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绝密★考试结束前
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．设 则 （ ）
A． B． C． D．
【】是
【测量目标】集合的基本运算（交集与补集）.
【考查方式】集合的表示（描述法），求集合的补集与交集.
【参考答案】B
【试题解析】对于 因此 ．
2．“ ”是“ ”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【测量目标】命题的充分，必要条件.
【考查方式】主要考查命题的基本关系以及充分必要条件.
【参考答案】A
【试题解析】对于“ ” “ ”；反之不一定成立，因此“ ”是“
”的充分而不必要条件．
3．设 （ 是虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【测量目标】复数的代数形式的四则运算.
【考查方式】给出复数的除法乘方形式，考查复数的代数四则运算.
【参考答案】D
【试题解析】对于
4．设 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题正确的是 （ ）
A．若 则 B．若 则
C．若 则 D．若 则
第1页 | 共9页【测量目标】直线与平面位置关系，平面与平面的位置关系.
【考查方式】给出线面，面面的部分关系，推导直线与平面的关系.
【参考答案】C
【试题解析】对于 均可能出现 ，而对于C是正确的．
5．已知向量 ．若向量c满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【测量目标】平面向量的坐标运算.
【考查方式】给出平面向量满足的关系式，通过平面向量的平行和垂直关系运算求解.
【参考答案】D
【 试 题 解 析 】 不 妨 设 ， 则 ， 对 于
，则有 ；（步骤1）
又 ，则有 ，则有 （步骤2）
6．已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，且
轴 ， 直 线 交 轴 于 点 ． 若 ， 则 椭 圆 的 离 心 率 是
（ ）
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A． B． C． D．
【测量目标】椭圆的简单几何性质，解析几何与平面向量结合.
【考查方式】考查解析几何与平面向量结合，数形结合求解离心率.
【参考答案】D
【试题解析】对于椭圆，因为 ，则
7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是
（ ）
A． B．
C． D．
【测量目标】循环结构的程序框图.
【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以
及循环体的构成，特别是注意最后一次循环 的值.
【参考答案】A
【 试 题 解 析 】 对 于 ， 而 对 于 ， 则
第2页 | 共9页，后面是 ，不符合条件时输出的 ．
8．若函数 ，则下列结论正确的是 （ ）
A． ， 在 上是增函数
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
B． ， 在 上是减函数
C． ， 是偶函数
D． ， 是奇函数
【测量目标】全称量词、存在量词、函数奇偶性与单调性的判断.
【考查方式】给出函数式，通过对量词的考查结合函数的性质进行考查.
【参考答案】C
【试题解析】对于 时有 是一个偶函数
9．已知三角形的三边长分别为 ，则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为
（ ）
A． B． C． D．
【测量目标】直线与圆的位置关系.
【考查方式】通过三角形边与圆相切来考虑公共点.
【参考答案】B
【试题解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，
对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但4以上的交点不能实现．
10 ． 已 知 是 实 数 ， 则 函 数 的 图 象 不 可 能 是
（ ）
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A B C D
【测量目标】三角函数的图象.
【考查方式】函数式中设定函数，考查三角函数的图象.
【参考答案】D
【试题解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为 （步骤1）
而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了 ．（步骤2）
第3页 | 共9页非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11．设等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则 ．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【测量目标】等比数列的通项，等比数列的前 和.
【考查方式】给出等比数列的公比，考查等比数列前 和每项的关系.
【参考答案】15
【试题解析】对于
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
12．若某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则此几何体的体
积是 ．
【测量目标】三视图求几何体的体积.
【考查方式】给出三视图，求几何体的体积.
【参考答案】18
【试题解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为
，上面的长方体体积为 ，因此其几何体的体积为18
13．若实数 满足不等式组 则 的最小值是
．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.
【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的
平面区域，求出线性目标函数的最小值.
【参考答案】4
【 试 题 解 析 】 通 过 画 出 其 线 性 规 划 ， 可 知 直 线 过 点 时 ，
14．某个容量为 的样本的频率分布直方图如下，则在区间
上的数据的频数为 ．
【测量目标】频率分布直方图.
【考查方式】给出频率分布直方图，通过图表解决问题.
【参考答案】30
第4页 | 共9页【试题解析】对于在区间 的频率/组距的数值为 ，而总数为100，因此频数为30
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
15．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电
价表如下：
高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表
高峰月用电量 高峰电价 低谷月用电量 低谷电价
（单位：千瓦时） （单位：元/千瓦 （单位：千瓦时） （单位：元/千瓦
时） 时）
50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288
超过50至200的部 0.598 超过50至200的部分 0.318
分
超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为 千瓦时，低谷时间段用电量为 千瓦
时，
则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）．
【测量目标】分段函数模型.
【考查方式】考查识图能力及数据处理能力，求解.
