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甘肃省武威市 2021 年中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 3的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据倒数的定义可知．
解：3的倒数是 ．
主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2. 2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛，创新发展
拓荒牛，艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形
的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合轴对称图形的定义即可求解．
【详解】解：A：不符合轴对称图形的定义，不合题意；
B：符合轴对称图形的定义，符合题意；
C：不符合轴对称图形的定义，不合题意；
D：不符合轴对称图形的定义，不合题意；
故答案是：B．
【点睛】本题考察轴对称图形的定义，难度不大，属于基础题．解题的关键是掌握轴对称图形的定义，即
当一个平面图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形．
3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案．
【详解】 ，故A错；
，故B错；
，C正确；
，故D错．
故选：C．
【点睛】此题考查的是二次根式的运算和化简，掌握其运算法则是解决此题关键．
4. 中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家
和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，
必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合科学计数法的表示方法即可求解．
【详解】解：50亿即5000000000，故用科学计数法表示为 ，
故答案是：B．
【点睛】本题考察科学计数法的表示方法，难度不大，属于基础题。解题关键即掌握科学计数法的表示方
法，科学计数法的表示形式为 ，其中 ，n为整数．此外熟记常用的数量单位，如万即是
，亿即是 等．
5. 将直线 向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】只向下平移，让比例系数不变，常数项减去平移的单位即可．
【详解】解：直线 向下平移2个单位后所得直线的解析式为
故选:A
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数上下平移的规则“上加下减”在常数
项． 函数左右平移的规则“左加右减”在自变量，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平
移的规则求出平移后的函数解析式是关键．
6. 如图，直线 的顶点 在 上，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出 的余角∠ABF，利用平行线性质可求∠ADE．
【详解】解：∵ ，
∴∠ABC=90°，∠ABF=90°-∠CBF=90°-20°=70°，
∵ ，
∴∠ADE=∠ABF=70°．
故选择A．
【点睛】本题考查余角性质，平行线性质，掌握余角性质，平行线性质是解题关键．
7. 如图，点 在 上， ，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先证明 再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．
【详解】解： 点 在 上， ，
故选：
【点睛】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同
弧或等弧的概念与性质是解题的关键．
8. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．
问：人与车各几何?”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人
坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少?设共有 人， 辆车，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设共有 人， 辆车，由每3人坐一辆车，有2辆空车，可得 由每2人坐一辆车，
有9人需要步行，可得： 从而可得答案．
【详解】解：设共有 人， 辆车，则故选：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的实际应用，确定相等关系列方程是解题的关键．
9. 对于任意的有理数 ，如果满足 ，那么我们称这一对数 为“相随数对”，记为
．若 是“相随数对”，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】先根据新定义，可得 9m+4n=0，将整式 去括号合并同类项化简得
，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵ 是“相随数对”，
∴ ，
整理得9m+4n=0，
．
故选择A．
【点睛】本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数对，找出
数对之间关系，整式加减计算求值是解题关键．
10. 如图1，在 中， 于点 ．动点 从 点出发，沿折线
方向运动，运动到点 停止．设点 的运动路程为 的面积为 与 的函数图象如
图2，则 的长为（ ）A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】从图象可知， ，点M运动到点 B位置时， 的面积达到最大值y=3，结
合等腰三角形的“三线合一”的性质、三角形的面积公式和勾股定理可求得 AC的长．
【详解】解：根据函数图象可知，点M的运动路程 ，点 M运动到点B的位置时，
的面积y达到最大值3，即 的面积为3．
∵
∴
∴ ．
∴ ，即： ，
，即： ．
∵ ，
∴ ．
两式相加，得，2AD=6．
∴AC=2AD=6．
故选：B
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、等式的性质与恒等变形、函数图象等知识点，从函数图象中获取相应的信息，利用勾股定理和三角形的面积公式，进行等式的恒等变形是解题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 因式分解： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定 的公因式为 ，再利用提公因式分解因式即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的确定是解题的关键．
12. 关于 的不等式 的解集是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，再移项，最后把未知数的系数化“ ”，即可得到不等式的解集．
【详解】解：
去分母得： ＞
移项得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解不等式的方法是解题的关键．
13. 已知关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是_____.．
【答案】1
【解析】【详解】试题分析：∵关于 x的一元二次方程 有两个相等的实数根，∴△=0，∴4﹣
4m=0，∴m=1，故答案为1．
考点：根的判别式．
14. 开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：
体温（ ） 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7 36.8
天数（天） 2 3 3 4 1 1
这14天中，小芸体温的众数是____________ ．
【答案】36.6
【解析】
【分析】根据众数的定义就可解决问题．
【详解】根据表格数据可知众数是36.6℃，
故答案为：36.6．
【点睛】本题主要考查了众数的求解，正确理解众数的意义是解决本题的关键．
15. 如图，在矩形 中， 是 边上一点， 是 边的中点，
，则 ________ ．
【答案】6
【解析】
