湘教版高中数学选修2-1理科_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

普 通 经经全全国国中中小小学学教教材材审审定定委委员员会会22000055年年初初审审通通过过 高 中 课 程 标 准 实 普通高中课程标准实验教科书 验 教 科 书 选修 2-1（理科） 2 1 湖 南 教 育 ISBN 978-7-5355-4614-2 出 版 湖南教育出版社 社 9787535546142> 定价：8.65元 － 选 修 （ 理 科 ）Mathematics 普通高中课程标准实验教科书 数 学 选修 2-1( 理科） 湖 南 教 育 出 版 社主 编 张景中 黄楚芳 !! ! ! 执行主编 李尚志 ! ! 编 委 查建国 郑志明 何书元 !! ! ! ! 罗培基 贺仁亮 ! 普通高中课程标准实验教科书 数 学 !! 选修 理科 " #$ ! " 责任编辑 甘 哲 # ! 湖南教育出版社出版发行 长沙市韶山北路 号 ! %%& " 电子邮箱 # ’()*+,-.-/(01+23 客 服 电话 !! # 45&$#67%68959 湖南出版中心重印 重庆市新华书店经销 湖南天闻新华印务邵阳有限公司印刷 开 印张 字数 694:$"%4!$8 ! # 9;57! # "74444 年 月第 版 年 月第 版第 次印刷 "447 6 $ !"4$9 5 " $% <=>?956#5#7&77#%8$%#" 定价 元 # 6;&7 批准文号 渝发改价格 号 举报电话 # $"4$9%9%8 ! # $"&76 著作权所有 请勿擅用本书制作各类出版物 违者必究 ! ! " 如有质量问题 影响阅读 请与承印厂联系调换 ! ! " 联系电话 # 45&9#7$4747" 书书书轻车熟路! 得心应手 本册教材中 将学习常用逻辑用语 圆锥曲线与 ! " 方程 空间向量与立体几何 " ! 正确地理解和使用逻辑用语是现代社会公民应该 具备的基本素质 这对于从事各项工作 进行社会交 ! " 流都是必不可少的 数学是逻辑性很强的一门学科 ! ! 准确地理解和使用逻辑用语 对于正确理解和表达数 ! 学内容 更是一种起码的基本功 本册教材将帮助你 ! ! 练好这种基本功 学习一些常用的逻辑用语 体会它 ! ! 们在表述和论证中的作用 帮助你正确地理解和使用 ! 它们 ! 从小学到初中再到高中 每个阶段的数学课你都 ! 在不断地阅读 理解和使用逻辑用语 本册教材中的 " ! 常用逻辑用语只是对你熟悉的内容的一次总结和提高 ! 在必修阶段我们已经学习了处理几何问题的两个 有力的工具 向量和坐标 我们利用解析几何的方法 # ! 也就是坐标的方法 研究了平面上的直线和圆 尝试 $ % ! 了利用向量的方法来处理平面图形 在本册教材中我 ! 们将进一步发挥这两个工具的作用 利用解析几何的 ! 方法处理圆锥曲线 以向量为工具处理空间图形 ! ! 还是解析几何 还是点与坐标的对应 几何性质 ! " 与代数等式的对应 曲线与方程的对应 同样的思路 " ! 和 方法 以前研究了直线与圆 现在研究圆锥曲线 ! ! ! 1 书书书圆锥曲线与圆密切相关 它可以由平面截圆锥得到 ! ! 也可以由圆经过中心投影得到 大千世界 天上地下 ! ! ! 圆锥曲线无处不在 它是天体运动的轨道 日月星辰 ! ! 无不遵循 它的良好的光学性质也有广泛的应用 利 ! ! 用解析几何方法研究曲线 不论是直线 圆还是圆锥 ! " 曲线 基本思路都是要善于利用坐标的语言建立代数 ! 模型来描述几何性质 利用代数运算解决问题 再翻 ! ! 译为几何语言 ! 还是向量 还是有方向有大小的量 还是加法 ! ! " 数乘 数量积 同样的工具 以前处理了平面图形 " ! ! ! 现在处理空间图形 除了坐标中的两个数变成了三个 ! 数 一切都是轻车熟路 可以得心应手 大概是由于 ! ! ! 用普通的推理处理空间图形比处理平面图形困难得多 ! 而用向量处理空间图形与处理平面图形的难度却差别 不大 因此向量在处理空间图形中显示出比处理平面 ! 图形更大的威力 利用向量解决几何问题 不论是在 ! ! 空间中还是平面上 基本的思路都是要善于建立向量 ! 模型描述几何性质 利用向量的代数运算解决问题 ! ! 再翻译为几何的语言 ! 祝愿同学们一步步登高 更上一层楼 ! ! !! 2 书书书目 录 １ 第 章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 / ２ 1.1.1 命题的概念和例子 / ２ 习题 1 / ４ 1.1.2 命题的四种形式 / ４ 习题 2 / ８ 1.1.3 充分条件和必要条件 / ９ 习题 3 / １3 1.2 简单的逻辑联结词 / １４ 1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或” / １４ 习题 4 / １７ 1.2.2 全称量词和存在量词 / １８ 习题 5 / ２０ 小结与复习 / ２２ 复习题一 / ２４ ２ 第 章 圆锥曲线与方程 数学实验 生活中的圆锥曲线 / ２７ 2.1 椭圆 / ３１ 2.1.1 椭圆的定义与标准方程 / ３１ 2.1.2 椭圆的简单几何性质 / ３５ 习题 1 / ４０ 2.2 双曲线 / ４２ 2.2.1 双曲线的定义与标准方程 / ４２ 2.2.2 双曲线的简单几何性质 / ４６ 1习题 2 / ５６ 2.3 抛物线 / ５７ 2.3.1 抛物线的定义与标准方程 / ５７ 2.3.2 抛物线的简单几何性质 / ６１ 习题 3 / ６６ 2.4 圆锥曲线的应用 / ６７ 习题 4 / ７１ 数学实验 圆锥曲线的光学性质 / ７３ 2.5 曲线与方程 / ７６ 习题 5 / ８４ 数学文化 圆锥曲线小史 / ８６ 小结与复习 / ８８ 复习题二 / ９５ ３ 第 章 空间向量与立体几何 问题探索 尝试用向量处理空间图形 / ９９ 3.1 空间中向量的概念和运算 / １０２ 习题 １ / １０５ 3.2 空间向量的坐标 / １０６ 习题 ２ / １１４ 3.3 直线的方向向量 / １１４ 习题 ３ / １１７ 3.4 直线与平面的垂直关系 / １１８ 习题 ４ / １２１ 3.5 平面的法向量 / １２２ 习题 ５ / １２４ 3.6 直线与平面、平面与平面所成的角 / １２４ 习题 ６ / １２８ 3.7 点到平面的距离 / １２８ 2习题 ７ / １３０ 3.8 共面与平行 / １３１ 习题 ８ / １３4 小结与复习 / １３７ 复习题三 / １４２ 眼多知道一点演 圆锥截线 / ６５ 圆锥曲线的统一定义 / 78 柯西不等式 / １１０ 向量的线性相关 / １３４ 附录 数学词汇中英文对照表 / １４５ 31 第 章 常用逻辑用语 逻辑规矩有方圆 ! 当且仅当令如山 ! 或者婉言容选择 ! 充分游刃天地宽 ! 原命题 若 则 ｐ ｑ 互 否 逆 互 互 为 逆 否 逆命题 互 为 若 则 否命题 ｑ ｐ 若 则 p q 逆 否 否 互 互 逆 逆否命题 若 则 q ｐ 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 人与人之间交流的语言 基本上分为两类 一类是感性语言 一 !! ! " ! 类是理性语言 感性语言是对视 听 闻 触摸等获取的信息所作的 ! # # # 表达 理性语言则是对大脑中的思维活动所作的表达 逻辑用语就是 ! ! 一种理性语言 是表达理性思维的载体 ! ! 学习常用逻辑用语 掌握常用逻辑用语的用法 就可以利用这些 ! ! 逻辑用语准确 简洁地表述数学内容和数学思想 同时 在各种交流 # ! ! 活动中 也可以利用这些逻辑用语严密地表述对各种问题的思考 ! 结果 ! 命题及其关系 !! "１#．"１!命题及其关系 !! "１#．"１#．"１!命 命 题 题 的 的 概 概 念 念 和 和 例 例 子 子 数学知识的丰富和数学的发展依赖于人们不断地提出命题并力图 证明这些命题 那么什么是命题呢 ! $ 在数学课中曾遇到过大量如下的语句 " 奇偶相同的两个整数之和是一个偶数 %"& ’ 三角形的三个内角之和等于 %$& "%&’’ 若 则 若 是任意两个正实数 则 槡 !!! ""# ""$ %(& "!# ! "$#"$ "#’ 这种形式的命题也可以 写成 如果 那么 槡 ! ""# $ 的形式 %)&*+,-&’% ’ ""$ ! $ 若实数 满足 则 %.& " "$%/! "%(! 上述这些句子都叫作命题 它们的共同特征是每个句子都陈述了 ! 能够判断其成立或不成立的一件事情 ! 可以判断成立或不成立的语句叫作命题 成立的 %01202*+3+2,&! 命题叫作真命题 不成立的命题叫作假命题 %314501202*+3+2,&! 例如 上述命题 是三个真命题 %678*501202*+3+2,&! ! %"&#%$&#%(& ! 而命题 是两个假命题 %)&#%.& ! 2 书书书 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 例 判断下列语句是否是命题 若是 则判断其真假 并说明 ! ! ! ! 理由 ! "!#"""$ 若 是正实数且 则 "## #!$ ##"$#! #"$$ 若 是任意实数且 则 "$# #!$ ##"$#! #"$! 解 因为无法判断其是否成立 故不是命题 ! "!# ! ! 真命题 "## ! %!##"$#! &!##’$#("#’$#"#)$#""! %!#""!$""! &!#)$""! 因此 即 !#’$""! !#"$! 假命题 取 则 但 证明假命题的方法 "$# ! #(’#!$(!! ##"$#! ##$! !! 通常是举出一个反例 暂时不知道真假的命题可以叫作猜想 一个好的猜 ! "%&’()%*+,)#! 想将推动数学的发展 因为人们在证明猜想的过程中会提出许多新的 ! 在学习数学的过程 数学概念和想出许多新的数学方法 !! 中 同学们应尽力提出 ! ! 自己的猜想 并力图证 例如 命题 当整数 时 方程 没有正整数解 ! % & *$$ ! "*)+*(,* ’ 明它们 这是需要努力 就是著名的费马 大定理 长期以来 人们不知道费马大定 ! 培养的一种能力 "-),./*# ! ! ! 理究竟是真命题还是假命题 一直作为一个猜想而存在 历经 多 ! ! $"" 年 直至 年 费马大定理才最终获得证明 ! !001 ! ! 练 习 判断下列语句是否是命题 若是 则判断其真假 ! ! ! "!#"%1$ 有两个角为 的三角形是等腰直角三角形 "## 123 $ 方程 没有实数根 "$# "#)!4" ! 3 书书书 书书书 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 习题 ! ! 判断下列命题的真假 并说明理由 !! ! " 若 是任意实数 则 #!