文档内容
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
一、选择题（每小题5分）
5i
（1） i是虚数单位， =
2-i
（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i
ìx+ y³3
ï
（2）设变量x，y满足约束条件：íx- y³-1.则目标函数z=2x+3y的最小值为
ï
2x- y£3
î
（A）6 （B）7 （C）8 （D）23
（3）命题“存在x ÎR，2x 0 £0”的否定是
0
（A）不存在x ÎR, 2x 0 >0 （B）存在x ÎR, 2x 0 ³0
0 0
（C）对任意的xÎR, 2x £0 （D）对任意的x ÎR, 2x>0
1
（4）设函数 f(x)= x-lnx(x>0),则y = f(x)
3
1
A在区间( ,1),(1,e)内均有零点。
e
1
B在区间( ,1),(1,e)内均无零点。
e
1
C在区间( ,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点。
e
1
D在区间( ,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点。
e
第1页 | 共18页（5）阅读右图的程序框图，则输出的S=
A 26 B 35 C 40 D 57
1 1
(6）设a>0,b>0.若 3是3a与3b的等比中项，则 + 的最小值为
a b
1
A 8 B 4 C 1 D
4
p
（7）已知函数 f(x)=sin(vx+ )(xÎR,v>0)的最小正周期为p，为了得到函数
4
g(x)=cosvx的图象，只要将y = f(x)的图象
p p
A 向左平移 个单位长度 B 向右平移 个单位长度
8 8
p p
C 向左平移 个单位长度 D 向右平移 个单位长度
4 4
f (x) =
x2+4x,x³0,
（8）已知函数 4x-x2,x<0, 若 f(2-a2)> f(a),则实数a的取值范围
是
A (-¥,-1)È(2,+¥) B (-1,2) C (-2,1) D (-¥,-2)È(1,+¥)
（9）．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（ 3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，
S
与抛物线的准线相交于C， BF =2，则DBCF与DACF的成面积之比 DBCF =
S
DACF
第2页 | 共18页4 2 4 1
（A） （B） （C） （D）
5 3 7 2
（10）.0＜b＜1+a,若关于x 的不等式(x-b)2＞(ax)2 的解集中的整数恰有3个，则
（A）-1＜a＜0 （B）0＜a＜1 （C）1＜a＜3 （D）3＜a＜6
二．填空题：（6小题，每题4分，共24分）
（11）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调
查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取
一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，
B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。
（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 3 ，则
a=_______
ìx=1+t
(13) 设直线l 的参数方程为í （t为参数），直线l 的方程
1 îy =1+3t 2
为y=3x+4则l 与l 的距离为_______
1 2
(14)若圆x2 + y2 =4与圆x2 + y2 +2ay-6=0（a>0）的公共弦的长为2 3，
则a=___________
1 uuur 1 uuur 3 uuur
uuur uuur BA+ BC = BD
(15)在四边形ABCD中，AB =DC =（1，1）， uuur uuur uuur ，则
BA BC BD
四边形ABCD的面积是
（16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上
的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（满分12分）在⊿ABC中，BC= 5，AC=3，sinC=2sinA
(I) 求AB的值：
æ pö
(II) 求sinç 2A- ÷ 的值
è 4ø
（18）（满分12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件
产品中任取3件，求：
（I） 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；
（II） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。
（19）（满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA ^平面
ABCD, AD//BC//FE，AB^AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=
第3页 | 共18页1
AD
2
(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(II) 证明平面AMD^平面CDE；
（III）求二面角A-CD-E的余弦值
（20）（满分12分）
已知函数 f(x)=(x2 +ax-2a2 +3a)ex(xÎR), 其中aÎR
（1） 当a=0时，求曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率；
2
（2） 当a¹ 时，求函数 f(x)的单调区间与极值。
3
（21）（满分14分）
x2 y2
以知椭圆 + =1(a>b>0)的两个焦点分别为 F(-c,0)和F (c,0)(c>0)，过点
a2 b2 1 2
a2
E( ,0)的直线与椭圆相交与A,B两点，且FA//F B, FA =2 F B 。
1 2 1 2
c
（1） 求椭圆的离心率
（2） 求直线AB的斜率；
（3） 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线F B 上有一点H(m,n)(m¹0)在D
2
n
AFC 的外接圆上，求 的值
1 m
