中考冲刺：几何综合问题--巩固练习（提高）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_65中考冲刺：几何综合题（提高）

让更多的孩子得到更好的教育 中考冲刺：几何综合问题—巩固练习（提高） 撰稿：赵炜 审稿：杜少波 【巩固练习】 一、选择题 1.如图，直角三角板ABC的斜边AB=12cm，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板 A′B′C′的位置后，再沿CB方向向左平移，使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板 A′B′C′平移的距离为（ ）     A.6cm B.4cm C. 62 3 cm D. 4 36 cm 2.如图，△ABC和△DEF是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2，DE=4．点B与点D重合，点A，B（D），E在 同一条直线上，将△ABC沿DE方向平移，至点A与点E重合时停止．设点B，D之间的距离为x，△ABC与 △DEF重叠部分的面积为y，则准确反映y与x之间对应关系的图象是（ ） A B C D 二、填空题 3.如图，将两块直角三角板的斜边重合，E是两直角三角形公共斜边AC的中点．D、B分别为直角顶点，连 接DE、BE、DB，∠DAC=60°，∠BAC=45°．则∠EDB的度数为_______． 4.如图，一块直角三角形木板△ABC，将其在水平面上沿斜边AB所在直线按顺时针方向翻滚，使它滚动到 △A″B″C″的位置，若BC=1cm，AC= cm，则顶点A运动到A″时，点A所经过的路径是_________ 3 cm． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 三、解答题 5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F. 1 （1）EF+ AC =AB； 2 （2）点C 从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A 从点A出发，沿着BA的延长线 1 1 运动，点C 与点A 运动速度相同，当动点C 停止运动时，另一动点A 也随之停止运动.如图，AF 平分∠B 1 1 1 1 1 1 A C，交BD于F，过F 作FE⊥A C，垂足为E，试猜想FE， A C 与AB之间的数量关系，并证明你的 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 猜想. （3）在（2）的条件下，当A E=3，C E=2时，求BD的长. 1 1 1 1 6.如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，动点P、Q分别从A、B两点同时以每秒1个单位长的速度按顺 时针方向沿△ABC的边运动，当Q运动到A点时，P、Q停止运动.设Q点运动时间为t秒，点P运动的轨迹 与PQ、AQ围成图形的面积为S.求S关于t的函数解析式. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 7.正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合． （1）如图1，若正方形ABCD的边长为2，BE=1，FC= ，求证：AE∥BF； 3 （2）如图2，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点，且AF：FC=3：1，BC=2，求BF的长． 8.将正方形ABCD和正方形BEFG如图1摆放，连DF． DF （1）如图2，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转90°，连DF、CG相交于M，则 =_______， CG ∠DMC=_____； DF （2）如图3，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°，DF的延长线交CG于M，试探究 与∠DMC CG 的值，并证明你的结论； DF （3）若将图1中的正方形BEFG绕B点逆时针旋转β（0°＜β＜90°），则 =_______， CG ∠DMC=_________．请画出图形，并直接写出你的结论（不用证明）． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 9.已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°． （1）如图（1）当C、A、D在同一直线上时，连CE、BD，判断CE和BD位置关系，填空：CE_____BD． （2）如图（2）把△ADE绕点A旋转到如图所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立，写出你的结论，并 说明理由． （3）如图（3）在图2的基础上，将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置，连接 DM BE′、DC′，过点A作AN⊥BE′于点N，反向延长AN交DC′于点M．求 的值． DC 10.将正方形ABCD和正方形CGEF如图1摆放，使D点在CF边上，M为AE中点， （1）连接MD、MF，则容易发现MD、MF间的关系是______________ （2）操作：把正方形CGEF绕C点旋转，使对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线 段AE的中点M，探究线段MD、MF的关系，并加以说明； （3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立？直接写出 猜想，不需要证明. F F E A D A D F M A M D M E B C B C 图3 B C G 图2 E 图1 G G 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C. 2.【答案】B. 二、填空题 3.【答案】15°. 4.【答案】8+3 3 .  6 三、解答题 5.【答案与解析】 （1）证明：如图1，过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABCD中，AC⊥BD于点E． 1 ∴AE= AC，∠ABD=∠CBD=45°， 2 ∵AF平分∠BAC， ∴EF=MF， 又∵AF=AF， ∴Rt△AMF≌Rt△AEF， ∴AE=AM， ∵∠MFB=∠ABF=45°， ∴MF=MB，MB=EF， 1 ∴EF+ AC=MB+AE=MB+AM=AB． 2 1 1 （2）EF， AC 与AB三者之间的数量关系：EF+ AC =AB 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 证明：如图2，连接FC ，过点F 作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q， 1 1 1 1 1 1 ∵AF 平分∠BAC ，∴EF=PF ；同理QF =PF ，∴EF=PF =QF， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 又∵AF=A F，∴Rt△AEF≌Rt△APF ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴AE=A P， 1 1 1 同理Rt△QF C ≌Rt△EFC ， 1 1 1 1 1 ∴C Q=C E， 1 1 1 由题意：AA=C C， 1 1 ∴AB+BC =AB+A A+BC-C C=AB+BC=2AB， 1 1 1 1 ∵PB=PF=QF=QB， 1 1 ∴AB+BC =A P+PB+QB+C Q=AP+C Q+2E F， 1 1 1 1 1 1 1 1 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 即2AB=AE+C E+2EF=A C +2EF， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴EF+ AC =AB． 