$ "!# ! """$"#"#"% 若 是实数且 则 ##$ %!& %#$&#’"! %’&’"! 试证 #! " 命题 若 则 有两个不同的实数根 是真命题 #!$ & (#"! %#$%)(’" ’ % 命题 若 有两个不同的实数根 则实数 是假命题 ##$ & %#$%)(’" ! (#"’ ! 试证 命题 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 是假命题 $! " & ’ ! 试独立举出数学上一个真命题和一个假命题的例子 %! ! !! !１&．!１&．#２!命命题题的的四四种种形形式式 在数学中 命题通常都由条件和结论组成 例如 ! ! " 若两个三角形全等 则它们相似 #!$ ! % 若两个三角形相似 则它们全等 ##$ ! % 若两个三角形不全等 则它们不相似 #$$ ! % 若两个三角形不相似 则它们不全等 #%$ ! ! 我们可以发现上述命题具有 若 则 的形式 其中 叫作 & *! +’ ! * 命题的条件 叫作命题的结论 !+ ! 仔细分析上述四个命题的构成 容易发现它们之间有内在的联系 ! ! 可以看到 命题 的条件是命题 的结论 而命题 的结论 ! #!$ ##$ ! #!$ 4 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 是命题 的条件 即它们的条件和结论互换了 我们把这样的两个 !!" # ! 命题叫作互逆命题 其中一个命题叫作原命题 ! !"#$%$&’()#")"*$+ 另一个叫作原命题的逆命题 事实上 ,$"&"# !-"&./#*/)#")"*$,$"&"0 # 命题 和命题 也互为逆命题 !1" !2" 0 对于命题 其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题 !3"!1"# 的条件的否定和结论的否定 这样的两个命题叫作互否命题 其中一 # 0 个命题叫作原命题 另一个叫作原命题的否命题 # !&/%’,$./)#")"*$+ 事实上 命题 和命题 也互为否命题 ,$"&"0 # !!" !2" 0 对于命题 其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题 !3"!2"# 的结论的否定和条件的否定 这样的两个命题叫作互为逆否命题 其 # 0 中一个命题叫作原命题 另一个叫作原命题的逆否命题 # !-"&./#*/+ 事实上 命题 和命题 也互为逆否命题 &/%’,$./)#")"*$,$"&"! # !!" !1" ! 也就是说 设命题 为原命题 那么 # !3" # $ 命题 为命题 的逆命题 若设命题 为 !!" !3" % !! !!" 命题 为命题 的否命题 原命题 你能分别指出 # !1" !3" % 其逆命题 否命题和逆 命题 为命题 的逆否命题 $ 否命题吗 这样做 还 !2" !3" ! % # 用符号抽象地表示命题可以更清晰地显示命题的四种形式 通 会产生新的命题吗 % ! 常 用 和 分别表示原命题的条件和结论 用■ 和■ 分别表示 # " # # " # 和 的否定 于是四种形式的命题可以表示为 " # # $ 原命题 若 则 $ " #% 逆命题 若 则 $ # "% 否命题 若■ 则■ $ " #% 逆否命题 若■ 则■ $ # "! 命题的四种形式中 任一对命题之间的相互关系如图 所示 # 3 3 ! 图 3 3 5 书书书 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 例 分别写出下列两个命题的四种形式 !! ! 槡 若 则 ( !!" !""#$# %&’!" $ ) 设 若 则 !)" #"##$"## #"$# #)"$)! 槡 解 原命题 若 则 ( ! !!" ! !""#$# %&’!" $ ) 槡 逆命题 若 则 ( ! %&’!" # !""#$$ ) 槡 否命题 若 则 ( ! !#"#$# %&’!# $ ) 槡 逆否命题 若 则 ( ! %&’!# # !#"#$! ) 原命题 设 若 则 !)" ! #"##$"## #"$# #)"$)$ 逆命题 设 若 则 ! #"##$"## #)"$)# #"$$ 否命题 设 若 则 ! #"##$"## #$$# #)$$)$ 逆否命题 设 若 则 ! #"##$"## #)$$)# #$$! 例 把下列命题改写成 若 则 的形式 并写出它们的逆 "! % % && # 命题 否命题和逆否命题 ’ ! 矩形的两条对角线互相平分 关键是写好原命题 !! !!" $ 的条件 和结论 小于 的数的平方大于 ! "# !)" ’* )*! 解 原命题 若四边形是矩形 则它的两条对角线互相平分 !!!" ! # $ 逆命题 若四边形的两条对角线互相平分 则它是矩形 ! # $ 否命题 若四边形不是矩形 则它的两条对角线不互相平分 ! # $ 逆否命题 若四边形的两条对角线不互相平分 则它不是矩形 ! # ! 原命题 若 则 !)" ! #%’*# #)")*$ 逆命题 若 则 ! #)")*# #%’*$ 否命题 若 则 ! #&’*# #)$)*$ 逆否命题 若 则 原命题为真时不能 ! #)$)*# #&’*! !! 我们已经知道 当原命题为真时 它的逆命题可以为真也可以为 判断它的逆命题的真假 # # 性 因此 考虑一个命 假 那么 原命题的真假性同它的否命题及逆否命题的真假性之间是 ! ! 题的逆命题是提出猜想 ! # 否有关系呢 的一个来源 ( ! 6 书书书 书书书 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 原命题为真 它的逆命题可以为真 也可以为假 !! ! ! ! 例 试证 !! " 命题 两个角相等的三角形是等腰三角形 的逆命题是真命题 #!$ % & ! 命题 若 则 的逆命题是假命题 #"$ % ""#!#"#! "#"#& ! 证明 逆命题是 等腰三角形有两个角相等 ! #!$ " ! 设等腰 中 则由 等边对等角 得 #$%& !$%’$&! % & "$%’ $&! 因此 中命题的逆命题是真命题 !#!$ ! 逆命题是 若 则 且 #"$ " "#"#! ""# #"#! 取 则 但 "’#’(!! "#"#! "%#!#%#! 因此 中命题的逆命题是假命题 !#"$ ! 原命题为真 它的逆否命题一定为真 逆否命题不产生新 "! ! ! !! 命题 事实上 逆否命题只是原命题的另一种陈述 ! ! ! 例如 " 原命题 若 则 ! "’#! "#’#’ 逆否命题 若 则 ! "#&#! "&#! 原命题为真 它的否命题可以为真 也可以为假 否命题是原命题的 $! ! ! ! !! 例如 真命题 若 则 的否命题 若 则 哪种形式命题的逆否 " % ""#! "$"#& % "’#! "$’ 命题 是真命题 而真命题 若 则 的否命题 若 ! #& ! % ""#! """#& % "’#! ! 则 是假命题 ""’#& ! 一般地 四种命题的真假性 有且仅有下面四种情况 ! ! " !!!"#$%&’( 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 )*$%+,-(./ 真 真 真 真 0!12345678 真 假 假 真 9:$%;.$%+< =>!?2@A67’ 假 真 真 假 ()*$%;.$%! 假 假 假 假 BC5D67#$%; .$%! 由于逆命题和否命题也是互为逆否命题 因此四种命题的真假性 ! 之间的关系如下 " 两个命题互为逆否命题 它们有相同的真假性 #!$ ! ’ 两个命题互为逆命题或否命题 它们的真假性没有关系 #"$ ! ! 7 书书书 书书书 书书书 书书书 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 练 习 写出下列命题的四种形式 !! ! 若两个三角形全等 则它们的面积相等 "!# $ % 若 则 ""# "!#$ "$!#! 写出命题 正方形的对角线互相垂直 的逆命题 否命题和逆否命题 并判断 "! & ’ ( $ 它们的真假 ! 原命题为真 它的否命题一定为假 的说法是否正确 请举例说明 $!& $ ’ ) ! 习题 " ! 把下列命题改写成 若 则 的形式 并分别写出它们的逆命题 否命题和 !! & # $’ $ ( 逆否命题 ! 正方形的四条边相等 "!# % 末位是 的整数可以被 整除 ""# % % % 当 时 函数 在 上单调递增 "$# "!# $ %&"’() ! ! 写出下列命题的逆命题 否命题和逆否命题 并分别判断它们的真假 "! ( $ ! 设 为任意实数 若 则 "!# "$)$* $ "&)$ "*&)*% 到圆心的距离等于该圆半径的直线是圆的切线 ""# % 是方程 的根 "$#’&% ’"+&’+%’# ! 判断下列说法是否正确 $! ! 一个命题的逆命题为真 它的否命题也为真 "!# $ % 原命题为假 它的逆否命题也为假 ""# $ ! 写出下列命题的四种形式 &! ! 8 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 两个偶数之积仍是一个偶数 !!" # 槡 & !""#$%&’(! # & 过直线 外一点能够作一条直线与直线 平行 !&" " " # 试证下列两个命题的逆命题都是假命题 )# $ 设 是整数 若 是 的倍数 则 是 的倍数 !!" $ % $ * % $& + # 二次函数的图象一定有对称轴 !"" # 写出下列命题的四种形式 并分别判断它们的真假性 ,# % $ 设 是任意三个实数 若 则 !!" $%%%& % $!%% $&!%&# 函数 在区间 上单调递增 !"" ’!(" !!%)*" # １!．-１!．-３&"充分条件和必要条件 节我们讨论了 若 则 这种形式的命题 其中有的 !-!-" & +% ,’ % 命题为真命题 有的命题为假命题 % # 例如 有下列两个命题 % $ 若 则 !!" $!%% $"!%"# 若 则 !"" $"!%"% $!%# 其中命题 为真命题 命题 为假命题 !!" % !"" # 一般地 若 则 为真命题 是指由 成立可以推出 成 %& +% ,’ % + , 立 在这种情况下 记作 并把 叫作 的充分条件 # % +#,% + , !./001213%# 叫作 的必要条件 24%51#14%"%, + !%323..$6724%51#14%"# 可以理解为由于 成立 则 一定也成立 即 对于 的 +#, + % , % + , 成立是充分的 换个角度考虑 一旦 不成立 则 一定也不成立 # % , % + % 即 对于 的成立是必要的 , + # 当命题 若 则 为假命题时 则由 推不出 记作 & +% ,’ % + ,% +#$,# 在这种情况下 不是 的充分条件 不是 的必要条件 %+ , %, + # 上面的命题 是真命题 即 所以 是 的 !!" % $!