中考冲刺：几何综合问题--巩固练习（基础）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_64中考冲刺：几何综合题（基础）

让更多的孩子得到更好的教育 中考冲刺：几何综合问题—巩固练习（基础） 撰稿：赵炜 审稿：杜少波 【巩固练习】 一、选择题 1.如图（单位：cm）边长为10cm的等边△ABC以1cm/s的速度沿直线L向边长为10cm的正方形CDEF的方 向移动，直到点B与点F重合，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积S关于平移时间t的函数图象可能是 （ ） A B C D 2.如图，将直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移到△DEF的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直 角边DE交BC于点G．如果BG=4，EF=12，△BEG的面积等于4，那么梯形ABGD的面积是（ ） A.16 B.20 C.24 D.28 二、填空题 3.小明用自制工具F测量树的高度，他调整自己的位置，设法使F保持水平，并B在同一直线上．已知两 条直角=40，EF=0，测得F离地面高度C=5m，C=8m，则树高= __________m． 4.如图，线段AB=8cm，点C是AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰 直角三角形（△AMC和△CNB），则当BC=_____________cm时，两个等腰直角三角形的面积和最小． 三、解答题 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 5.有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如 图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合； 将直尺沿AB方向平移 （如图②），设平移的长度为xcm（ 0≤x≤0 ），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为 Scm2． （1）当x=0时（如图①），S=________； （2）当0＜x≤4时（如图②），求S关于x的函数关系式； （3）当4＜x＜6时，求S关于x的函数关系式； （4）直接写出S的最大值． 6. 问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证 明） 特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证： △ABD≌△CAE． 归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全 等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由． 拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA 的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数． 7.如图正三角形ABC的边长为6 cm,⊙O的半径为rcm，当圆心O从点A出发，沿着线路AB－BC－CA运 3 动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 ⑴若r= cm,求⊙O首次与BC边相切时，AO的长； 3 ⑵在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下r的取值范围及相 应的切点的个数； ⑶设⊙O在整个移动过程中，在△ABC内部，⊙O未经过的部分面积为S，在S＞0时，求关于r的函数解析 式，并写出自变量r的取值范围. A(O) O B C 3 8.如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB= ．点O为BC边上的一个动点， 5 连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结 MN． （1）当BO=AD时，求BP的长； （2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明 理由； （3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关 系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围。 A D A D P M B O N C B C （备用图） 9.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12 cm，BC=9 cm，DC=13 cm，点P是线段AB上一个动点. 设BP为x cm，△PCD的面积为y cm2． (1)求AD 的长； (2)求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ (3)在线段AB上是否存在点P，使得△PCD是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 10.如图，平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P从点A出发沿边线AB—BC以每秒1个单位长 的速度向点C运动，当P与C重合时停下运动，过点P作AB的垂线PQ交AD或DC于Q.设P运动时间为t 秒，直线PQ扫过平行四边形ABCD的面积为S.求S关于t的函数解析式. 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B. 2.【答案】B. 二、填空题 3.【答案】5.5m. 4.【答案】4. 三、解答题 5.【答案与解析】 （1）由题意可知： 当x=0时， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AE=EF=2， 1 则阴影部分的面积为：S= ×2×2=2； 2 故答案为：2； （2）在Rt△ADG中，∠A=45°， ∴DG=AD=x，同理EF=AE=x+2， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 1 ∴S = （x+x+2）×2=2x+2． 梯形DEFG 2 ∴S=2x+2； （3）①当4＜x＜6时（图1）， GD=AD=x，EF=EB=12-（x+2）=10-x， 1 1 则S = AD•DG= x2， △ADG 2 2 1 S = （10-x）2， △BEF 2 1 而S = ×12×6=36， △ABC 2 1 S = （10-x）2， △BEF 2 1 1 ∴S=36- x2- （10-x）2=-x2+10x-14， 2 2 S=-x2+10x-14=-（x-5）2+11， ∴当x=5，（4＜x＜6）时，S =11． 最大值 （4）S =11． 最大值 6.