【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 再利用锐角三角函数依次求解
即可得到答案．
【详解】解： 是 边的中点， ，矩形 ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌
握锐角三角函数的应用是解题的关键．
16. 若点 在反比例函数 的图象上，则 ____ （填“>”或“<”或
“=”）
【答案】
【解析】
【分析】先确定 的图像在一，三象限，且在每一象限内， 随 的增大而减小，再利用反比例
函数的性质可得答案．
【详解】解： ＞
的图像在一，三象限，且在每一象限内， 随 的增大而减小，
＞
＜
故答案为：【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握利用反比例函数的图像与性质比较函数值的大小是解题的
关键．
17. 如图，从一块直径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 的扇形，则此扇形的面积为_____ ．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接 证明 为圆的直径，再利用勾股定理求解 再利用扇形面积公式计算即可
得到答案．
【详解】解：如图，连接
为圆的直径，
故答案为：
【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形的面积的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．18. 一组按规律排列的代数式： ，…，则第 个式子是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中 a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序
号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．
【详解】解：∵当n为奇数时， ；
当n为偶数时， ，
∴第n个式子是： ．
故答案为：
【点睛】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先进行零指数幂和负整数指数幂，余弦函数值计算，再计算二次根式的乘法，合并同类项即可．
【详解】解： ，
，
．
【点睛】本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，特殊角三角函数值，掌握零指数幂和负整数指数幂的运
算法则，特殊角锐角三角函数值是解题的关键．20. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】
【解析】
【分析】小括号内先通分计算，将除法变成乘法并因式分解，根据乘法法则即可化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式
当 时，原式 ．
【点睛】本题考察分式的化简求值，难度不大，属于基础题型．解题的关键在于熟悉运算法则和因式分解．
21. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，
已知 是弦 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段 的垂直平分线 ，分别交 于点 于点 ，连接 ；
②以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 （ 两点不重合），连接 ．
（2）直接写出引理的结论：线段 的数量关系．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）
【解析】【分析】（1）①分别 为圆心，大于 为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线
即可得到答案，②按照语句依次作图即可；
（2）由作图可得： 再证明 再证明
从而可得结论．
【详解】解：（1）作出线段 的垂直平分线 ，连接 ；
以 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ，连接 ，如图示：
（2）结论： ．理由如下：
由作图可得： 是 的垂直平分线，
四边形 是圆的内接四边形，【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角
定理，圆内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键．
22. 如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺
的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小
组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔 垂直于地面，在地面上选取 两处分别测得 和 的度数（
在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上 两点的距离为 ．
问题解决：求宝塔 的高度（结果保留一位小数）．
参考数据： ， ．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，再利用锐角三角函数用含 的代数式表示 再列方程，解方程可得答案．
【详解】解： 设 ，在 中， ，
在 中， ，
，
解得， ．
答：宝塔的高度约为 ．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关
系是解题的关键．
23. 一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱
子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小
球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球
颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【答案】（1）1个；（2）
【解析】
【分析】（1）先利用频率估计概率，得到摸到红球的概率为0.75，再利用概率公式列方程，解方程可得
答案；
（2）利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式
计算即可得到答案．
【详解】解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有 个，依题意得解得， ．
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
所以箱子里可能有1个白球；
（2）列表如下：
红 红 红 白
红 （红 ，红 ） （红 ，红 ） （红 ，红） （红 ，白）
红 （红 ，红 ） （红 ，红 ） （红 ，红） （红 ，白）
红 （红 ，红 ） （红 ，红 ） （红 ，红 ） （红 ，白）
白 （白，红 ） （白，红 ） （白，红） （白，白）
或画树状图如下：
∵一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有：
（红 ，白）、（红 ，白）、（红 ，白）、（白，红 ）、（白，红 ）、（白，红 ）共6种．
∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率 ．
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率，掌握实
验次数足够多的情况下，频率会稳定在某个数值附近，这个常数视为概率，以及掌握列表与画树状图的方
法是解题的关键．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
24. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，
竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成 五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
等级 成绩
（1）本次调查一共随机抽取了_________名学生的成绩，频数分布直方图中 __________；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）所抽取学生成绩的中位数落在________等级；
（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人?
