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2019年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，属于无理数的是（ ）
A． B．1.414 C． D．
2．（3分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ）
A． 正方体 B． 圆柱
C． 圆锥 D． 球
3．（3分）据海关统计：2019年前4个月，中国对美国贸易顺差为5700亿元．用科学记数法表
示5700亿元正确的是（ ）
A．5.7×1011元 B．57×1010元
C．5.7×10﹣11元 D．0.57×1012元
4．（3分）如图，已知两直线l与l被第三条直线l所截，下列等式一定成立的是（ ）
1 2 3
A．∠l＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠2+∠4＝180° D．∠1+∠4＝180°
5．（3分）学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某
班级售书情况如表：
售价 3元 4元 5元 6元
数目 14本 11本 10本 15本
下列说法正确的是（ ）
A．该班级所售图书的总收入是226元
B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4
1C．在该班级所售图书价格组成的一纽数据中，众数是15
D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是2
6．（3分）以下计算正确的是（ ）
A．（﹣2ab2）3＝8a3b6
B．3ab+2b＝5ab
C．（﹣x2）•（﹣2x）3＝﹣8x5
D．2m（mn2﹣3m2）＝2m2n2﹣6m3
7．（3分）一次函数y＝kx+b的图象l如图所示，将直线l向下平移若干个单位后得直线
1 1 1 1 1
l，l的函数表达式为y＝kx+b．下列说法中错误的是（ ）
2 2 2 2 2
A．k＝k B．b＜b
1 2 1 2
C．b＞b D．当x＝5时，y＞y
1 2 1 2
8．（3分）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说
法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO：AA′＝1：2
D．AB∥A′B′
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿
AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（ ）
2A．120° B．108° C．72° D．36°
10．（3分）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津
乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种
出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分） 的相反数是 ．
12．（3分）不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红色、
白色、蓝色、黄色，从中一次性随机取出2个小球，取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的
概率是 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，2），反比例函数y＝ （x＜0）的
图象经过线段OA的中点B，则k＝ ．
14．（3分）不等式组 的解集是 ．
15．（3分）如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是
．（不添加任何字母和辅助线）
316．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值
是 ．
17．（3分）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，
设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是 ．
18．（3分）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，
将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是 ．
三、解答题（本大题有8个小题，第19-25题毎题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必
要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19．（8分）计第： ﹣（ ）﹣1+|﹣2|cos60°
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中m＝ ﹣2．
21．（8分）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A
为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，
4圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
22．（8分）某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、
科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，
现在学校随机抽取了50名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据；
（3）求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数；
（4）请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动．
23．（8分）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指
出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有
望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万
亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．
24．（8分）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支
架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE＝
30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到
1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
525．（8分）如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点
B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接
AD．
（1）求证：△APO～△DCA；
（2）如图2，当AD＝AO时
①求∠P的度数；
②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出 的值；
若不存在，请说明理由．
26．（10分）如图，二次函数y＝﹣ x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方作x轴的平行线y＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x
1
轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动
点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返
回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交
抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四
边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
672019年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．【解答】解： ＝2是有理数； 是无理数；
故选：C．
2．【解答】解：A．俯视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；
B．俯视图与主视图都是正方形，故选项B不合题意；
C．俯视图是圆，左视图是三角形；故选项C符合题意；
D．俯视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；
故选：C．
3．【解答】解：5700亿元＝570000000000元＝5.7×1011元；
故选：A．
4．【解答】解：∠1与∠2是同为角，∠2与∠3是内错角，∠2与∠4是同旁内角，由平行线的
性质可知，选项A，B，C成立的条件为l∥l时，而∠1与∠4是邻补角，故D正确．
1 2
故选：D．
5．【解答】解：A、该班级所售图书的总收入为3×14+4×11+5×10+6×15＝226，所以A选项
正确；
B、第25个数为4，第26个数为5，所以这组数据的中位数为4.5，所以B选项错误；