（22）（满分14分）已知等差数列{a }的公差为d（d¹ 0），等比数列{b }的公比为q
n n
（q>1）。设s =ab +a b …..+ a b ,T =ab -a b +…..+(-1)n-1 a b ,nÎ N+
n 1 1 2 2 n n n 1 1 2 2 n n
(I) 若a =b = 1，d=2，q=3，求 S 的值；
1 1 3
2dq(1-q2n)
(II) 若b =1，证明（1-q）S -（1+q）T = ，nÎ N+；
1 2n 2n 1-q2
(Ⅲ) 若正数n满足2£n£q，设k ,k ,...,k 和l ,l ,...,l 是1，2，...，n的两个不同的排列，
1 2 n 1 2 n
c ¹c
c =a b +a b +...+a b ， c =a b +a b +...+a b 证明 1 2。
1 k 1 k 2 k n 2 l 1 l 2 l n
1 2 n 1 2 n
第4页 | 共18页2009 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一． 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
（1）D （2）B （3）D （4）D （5） C
（6）B （7）A （8）C （9）A （10）C
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。
3 10
（11） 40 （12） 3 （13）
5
（14） 1 （15） （16）324
三．解答题
（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余
弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。
AB BC
（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理， =
sinC sinA
sinC
于是AB= BC=2BC=2 5
sinA
AB2 +AC2 -BD2 2 5
（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA= =
2ABAC 5
5
于是 sinA= 1-cos2 A =
5
4 3
从而sin2A=2sinAcosA= ,cos2A=cos2A-sin2A=
5 5
p p p 2
所以 sin(2A- )=sin2Acos -cos2Asin =
4 4 4 10
(18)本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件
等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。
（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为 Ck ，从10件产品中任取3件，其中恰有k
3
件一等品的结果数为 CkC3-k ，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概
3 7
率为P(X=k)= C 3 kC3 7 -k ,k=0,1,2,3.
C3
10
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P
7 21 7 3
24 40 40 120
7 21 7 1 9
X的数学期望EX=0 +1 +2 +3 =
24 40 40 120 10
（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件
一等品和2件三等品”为事件A “恰好取出2件一等品“为事件A ，”恰好取出3
1 2
件一等品”为事件A 由于事件A ，A ，A 彼此互斥，且A=A∪A ∪A 而
3 1 2 3 1 2 3
第5页 | 共18页C1C2 3 7 1
P(A ) 3 3 = ,P(A )=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= ,
1 C3 40 2 40 120
10
所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
3 7 1 31
P(A)=P(A )+P(A )+P(A )= + + =
1 2 3 40 40 120 120
(19)本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向
量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12
分.
方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补
角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连
结EP，PC。因为FE// AP，所以FA// EP，同理AB// PC。又
= = =
FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平
面ABCD 内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC
⊥AD 设 FA=a，则 EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= 2a，故∠
CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°
（ II ） 证 明 ： 因 为
DC = DE且M为CE的中点，所以DM ^CE.连结MP，则MP ^CE.
又MP DM = M，故CE ^平面AMD.而CE 平面CDE，所以平面AMD^平面CDE.
（III）解：设Q为CD的中点，连结PQ，EQ.因为CE = DE，所以EQ ^CD.因为
PC = PD，所以PQ ^CD，故EQP为二面角A-CD-E的平面角.
6 2
由（I）可得，EP ^ PQ，EQ = a，PQ = a.
2 2
PQ 3
于是在RtDEPQ中，cosEQP = = ，
EQ 3 w
方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，
点 A为坐标原点。设 AB =1，依题意得 B 1，0，0 ，C 1，1，0 ， D 0，2，0 ， E 0，1，1 ，
F 0，0，1 ，
æ1 1ö
Mç ，1，÷.
