文档内容
南平市 2024-2025 学年高二下学期期末质量检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 2．C 3．A 4．C 5．A 6．B 7．D 8．A
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有
选错的得 0 分。
9．AC 10．ABC 11．BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12． 13．1；0（第一空2分，第二空3分） 14．k=0或
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
15．（13 分）
【答案】（1）256；（2）24；（3）420．
【解析】
（1）每人各有 4种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为44 =256；
..............…...........................................…........................................................………4分
（2）依题意得A4 =4×3×2×1=24； …........................................................………8分
4
（3）甲两天，乙三天，丙和丁各一天，所以不同的安排方法有C2C3C1 =420种．
7 5 2
..............…...........................................…........................................................………13分
16．（15 分）
【答案】（1）m=−6,n=9 ；（2）f ( x ) =4，f ( x ) =0．
max min
【解析】
（1） f (x)=x3+mx2+nx，则f’(x)=3x2 +2mx+n ， .................…...............……2分
∵
高二数学试题第1页（共 6页）因为函数f ( x )在x=1 处取得极值4，
〔f
(
1
)=1+m+n=4
所以{ , 4分
lf
,(
1
)
=3+2m+n=0
〔m=−6
解得{ ，...........................................…........................................................………6 分
ln=9
经检验，m=−6,n=9符合题意．........................................................................………7分
（2）由（1）可得f ( x )=x3 −6x2 +9x ， f,( x )= 3x2 −12x+9= 3 ( x−1 )( x−3 )，
令f,( x )>0，解得x>3或x<1； 9分
令f,( x )< 0 ，解得1< x< 3； .....................................................................………11 分
所以f (x)在(−∞,1 ) , ( 3,+∞)上单调递增，在( 1,3 )上单调递减，
又f(0)= 0,f(1)=4,f(3)=0,f(4)=4, .....................................................................…13分
故f ( x ) =f(1)=f(4)= 4, f ( x ) =f(0)=f(3)= 0. ..........................................…15分
max min
17. （15 分）
【答案】（1）分布列见解析，E(X)=2， （2）
【解析】
（1）由题可知随机变量X服从二项分布 分
(1)3 1 2 (1)2 2
P(X=0 )=C0 = ，P(X=1 )=C1× × = ，
3|(3, 27 3 3 |(3, 9
2 3
) )
P(X=2 )=C2× × = ，P(X=3 )=C3× = ．.......................................6分
3 3
, ,
所以随机变量X 的分布列如下：
X 0 1 2 3
1 2 4 8
P
27 9 9 27
2 2 1 2
均值为E (X)=3× =2 ，D(X)=3× × = ． 9分
3 3 3 3
（2）由题可知“X+Y=3”的情况可分为四类：
高二数学试题第2页（共 6页）X=0,Y=3时 分
①
X=1,Y=2时 分
②
X=2,Y=1时 分
③
X=3,Y=0时 分
④
所以 分
18. （17 分）
【答案】（1）认为购买新能源汽车与车主性别有关联，此推断犯错误的概率不大于
0.05 ；（2）新能源汽车销量y 与年份 x 的相关性较强．
【解析】
（1）零假设为H ：购买新能源汽车与车主性别相互独立，