C、这组数据的众数为6，所以C选项错误；
D、这组数据的平均数为 ＝ ＝4.52，所以这组数据的方差S2＝ [14（3﹣4.52）2+11
（4﹣4.52）2+10（5﹣4.52）2+15（6﹣4.52）2]≈1.4，所以D选项错误．
故选：A．
6．【解答】解：（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，A错误；
3ab+2b不能合并同类项，B错误；
（﹣x2）（﹣2x）3＝8x5，C错误；
故选：D．
7．【解答】解：∵将直线l向下平移若干个单位后得直线l，
1 2
∴直线l∥直线l，
1 2
∴k＝k，
1 2
8∵直线l向下平移若干个单位后得直线l，
1 2
∴b＞b，
1 2
∴当x＝5时，y＞y，
1 2
故选：B．
8．【解答】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，
AO：OA′＝1：2，故选项C错误，符合题意．
故选：C．
9．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝54°．
∵AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，
∴∠ADF＝∠ADC＝72°，
∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°．
故选：B．
10．【解答】解：设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，
则所列方程组为 ，
故选：D．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．【解答】解： 的相反数是﹣ ；
故答案为﹣ ；
12．【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的有2种
结果，
9所以取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
13．【解答】解：如图：∵AC∥BD，B是OA的中点，
∴OD＝DC
同理OF＝EF
∵A（﹣4，2）
∴AC＝2，OC＝4
∴OD＝CD＝2，BD＝OF＝EF＝1，
∴B（﹣2，1）代入y＝ 得：
∴k＝﹣2×1＝﹣2
故答案为：﹣2
14．【解答】解：解不等式x+4＜3，得：x＜﹣1，
解不等式 ≤1，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜﹣1，
故答案为：﹣2≤x＜﹣1．
15．【解答】解：∵∠A＝∠A，AD＝AE，
∴可以添加AB＝AC，此时满足SAS；
添加条件∠ADC＝∠AEB，此时满足ASA；
添加条件∠ABE＝∠ACD，此时满足AAS，
故答案为AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD；
16．【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝4+4m＞0，
∴m＞﹣1；
故答案为0；
17．【解答】解：∵勾a＝6，弦c＝10，
10∴股＝ ＝8，
∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，
∴小正方形的面积＝22＝4
故答案是：4
18．【解答】解：作BH⊥y轴于H，如图，
∵△OAB为等边三角形，
∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，
∴BH＝ OH＝2 ，
∴B点坐标为（2 ，2），
∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，
∴点B′的坐标是（﹣2 ，﹣2）．
故答案为（﹣2 ，﹣2）．
三、解答题（本大题有8个小题，第19-25题毎题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必
要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19．【解答】解： ﹣（ ）﹣1+|﹣2|cos60°＝3﹣3+2× ＝1；
20．【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷
＝ •
＝ ，
当m＝ ﹣2时，
原式＝ ＝ ．
21．【解答】解：∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°，
11∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BD＝ AD＝6 ，
∴BC＝2BD＝12 ，
∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S ﹣S ＝
△ABC 扇形EAF
×6×12 ﹣ ＝36 ﹣12π；
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝ ，解得r＝2，
这个圆锥的高h＝ ＝4 ．
22．【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是 ＝50，
故答案为：50；
（2）参与篮球社的人数＝50×20%＝10人，
参与国学社的人数为50﹣5﹣10﹣12﹣8＝15人，
补全条形统计图如图所示；
（3）参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为360°× ＝86.4°；
（4）3000×20%＝600名，
答：全校有600学生报名参加篮球社团活动．
23．【解答】解：设平均增长率为x，根据题意列方程得
30（1+x）2＝36.3
解得x＝0.1，x＝﹣2.1（舍）
1 2
答：我国外贸进出口总值得年平均增长率为10%．
24．【解答】解：设OE＝OB＝2x，
∴OD＝DE+OE＝190+2x，
12∵∠ADE＝30°，
∴OC＝ OD＝95+x，
∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝95﹣x，
∵tan∠BAD＝ ，
∴2.14＝ ，
解得：x≈9，
∴OB＝2x＝18．
25．【解答】解：（1）证明：如图1，∵PA切⊙O于点A，AC是⊙O的直径，
∴∠PAO＝∠CDA＝90°
∵CD⊥PB
∴∠CEP＝90°
∴∠CEP＝∠CDA
∴PB∥AD
∴∠POA＝∠CAO
∴△APO～△DCA
（2）如图2，连接OD，
①∵AD＝AO，OD＝AO
∴△OAD是等边三角形
∴∠OAD＝60°
∵PB∥AD
∴∠POA＝∠OAD＝60°
∵∠PAO＝90°
∴∠P＝90°﹣∠POA＝90°﹣60°＝30°
②存在．如图2，过点B作BQ⊥AC交⊙O于Q，连接PQ，BC，CQ，
由①得：∠POA＝60°，∠PAO＝90°
∴∠BOC＝∠POA＝60°
∵OB＝OC
∴∠ACB＝60°
∴∠BQC＝∠BAC＝30°
∵BQ⊥AC，
13∴CQ＝BC
∵BC＝OB＝OA
∴△CBQ≌△OBA（AAS）
∴BQ＝AB
∵∠OBA＝∠OPA＝30°
∴AB＝AP
∴BQ＝AP
∵PA⊥AC
∴BQ∥AP
∴四边形ABQP是平行四边形
∵AB＝AP
∴四边形ABQP是菱形
∴PQ＝AB
∴ ＝ ＝tan∠ACB＝tan60°＝
26．【解答】解：（1）将（0，0），（8，0）代入y＝﹣ x2+bx+c，得：
，解得： ，
14∴该二次函数的解析式为y＝﹣ x2+ x．
（2）当y＝m时，﹣ x2+ x＝m，
解得：x＝4﹣ ，x＝4+ ，
1 2
∴点A的坐标为（4﹣ ，m），点B的坐标为（4+ ，m），
∴点D的坐标为（4﹣ ，0），点C的坐标为（4+ ，0）．
∵矩形ABCD为正方形，
∴4+ ﹣（4﹣ ）＝m，
解得：m＝﹣16（舍去），m＝4．
1 2
∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．
（3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标
为（2，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0），
将A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：
，解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．
当x＝2+t时，y＝﹣ x2+ x＝﹣ t2+ t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4，
∴点E的坐标为（2+t，﹣ t2+ t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）．
∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF，
∴AQ＝EF，分三种情况考虑：
①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF＝﹣ t2+ t+4﹣（﹣t+4）＝﹣ t2+ t，
∴t＝﹣ t2+ t，
解得：t＝0（舍去），t＝4；
1 2
②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝t﹣4，EF＝﹣ t2+ t+4﹣（﹣t+4）＝﹣ t2+ t，
∴t﹣4＝﹣ t2+ t，
解得：t＝﹣2（舍去），t＝6；
3 4
15③当7＜t≤8时，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t+4﹣（﹣ t2+ t+4）＝ t2﹣ t，
∴t﹣4＝ t2﹣ t，
解得：t＝5﹣ （舍去），t＝5+ （舍去）．
5 6
综上所述：当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6．
1617