1 1 1 1 2 （3）解：设PB=x，则QB=x， ∵AE=3，QC =C E=2， 1 1 1 1 1 Rt△ABC 中，AB2+BC 2=A C 2， 1 1 1 1 1 1 即（3+x）2+（2+x）2=52， ∴x=1，x=-6（舍去）， 1 2 ∴PB=1， ∴EF=1， 1 1 又∵AC =5， 1 1 1 由（2）的结论：EF+ AC =AB， 1 1 1 1 2 7 ∴AB= ， 2 7 ∴BD= 2． 2 6.【答案与解析】 当P运动到C点时：t=6 当Q运动到A点：t= ∴分两种情况讨论 (1)当0≤t≤6时，如图： 作PH⊥AB于H，则△APH为等腰直角三角形 此时AP=t，BQ=t，则AQ= -t PH=APsin45°= t ∴S = AQ·PH △AQP = ·( -t)· t 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 = t2+3t (2)当6＜t≤ 时，如图： 过P过PH⊥AB于H，此时△PBH为等腰直角三角形 AC+CP=t，BQ=t ∴BP=AC+CB-(AC+CP)=12-t ∴PH=BPsin45°= (12-t) ∴S =S -S 四边形AQPC △ABC △BPQ = AC·BC- BQ·PH = ·6·6- ·t· (12-t) =18- t+ t2 = t2- t+18. 综上， . 7.【答案与解析】 （1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合 ∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC 在△BFC中， ∵BF2+FC2=12+( )2=4， 3 BC2=22=4 ∴BF2+FC2=BC2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 ∴∠BFC=90°…（3分） ∴∠AEB+∠EBF=180° ∴AE∥BF…（4分） （2）解：∵Rt△ABC中，AB=BC=2，由勾股定理，得 AC= =2 ． AB2 BC2 2 ∵AF：FC=3：1， ∴AF= 3 AC=3 2 ，FC= 1 AC= 2 4 2 4 2 ∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合 ∴∠EAB=∠FCB，BE=BF，AE=CF= 2 ， 2 ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABC=90° ∴∠BAC+∠ACB=90° ∴∠EAB+∠BAC=90° 即∠EAF=90° 在Rt△EAF中，EF= = ， AE2  AF2 5 在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2 ∵BE=BF ∴BF= 2 EF= 10 ． 2 2 8.【答案与解析】 （1）如图2，连接BF， ∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形， ∴∠FBC=∠CBD=45°， ∴∠CBD=∠GBC=90°， 而BF= BG，BD= BC， 2 2 ∴△BFD∽△BGC， DF BF ∴∠BCG=∠BDF， = CG BG 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°， DF ∴ = 2 ，∠DMC=45°； CG （2）如图3， ∵将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°，DF的延长线交CG于M， ∴B、E、D三点在同一条直线上， 而四边形ABCD、四边形BEFG是正方形， ∴∠CBD=∠GBC=45°，BF= BG，BD= BC， 2 2 ∴△BFD∽△BGC， DF ∴ = 2 ，∠BCG=∠BDF CG 而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF =180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90° =45°， 即∠DMC=45°； DF （3） = 2 ，∠DMC=45°,图略. CG 9．【答案与解析】（1）CE⊥BD． （2）延长CE交BD于M，设AB与EM交于点F． ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠CAE=∠BAD． 又∵△ABC≌△ADE， ∴AC=AE，AB=AD， ∴∠ACE=1800 CAE ，∠ABD=1800 BAD， 2 2 ∴∠ACE=∠ABD． 又∵∠AFC=∠BFM，∠AFC+∠ACE=90°， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第9页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 ∴∠ABD+∠BFM=90°， ∴∠BMC=90°， ∴CE⊥BD． （3）过C′作C′G⊥AM于G，过D作DH⊥AM交延长线于点H． ∵∠∠E′NA=∠AGC′=90°， ∴∠NE′A+∠NAE′=90°，∠NAE′+∠C′AG=90°，∴∠NE′A=∠C′AG， ∵AE′=AC′ ∴△ANE′≌△C′GA（AAS）， ∴AN=C′G． 同理可证△BNA≌△AHD，AN=DH． ∴C′G=DH． 在△C′GM与△DHM中， ∠C′GM=∠DHM=90°，∠C′MG=∠DMH，C′G=DH， ∴△C′GM≌△DHM， ∴C′M=DM， DM 1 ∴  ． DC 2 10．【答案与解析】 如图1，延长DM交FE于N， 图1 ∵正方形ABCD、CGEF， ∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE， ∴∠1=∠2， 又∵MA=ME，∠3=∠4， ∴△AMD≌△EMN， ∴MD=MN，AD=EN． ∵AD=DC， ∴DC=NE． 又∵FC=FE， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第10页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 ∴FD=FN． 又∵∠DFN=90°， ∴FM⊥MD，MF=MD； （2）MD=MF，MD⊥MF． 如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN．∵正方形ABCD， ∴AD∥BE，AD=DC， ∴∠1=∠2． 又∵AM=EM，∠3=∠4， ∴△ADM≌△ENM， ∴AD=EN，MD=MN． ∵AD=DC， ∴DC=NE． 又∵正方形CGEF， ∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°． 又∵正方形ABCD， ∴∠BCD=90°， ∴∠DCF=∠NEF=45°， ∴△FDC≌△FNE， ∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°， ∴△DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边DN上的中线， ∴MD=MF，MD⊥MF； （3）FM⊥MD，MF=MD． 如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN． ∴∠ADC=∠H，AD∥EH， ∴∠3=∠4． ∵AM=ME，∠1=∠2， ∴△AMD≌△EMN， ∴DM=NM，AD=EN． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第11页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 ∵正方形ABCD、CGEF， ∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°． ∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE． ∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°， ∴∠DCF=∠5=∠NEF． ∵FC=FE， ∴△DCF≌△NEF． ∴FD=FN，∠DFC=∠NFE． ∵∠CFE=90°， ∴∠DFN=90°． ∴FM⊥MD，MF=MD． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第12页 共12页