%#$"!%"% $!% $"!%" 一个充分条件 但 所以 是 的一个必要条件 # $"!%"$#$!%% $"!%" $!% # 又如命题 若 是等腰三角形 则 有两个角相等 $ %-./ % %-./ # 在这个命题中 所以 是 的充分条件 是 的必要条件 %+#,% + , %, + # 9 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 另一方面 所以 也是 的必要条件 也是 的充分条件 !!!"! " ! !! " # 一般地 如果对 和 既有 又有 就记作 ! " !! "!!! !!"! ""!# 即 既是 的充分条件 又是 的必要条件 此时我们称 是 的充 " ! ! ! ! " ! 分必要条件 简称充要条件 "!"##$%$&’()’*’&%&!!)+,%-’*$($-’#! # 显然 是 的充要条件 那么 也是 的充要条件 在这种情况 !" ! ! ! " # 其中 和 既可是 下 和 称为互相等价 两个互相等价的命题或条件通常是对同一事 !! ! " !" ! # 命题 又可是一个条件 ! # 物从不同角度所作的描述 # 例如 三角形全等的判别条件 分别从不同方 ! ...$./.$/./ 面描述了两个三角形全等的同一个事实 它们相互等价 ! # 例 从 充分而不必要条件 必要而不充分条件 和 充要 !# % &$% & % 条件 中选择适当的一种填空 & # 四边形的对角线相等是该四边形为矩形的 "0# ####’ 是 为正数的 "1#$$2 $ ####’ 四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行 "3# 的 ##### 解 四边形是矩形 四边形的对角线相等 反之不成立 # "0# ! ! # 因此 中应填 必要而不充分条件 !"0# % &# 因此 中应填 充分而不必 "1#$$2!$%4!$%4!&$$2# !"1# % 要条件 &# 四边形的一组对边平行且相等 四边形的两组对边分别平 "3# " 行 它们实际上都在描述四边形是平行四边形 因此 中应填 ! # ! "3# 充要条件 % &# 例 试证 充分性的证明 条 !! ! "# ( 件 结论 必要性的证 在实数范围内 是 的充分而不必要条件 " ! 明 结论 条件 "0# !%&0 %1&0 ’ ! " ! 四边形的两组对边分别相等是四边形是矩形的必要而不充分 "1# 条件 # 证明 是 的充分条件 由于 # "0#%&0!%1&0!%&0 %1&0 ’ 不是 的必要条件 因此 "’0#1&0!%1&0&!%&0!%&0 %1&0 # !%&0 是 的充分而不必要条件 %1&0 # 记 四边形的两组对边分别相等 四边形是矩形 "1# "( !!( #!! 是 的必要条件 由于平行四边形的两组对边分别相等 "!" ! ’ !"!& 10 书书书 书书书 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 不是 的充分条件 因此 四边形的两组对边分别相等是四边 !!" ! # ! 形是矩形的必要而不充分条件 # 例 下列各组命题中 是 的什么条件 在 充分而不必要 !! !" ! " # 条件 必要而不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条 $%# $%# $%# 件 中选出一种 为什么 $ &’ ’ 设 都不为零 "!& $!%""!"($"&%"##!!($!% ) ""&"(#$$$!!!($%&$##) 设 是整数 是 的倍数 是 的倍数 "’& $ !"($ ( !!($ ) ) 圆 与直线 相切 "*&"( $"&%"’(" )$&*%&+’# !!(+"’")"& *"&("# 解 都不为零 取 ! "!&$!% %$"&%"##) $’#!%’!!$"& 但 即 %"##! $’#! "%&!# 所以 是 的必要而不充分条件 " ! # 因为 所以 取 ! + ""& #$$$!$ ! $%&$##!"%!) $’ !! " " 但 即 + $%&$##! !#!! !%&"# 分别考虑命题 若 " !! ! 则 和 若 则 所以 是 的充分而不必要条件 ! "" ! " !" " ! # 的真假性 取 不是 的倍数 又取 不是 的 # "’& $’(!$ ) !"%&!) $’)!$ ( 倍数 即 ! !%&"# 所以 是 的既不充分又不必要条件 " ! # 若圆 与直线 相切 则圆心到直线 "*& $"&%"’(" )$&*%&+’# ! 的距离 即 反 ’+’ )$&*%&+’# ,’槡 ’(! +"’")"&*"&("!"%!) )"&*" 过来 若 则 成立 的圆心 ’+’ ! +"’")"&*"&("! 槡 ’( !$"&%"’(" )"&*" 到直线 的距离等于 即圆 与直线 "#!#& )$&*%&+’# (! $"&%"’(" 相切 )$&*%&+’# !!%"# 所以 是 的充要条件 " ! # 充分条件 必要条件和充要条件究竟有什么用处 事实上 很多 % ’ ! 数学知识都是由这种形式的命题给出 例如 数学中的定义都是充分 # ! 11 书书书 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 必要条件 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 这条定义 !! "# 表明 四边形是平行四边形的充要条件是其两组对边分别平行 但由 # ! 于可以证明 对边平行且相等 和 两组对边分别平行 互为充要条 ! " ! " 件 所以也可以说 对边平行且相等的四边形叫作平行四边形 可 # ! "! 见数学中的定义可以用等价的条件来替换 即可以作形式上的改变 # ! 在初中 我们接触到性质定理和判定定理的说法 等腰三角形 # !! 两底角相等 叫作等腰三角形的性质定理 意思是说等腰三角形必有 " # 两底角相等 这条性质 即此性质是等腰三角形的必要条件 反过 ! " # ! 来 有两角相等的三角形是等腰三角形 叫作等腰三角形的判定定 #! " 理 它揭示了具备此条件的三角形肯定是等腰三角形 即它是三角形 # # 成为等腰三角形的充分条件 把性质定理和判定定理综合起来就是简 ! 单地一句话 两角相等是三角形成为等腰三角形的充要条件 使用 $! "! 充分条件 必要条件和充要条件这些逻辑用语来表述 学过的数学知 % # 识就显得更有条理了 ! 练 习 下列命题中 哪些命题是 四边形是矩形 的充分条件 !! # ! " & 四边形的对角线相等 ’!( ) 四边形的两组对边分别相等 ’"( ) 四边形有三个内角都为直角 ’#( ) 四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补 ’$( ! 设 下列各式中哪些是 的必要条件 "! "##!!# !"#"%" & ’!("$#%%)### ####’"(""$#"$%) ’#(""$#""%) ’$("#$##"%! 从 充分而不必要条件 必要而不充分条件 充要条件 与 既不充分又 #! ! "%! "%! " ! 不必要条件 中选出适当的一种填空 " $ 中 是 中 的 ’!(!%&’( &(%&%’" !%&’( &’"%&("$’("" #####) 是 的 ’"(!"$%" !"’!" #####) 是 的 ’#(!"%"" !""%$" #####! 12 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 习题 ! ! 从 充分而不必要条件 必要而不充分条件 充要条件 与 既不充分又 !! ! "#! "#! " ! 不必要条件 中选出适当的一种填空 " $ 两个角是对顶角 是 两个角相等 的 %!&! " ! " !!!!!!’ 是 的 %"&!"#!"#" !""!" !!!!!!’ 是 的 %$&!""#($"#" !"%$"!" !!!!!!’ 设 都是实数 是 是方程 的一 %%& "($(& (!"%$%&’#" !(’! "("%$(%&’# 个根 的 " !!!!!!’ 是 的 %&&!##(#!" !("#(" !!!!!!! 下列各组命题中 是 的什么条件 在 充分而不必要条件 必要而不充 "! () * % ! "#! 分条件 充要条件 既不充分又不必要条件 中选出一种 为什么 "#! "#! " &) ) 设 是实数 %!& ((+ ()$("+(*$$($"$+$’ 在 的边 的中线上 的面积 的面积 %"&)$, %-./ ./ (*$%-., ’%-/, ’ %$&)$"’("’’(%&"#)&(*$"’"’ %%&)$-&.(*$-’.’-! 是 的必要条件吗 为什么 $!!("(!" !((!" ) ) 试证 是 的充分而不必要条件 ! %! !("!" ! #!" ! ( 试证 的充要条件是 &! !""#($"#" !"%$"#("$"#"! 判断下列命题的真假 并说明理由 )! ( $ 是 的充要条件 %!&!""$"#" !"""$"" ’ 是 的充分条件 %"&!""$" !"&""$&"" ’ 是 的充要条件 %$&!""$" !"%&"$%&" ! 13 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 简单的逻辑联结词 !１"．#２!简单的逻辑联结词 !! 人说话或书面表达意思时 一句接着一句 句子之间需要用联结 ! ! 词联结 不同的联结词表达的意思有很大的差别 特别地 数学表达 ! ! ! 更需要精确和严密 本节我们讨论简单的逻辑联结词 ! ! !! !１"．#２"．!１!逻辑联结词“非” 、“且” 和“或” 联结词 非 !! " #$$%&%! 此处命题的否定与 设 是一个命题 用联结词 非 对命题 作全盘否定 得到 ”” 节中的否命题有 " ! " # " ! !"!"# 新命题 记作■ 读作 非 或 不是 何区别 ! ! "! " "# " "#! 例 写出下列命题 的否定■ !! " "& 是方程 的根 $!%"&’ ##$!()* ’ 空集是集合 的子集 $#%"& % ’ 不是 的倍数 $+%"&!( , ! 解 ■ 不是方程 的根 ! $!% "&’ ##$!()* ! ■ 空集不是集合 的子集 $#% "& % ! ■ 是 的倍数 $+% "&!( , ! 若 是真命题 则■ 是假命题 若 为假命题 则■ 为真 " ! " ’ " ! " 命题 ! 