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成都七中高 2026 高三上学期数学半期考试试题
考试时间：120分钟 考试满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A= y y=2x +1 ，集合
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B = y y = 3 − x 2
，则 A B = （ ）
（A）(−,1) （B） 1 , 3 （C） ( 1 , 3 （D） 3 , + )
2. 已知复数z满足 i z = 1 + i ，则 z = （ ）
（A）2 （B） 2 3 （C） 3 （D） 2
3. 五人排队，站成一排，其中甲、乙相邻，则所有的排队方法数为（ ）
（A）120 （B）48 （C）24 （D）12
4. 已知向量a=(2,x)，向量b=(3−2x,1)，且ab=3，则 a + 2 b = （ ）
（A）5 （B）25 （C）6 （D）36
5. 已知(2x + 1)5 = a + a x + a x2 + a x3 + a x4 + a x5，则a + a + a = （ ）
0 1 2 3 4 5 1 3 5
（A）244 （B）243 （C）122 （D）121
6. 满足a = a = 1，a = a + a （n ≥ 3）的数列{a }叫做斐波那契数列，又称黄金分割数列. 其通项公式可以
1 2 n n–1 n–2 n
1 1+ 5 n 1− 5 n
表示为：a n = 5 2 − 2 . 则下列说法中错 ． 误 ． 的是（ ）
（A）a = 5
5
（B）数列{a }的前n项和为S ，则S = a .
n n n n+1
a
（C）数列b = n+1 ，则数列{b }满足递推关系：
n a n
n
b
n
= 1 +
b
1
n − 1
，n ≥ 2，b = 1.
1
( )n ( )n
1+ 5 − 1− 5
（D）对任意正整数n， 一定是一个整数.
5
x2 y2 y2 x2
7. 已知a > 0，b > 0，双曲线H ： − =1，H ： − =1互为“共轭双曲线”，下列说法错误的是（ ）
1 a2 b2 2 b2 a2 ．．
（A）双曲线H 与H 的渐近线相同.
1 2
1 1
（B）若H 的离心率为e ，H 的离心率为e ，则 + =1.
1 1 2 2
e2 e2
1 2
（C）设l是经过原点的直线，则l不可能同时与H 和H 各有两个不同交点.
1 2
（D）当a = b时，存在直线 l 过点 A(2,2)，与 H 交于 C、D 两点，使得点 A 为线段 CD 的中点，此时直
1
线 l 的方程为： x + y – 4 = 0.14.（该题第一空2分，第二空3分.）
在一个封闭的直三棱柱容器 ABC-A B C 内装有高度为 h 的水，如
1 1 1
图所示，底面处于水平状态. 记水面为α，AC = 3，BC = 4，∠ACB = 90°，
AA = 4. 现以BC所在的直线为旋转轴，将容器缓慢地顺时针旋转（A点
1
开始离开桌面），直到侧面BCC B 水平，过程中始终保持水面α处于水
1 1
平状态.（1）若旋转过程中，在某时刻水面α恰好经过A，B ，C 三点，则h = ；（2）设
1 1
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h = h
0
( 3 , 4 ) ，
则在旋转过程中，当水面 α 的形状为梯形时，水面 α 与侧面 ACC A 的交线的中点到直线 AA 的距离 s 的最大值
1 1 1
为 .（用含有h 的式子表达.）
0
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
x2 y2
15. 已知椭圆E： + =1（a > b > 0），其中a = 3，离心率
a2 b2
e =
2
3
A1 C1
A' A1'
α B1
A C C1'
B B1'
.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的左、右顶点分别为 A 、A ，P为椭圆上异于 A 、A 的动点，记直线 PA 的斜率为k ，直线PA 的
1 2 1 2 1 1 2
斜率为k ，求证：k ·k 为定值，并求出这个定值.
2 1 2
16. 如图所示，已知∆ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且asinB=− 3bcosA.
（1）求角A的值；
（2）若点D是∆ABC的外接圆上一点（不与A、B、C重合），且满足AB = 3，AC = 5，BD = 7， 求四边形ABCD
的面积.
A
C
B
D17. 已知等差数列{a }满足，对
n
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n N*，a – a = 6. 且a = 4.
n+3 n 2
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）若数列 c
n
= a
n
3
an ( )
，S 为数列{c }的前n项和，求证：
n n
2 S
3
n 1 +n
2 +
−
2
3
是递减数列.
18. 如图，在平行六面体ABCD-A B C D 中，底面ABCD为边长为
1 1 1 1
2 的正方形， 平面B AC⊥平面ABCD.
1
（1）若AB 1 ⊥A 1 B，① 求证：AB 1 ⊥B 1 C； D1 C1
② 求三棱锥B -ACD 的体积的最大值.
1 1
A1 B1
（2）若 AB
1
C的面积为 2，且B
1
B与平面ACB
1
所成角30°.
求平面BCC B 与平面ABCD所成角的大小. D
1 1 C
A B
1
19. 设函数 f (x)=tanx，g(x)=x+ x3.
3
（1）求证： f '(x)=1+f (x) 2；
π
（2）求证：对x0, ， f (x)g(x)；
2
π
（3）若函数H(x)的图象是一条连续的曲线，且满足：g(x)H(x) f (x)，对x 0, 恒成立，则称函数H(x)
2
为“隔离曲线”. 是否存在一条曲线H(x) = ax2 + bx + c，a ≠ 0，使得H(x)为“隔离曲线”？若存在，求a的取值范围；
若不存在，请说明理由.