0
即购买新能源汽车与车主性别无关． 2分
分
所以依据小概率值α=0.05 的独立性检验，我们推断H 不成立， 7
0
分
即认为购买新能源汽车与车主性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 ．
0.05
8分
（2）相关系数为
分
故y 与x 线性相关较强． 17 分
19．（17 分）
高二数学试题第3页（共 6页）「1 )
【答案】（1）极大值为 1，无极小值 ；（2）证明见解析； （3） ,+∞ ．
|Le ,
【解析】
若 分
当x∈(0,1) 时，f ,(x) > 0，f(x)在(0,1)上单调递增；
当x∈(1,+∞)时，f,(x)<0 ，f(x)在(1,+∞)上单调递减．
所以f(x)无极小值，且当x = 1时，f(x)取得极大值f(1)= 1． 3分
（2）解法 1：若b=−1，a≥1 ，
f(x)=axex−1 −x−lnx+2=aex+ln−1−(x+lnx−1)+1≥ex+ln−1−(x+lnx−1)+1，
5分
令t= x+ lnx−1，要证f(x)≥2，只要证et −t−1≥0 ， 6分
设h(t)=et −t−1，
h,(t)=et −1, 当t∈(−∞,0)时，h,(t)<0, h(t)在 (−∞,0)单调递减；
当t ∈(0,+∞)时，h,(t)>0, h(t)在 (0,+∞)单调递增， 8分
所以h(t) ≥ h(0) = 0 ，命题得证． 9 分
（2）解法2：由题可知，对任意x∈(0,+∞) ，f(x)≥2恒成立．
等价于axex−1−x−lnx+2≥2在(0,+∞)恒成立．
所以 xex −(x+lnx−1)−1≥0，
a xex
即 xex −ln −1≥0在(0,+∞)恒成立． 5 分
e e
设t= (x>0)，则t >0，
所以原不等式等价于at−lnt−1≥0 (t>0)恒成立．
设φ(t)=at− lnt−1(t>0)，则φ(t)≥0 (t>0)恒成立．
由 =at−lnt−1 ，得 分
当a>0时，令φ,(t)=0 ，得 ．
当t> 时，φ,(t)>0 ，φ(t)单调递增；
高二数学试题第4页（共 6页）当00 ， 11分
所以R(x)在区间[0,1)上单调递增，因为R(0)= 0，所以R(x)≥ R(0)= 0，
12分
所以F(x)在[0,1)上单调递增，
所以F(x)≥F(0)=0,即sinx+cosx≥1+x−x2，又x∈[0,1)时，1+x−x2 =1+x(1−x)>1
所以 在x∈[0,1)上恒成立． ................................................13分
由 +blnx+2得
令 则t>0，
设 分
当a≤0 时，则h(t)≤1−lnt，
当t>e时，h(t)<0，不合题意，舍去． 15分
当a> 0时，当t> 时，h,(t)>0 ，h(t)单调递增；当 时，h, <0 ，h
单调递减．
)
所以h(t) 的最小值为h =1+lna+1，即f ( x ) 的最小值为2+lna，
,
故要使得若 x ∈(0,+∞),彐x ∈ [ 0,1 )，都有f(x)≥g(x)，只需2+lna≥1
1 2
解得 所以实数a范围为 分
（3）解法 2：由 g(x)= ，则有
高二数学试题第5页（共 6页）(cosx−sinx)(1+x−x2)−(sinx+cosx)(1−2x) (x+x2 −2)sinx+(3x−x2)cosx
,
g (x)= =
(1+x−x2)2 (1+x−x2)2
..........................................................................................................................10 分
令M(x)= (x+x2−2)sinx+(3x−x2)cosx，
M,(x)=(1+2x)sinx+(x+x2−2)cosx+(3−2x)cosx−(3x−x2)sinx
=(x2 −x+1)(sinx+cosx)， 11分
因为x∈ [ 0,1 )所以M,(x)>0 ，M(x)在x∈ [ 0,1 )上为增函数，
所以M(x)>M(0)= 0，即g,(x)> 0，所以g(x)在x∈[ 0,1 )上为增函数，则
g ( x )≥g(1)=1，即g(x )≥g(1)=1，所以 x ∈(0,+∞)，f(x )≥1，则有
2 1 1
axex1−1−x −lnx +1≥0恒成立， 13分
1 1 1
即aex1−1+lnx1−x −lnx +1≥0，所以 分
1 1
令t=x +lnx −1 (t∈R)，
1 1
则 t∈R ， ， .................................................................. .................15分
当t ∈(−∞,1)时，h,( t )<0， h（t)为减函数，
当t∈(1,+∞)时，h,(
t
)>0，h (
t
)为增函数，
所以 所以实数a 范围为 .........................................17分
高二数学试题第6页（共 6页）