【参考答案】148.4
【试题解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为 ；对
于低峰部分为 ，二部分之和为
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
16．设等差数列 的前 项和为 ，则 ， ， ， 成等差数列．
类比以上结论有：设等比数列 的前 项积为 ，则 ， ， ， 成等
比数列．
【测量目标】等比数列的性质，等差数列的性质.
【考查方式】通过已知条件进行类比推理求解.
【参考答案】
【试题解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列 的前 项积为 ，则 ，
， 成等比数列．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
17．有 张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数 ，其中 ．
从这 张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取
到
第5页 | 共9页标有 的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为 ）不小于 , ，
则 ．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【测量目标】排列组合及其应用.
【考查方式】给出排列组合的方式，求在一定条件下出现 事件概率.
【参考答案】
【 试 题 解 析 】 对 于 大 于 14 的 点 数 的 情 况 通 过 列 举 可 得 有 5 种 情 况 ， 即
，而基本事件有20种，因此
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分 14 分）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足
，
． （I）求 的面积； （II）若 ，求 的值．
【测量目标】平面向量的线性运算，正弦定理余弦定理，二倍角，同角三角函数的基本关
系.
【考查方式】给出关于向量的等式，根据数量积的公式将其转化为边与角的关系式，进而
求 的面积;给出边 ，根据余弦定理求 值.
【试题解析】（Ⅰ） （步骤1）
又 ， ，（步骤2）
而 ，所以 ，
所以 的面积为： （步骤3）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，而 ，所以 2
所以 （步骤4）
19．（本题满分14分）如图， 平面 ， ，
， ， 分 别 为
的中点．（I）证明： 平面 ；（II）求
与平面 所成角的正弦值．
【测量目标】线面平行的判定，线面角的求法.
【考查方式】线线平行推出线面平行;由几何体中的位置关系，进行求解.
【试题解析】（Ⅰ）证明：连接 ，在 中， 分别是 的中点，所
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2以 ， （步骤1）
又 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ， 所以
平面 （步骤2）
（Ⅱ）在 中， ，所以 （步骤3）
而 平面 ， ，所以 平面
而 平面 ， 所以平面 平面 ， 所以 平面 （步骤4）
由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以
所以 平面 ， 所以直线 在平面 内的射影是 ，（步骤5）
所以直线 与平面 所成角是 （步骤6）
在 中， ，
所以 （步骤7）
20．（本题满分14分）设 为数列 的前 项和， ， ，其中 是
常数．
（I） 求 及 ；
（II）若对于任意的 ， ， ， 成等比数列，求 的值．
【测量目标】等差数列的通项和等比数列的性质，等差数列前 项和.
【考查方式】给出 的表达式，求 ； 中部分项呈等比，求解未知数 .
【试题解析】（Ⅰ）当 ，
（）（步骤1）
检验， （）式成立， （步骤2）
（Ⅱ） 成等比数列， ，
即 ，（步骤3）
整理得： ，对任意的 成立，
（步骤4）
21．（本题满分15分）已知函数 ．
2
（I）若函数 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 ，求 的值；
（II）若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围．
【测量目标】利用导数判断或求函数的单调区间，函数零点的应用.
【考查方式】限定函数的图象过定点处的斜率，解出方程中的未知数;给出函数在区间上的
单调性，求未知数的取值范围.
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2【试题解析】
（Ⅰ）由题意得 （步骤1）
又 ，（步骤2）
解得 ， 或 （步骤3）
（Ⅱ）由 ,得 （步骤4）
又 在 上不单调,即 或 （步骤5）
解得 或
所以 的取值范围是 .（步骤6）
22．（本题满分15分）已知抛物线 ： 上一点 到其焦点的距离
为 ．
（I）求 与 的值；
（II）设抛物线 上一点 的横坐标为 ，过 的直线交 于另一点 ，交
轴于点 ，过点 作 的垂线交 于另一点 ．若 是 的切线，求 的
最小值．
【测量目标】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，
圆锥曲线中的定点定值问题.
【考查方式】给出抛物线上一点到焦点的距离，根据准线方程求方
程中未知数;根据直线与抛物线直线与直线的关系，求 的最小值
【试题解析】（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程： ，（步
骤1）
根据抛物线定义点 到焦点的距离等于它到准线的距离，即 ，解得
2
（步骤2）
抛物线方程为： ，（步骤3）
第8页 | 共9页将 代入抛物线方程，解得 （步骤4）
（Ⅱ）由题意知，过点 的直线 斜率存在且不为0，设其为 .（步骤5）
则 ，当 则 .（步骤6）
联立方程 ，整理得：
即： ，解得 或 （步骤7）
，而 ， 直线 斜率为 （步骤8）
，联立方程
整理得： ，即：
，解得： 或 （步骤
9）
，
（步骤10）
而抛物线在点N处切线斜率： （步骤11）
是 抛 物 线 的 切 线 ， ， 整 理 得
，解得 （舍去），或 ， （步骤12）
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