联结词 且 #! " #$-$.%! 用联结词 且 把两个命题 联结起来 得到新命题 记作 " # "!& ! ! 读作 且 ""&! "" &#! 为真命题当且仅当 和 都为真命题 可用串联电路直 """&# " & ! 观地显示 如图 当且仅当开关 合上且开关 也合上时灯才 $ ! #%& " & 会亮 当 两个命题中有一个为假命题时 是假命题 ! "!& !""& ! 14 书书书 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 图 ! " 具体地 命题 的真假性由下表给出 !! ! !"" " ! " !"" 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 例 根据下列各组命题中的 写出命题 并判断其真假 !! !!"! !""! " 矩形的对角线互相平分 矩形的对角线互相垂直 #!$!" !"" % 函数 在 上单调递增 函数 #"$!" #$%" ##!&’$ !"" #$%" 在 上单调递减 #(’!#$ ) 解 矩形的对角线互相垂直平分 因为 为假命题 !#!$!""" ) " ! 所以 为假命题 !"" ) 函数 在 上单调递减 在 #"$!""" #$%" #(’!#$ ! ##! 上单调递增 因为 都为真命题 所以 为真命题 &’$ ) !!" ! !"" ) 联结词 或 $) & ’#%&$) 用联结词 或 把两个命题 联结起来 得到新命题 记作 & ’ !!" ! ! 读作 或 !#"! &! "’) 为真命题当且仅当 和 &!#"’ ! " 中至少有一个为真命题 可用并 )!#" 联电路直观地显示 如图 当且仅 # ! $$" 当开关 和 中有一个合上时灯就 ! " 会亮 ) 图 具体地 命题 的真假性由下 ! $ ! !#" 表给出 " 15 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ ! " !!" 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 例 根据下列各组命题中的 写出命题 并判断 "" !" !!"! "!!"#! 其真假 $ 是集合 中的元素 是集合 %!&!$" ’#!$!%( !"$$ ’#!$!%( 中的元素 ) 方程 有两个正实数根 方程 %#&!$ ##$#%!&’ !"$ ##$#% 有两个负实数根 !&’ & 解 集合 中含有数 或 由于 是真 "%!&!!"$ ’#!$!%( " $& " 命题 是真命题 !!!" & 方程 有两个正实数根或有两个负实数 %#&!!"$ ##$#%!&’ 根 由于 都是假命题 是假命题 & !!" !!!" & 练 习 把下列命题改写成 或 的形式 !& !!" !#" $ %!&!$#&#!"$#$#) 槡是实数 槡 %#&!$ # !"$ #%!& 根据下列各组命题中的 写出命题 ■ 并判断其 #& !!"! "!#"#!"!!"#!" !#! 真假 & 是偶数 是质数 %!&!$!’ !"$!’ ) 是方程 的根 是方程 %#&!$#’! #$%$#$#&’ !"$#’%! #$%$#$#&’ 的根 & 16 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 习题 ! ! 判断下列命题的真假 !! ! 方程 的判别式大于或等于 "!# ""##"#$%& &$ 正方形是轴对称图形且正三角形也是轴对称图形 ""# ! 根据下列各组命题中的 写出命题 ■ 并判断其真假 "! $%%% &$"%’%&$#%’%& $’% ! 是无理数 是实数 "!#$!! %%!! $ 方程 没有实根 方程 没有实根 ""#$! ""&!%& %%! ""#’%& ! 根据下列各组命题中的 写出命题 ■ 并判断其 #! $%%% &$"%’% &$#%’% & $’% 真假 ! 在 内单调递增 在 内恒大于 "!#$!’(()*" "&%"# %%!’(()*" "&%!# &$ 是集合 中的元素 不是集合 中的元素 ""#$!" (") %%!" (#%$%’) $ 集合 是 的子集 集合 是 的子集 "##$! ) )$* %%! ) )%* $ 方程 的两根符号不同 方程 的两根之 "$#$! ""&#"#!%& %%! ""&#"#!%& 和为 #! 设 是两个命题 试证 $! $%% ! ! ■ 是真命题当且仅当 ■ ■ 是真命题 "!# "$#%# " $#"" %# $ ■ 是真命题当且仅当 ■ ■ 是真命题 ""# "$"%# " $##" %# ! 17 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ !! !１"．#２"．#２!全称量词和存在量词 前面看到 像 这样带有不确定变量的语句不是命题 但如 ! !"$ " 果加上一个约束 例如 对每一个实数 有 或者 有一个 ! " !! !"$# " 实数 使 它们就是命题了 前者假而后者真 有了真假就 !! !"$#! " $ 是命题 " 这里的 每一个 和 有一个 叫作量词 两者分别叫作全称量 " # " # ! 词 和存在量词 涉及 %%&’()*+,-.%,&/’0’)*& %)1’+/)&/’,-.%,&/’0’)*&" 量词的命题必须指出量词的作用范围 说明 每一个 是哪个集合中 ! " # 的每一个 有一个 是在哪个集合中有一个 !" # " 任意 所有 每一个 等全称量词 数学上用符号 " #’ " #’ " # ! "## 表示 设语句 中变量 取值范围为集合 当 取值 时 " #%!& ! $ % ! %$$ ! 成为一个命题 则语句 对 的任一个元素 有 成立 #%%& &! " $ !! #%!& # 是命题 叫作全称命题 用符号简记为 ! " #!$$!#%!&" 存在某个 至少有一个 等存在量词 数学上用符号 " #’" # ! "%# 表示 语句 存在 的某个元素 使 成立 也是命题 叫作 " " $ !! #%!& # ! 特称命题 用符号简记为 " %!$$!#%!&" 全称量词和存在量词不但在数学里经常被使用 在日常生活中也 ! 经常被使用 " 例如 市场上卖鸡蛋的老太太说 我篮子里的每一个鸡蛋都是 ! (" 好的 老太太表述了一个含有全称量词的命题 每一个 是全称量 "# "" # 词 并且指出了全称量词 每一个 的作用范围是 我篮子里的鸡 ! " # " 蛋 不是市场上的所有鸡蛋 #! " 在数学里 有许多命题或明显或暗含地使用了量词 ! " 例如 对任意实数 这里 任意实数 和 每 (" %!%#&!"$"# " %# " 一个实数 是意义相同的全称量词 命题中全称量词 任意 的作 %# ! " # 用范围是实数集 用符号表示就是 !" "#%$!!%#&!"$"# 18 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 又如 存在某个整数 使得 是 的倍数 存在某个 !" !# !!"" # #$" $ 是存在量词 命题中它的作用范围是整数集 用符号表示就是 # !# !!"" "!!"!# "!#$ # 例 指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的 "# 作用范围 并把量词用相应的数学符号取代 # # 对任意正实数 %"& !#!!"!"!$$’ 对某个大于 的正整数 槡 %!& "$ $#%!&$%"$!%# 解 命题 中有量词 任意 这是一个全称量词 它的 # %"& %"& " $# # 作用范围是正实数集合 命题 可以写成 # %"& "%!"# #!!"!"!$$$# & 命题 中有量词 某个 这是一个存在量词 它的作用范 %!& %!& " $# # 围是大于 的正整数集合 命题 可以写成 "$ # %!& "!$$"$#$"$ # & 槡 %!&$%"$!%$# 如何判断含有量词的命题的真假呢 命题 我篮子里的每一个鸡 ( " 蛋都是好的 究竟是真命题还是假命题 如果篮子里的每一个鸡蛋确 $ ( 实是好的 这个命题是真命题 只要篮子里某一个鸡蛋是坏的 这个 # ’ # 命题就是假命题 # 例如 因为对每个实数 成立 所以命题 需要对每一个实数 ! !#!!&"$$ # "%!"## !! 进行验证 是真命题 ! " !!&"$$$ # 又如 因为 所以命题 是 的倍数 找到一个 就 ! %!""&"## "!!"!#!!"" # $ !! !"! 足够了 是真命题 # # 例 判断下列命题的真假 并给出证明 %# # # %"&%’"%##&(&#)%’&%’!"%’"!$$’ %!&%’"%’#&(&#)%’&%’!"%’"!$$’ %’&!!"!#!!%’!"!’ %%&!!&’#!!%’!"!’ 设 是平面上不在同一直线上的三点 在平面上存 %#& *#+#, # 在某个点 使得 - -*%-+%-,# 解 在 上单调递增 # %"&.#)%’&%’!"%’"! %!#&(& # 对 内的每个 因此 是真命题 /# %##&(& ’#)%’&$)%#&$$# %"& # 19 书书书 书书书 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 判定命题 但 因此 是假命题 !! !"!# !!""!!##!""# #!""$%!"$# !!" & 是真命题 ""##!$% " 是整数且 因此 是真命题 需要对 中每个元素 !#"% %!$#&%’!# !#" & " 证明 成立 否 只有两个实数根 或 当 !" ##!$ & !""’#(!$#(%! ($% ($!#)# ($# 则只需找到一个 !# 时 因此 是假命题 使 不成!立 #(!%#(%!& !"" & "" ##!$ " 就可判断该!命题为假命 三点构成一个三角形 三角形总有外接圆 设 !("*#+#, # # - 题 $ 是 外接圆的圆心 则 因此 是真命题 你能总结判定命题 &*+, # -*$-+$-,& !(" & 真 如何对含有量词的命题进行否定 先看下面两个例子 !$!#""##!$% $ % 假性的方法吗 ’ 这个篮子里的鸡蛋都是好的 !%" & 存在实数 使 !!" .# .!%#.%()$& 命题 的否定为 这个篮子里的鸡蛋并非都是好的 换言 !%" ’ (# 之 这个篮子里有鸡蛋是坏的 命题否定后 全称量词变为存在量 #’ (& # 词 肯定 变为 否定 #’ ( ’ (& 命题 的否定为 不存在实数 使 即 对 !!" ’ .# .!%#.%()$(# ’ 所有的实数 命题否定后 存在量词变为全称量 .#.!%#.%(%$(& # 词 肯定 变为 否定 #’ ( ’ (& 全称命题的否定是 一般地 命题 的否定是 ■ !! 