è2 2ø
（I）解：BF= -1，0，1 ， DE = 0，-1，1 ，
第6页 | 共18页BFDE 0+0+1 1
于是cos BF，DE = = = .
BF DE 2 2 2
所以异面直线BF与DE 所成的角的大小为600 .
（II）证明：由AM =ç æ1 ，1， 1 ÷ ö ， CE = -1，0，1 ， AD= 0，2，0 ，可得CEAM =0，
è2 2ø
CEAD=0.因此，CE ^ AM，CE ^ AD.又AM AD= A，故CE ^平面AMD.
而CE 平面CDE，所以平面AMD^平面CDE.
ï ìuCE =0，
（III）解：设平面CDE的法向量为u =(x，y，z)，则
í
ï îuDE =0.
ì-x+ z =0，
于是
í
令x =1，可得u =(1，1，1）.
î- y+ z =0.
又由题设，平面ACD 的一个法向量为v =(0，0，1).
uv 0+0+1 3
所以，cos u，v = = = .
u v 31 3
（20）本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等
基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。
（I）解：当a =0时，f(x) = x2ex，f'(x) =(x2 +2x)ex，故f'(1) =3e.
所以曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为3e.
（II）解：f'(x) = x2 +(a+2)x-2a2 +4aex.
2
令f'(x) =0，解得x = -2a，或x = a-2.由a ¹ 知，-2a ¹ a-2.
3
以下分两种情况讨论。
2
（1）若a＞ ，则-2a＜a-2.当x变化时， f'(x)，f(x) 的变化情况如下表：
3
x -¥，-2a -2a -2a，a-2 a-2 a-2，+¥
+ 0 — 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)在(-¥，-2a)，(a-2，+¥)内是增函数，在(-2a，a-2)内是减函数.
第7页 | 共18页函数f(x)在x = -2a处取得极大值f(-2a)，且f(-2a) =3ae-2a.
函数f(x)在x = a-2处取得极小值f(a-2)，且f(a-2) =(4-3a)ea-2.
2
（2）若a＜ ，则-2a＞a-2，当x变化时， f'(x)，f(x) 的变化情况如下表：
3
x -¥，a-2 a-2 a-2，-2a -2a -2a，+¥
+ 0 — 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)在(-¥，a-2)，(-2a，+¥)内是增函数，在(a-2，-2a)内是减函数。
函数f(x)在x = a-2处取得极大值f(a-2)，且f(a-2) =(4-3a)ea-2.
函数f(x)在x = -2a处取得极小值f(-2a)，且f(-2a) =3ae-2a.
（21）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考
查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14
分
a2
-c
EF FB 1 c 1
（I） 解：由FA//FB且 FA =2 FB ，得 2 = 2 = ，从而 =
1 2 1 2 EF FA 2 a2 2
1 1 +c
c
c 3
整理，得a2 =3c2，故离心率e= =
a 3
解：由（I）得b2 =a2 -c2 =2c2，所以椭圆的方程可写为2x2 +3y2 =6c2
æ a2 ö
设直线AB的方程为y =kçx- ÷，即y =k(x-3c) .
è c ø
ìy =k(x-3c)
由已知设A(x ,y ),B(x ,y )，则它们的坐标满足方程组í
1 1 2 2 î2x2 +3y2 =6c2
消去y整理，得(2+3k2)x2 -18k2cx+27k2c2 -6c2 =0.
