文档内容
2009年北京市普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页
，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，
用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。
2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框
内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。
一、本大题每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在复平面内，复数z =i(1+2i)对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量a,b不共线，c=ka+b(kÎR),d =a-b如果c//d ，那么
A．k =1且c与d 同向 B．k =1且c与d 反向
C．k =-1且c与d 同向 D．k =-1且c与d 反向
x+3
3．为了得到函数y =lg 的图像，只需把函数y =lgx的图像上所有的点
10
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
4．若正四棱柱ABCD-ABC D 的底面边长为1，AB 与底面ABCD成60°角，则AC
1 1 1 1 1 1 1
到底面ABCD的距离为
3
A． B．1 C． 2 D． 3
3
p 1
5．“a= +2kp(kÎZ)”是“cos2a= ”的
6 2
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若(1+ 2)5 +a+b 2(a,b为有理数），则a+b=
第1页 | 共4页A．45 B．55 C．70 D．80
7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为
A．324 B．328 C．360 D．648
8．点P在直线l: y = x-1上，若存在过P的直线交抛物线y = x2于A,B两点，且
|PA=| AB|，则称点P为“ 点”，那么下列结论中正确的是
A．直线l上的所有点都是“ 点”
B．直线l上仅有有限个点是“ 点”
C．直线l上的所有点都不是“ 点”
D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点”
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
x x -x
9．lim =___________。
x®1 x-1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
ìx+ y-2³0
ï
10．若实数x,y满足íx£4 则s = y-x的最小值为__________。
ï
y£5
î
11．设 f(x)是偶函数，若曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点
(-1, f(-1))处的切线的斜率为______________。
x2 y2
12．椭圆 + =1的焦点为F,F ，点P在椭圆上，若|PF |=4，则|PF |=________
9 2 1 2 1 2
_；ÐFPF 的小大为____________。
1 2
ì1
, x<0
ï
ïx 1
13．若函数 f(x)=í 则不等式| f(x)|³ 的解集为____________。
1 3
ï ( )x, x³0
ïî 3
14．已知数列{a }满足：a =1,a =0,a =a ,nÎN*,则a =________；a =
n 4n-3 4n-1 2n n 2009 2014
____________。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）
第2页 | 共4页p 4
在DABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B= ，cosA= ,b= 3。
3 5
（I）求sinC的值；
（Ⅱ）求DABC的面积。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
16．（本小题共14分）
如图，在三棱锥P-ABC 中，PA^底面ABC,PA= AB,ÐABC =60°,ÐBCA=90°，
点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC
（I）求证：BC ^平面PAC ；
（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC 所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说
明理由。
17．（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红
1
灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2min。
3
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间x的分布列及期望。
第3页 | 共4页18．（本小题共13分）
设函数 f(x)= xekx(k ¹0)
（I）求曲线y = f(x)在点(0, f(0))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f(x)的单调区间；
（Ⅲ）若函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递增，求k的取值范围。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
19．（本小题共14分）
x2 y2 3
已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为 3，右准线方程为x=
a2 b2 3
（I）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O:x2 + y2 =2上动点P(x ,y )(x y ¹0)处的切线，l与双曲线C交
0 0 0 0
于不同的两点A,B，证明ÐAOB的大小为定值。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
20．（本小题共13分）
已知数集A={a ,a , a }(1£a
