数学答案_2025年12月_251217四川省达州市普通高中2026届高三上学期第一次诊断性测试（全科）_四川省达州市普通高中2026届高三上学期第一次诊断性测试数学

达州市普通高中 2026 届第一次诊断性测试 数学试题参考答案 1.C 2.B 3.A 4.D 5.D 6.C 7.B 8.B 9.ABD 10.AC 11.ABD 12.40 13.2 2 14.(0， 21] 15.解：（1）设数列{a }首项为a ，公差d ，根据题意得 n 1 a d 5 a 2 3n2 n  1 ，解得 1 ， ∴S  .  5a 10d 40 d 3 n 2 1 3n2 n 2 2 1 1 （2）∵S  ，∴b   (  ). n 2 n 3n2 3n 3 n n1 2 1 1 1 1 1 2 1 ∴T b b b  (1     ) (1 )， n 1 2 n 3 2 2 3 n n1 3 n1 2 ∴T  ， n 3 2 ∵T m，∴m≥ . n 3 12345678 16.解：（1）x 4.5， 8 348912121517 y  10， 8 n x y nxy i i 44484.510 ∴b ˆ  i1   2， n 20484.52 x2 nx2 i i1 aˆ  y bx 1024.51， ∴月份x与销售额 y 的经验回归方程： yˆ  2x1. （2）根据（1）的方程和表中数据计算可得残差为负的月份有2月和6月. 设从这8个月中随机抽取2个月，仅抽到1个月的数据残差为负为事件A，抽到2个月的数据残差 都为负为事件B，则抽到2个月的数据含有残差为负为事件AB. C1C1 12 3 P(A) 2 6   ， C2 28 7 8 C2 1 P(B) 2  ， C2 28 8 第 1 页 共 6 页 {#{QQABLYSk4wCQ0JZACC6bA0WwCgoYkIETJAgGAQCYOA5LAAFIFAA=}#}3 1 13 P(AB) P(A)P(B)   . 7 28 28 x2 x m 17.解：（1）∵y ，∴y ， y|  ， 2p p xm p 2 ∴ 1， p2， p ∴抛物线C的方程为：x2 4y. m （2）由（1）知F(0， 1)，直线l的斜率为 ， 2 m ∴平行于l且过F 的直线方程为：y  x1，设B(x，y )，D(x，y )， 2 1 1 2 2 x2 4y   m ，x2 2mx40，4m2 160，x x 2m， 1 2 y  x1   2 m2 y  m2 1 4 x m ∵A(m， )，∴AB斜率为k   1 ， 4 AB x m 4 1 m2 y  2 4 x m AD斜率为k   2 ， AD x m 4 2 x x 2m 2m2m ∴k k  1 2  0， AB AD 4 4 AB与AD的斜率和是定值0. 18.解：（1）∵O为圆心，C为半圆弧 AB中点，∴AOOC， ∵O为圆心，直径AB 2，∴AOOB1，又∵AB 2， ∴AO2 OB2  AB2，AOOB. ∵OB平面OCB，OC平面OCB，OCOBO ， ∴AO平面OCB. 又∵BE平面OCB，∴AOBE. （2）情况一、 如图连接AE，则多面体OADEB的体积等于三棱锥EAOB的体积和三棱锥EOAD的体积之 和. 1 1 1 1 ∴V V   11 1 . EAOB ABOE 3 2 2 12 由（1）易得平面OAC 平面OBC， 第 2 页 共 6 页 {#{QQABLYSk4wCQ0JZACC6bA0WwCgoYkIETJAgGAQCYOA5LAAFIFAA=}#}B E 3 3 ∴点E到平面OAD的距离为OEsinEOC 1  ， 2 2 1 1 3 3 1 ∴V   11   . O C EOAD 3 2 2 2 8 A D 5 ∴多面体OADEB的体积为 . 24 情况二、如图连接DB，则多面体OADEB的体积等于三棱锥OADB的体积和 三棱锥DOEB的体积之和. ∵OBOA，OBOC，OA平面OAD，OC平面OAD，OAOC O， ∴OB平面OAD. B E 1 1 3 3 ∴V   11 1 . BOAD 3 2 2 12 由（1）易得平面OAC 平面OBC， ∴点D到平面OBC的距离为ODsinDOC 1 1  1 ， O C 2 2 A π π D ∵ ADC  E，∴AOD COE  ，EOB ， 3 6 1 1 1 1 1 ∴V   11   . z DOBE 3 2 2 2 24 B E 12 3 ∴多面体OADEB的体积为 . 