3 3
依题意，D=48c2(1-3k2)>0，得- l 同理可得 1 2 <-1，因此c ¹c
i i db 1 2
1
综上，c ¹c
1 2
选择填空解析
2008 年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2008•天津）i是虚数单位， =（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【考点】复数代数形式的混合运算．
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【分析】复数的分子复杂，先化简，然后再化简整个复数，可得到结果．
第11页 | 共18页【解答】解： ，
故选A．
【点评】本题考查复数的代数形式的运算，i的幂的运算，是基础题．
2．（5分）（2008•天津）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=5x+y的最
大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】简单线性规划的应用．
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【专题】计算题．
【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件 的可行域，再求出
可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y
的最小值．
【解答】解：满足约束条件 的可行域如图，
由图象可知：
目标函数z=5x+y过点A（1，0）时
z取得最大值，z =5，
max
故选D．
【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可
行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优
解．
3．（5分）（2008•天津）设函数 ，
则函数f（x）是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
第12页 | 共18页C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性．
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【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为y=Asinωx的形式，然后由y=Asinωx
的性质得出相应的结论．
【解答】解：f（x）=
= ﹣
=﹣sin2x
所以T=π，且为奇函数．
故选A．
【点评】本题考查余弦的二倍角公式及函数y=Asinωx的性质．
4．（5分）（2008•天津）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件
是（ ）
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
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【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．
【解答】解：A、B、D的反例如图．
故选C．
【点评】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含
义及空间想象能力．
5．（5分）（2008•天津）设椭圆 上一点P到其左焦点的距离为
3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（ ）
A．6 B．2 C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
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【专题】计算题．
【分析】根据椭圆定义，求出m，利用第二定义求出到右准线的距离，注意右焦点右准线的
对应关系．
【解答】解：由椭圆第一定义知a=2，所以m2=4，
椭圆方程为
第13页 | 共18页所以d=2，故选B
【点评】本题考查了椭圆的第一定义以及第二定义的应用
6．（5分）（2008•天津）设集合S={x||x﹣2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则a的取值
范围是（ ）
A．﹣3＜a＜﹣1 B．﹣3≤a≤﹣1 C．a≤﹣3或a≥﹣1 D．a＜﹣3或a＞﹣1
【考点】集合的包含关系判断及应用．
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【分析】根据题意，易得S={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S∪T=R，可得不等式组，解可得答案．
【解答】解：根据题意，S={x||x﹣2|＞3}={x|x＜﹣1或x＞5}，
又有S∪T=R，
所以 ，
故选A．
【点评】本题考查集合间的相互包含关系及运算，应注意不等式的正确求解，并结合数轴判
断集合间的关系．
7．（5分）（2008•天津）设函数 的反函数为f﹣1（x），则
（ ）
A．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最大值为1
B．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最小值为0
C．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最大值为1
D．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最小值为0
【考点】反函数．
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【分析】根据本题所给出的选项，利用排除法比较方便，这样可以简化直接求解带来的繁琐．
【解答】解：∵ 为减函数，
由复合函数单调性知f（x）为增函数，
∴f﹣1（x）单调递增，排除B、C；
又f﹣1（x）的值域为f（x）的定义域，
∴f﹣1（x）最小值为0
故选D
【点评】本题很好的利用了排除法，显得小巧灵活，如果求出反函数再去研究，就会麻烦多
了，可以比较一下感受感受，所以筛选法、排除法、验证法都是很好的解题方法，平时要用．
8．（5分）（2008•天津）已知函数 ，则不等式x+（x+1）f
（x+1）≤1的解集是（ ）
A． B．{x|x≤1} C．
D．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
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【分析】对f（x+1）中的x分两类，即当x+1＜0，和x+1≥0时分别解不等式可得结果．
第14页 | 共18页【解答】解：依题意得
所以
故选：C．
【点评】本题考查分断函数，不等式组的解法，分类讨论的数学思想，是基础题．
9．（5分）（2008•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上
是增函数．令a=f（sin ），b=f（cos ），c=f（tan ），则（ ）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
【考点】偶函数；不等式比较大小．
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【专题】压轴题．