【答案】（1）200，16；（2）见解析；（3） ；（4）940人
【解析】
【分析】（1）B等级人数40人÷B等级的百分比为20%， 利用抽查人数-其它各组人数即可；
（2） C等级200×25%=50人，m=16即可补全频率分布直方图：
（3）根据中位数定义即可求即；
（4）成绩80分以上的在D、E两等级中人数占抽样的百分比47%乘以学生总数即可．
【详解】解：（1）B等级人数40人，由扇形图可知B等级的百分比为20%，∴本次调查一共随机抽取了40÷20%=200名学生的成绩，C等级200×25%=50人
∴m=200-40-50-70-24=16
为
故答案 ：200，16；
（2） C等级200×25%=50人，m=16,
补全频率分布直方图如图所示：
（3）频率分布直方图已将数据从小到大排序，一共抽查200个数据，根据中位数定义中位数位于第100，
101两位置上成绩的平均数，16+40=56 100，16+40+50=106 101,
∴中位数在 等级内；
故答案为：C
（4）成绩80分以上的在D、E两等级中人数为：70+24=94人，占抽样的百分比为94÷200×100%=47%，
的
全校共有2000名学生，成绩优秀 学生有 （人）．
答：全校2000名学生中，估计成绩优秀的学生有940人．
【点睛】本题考查频率分布直方图和扇形图获取信息，样本容量，补画频率分布直方图，中位数，用样本
的百分比含量估计总体中的数目等知识，熟练掌握上述知识是关键．
25. 如图1，小刚家，学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完
书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离 与他所用的时间的函数关系如图2所示．
（1）小刚家与学校的距离为___________ ，小刚骑自行车的速度为________ ；
（2）求小刚从图书馆返回家的过程中， 与 的函数表达式；
（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远?
【答案】（1）3000，200；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）从起点处为学校出发去处为图书馆，可求小刚家与学校的距离为 3000m，小刚骑自行车匀
速行驶10分钟，从3000m走到5000m可求骑自行车的速度即可；
（2）求出从图书馆出发时的时间与路程和回到家是的时间与路程，利用待定系数法求解析式即可；
（3）小刚出发35分钟，在返回家的时间内，利用函数解析式求出当 时，函数值即可．
【详解】解：（1）小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，从起点3000m处为学校出发去5000m处为图书馆，
∴小刚家与学校的距离为3000m，
小刚骑自行车匀速行驶10分钟，从3000m走到5000m，
行驶的路程为5000-3000=2000m，
骑自行车的速度为2000÷10=200m/min，
故答案为：3000，200；
（2）小刚从图书馆返回家的时间： ．
总时间： ．
设返回时 与 的函数表达式为 ，
把 代入得： ，解得， ，
．
（3）小刚出发35分钟，即当 时，
，
答：此时他离家 ．
【点睛】本题考查从函数图像中获取信息，求距离，自行车行驶速度，利用待定系数法求返回时解析式，
用行驶的具体时间确定函数值解决问题，掌握从函数图像中获取信息，求距离，自行车行驶速度，利用待
定系数法求返回时解析式，用行驶的具体时间确定函数值解决问题是解题关键．
26. 如图， 内接于 是 的直径 的延长线上一点， ．过圆心 作
的平行线交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的半径及 的值；
【答案】（1）见解析；（2）半径为3，
【解析】
【分析】（1）证明 是 的半径，即证明 ，结合直径所对圆周角是 、等腰△OAC
和已知 即可求解；（2）由（1）中结论和 可知， ，再由CD、CE和平行线分线段