特称命题 特称命题的 # ’’.!/#0!."( ’(.!/# 0!."(& ! 否定是全称命题 命题 的否定是 ■ ! ’(.!/#0!."( ’’.!/# 0!."(& 例 对下面含有量词的命题作否定 !# % 任意有理数都可以写成两个整数之商 !%"0% & 使得 !!"1%(.!"# .!!!.!#)$& 解 ■ 存在某个有理数它不能写成两个整数之商 # !%" 0% & ■ !!" 1%’.!"#.!!!.!#*$& 练 习 指出下列命题中使用了什么量词及量词的作用范围 并把量词用相应的数学符 %& # 号取代 % 对区间 内的任意实数 !%" !$#!" .#*+,.*$& 对某个有理数 % !!" .#".$ & ! 20 书书书 书书书 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 判断下列命题的真假 !! ! ""#!""!$"!#!%###### "!#!"""$"!#!! 对下面含有量词的命题作否定 #! ! 我们班上每个同学都是男生 使 ""# %# "!#!"""$ "!$!$%! 习题 # ! 对下面含有量词的命题作否定 "! ! 每个人的寿命都是有限的 ""# % 存在某个整数 使得 "!# %$ %!#%! 判断下列命题的真假 !! ! ""#$"""$"#$#"&!$%% 平面上存在一条直线是函数 的图象的对称轴 "!# ’#&’(" ! 判断下列命题的真假 并给出证明 #! $ ! 对任意满足不等式 的实数 ""# #"&!%% "$!"!$"%%% 对任意满足不等式 的整数 "!# #"&!%% "$!"!$"%%% 存在某个正整数 使得函数 的图象过点 "## % ’#)*+" "#$!#% % 存在某个正实数 使得函数 的图象过点 ",# % ’#)*+" "#$!#% % 已知两点 存在某个平面 使得平面 上的任意一点到 两点的 "-# ($)$ ! ! ($) 距离相等 % 任意两个角对应相等的两个三角形必全等 ".# ! 对下面含有量词的命题作否定 ,! ! 已知直线 过直线 外的任意一点可以而且只可以作一条直线与已知直线 ""# *$ * 平行 * % 任意实数都可以写成平方和的形式 "!# ! 21 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ !!! 小结与复习 一 指导思想 ! !! 无论是进行思考 同他人交流 还是从事各项工作 都需要正 ! ! ! 确地运用逻辑用语表达自己的思想 在学习数学的过程中 学习常 ! ! 用逻辑用语可以更深刻地理解数学内容 更严密地进行数学推理以 ! 及更正确地表达数学思想 ! 二 内容提要 ! !! 命题的四种形式 如果用 和 分别表示命题的条件和结 !! " " # 论 ■ 和■ 表示 和 的否定 那么命题的四种形式是 ! " # " # ! 原命题 若 则 ! " ## 逆命题 若 则 ! # "# 否命题 若■ 则■ ! " ## 逆否命题 若■ 则■ ! # "! 充分条件 必要条件 充要条件 "! $ $ ! 如果已知 那么 是 的充分条件 是 的必要条件 ""#! " # !# " ! 如果已知 那么 是 的充要条件 "##! " # ! 逻辑联结词 非 且 和 或 #! % &$% & % &! 是真命题 ■ 是假命题 " # " # 是真命题 和 都是真命题 "$# #" # # 是真命题 和 中至少有一个是真命题 "%# #" # ! 全称量词和存在量词 $! ! 含有全称量词的命题是真命题必须考虑所有的情况 # 含有存在量词的命题是真命题只需考虑某一种情况 ! 对含有全称量词和存在量词的命题作否定 一般如下 ! " 22 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 命题 的否定是 ■ 命题 !!!"""##!$% !#!""" ##!$%& 的否定是 ■ !#!"""##!$% !!!""" ##!$%$ 三 学习要求和需要注意的问题 ! $$ 学习要求 !$ $ 能写出命题的逆命题 否命题和逆否命题 #!$ ’ & 理解充分条件 必要条件和充要条件的意义以及它们在数 #"$ ’ 学论证中的作用 & 了解逻辑联结词 或 且 和 非 的含义 能正确地 ##$ ! %’! % ! % " 使用它们 & 了解全称量词和存在量词的意义 #$$ & 能正确地对含有一个量词的命题作否定 #%$ $ 需要注意的问题 "$ $ 命题的否命题和命题的否定是两个不同的概念 #!$ & 充分性的证明是从条件推出结论 必要性的证明是从结论 #"$ " 推出条件 & 逻辑联结词 且 和 或 有很大的区别 ##$ ! % ! % & 对含有一个量词的命题进行否定 不但量词要转换而且要 #$$ " 对量词后面的命题作否定 $ 四 参考例题 ! $$ 例 写出命题 每个有理数都是实数 的否命题及其 !$ !#( % 否定 $ 解 分析 的条件和结论 条件 是有理数 结论 是实 $ # $ (% & (% 数 因此 的否命题是 若 不是有理数 则 不是实数 $ "# ! % " % %$ 的否定■ 可以写成 存在某个有理数 它不是实数 或者 # # ! " % 并非每个有理数都是实数 ! %$ 例 是 或 的充要条件 的说法是否 "$ !!"%&" !%& !%’& % 正确 若不正确 如何修改结论使说法正确 ) " ) 解 不正确 或 虽然成立 但 或 $ $!"%&"&!%& !%’& " !%& 23 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 推不出 这是因为 时 成立 !!"# !!!#!$ !%!!#%"! !!!# ! 因此 或 为真命题 但 为假命题 只有当 !!# !!"# ! !!!#! $ !! 同时为真时 才为真 因此 正确的说法是 #!!!"# !!!!#! $ ! 是 且 的充要条件 "!!!#! !!# !!"# #$ 例 对命题 任意函数的图象都有且仅有一条对称轴 !" "&$ # 作否定 $ 解 有且仅有一条对称轴 的否定是 没有对称轴或有一条 " " # " 以上的对称轴 因此 ■ 存在某个函数 它的图象或者没有 #! ! &$ ! 对称轴或者有一条以上的对称轴 $ 复 习 题 一 写出下列命题的四种形式 并判断真假 "$ ! $ 每个偶数都可以被 整除 %"& # ’ 每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数 %!& ’ 设 是 的边 上的点 若 是 的中点 则 %$& ’!( #)*+ )*!)+ ! ’!( )*!)+ ! ’($*+’ 设 是两个集合 若 则 %#& )!* ! )%*%*! )&*$ 设 下面左边的式子和右边的式子中哪些是可以互为充要条件的 !$ ,!-’"! $ %"&,-%%’""""""""""""" %!&,!.-!%%’ 或 %$&,!.-!(%’ " %#&,%% -%%’ 且 或 %&&,%% -%%’ " %’&,!% -!%$ 作下列命题的否定 $$ $ 方程 有实数根 %"&)/(%! !!.!"/%% ’ 方程 有实数根 %!&*/(%! !!.!./%% $ 24 书书书第 １ 章 常用逻辑用语 ················································ 写出命题 若 是偶数 则 是偶数 的逆否命题 !! ! ""# " "$# # ! 写出命题 是偶数且是 的倍数 的否定 "! !# $ # ! 试举出一个命题的例子 使得它的四种形式的命题 #! " 都是真命题 $%% & 都是假命题 $&% ! 试证 都是整数 是 方程 有且仅有整数解 的必要而不 ’! ’!""# # ! %&$"%$#&( # 充分条件 ! 判断下列说法是否正确 若不正确 如何修改结论使之正确 )! ! " ( 的充要条件是 或 $%%!!%!&$# !%&$ %&’$#& 的充要条件是 或 $&%!!%!"$# !%"$ %"’$#! 求方程 有两个同号且不相等实根的充要条件 *! $%&’%(%$"&( ! 判断下列命题的真假 并给出证明 %(! " ’ %&’&%$& 其中 $%%#%$!" """ ’&%"%&& %’% 存在某个边长为 的菱形使得它的面积等于边长为 的正三角形的面积 $&% % & ! 已知 是 的充分条件 而 是 的必要条件 同时也是 的充分条件 是 %%! ( ) " ) * " + "* + 的必要条件 那么 " ’ 是 的什么条件 $%%+ ( ( 是 的什么条件 $&%( * ( 在 中 哪几对互为充要条件 $$% ("*")"+ " ( 25 书书书2 第 章 圆锥曲线与方程 平面截锥曲线三 !!! 有开有闭各飞天 !!! 行星绕日椭圆轨 平面截锥曲线!三 !! !!! 抛物双曲不复还 有开有闭各飞天 !!! !!! 行星绕日椭圆轨 !!! 圆 椭圆 抛物线 双曲线都可 !! " " " 抛物双曲不复还 !!! 以由平面截圆锥得到 它们统称为圆 ! 锥曲线 圆 椭圆 抛物线 双曲线都可 ! !! " " " 天上地下 圆锥曲线无处不在 以由平面截!圆锥得到 它们统称 ! 为圆 ! 方程是研究圆锥曲线的重要工具 锥曲线 ! ! 圆锥曲线的方程都是二次方程 天上地下 圆锥曲线无处不在 ! ! ! 方程是研究圆锥曲线的重要工具 ! 圆锥曲线的方程都是二次方程 ! 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 数学实验 !!!! 生活中的圆锥曲线 一 实验内容和步骤 ! 实验 观察圆柱形的茶杯 !! ! 从茶杯的正上方观察它的上沿 也就是圆柱的上底面 !"" ! "# 是什么形状 $ 将茶杯放在桌面上 坐在桌子旁边观察茶杯的上沿 是什 !#" ! # 么形状 $ 实验 将圆柱形茶杯装一些水 不要装满 拿在手上 观 "! ! "# # 察水面的形状 ! 当杯底和上沿都在水平方向时 水面是什么形状 !"" # $ 将茶杯倾斜 观察水面变成什么形状 !#" # ! 实验 将圆柱形的茶杯换成圆台形 上底半径大 下底半径 #! ! # 小 的饮料杯 " ! 将饮料杯装一些水 杯的上沿和底面成水平方向时 以及 !"" # # 逐渐倾斜时 观察水面的形状的变化 # ! 将洗脸盆装上水 把饮料杯泡在水中 使水面与杯外壁的 !#" # # 曲面相交 观察相交所成的曲线的形状 改变饮料杯与水面的倾斜 # ! 程度 观察所得曲线形状的变化情况 # ! 实验 将手电筒光照到平坦的墙面或地面上 观察照亮的区 $! # 域边沿的形状 当手电筒光正对墙面或地面时 照亮的区域的边沿 ! # 是圆 让手电筒光逐渐倾斜 观察照亮的区域边沿形状的变化 ! # ! 