【分析】通过奇偶性将自变量调整到同一单调区间内，根据单调性比较a、b、c的大小．
【解答】解： ，
因为 ，又由函数在区间[0，+∞）上是增函数，
所以 ，所以b＜a＜c，
故选A
【点评】本题属于单调性与增减性的综合应用，解决此类题型要注意：
（1）通过周期性、对称性、奇偶性等性质将自变量调整到同一单调区间内，再比较大小．
（2）培养数形结合的思想方法．
10．（5分）（2008•天津）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6
张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法
共有（ ）
A．1344种 B．1248种 C．1056种 D．960种
【考点】排列、组合的实际应用．
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【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据题意，分2步进行，首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，然后确定其
余4个数字的排法数，使用排除法，用总数减去不合题意的情况数，可得其情况数目，由乘
法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的
数字只能为1，4或2，3，共有C 1A 2=4种排法，
2 2
然后确定其余4个数字，其排法总数为A 4=360，
6
其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，
余下两个数字有A 2=12种排法，
4
所以此时余下的这4个数字共有360﹣4×12=312种方法；
由乘法原理可知共有4×312=1248种不同的排法，
故选B．
第15页 | 共18页【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意特殊方法的使用，如排除法．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）（2008•天津） 的二项展开式中，x2的系数是 40 （用数字作
答）．
【考点】二项式定理．
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【专题】计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出x2的系数．
【解答】解： ，
令
所以r=2，
所以x2的系数为（﹣2）2C 2=40．
5
故答案为40
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
12．（4分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为
，则该正方体的表面积为 24 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．
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【专题】计算题；综合题．
【分析】由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，
然后求正方体的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，由 得 ，
所以a=2，表面积为6a2=24．
故答案为：24
【点评】本题考查球的内接体，球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．
13．（4分）（2008•天津）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．直
线4x﹣3y﹣2=0与圆C相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为 ．
x2+（y﹣1）2=10
【考点】抛物线的应用；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用．
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【专题】计算题．
【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而求得圆心，进而求得圆心到直线4x﹣3y﹣2=0
的距离，根据勾股定理求得圆的半径．则圆的方程可得．
【解答】解：依题意可知抛物线的焦点为（1，0），
∵圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．
所以圆心坐标为（0，1），
∴ ，
圆C的方程为x2+（y﹣1）2=10
第16页 | 共18页故答案为x2+（y﹣1）2=10
【点评】本题主要考查了抛物线的应用．涉及了圆的基本性质，对称性问题，点到直线的距
离，数形结合思想等问题．
14．（4分）（2008•天津）如图，在平行四边形ABCD中，
，则 = 3 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
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【分析】选一对不共线的向量做基底，在平行四边形中一般选择以最左下角定点为起点的一
对边做基底，把基底的坐标求出来，代入数量积的坐标公式进行运算，得到结果．
【解答】解：令 ， ，
则
∴ ．
故答案为：3
【点评】用基底表示向量，然后进行运算，比较困难．要启发学生在理解数量积的运算特点
的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练
地应用数量积的性质．
15．（4分）（2008•天津）已知数列{a }中， ，则
n
= ．
【考点】数列的求和；极限及其运算．
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【专题】计算题；压轴题．
【分析】首先由 求a 可以猜想到用错位相加法把中间项消去，
n
即可得到a 的表达式，再求极限即可．
n
【解答】解：因为
所以a 是一个等比数列的前n项和，所以 ，且q=2．代入，
n
第17页 | 共18页所以 ．
所以答案为
【点评】此题主要考查数列的求和问题，用到错位相加法的思想，需要注意．
16．（4分）（2008•天津）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有
y∈[a，a2]满足方程log x+log y=c，这时a的取值的集合为 {2} ．
a a
【考点】对数的运算性质；函数单调性的性质．
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【专题】计算题；压轴题．
【分析】由log x+log y=c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解．
a a
【解答】解：∵log x+log y=c，
a a
∴ =c
∴xy=ac
得 ，单调递减，所以当x∈[a，2a]时，
所以 ，因为有且只有一个常数c符合题意，所以
2+log 2=3，解得a=2，所以a的取值的集合为{2}．
a
故答案为：{2}
【点评】本题考查函数与方程思想，需要有较强的转化问题的能力．
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