成比例，即可找到BD、OB、BC、OE的关系，最后利用 三边的勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，
，
，
，
是 的直径，
，
，
，即 ，
，
又 是 的半径，
是 的切线．
（2）
，即 ，
∴设 ，则 ，
，解得， ，
．即 的半径为3，，
在 中， ，
．
【点睛】本题考查圆切线的证明、平行线分线段成比例、勾股定理和锐角三角函数，属于中档几何综合题，
解题的关键在于直径所对圆周角是直角和方程思想．
27. 问题解决：如图1，在矩形 中，点 分别在 边上， 于点 ．
（1）求证：四边形 是正方形；
（2）延长 到点 ，使得 ，判断 的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形 中，点 分别在 边上， 与 相交于点 ，
，求 的长．
【答案】问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8
【解析】【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合 和
可知 ，再利用矩形的边角性质即可证明 ，即 ，
即可求解；
（2）由（1）中结论可知 ，再结合已知 ，即可证明 ，从而求得
是等腰三角形；
类比迁移：由前面问题的结论想到延长 到点 ，使得 ，结合菱形的性质，可以得到
，再结合已知 可得等边 ，最后利用线段BF长度即可求解．
【详解】解：问题解决：
（1）证明：如图1，∵四边形 是矩形，
．
．
．
．
又 ．
∴矩形 是正方形．
（2） 是等腰三角形．理由如下：
，
．
又 ，即 是等腰三角形．类比迁移：
如图2，延长 到点 ，使得 ，连接 ．
∵四边形 是菱形，
．
．
．
又 ．
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综
合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与坐标轴交于 两点，直线
交 轴于点 ．点 为直线 下方抛物线上一动点，过点 作 轴的垂线，垂足为
分别交直线 于点 ．（1）求抛物线 的表达式；
（2）当 ，连接 ，求 的面积；
（3）① 是 轴上一点，当四边形 是矩形时，求点 的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点 ，满足 ，求 周长的最小值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）① ；②
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出答案．
（2）由题意可求出 ， ．利用三角函数可知在 和 中，
，由此即可求出 ，从而可求出 ．即可求出D点坐标，继而求出
．再根据 ，即可求出FD的长，最后利用三角形面积公式即可求出最后答案．
（3）①连接 ，交 于点 ．根据矩形 的性质可知 ， ．由可推出 ．由 ，可推出 ．再根据直线BC的解析
式可求出C点坐标，即可得出OC的长，由此可求出AC的长，即可求出CH的长，最后即得出OH的长，
即可得出H点坐标．
②在 中，利用勾股定理可求出 的长，再根据 结合 可
推出 ，即要使 最小，就要 最小，由题意可知当点 在 上时，
为最小．即求出BC长即可．在 中，利用勾股定理求出 的长，即得出
周长的最小值为 ．
【详解】解：（1）∵抛物线 过 两点，
，
解得， ，
．
（2）
．
同理， ．
又 轴， 轴，
∴在 和 中， ，即 ，
．当 时， ，
，即 ．
，
．
（3）①如图，连接 ，交 于点 ．
∵四边形 是矩形，
．
又 ，
∴ ，
．
∵四边形 是矩形，
．
，
∵当x=0时， ，
∴ ，
，
，
，
．
②在 中， ，．
∴要使 最小，就要 最小．
，
∴当点 在 上时， 为最小．
在 中， ．
周长的最小值是 ．
【点睛】本题为二次函数综合题．考查二次函数的图象和性质，解直角三角形，一次函数的图象和性质，
矩形的性质，平行线分线段成比例，三角形三边关系以及勾股定理等知识，综合性强，较难．利用数形结
合的思想是解答本题的关键．
