文档内容
高三数学期中考试
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1 已知集合 ，则（ ）
A. B.
C. D.
的
2. 已知复数满足 （其中 是虚数单位），且复数 实部和虚部互为相反数，则实数 的
值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知 ， ，则 （ ）
A. 2 B. C. D. 3
4. 已知双曲线 的顶点为 ， ，虚轴的一个端点为 ，若 为直角三角形，则 的离心率为（
）
A. B. C. 2 D.
5. 已知实数 满足 ，则下列不等式可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数 的图像恒过定点 ，若点 在直线 上，其中
，则 的最小值为（ ）A. 4 B.
C. D. 8
7. 如图，正方体 中，M，N分别是线段 上的动点（不含端点），则下列各项中
会随着M，N的运动而变化的是（ ）
A. 异面直线 与直线 所成的角的大小 B. 平面 与平面 所成的角的大小
C. 直线 到平面 距离的大小 D. 异面直线 ， 之间的距离的大小
8. 已知函数 是定义在 上偶函数，当 时， ，若函数
仅有4个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分）
9. 已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（ ）
A. B.
C. D.10. 在正四棱柱 中，底面边长为 ，侧棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A. 点B到平面 的距离是
B 平面 与平面 垂直
C. 记底面 的中心为 ，则直线 与直线 所成角的余弦值为
D. 若 为线段 的中点，点 在正四棱柱表面上运动，若 平面 ，则点 的轨迹是六边形
11. 函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数 ，则 __________．
13. 已知 是方程 的一个根， 是方程 的一个根，则 ______.
14. 已知 是各项均不为零的等差数列 的前 项和，且 ．若存在 ，使不等
式 成立，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ，其中e为自然对数的底数.
（1）若曲线 在点 处 的切线与直线l： 垂直，求实数a的值；（2）求函数 的单调区间；
16. 已知数列 中， .
（1）证明：数列 为等差数列；
（2）给定正整数 ，设函数 ，求 .
17. 在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，且 ．
（1）求 和 ；
（2）若 边上的中线长为2，点 在 上，且 为 的平分线，求 的长．
的
18. 已知定义在 上 偶函数 和奇函数 ，若 ， ，
．
（1）求 的值；
（2）若函数 ．
（ⅰ）当 时，求函数 的最小值；
的
（ⅱ）是否存在 ，使得关于 不等式 的解集为 ？若存在，求出 的值；若不
存在，请说明理由．
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）若对 ， 恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当 ， 时，证明： ．参考答案
DABAB DAC 9ACD 10ABD 11BC 12 13 8 14
15 【小问1详解】
，因为 在点 处的切线与直线l： 垂直，
则 ，解得 .
【小问2详解】
，当 时， ，此时 的单调增区间为 ，无单调减区间；
当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 .
则此时 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
综上所述：当 时， 的单调增区间为 ，无单调减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
16 【小问1详解】
， ，
又 ，则 是首项为1，公差为1的等差数列；
【小问2详解】
由（1）知 ，则 ，
， ，
令 ，则 ，
两式相减可得 ，
.
17【小问1详解】
因为 ，所以 ，
又 ，故 ，则 ；
因为 ， ，
由余弦定理及正弦定理得： ，
所以 ，解得 ；
【小问2详解】
由余弦定理得： ，即有 ①；
设 为 的中点，即 ，又因为 ，
所以 ，即 ②，
由①，②得： ，
所以 ，所以 ．因为 为 的平分线，所以 ，
则 ，
即 ．
18【小问1详解】
因为 为偶函数，则 恒成立，即 ，
即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，因为对所有 都成立，所以 ；
因为函数 为奇函数，且定义域为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 符合题意；
【小问2详解】
因为 ，
则
，
令 ，则 ，
（ⅰ）因为 ，且 是关于 的增函数，所以 ，
，对称轴为 ，当 时， 在 上单调递增，
所以 ；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ；
当 时， 在 上单调递减，
所以 ，
综上，当 时， 的最小值为 ；
当 时， 的最小值为 ；
当 时， 的最小值为 ；
（ⅱ）因为 ，则 ，
所以若 的解集为 ，
则关于 的不等式 的解集为 ，
则 是方程 的两根，且 ，所以有 ，且 ，
解得 ，
所以当 时，不等式 的解集为 ．
19【小问1详解】
当 时， 的定义域为 ．
，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因此 的极大值为 ，没有极小值．
【小问2详解】
， 等价于 在 上恒成立，
令 ，由 得， ．
下面证明当 时， 在 上恒成立．
当 时， ，令 ，则 ，
当 时，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 成立，即 在 上恒成立．
当 时，因为 ， ， ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 在 上恒成立．
综上可知，实数a的取值范围为 ．
【小问3详解】
要证明 ，只需证明 ，
设 ，
当 时， ，
由（1）可知， ，即 ，当且仅当 时取得等号，
又 ，所以 ，因此 ．
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ．
当 时， ，
综上可知， ，故当 ， 时， .