实验 宾馆或家庭墙上的壁灯 中间是一个发光的灯泡 用 %! # # 一个圆台形的灯罩罩起来 灯炮发出的光从灯罩上边和下边的圆口 ! 照射出来 在墙上照亮两块区域 观察区域边沿的曲线形状 # # ! 27 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 实验 观察 在体育场上掷出的铅球 投出的篮球在空中自由 !! ! " 运动时所走的路线是什么形状 喷水池中喷出的水柱是什么形状 # # 二 实验结果 ! 实验1(2) 实验2(2) 实验3(1)-1 实验3(1)-2 实验3(2)-1 实验3(2)-2 实验4-1 实验4-2 实验4-3 实验4-4 实验5 实验6 图 生活中的圆锥曲线 ! "! 三 对实验结果的分析 ! 实验 茶杯的上沿是圆形 从茶杯正上方观察到的也是圆 "! # # 28 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 但是当茶杯平放在桌面上 坐在桌子旁边观察茶杯上沿 看到的却 ! ! 不是圆 而像是一个横向不变 纵向被压缩得到的 扁圆 我们 ! " # $! 称它为椭圆 ! 此时人的观察视线与茶杯上沿所在的平面不垂直 而是成一个 ! 角度倾斜相交 茶杯上沿横向的线段仍与我们的视线垂直 看到的 ! ! 长度不变 纵向的线段与视线成一个角度 相交 看到的长度缩短 ! ! ! 为实际长度的 倍 也就是说 我 #$%! ! ! 们观察到的曲线 是由一个圆 实际 ! % 的图形 横向不变 纵向压缩了同一 & " 个比例得到的 如图 % " "&! 假如在茶杯上沿所在的平面上建 立直角坐标系 以茶杯上沿的圆的圆 ! 心为原点 使 轴沿横向指向我们的 图 ! " " " 右方 轴正方向沿纵向离开我们而去 则茶杯上沿的圆 !# ! ""$#"% 上每一点 经我们观察得到的横坐标 与实际值 相 &" ’%"!#& "( " 等 纵坐标 却被乘了同一个小于 的数 变成 ! # & )%#$%!! #(%)#! 在实际曲线的方程 中将 代入 得到观 & ""$#"%&" "%"(!#% #( ! ) 察到的曲线的方程 #(" "("$ %&"! )" 或写为 "(" #(" $ %&! &" *" 其中 这个方程的图象是一个圆沿 轴方向被 压 *%)&!&! # # 扁 得到的椭圆 它的横向半径仍为 纵向半径压缩为 $ ! &! *! 不妨再做以下实验来验证这个分析结果 看它是否与实际观察 做实验就是这样 ! !! ! 操作 观察现象 对现 到的现象相吻合 " " ! 象进行理论分析 必要 " 任取正数 作为原来的半径 适当的正数 作为纵向被压 时再设计新的实验进一 & ! *!& 步 验 证 理 论 分 析 的 缩了的 半径 利用描点作图法或利用数学软件作图 画出方程 # $! ! 结果 !! "" #" 的图象 $ %& ! &" *" 29 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 比如 取 通过描点作图或计算机软件画图作出 ! !"!!#""! 方程 $! 的图象 观察它的形状 是否与我们在桌子旁边看 %&!"" ’ ! # 到的茶杯上沿类似 " 实验 将茶杯水平放置时 水面边沿是一个圆 将茶杯倾 !! ! ’ 斜 在水面上沿倾斜方向的长度都扩大了同一个倍数 而与之垂直 ! ! 的方向的长度不变 圆被拉长成为椭圆 ’ ’ 茶杯的内侧面是圆柱面的一部分 在重力作用下平衡的水面是 ’ 平面 因此 茶杯中的水面边沿实际上是圆柱面与平面相交得到的 ’ ! 曲线 将茶杯倾斜 实际上就是让圆柱面与平面以不同的角度相 ’ ! 交 得到 拉长程度 不同的椭圆 ! # $ ’ 实验 饮料杯中装水时 观察到的结果与实验 类似 水面 "! ! ! ! 边沿仍是圆或椭圆 圆台形饮料杯的内侧面是圆锥面的一部分 水 ’ ’ 面边沿实际上是圆锥面与平面的交线 ’ 饮料杯的外侧面也是圆锥面的一部分 将饮料杯泡在水里 圆 ’ ! 锥面的旋转轴与平面的交角可以更小 以至于相交得到的曲线不是 ! 封闭曲线 而是抛物线或双曲线 ! ’ 实验 和实验 # $ 手电筒光束的边沿是圆锥面 壁灯灯泡从灯罩口漏出来的光束 ! 的边沿也是圆锥面 墙面是平面 因此 光束在墙上照亮区域的边 ’ ’ ! 沿仍是圆锥面与平面的交线 ’ 实验 的器材和内容虽然不同 但实质上却是相同的 $!#!% ! % 都是观察圆锥面与平面的交线 ’ 实验中观察到如下曲线 圆 椭圆 抛物线 双曲线的一支 % ! ! ! ’ 宾馆的壁灯的灯罩通常是圆台形 上底半径小 下底半径大 & ! ’! 从灯罩中透出的光束在墙上照亮的区域边界是两条不同的双曲线 ’ 如果特制一个圆柱形的灯罩 将灯泡固定在灯罩的中心位置 则透 ! ! 出的光束在墙上照亮的区域边界上下对称 是双曲线的两支 ! ’ 实验 投出的铅球 篮球的轨迹形状都是抛物线 喷出的水 %! ( ’ 柱也是抛物线形状 ’ 30 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 椭圆 !２"．#１!椭 圆 !! !! !２"．#１"．#１!椭 椭 圆 圆 的 的 定 标 义 准 与 方 标 程 准方程 实验 在平坦的纸面上钉两个大头针 分别位于点 将 ! ! !!!" # ! 一条足够长的细线的两端连接起来做一个圈 使得做成的圈的周长 ! # 大于 因而可以将两个大头针围起来 并且还有余地 用 !"!!"! ! " # ! 铅笔尖在任何一个位置 将细线圈绷紧 成为一个三角形 $ ! $!!" # ! 将铅笔尖沿着细线圈移动 移动过程中也始终使细线圈绷紧 观察铅 ! " 笔尖在移动过程中在纸面上画出的细线形状 如图 " ! $" 图 ! $ 观察发现 铅笔尖所画曲线就是我们在实验中所观察到的椭圆 ! " 铅笔尖的位置 在移动过程中到两点 的距离之和 $ ! !! "$!"% # ! # 始终等于 保持不变 我们根据这个几何性质来定 "$!" #&"!!"! " ! # ! 义椭圆 " 平面上到两个定点 的距离之和为定值 大于 的点 !!! " "!!"# # ! # ! 的轨迹叫作椭圆 这两个定点 叫作椭圆的焦点 "%&&’()%#" !!! # ! 两个焦点之间的距离叫作椭圆的焦距 "*+,-)#! "*+,.&&%/012#3 在平面上可以建立直角坐标系 以 的中点为原点 以 $$$# ! !! ! !! # ! # ! 的方向为 轴的正方向 且设焦距 则两焦点的坐标 ’ ! "!!"(!)%4! # ! 分别为 !"&)!4#!!")!4#" # ! 例 设平面上建立了直角坐标系使两焦点在 轴上并且关于原 !! ’ 点对称 坐标分别为 其中 如图 所示 ! !"&)!4#!!")!4#! )%4" !5 " # ! 设椭圆是到 两点距离之和为定值 的点的轨迹 且 !!! !* ! !*%!)" # ! 31 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 求椭圆的方程 ! 解 平面上任一点 在椭圆上 ! "!#"$# 的充要条件为 ""%"&""%"’!(! # ! 由于 槡 ""%"’ !#&)#!&$!"""%"’ # ! 槡 所满足的条件为 !#*)#!&$!"!#"$# 槡 槡 图 !!! !#&)#!&$!& !#*)#!&$!’!(" ! " 即 槡 槡 !! !#&)#!&$!’!(* !#*)#!&$!! 两边平方得 槡 !#&)#!&$!’"(!*"( !#*)#!&$!&!#*)#!&$!! 整理得 槡 ( !#*)#!&$!’(!*)#! 两边再平方得 !(!#!*!(!)#&(!)!&(!$!’("*!(!)#&)!#!! 再整理得 !!!!(!*)!##!&(!$!’(!!(!*)!#! ! 这就是椭圆的方程 ! 例 中求出的椭圆方程 可以写成更简单的形式 # ! ! 由椭圆的定义知 故 !(#!)"(#)" (!*)!#$! 在 中令 得 也就是说椭圆与 轴的交 ! $’$" #!’(!"#’+(" # 点为 及 再在 中令 得 槡 记 !*("$# !("$#! ! #’$" $’+ (!*)!! ,’ 槡 则椭圆与 轴的交点为 椭圆的方程 (!*)!" $ !$"*,#"!$",#" ! 变为 !! ,!#!&(!$!’(!,!! 还可以进一步写成容易记忆的形式 #! $! & ’# " (! ,! 这称为椭圆的标准方程 它表示的椭圆的焦点 !%&’()’*)+,-’&./(#" 在 轴上 其中 # " (#,#$! 例 建立适当的直角坐标系 使椭圆的两个焦点在 轴上 !! " $ " 关于原点对称 坐标分别为 其中 如图 " !$")#"!$"*)#" )#$! ! 0 所示 椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 求椭圆 ! !(!(#)#! 方程 !!! 32 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 解法 椭圆上的点 满足的充要 !! !!""## 条件是 即 $"!$"%"!$"&!’( # ! 槡 槡 "!% !#%)#!% "!% !#*)#!&!’( 具体化简过程请你 仿照例 的解法可将这个方程化简为 !! # 自己模仿例 写出来 ! ! "! #! 其中 槡 % &#" +& ’!*)!#$( +! ’! 解法 设直线 过原点并且平分 "! , $"-#( 图 则平面上任一点 关于直线 的对称点 ! " !""## , 从而 关于 的对称点分别是 !"."#.#&!#""#" $ !$"*)#"$ !$")# , # ! $.!*)"$#"$.!)"$#( # ! 记点 关于 的对称点为 则 !!""## , !.!"."#.#" 满足条件 !!""## "!$"%"!$"&!’ # ! 满足条件 %!.!"."#.# "!.$."%"!.$."&!’ # ! %!"."#.# 满足椭圆的标准方程 ".! % #.! &#" 其中 +!&’!*)!( 世间本无坐标系 ’! +! !! ! 不过是人为 椭圆 但 故 所满足的方程为 !" # ".&#"#.&"" !""## 还是那个椭圆 换个角 ! 度罢了 #! "! # % &#( ’! +! 例 中得出的 ! "! #! % &# ! +! ’! 也是椭圆的标准方程 它表示的椭圆的焦点在 轴上 其中 " # " ’#+#$( 例 求下列椭圆的焦点坐标 以及椭圆上任一点到两焦点距离的和 #! " ( "! "! #! !## %#!&#%!!!!!! !!# % &#% % % " !&#%"!%&#!&%( 解 椭圆方程具有标准形式 "! #! 其中 ! !## % &#( ’&!"+&#( ’! +! 因此 槡 槡 槡 两焦点坐标为 槡 槡 椭 )& ’!