24 说明：情况一、情况二答对一种即可 （3）∵OAOC，OBOC，OAOB， C O y ∴建立如图空间直角坐标系， A π D 设AOD(0 )， 2 x ∴D(cos， sin， 0)，E(0， cos， sin) ， 设平面ODE的一个法向量为n，设n(x，y，z)   nOD0 xcosysin0 sin cos ∴  ， ，设 y 1，解得x  ，z  . nOE 0 ycoszsin0 cos sin sin cos 即n( ， 1，  )，平面AOB的一个法向量为m (0， 1， 0). cos sin 设平面OAB与平面ODE所成角为，则 |nm| 1 1 3 cos|cos n，m|  ≤  |n||m| sin2 cos2 3 3 ， 1 1 cos2 sin2 第 3 页 共 6 页 {#{QQABLYSk4wCQ0JZACC6bA0WwCgoYkIETJAgGAQCYOA5LAAFIFAA=}#}π 当sincos，即 时取等号， 4 3 ∴平面OAB与平面ODE所成角余弦的最大值为 . 3 19.解：（1）(x) xf(x)ax2(a1)x1， a1 1 1 ∴二次函数对称轴为：x (  )， 2a 2 2a 1 1 1 e 1 1 e1 ∵a ，∴0 e，∴0  ，∴   ， e a 2a 2 2 2a 2 1 1 e1 ∴0(   (e1 . 2 2a 2 1 1 1 1 1 1 ∴单调递增区间为[(  )， 0]，L 0[(  )]  ， 2 2a 1 2 2a 2 2a 1 1 1 1 1 1 ∴单调递减区间为[(e1)， (  )]，L (  )[(e1)]e  ， 2 2a 2 2 2a 2 2a 1 1 1 1 1 ∴L L   (e  ) e0， 1 2 2 2a 2 2a a ∴L  L . 1 2 1 （2）要证 f(x) g(x)， 即证ax(a1) (a1)lnx ， x 1 即证ax(a1) (a1)lnx0， x 1 记h(x)ax(a1) (a1)lnx， x 1 a(x )(x1) 1 a1 ax2(a1)x1 (ax1)(x1) a ， h(x)a     x2 x x2 x2 x2 1 1 1 ∵a ， e，x[ ，e]， e a e 1 1 1 ∴①当 ≤ ，即a≥e时，h(x)在x[ ， 1]单调递减，x1，e 单调递增， a e e 第 4 页 共 6 页 {#{QQABLYSk4wCQ0JZACC6bA0WwCgoYkIETJAgGAQCYOA5LAAFIFAA=}#}h(x) h(1)2a0， f(x) g(x)成立 ， min 1 1 1 1 1 ②当  1，即1ae时，h(x)在x[ ， ]单调递增，x[ ， 1]单调递减， e a e a a x1,e 单调递增，  1 a a h( ) a1ea12(a1) e 1  e e e ，∵1ae，∴h( )0且h(1)0， e  h(1)2a ∴ f(x) g(x)成立. 1 1 ③ 1时，即 a1时，h(x)在x[ ，e]单调递增， a e 1 1 h(x) h( ) 11e+(11)>0 ∴ f(x) g(x)成立. min e e 1 1 1 1 1 ④1 e时，即 a1时，h(x)在x[ ， 1]单调递增，x[1， ]单调递减，x[ ，e] a e e a a 单调递增，  1 a 2 1 h( )2(a1) e>2+  e0   e e e e2 ∴ ∴ f(x) g(x)成立. 1 h( )2(a1)lna>2(a1)0  a 综上， f(x) g(x)成立. 1 （3）由（2）记h(x)ax(a1) (a1)lnx， x 1 a(x )(x1) a ∵h(1)a1(a1)102a0， h(x) x2 （2）中③知a1时，h(x)在x(0， )单调递增且存在h(1)0 1 1 由（2）中④知， a1时h( )0， e a 1 1  a1时，h(x)在x(0， ]单调递增，x ，1 单调递减，x(1，)单调递增且h(1)0，   a a  第 5 页 共 6 页 {#{QQABLYSk4wCQ0JZACC6bA0WwCgoYkIETJAgGAQCYOA5LAAFIFAA=}#}1 ∴当a1时有h( )0， a 1 1 ∴即a 且a1时，始终有两极值h( )0，h(1)0. e a 1 1 1 ∵h( ) (a1)e5a2 (a1)(lne5 lna2) e5a2 (a1)(62lna) e5a2 e5a e5a 1 1a 记m(a)lnaa1 ∴m(a) 1 ∴m(a) m(1)0∴lna≤a1 a a min ∴62lna≤62(a1)2a4. 1 1 1 ∴ e5a2(a1)(62lna)≤ e5a2(a1)(2a4)(2e5)a26a4 . e5a e5a e4 1 6 3 1 令m(a)(2e5)a2 6a4 ，∵对称轴x   e4 2(2e5) e52 e 1 ∴m(a)在a( ， )上为单调递减， e 1 1 6 1 2 6 1 ∴m(a)m( )(2e5)  4 e3   40 e e2 e e4 e2 e e4 1 ∴h( )0. e5a2 ∴k(x)0只有一解，∴方程 f(x) g(x)有一个根. 综上，方程 f(x) g(x)有一个根 第 6 页 共 6 页 {#{QQABLYSk4wCQ0JZACC6bA0WwCgoYkIETJAgGAQCYOA5LAAFIFAA=}#}