 【总结升华】本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三 角形的面积，平移的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是 解此题的关键． 举一反三： 【变式】如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在 AB、AD(包括端点)上运动. (1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围； (2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状. 【答案】 (1)过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P.则AM=x，AN=20-x. ∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°， ∴∠PAN=∠D=30°. 在Rt△APN中，PN=AN×sin∠PAN= (20-x)，即N到AB距离为 (20-x). ∵点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，∴x取值范围是0≤x≤15. (2)∵S =S -S 且S 为定值， 五边形BCDNM 梯形 △AMN 梯形 ∴当S 最小时，应使S 最大 五边形BCDMN △AMN 据(1)，S = AM·NP= . △AMN ∵ ＜0，∴当x=10时，S 有最大值. △AMN ∴当x=10时，S 有最小值． 五边形BCDNM 当x=10时， 即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN． 则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第9页 共9页