*+!& %’#& &( !* &"$#"!&"$#( 圆上任一点到两焦点的距离之和为 !’&%( 椭圆方程具有标准形式 "! #! 其中 槡 因 !!# % &#( ’& ""+&!( +! ’! 33 书书书 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 此 槡 槡 两焦点坐标为 椭圆上任一 !" #!$%!" "#$"%& !&"$%#"!&"%#& 点到两焦点的距离之和为 槡 !#"! "& 将方程两边同除以 化为 ’! )! 具有标准形式 ’! !’# $" ( "%" ( % $ %! ’ 槡 )! 其中 $ "%" #" "%"%& #! ’ 槡 槡 槡 因此 槡 两焦点坐标为 $ ’ ! ’# ! !" #!$%!" $%" & &"$ "&" ’ ’ ’ 槡 槡 椭圆上任一点到两焦点的距离之和为 ’# $ ’ & !#" & ’ ’ 例 求下列椭圆的方程 !! & 焦点坐标为 和 椭圆上任一点到两个焦点的 !%# !$’"&# !’"&#" 距离之和为 %&$ 焦点坐标为 和 且椭圆经过点 !!# !&"$!# !&"!#" !’"!#& 解 由于焦点在 轴上 故可设椭圆方程为 ’! )! ! !%# ’ " ( "% #! %! !#"%"&#& 由已知得 即 !"’"!#"%&" #"""%!"#!$!!""!$’!"%(" 故所求方程为 ’! )! ( "%& !" %( 由于焦点在 轴上 故可设椭圆方程为 ’! )! !!# ) " ( "%!#"%"&#& %! #! 又已知 椭圆经过点 因此 !"!" !’"!#" 槡 槡 !’#&#!(%!#!$!#&!( !’#&#!(!!#!#!"")’*+& 因此 !#"+"#"$"%!"#!$!!"%(#$*%!" 故所求方程为 ’! )! ( "%& %! %( 练 习 求下列椭圆的焦点坐标 %& & 34 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· !" "" !" "" !!" $ &!#! !"" $ &!#! !("#!"#""$#% # % # !’ 求满足下列条件的椭圆方程 "% % 两焦点坐标分别为 且 !!" &!’"$)"$&!"$)"$ "($’# ! " 两焦点坐标分别为 且过点 !"" &!)$’("$&!)$("$ !*$("% ! " !! "２+．!１+．"２!椭椭圆圆的的简简单单几几何何性性质质 实验 选取几组不同的 做如下实验 ! (")")$ % 描点画图或利用计算机画图软件画出如下方程的图象 !!" % !" "" !" "" # $!$!! # $!% (" )" )" (" 观察这些图象的如下性质 !"" % 范围 分布范围是否有限 如果有限 最左 最右 最高 最低 % & $ ’ ’ ’ 分别到什么位置 找出最左 最右 最高 最低的点 & ’ ’ ’ % 对称性 图象是不是中心对称图形 如果是 找出对称中心 是 % & $ % 不是轴对称图形 如果是 找出对称轴 & $ % 通过观察 你是否发现图象还有其他性质 如果有 试作出 !(" $ & $ 说明 % 想一想 能否根据方程解释你所观察到的现象 !%" $ % 下面通过椭圆的方程讨论它的一些简单而基本的性质 % !!!! 一、 范 围 如图 所示 我们来看图象上的点的横坐标 纵坐标的取值 " ’ $ ’ 范围 也就是方程 !" "" 的解 $ # $! !!$ (" )" 中的 值的取值范围 "" !$" % 将 当作已知数 从方程中解出 ! $ " 得 槡 ) ! "$* ("’!"% ( 图 要求出实数值 横坐标 满足的充分 " ’ "$ ! 35 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 必要条件是 即 因此 的取值 !!"#!!"! "#"#!!"!###!$ !# 范围为 ""!!!#$ 同理 将 当作已知数 从椭圆方程中解出 得 ! % ! # 槡 ! #&’ (!"%!$ ( 要求出实数值 纵坐标 满足的充分必要条件是 #! % (!"%!!"! 即 因此 的取值范围为 "(#%#($ !% ""(!(#$ 因此 椭圆上的点 都被限制在 ! $#!%% #$""!!!#!%$""(!(# 的范围内 这个范围是由四条直线 所 ! #&"!!#&!!%&"(!%&( 围成的一个矩形 椭圆就在这个矩形内 ! $ 让 取最小值 求出 因此椭圆最左边的点为 # "!! %&"$ $"!!"%$ 让 取最大值 求出 因此椭圆最右边的点为 # !! %&"$ $!!"%$ 让 取最小值 和最大值 都求得 由此得到椭圆最高点 % "( ( #&"$ 为 最低点为 $"!(%! $"!"(%$ 同理可知椭圆 #! %! 被限制在 且 的 ) &# #$""(!(# %$""!!!# (! !! 范围内 这个范围是由四条直线 围成 ! #&"(!#&(!%&"!!%&! 的矩形 这个椭圆最左 最右 最低 最高的点分别是 $ & & & $"(!"%!$(! "%!$"!"!%!$"!!%$ %%二%、%%对称性 对称中心 #$ $ 平面上任一点 关于原点的对称点是 $#!%% $"#!"%%$ 在椭圆的标准方程 #! %! 和 #! %! 中将 换成 ) &# ) &# $#!%% $"#! !! (! (! !! 椭圆方程不变 这说明了 "%%! ! ’ 点 在椭圆上 它关于原点的中心对称点 也在椭 $#!%% & $"#!"%% 圆上 $ 因此 这两个椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形 原点 ! ! 是它们的对称中心 $ 所说的两个方程都是以两个焦点的连线的中点为原点建立的直角 36 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 坐标系下的方程 对于平面上任意一个椭圆 它的两个焦点连成的线 ! ! 段中点是椭圆的对称中心 称为这个椭圆的中心 ! "!"#$"%#! 对称轴 &! ! 平面上任一点 关于 轴的对称点是 在椭圆 ""!## " ""!$##! 的标准方程中将 换成 方程不变 这说明椭圆是 ""!## ""!$##! ! 轴对称图形 轴是它的对称轴 !" ! 平面上任一点 关于 轴的对称点是 在椭圆 ""!## # "$"!##! 的标准方程中将 换成 方程不变 这说明 轴也 ""!## "$"!##! ! # 是它的对称轴 ! 椭圆的标准方程是以两焦点连成的线段的中点为原点 以两焦点 $ 连线为 轴或 轴得到的 因此 平面上任意一个椭圆都是轴对称 " # ! ! 图形 两焦点连线是它的对称轴 过椭圆中心 与两焦点连线垂直的 ! ! $ 直线也是它的对称轴 ! !!三 ! 、 !! 顶 点 椭圆的两条对称轴与椭圆相交 共有四个交点 都称为椭圆的顶 ! ! 点 比如 椭圆 "& #& 的四个顶点是 "’"%$"(#) ! & (* )"$%!+#!) "%! %& ’& * & 分别是这个椭圆最左 最右 最低 最 +#!*"+!$’#!*"+!’#! $ $ $ * & 高的点 ! 我们知道 经过椭圆 "& #& 的两个焦点的直线 是椭圆 我们知道 椭圆可 ! %& & ’& (* + * + & ! 以 ! 由圆沿某一 ! 方向 压 的一条对称轴 设它与椭圆相交得到的两个顶点是 这两个 " 扁 得到 经过这样的 ! ) * !) & ! # ! 顶点之间的线段 称为这个椭圆的长轴 它的长度 压缩之后 圆的每条半 ! ) * ) & ",-./%-(01#! 径变成连接椭圆中心与 等于 椭圆的中心 将长轴分成两条长度相等的线段 椭圆上的一点的线段 &%! , ,) !,)! * & ! 都叫作长半轴 长半轴的长度等于 其中最长的就是长半 ",-./%2-34-(01#! %! 轴 最短的就是短半 过椭圆的中心 并且与长轴垂直的直线是椭圆的另一条对称轴 ! 轴 圆的大小由半径决 ! ! ! 它与椭圆相交得到另外两个顶点 这两个顶点之间的线段 定 椭圆的形状和大小 * * !* & ! 由 ! 长半轴长 和短半轴 称为这个椭圆的短轴 它的长度等于 椭圆的中 " 长 决定 ** ",0#/%-(01#! &’! * & # ! 心将短轴分成两条长度相等的线段 都叫作短半轴 ,*!,*! ",0#/% * & 短半轴的长度等于 2-34-(01#! ’! 37 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· !!四!、!!离心率 回顾一下我们用细绳画椭圆的过程 若细绳的长度不变 改变焦 ! ! 点 的位置 椭圆的形状会发生什么变化 !!! ! " ! " 当 变小时 的值逐渐变小 这时由 知短轴长 " "!!" ! ! $"%#"&"" ! " # 逐渐增大 因此椭圆会越来越圆 反之椭圆会越来越扁 即 反 " "$ ! ! ! # 映了椭圆的扁平程度 我们把半焦距与长半轴长的比 叫作椭圆 " 焦距的一半称为半 ’ (% !! # 焦距 ! 的离心率 ##$$#%&’($(&)$’ 对于椭圆而言 因为 所以 ! ##"#*! *$($!’ 例 下列方程的图象是什么曲线 并请说出图象的分布范围 !! " ’ )" +" #!$ * %!% + , #"$+)"*,+"%!% #-$,)"*,+"%!’ 解 已知方程是椭圆的标准方程 因而图象是椭圆 并且 ! #!$ ! ! 图象中心在原点 长轴在 轴上且长为 短轴在 轴上且长为 ! ) .! + ,’ 图象在直线 所围成的矩形内 )%,-!+%," ’ 已知方程可化为 )" +" 因而图象是椭圆 并且 #"$ * %!! ! #!$" #!$" - " 图象中心在原点 长轴在 轴上且长为 短轴在 轴上且长为 " ! + !! ) ’ - 图象在直线 所围成的矩形内 ! ! )%, !+%, ’ - " 已知方程可化为 #!$" 是圆的标准方程 因而图 #-$ )"*+"% ! ! " 象是以原点为圆心 为半径的圆 ! & ’ " 图象在直线 所围成的正方形内 ! ! )%, !+%, ’ " " 例 过两点 作一个椭圆 使它的中心在 "! -#"!"$!-#&-!&!$ ! ! " 38 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 原点 焦点在 轴上 求椭圆的方程 以及椭圆的长半轴 短半轴的 ! ! " ! " 长度和离心率 " 解 椭圆方程具有标准形式 !! %! 将两已知点坐标代入得 ! $ ’"" #! &! # # $ ’"! ! #! &! $ " $ ’"" " #! &! 将 看作未知数 则这两个式子组成二元一次方程组 " " ! ! " #! &! 