【答案与解析】 特例探究： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°， 在△ABD与△CAE中， ABCA  DBAEAC，  BD AE  ∴△ABD≌△CAE（SAS）； 归纳证明：△ABD与△CAE全等．理由如下： ∵在等边△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°， ∴∠DBA=∠EAC=120°． 在△ABD与△CAE中， ABCA  DBAEAC，  BD AE  ∴△ABD≌△CAE（SAS）； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 拓展应用：∵点O在AB的垂直平分线上， ∴OA=OB， ∴∠OBA=∠BAC=50°， ∴∠EAC=∠DBC． ABCA  在△ABD与△CAE中， DBAEAC，  BD AE  ∴△ABD≌△CAE（SAS）， ∴∠BDA=∠AEC=32°， ∴∠BAD=∠OBA-∠BDA=18°． 7.【答案与解析】 (1).设⊙O首次与BC相切于点D，则有OD⊥BC． 且OD=r= ． 3 在直角三角形BDO中， ∵∠OBD=60°， ∴OB= 3 =2． sin600 ∴AO=AB-OB=6-2=4（厘米）； （2）由正三角形的边长为6厘米．可得出它的一边上的高为3 厘米． 3 ①当⊙O的半径r=3 厘米时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次，即切点个数为3； 3 ②当0＜r＜3 时，⊙O在移动中与△ABC的边相切六次，即切点个数为6； 3 ③当r＞3 时，⊙O与△ABC不能相切，即切点个数为0． 3 （3）如图，易知在S＞0时，⊙O在移动中，在△ABC内部为经过的部分为正三角形． 记作△A′B′C′，这个正三角形的三边分别于原正三角形三边平行，且平行线间的距离等于r． 连接AA′，并延长AA′，分别交B′C′，BC于E，F两点． 则AF⊥BC，A′E⊥B′C′，且EF=r． 又过点A′作A′G⊥AB于G，则A′G=r． ∵∠GAA′=30°， ∴AA′=2x． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 ∴△A′B′C′的高A′E=AF-3r=9-3r， B′C′=2 3 3 A′E=2 （3-r）． 3 1 ∴△A′B′C′的面积S= B′C′•A′E=3 3 2 （3-r）2． ∴所求的解析式为S=3 （3-r）2（0＜r＜3）． 3 8.【答案与解析】 3 （1）过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB= 得BE=3． 5 ∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6， ∴AD=EC=BC－BE=3． 当BO=AD=3时， 在⊙O中，过点O作OH⊥AB,则BH=HP BH 3 9 ∵ cosB,∴BH=3  ． BO 5 5 18 ∴BP= ． 5 （2）不存在BP=MN的情况. 假设BP=MN成立， ∵BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC. 过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB, A D ∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC P BH 3 3 M 设BO=x，则PO=x,由 cosB ，得BH= x, x 5 5 H 6 ∴BP=2BH= x. 5 B Q O N C 18 24 ∴BQ=BP×cosB= x，PQ= x． 25 25 18 7 ∴OQ=x x x． 25 25 24 x ∵△PQO∽△DOC，∴ PQ DC 即 25 4 ，得 29 ．   x OQ OC 7 6x 6 x 25 29 6 29 当x 时，BP= x= ＞5=AB，与点P应在边AB上不符， 6 5 5 ∴不存在BP=MN的情况. （3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时，0＜CN＜6； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 7 情况二：⊙O与⊙C相内切，此时，0＜CN≤ . 3 9.【答案与解析】 (1)如图1，作DE⊥BC于点E． 据题意知，四边形ABED是矩形，AB=DE，AD=BE. 在Rt△DEC中，∠DEC=90°，DE=12，CD=13， ∴ EC=5． ∴AD=BE=BC-EC=4． (2)若BP为x，则AP=12-x. S = BP·BC= x. S = AP·AD=24-2x. △BPC △APD ∴S =S -S -S =78- x-24+2x=- x+54. △PCD 梯形ABCD △BPC △APD 即 y=- x+54，0≤x≤12. 当x=0时，y取得最大值为54 cm2. (3)若△PCD是直角三角形，∵∠BCP＜90°，∴∠PCD≠90° ∴分两种情况讨论，如图2. ①当∠DPC=90°时 ∵∠APD+∠BPC=90°，∠BPC+∠PCB=90°， ∴∠APD=∠PCB.∴ △APD∽△BCP. ∴ .即 .解得x=6. ∠APD=∠BPC=45°的情况不存在，不考虑. ②当∠PDC=90°时， 1 在Rt△PBC中，PC2=BP2+BC2=x2+92， 1 1 1 在Rt△PAD中，PD2=PA2+AD2=(12-x)2+42， 1 1 1 ∵∠PDC=90°，CD2+PD2=PC2. 1 1 1 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 即132+(12-x)2+42=x2+92.解得 . 综上，当x=6或 ，△PCD是直角三角形. 10.【答案与解析】 当Q点与D点重合时，AQ=AD=6，此时AP= AQ=3=t 当P与B点重合时，t=10， 当P点运动到C时，t=16， ∴分三类情况讨论 (1)当0≤t≤3时，如图： AP=t，PQ= t， ∴S= AP·PQ= t2 (2)当3＜t≤10时，示意图： 过D作DH⊥AB于H，AD=t， 则DH=ADsinA=6· =3 ，AH=ADcosA=3 ∴DQ=PH=AP-AH=t-3 ∴S= (AP+DQ)·DH = (t+t-3)·3 =3 t- (3)当10＜t≤16时，如图： 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第9页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 AB+BP=t CP=AB+BC-(AB+BP)=16-t ∴CQ= CP=8- QP= ·CQ=8 - t ∴S=S -S □ABCD △CPQ =AB·h- ·CQ·PQ =10·3 - ·(8- )· (8- ) =30 - (64-8t+ ) = 综上， . 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第10页 共10页