得 即 &! " & &! "(#%! ! ’&!! ’ ! #!’ " #! #! &! & 即 " " " " & ’ &! ’ ) ’ ) ’ ! &!’ " &! # #! # &! &! ’ 故椭圆方程为 & ’ !!$ %!’"" &! &! 槡 槡 长半轴长 &! #槡 短半轴长 &! #槡 #’ ’ (! &’ ’ ")" & & ’ ’ &! &! (# *!+!’#!)&!!,!+!’ ) ’ " & ’ "’ 槡 (# 槡 离心率 + "’ ") ,! -’ ’槡 ’ " # &! ’ & 我们知道 通过讨论直线与圆的方程所组成的方程组的解的情况 ! 就可以确定它们是相交 相切还是相离 即它们的公共点情况 这种 " ! " 研究方法 对讨论直线与椭圆的位置关系完全适用 ! " 例 对不同的实数值 讨论直线 与椭圆 !! !! .! %’!$. $%!’" # 的公共点的个数 " 分析 直线与椭圆的公共点的个数就是由它们的方程组成的方程 ! 组的解的个数 " #%’!$.! 解 由 ! ! " !! $%!’" " $# 39 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 消去 并整理得 ! !""##$"#$$"%$%&& ! 此方程的实数解的个数由它的判别式 决定 ! ! !’"#$#"%$’!"$$"%$#’()"!*$"#& 当 槡 槡时 方程 有两个不同的实数根 代入方 % !!$! ! !!"&! ! ! 程 可得到两个不同的公共点坐标 此时直线与椭圆有两个公共点 " & ! 它们相交 & 当 槡或 槡时 方程 有两个相等的实数根 $’% ! $’ ! !!’&! ! ! 想一想 算一算 代入方程 得到一个公共点坐标 此时直线与椭圆有一个公共点 从 !! ! ! 任意一条直线与椭圆的 " & & 图象上观察到它们在这一点相切 位置关系是否也是这样 & 三种不同的情况 ! 当 槡或 槡时 方程 没有实数根 此时直线 $!% ! $" ! !!!&! ! & 与椭圆没有公共点 & 练 习 指出下列各椭圆的中心 焦点坐标 顶点坐标 长半轴长 短半轴长和离心率 (& $ $ $ $ & "" !" "" !" "(# + %(%#########""# + %(% ) , (), ($$ "-#$""#,!"’(& 试判断直线 与椭圆 "" !" 的公共点的个数 并说明理由 "& !’$"#( + %( ! & $ - 习题 # ! 判断下列方程是否表示椭圆 若是 指出该椭圆的焦点坐标 (& & ! & "" !" "(#"""#!"’(% ""# + %$% " - 40 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· !" #" !!""!""!#"$## !$" % &’% " " 求下列椭圆的焦点坐标 离心率 并画出草图 "% $ % % !" #" #" !" !’" % &’# !"" % &’# $ ! ( ’# !!"$!""#"$’% 已知椭圆的中心在原点 对称轴为坐标轴 并满足下列条件 求它们的方程 !% % % % % 槡 !’"&$ "%’$’# !""&$!%($’# 焦点为 长轴长为 !!" )!*"%)"% *# ’ 焦点为 短半轴长为 !$" )!)%*!"% *# ’ 经过两点 ! !" !+" +’% %,!"%)"# " 长轴长等于 离心率等于 ! !#" ")% % + 已知直线 椭圆 !" 当 为何值时 与 没有交点 $% -&#$"!".% /& %#"$’% . %- / ’ $ 已知椭圆方程为 !" #" 的左 右焦点分别为 过左焦点 的直线 +% % &’ $ )%)% ) ’# ( ’ " ’ 交椭圆于 两点 求三角形 的周长 +%, % +,) % " 的周长为 两点的坐标分别为 求点 的 #%!+,/ ’*%+%, +!*$%)"%,!$%)"% / 轨迹方程 % 已知点 是直线 被椭圆 !" #" 所截得的线段的中点 求直线 的 ,% !$%"" - % &’ % - !# ( 方程 %"" 已知地球运行的轨道是椭圆 太阳在这个椭圆的一个焦点上 这个椭圆的长半 *% % % 轴长 离心率 求地球到太阳的最大和最小距离 &$’-+).’)*/0% 0$)-)’("% % 41 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 双曲线 ２． ２ 双曲线 !"!! !! ２． ２． １ 双曲线的定义与标准方程 !! !"!"#!双曲线的标准方程 我们知道 平面上到两个定点 的距离之和为定值 大于 ! !!! " # ! 的点的轨迹是椭圆 很自然地想到 平面上到两个定点 "!!"# " ! !! # ! # 的距离之差为定值的点的轨迹是什么曲线呢 ! $ ! 先通过实验将这样的曲线画出来 观察它们的形状 ! " 实验 任给两个定点 以及固定的长度 ! !!! ""!!"#!$# # ! # ! 设计适当的方法或装置画出到 和 的距离之差等于 !%#$" ! ! &"&# # ! 的点的轨迹 观察轨迹的形状 !%# " " 注意 我们希望点的轨迹是一条曲线 至少应有直线 之外 % ! !! # ! 的点 在 中有 其中 ’! $’!! "’!"("’!"%"!!"! "!!"#!$# # ! # ! # ! # ! 因此 即 $! !%%!$! %%$" 方法 描点作图 如图 先作满足条件 !! % ! %! "’!"("’!"# # ! 的点 的轨迹 !% ’ " 图 ! % 先在线段 上找出轨迹上的点 由 及 !! )! "!)"*")!"#!$ # ! # ! 可解出 由此可在 !$(!% "!)"(")!"#!% ")!"# #$(%! !! # ! ! ! # ! 上作出点 )" 以 为圆心 适当的长度 为半径画圆弧 再以 为圆 ! & +#$ ! ! ! # 心 为半径画圆弧 所谓 适当的长度 就是要使上述两 &!%*+ " ’ +(! 弧相交 也就是 即 设交点为 则 ! !%*+*+#!$! +#$(%" ’!’! # ! 42 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 都是轨迹上的点 !!! " ! " 选择不同的长度 作出轨迹上一系列点 依次连成光滑 #!$%&! " 曲线 即得轨迹的一部分的近似形状 ! " 以同样的方法可以画出满足条件 的点的轨迹 "!’"%"!’"("& " " ! 方法 如图 取一条拉链 拉开一部分 在拉链的一边上 !# " #! ! " 取定一点 设 是另一边上在拉链拉开之前与 重合的点 在 )! )* ) ! ! ! ! 所在那一边上取点 使 比 更接近拉链头 并且 )* ) ) ) ! "))*"( ! " " ! " ! 用大头针将 分别固定在画图纸上的点 处 将铅 "&! )!) ’!’ " ! " ! " 笔尖放在拉链张开处 点将拉链绷紧 则 ! ! "!’ "%"!’ "("&" ! " 随着拉链的拉开 铅笔尖画出的曲线就是所求轨迹的一部分 ! " 图 " # 同理可以画出满足条件 的点的轨迹 "!’"%"!’"("& " " ! 观察发现 以上画出来的曲线形状像是初中学过的反比例函数 ! 的图象 双曲线 , +( """ " - 平面上到两个定点 的距离之差的绝对值为大于 的定值 定值为 时的轨迹 ’!’ $ !! ! ! " 是线段 的垂直平 小于 的点的轨迹叫作双曲线 这两个定点 !! # "’’"$ #%&’()*+,-$" 分线 不"是#双曲线 ! " ! " 叫作双曲线的焦点 两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距 ’!’ ! " ! " 双曲线由两条曲线组成 其中一条是满足条件 % "!’"%"!’"( ! " 的点 的轨迹 另一条是满足条件 的点 的 "& ! ! "!’"%"!’"("& ! " ! 轨迹 两条曲线互不相连 其中每一条叫作双曲线的一支 双曲线由 " ! " 这两支共同组成 " 例 如图 所示 建立适当的坐标系 求双曲线的方程 "# " . ! ! " 解 以 的中点 为原点 的方向为 轴正方向建立直 %%$ # ’’ . &.’ - ! " " 43 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 图 ! " 角坐标系 则两个焦点的坐标分别是 ! !""#!$#!!"#!$#$ # ! 轨迹上的点 满足的充要条件是 %"&!’# !%!!"!%!!()!*$ # ! 即 槡 槡 """ "&+##!+’!" "&"##!+’!()!*! 槡 槡 """" "&+##!+’!( "&"##!+’!)!*$ 两边平方得 槡 "" "&+##!+’!( ""&"##!+’!)!*#!! 整理得 槡 " #&"*!()* "&"##!+’!$ 两边再平方得 "#!&!"!*!#&+*%(*!&!"!*!#&+*!#!+*!’!! 再整理得 " "#!"*!#&!"*!’!(*!"#!"*!#$ ! 这就是双曲线的方程 $ 例 中求出的方程 可以化为更简单的形式 # ! $ 由双曲线的定义知 !*(!!%!!"!%!!!#!!!!(!#!*##$ # ! # ! 故可令 槡 则方程 变为 ,(#!"*!! ! ,!&!"*!’!(*!,!$ 还可以进一步写成容易记忆的形式 $ &! ’! " (# " *! ,! 这称为双曲线的标准方程 其中 它表示的双曲线 ! *$$!,$$$ 的焦点在 轴上 坐标分别为 其中 槡 & ! ""#!$#!"#!$#! #( *!+,!! 而双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于 !*$ 类似于椭圆 我们也可以得出焦点在 轴上的双曲线方程为 ! ’ 44 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· !! $! # &" ! "! %! 这也称为双曲线的标准方程 其中 如图 ! "!#!%!#! ! "#’ 图 ! "# 例 已知双曲线的两个焦点坐标为 且双曲 !" "#$!##!"$!##! 线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于 求双曲线的方程 %’ ’ 解 由已知得双曲线的焦点在 轴上 坐标分别为 " $ ! "#$!##! 即 故双曲线方程具有标准形式 "$!##! (&$’ $! !! # &"’ "! %! 又 故所求双曲线的方程为 % "& &&!%!&(!#"!&$!#&!&’’ ! $! !! # &"’ ( ’ 例 已知双曲线的两个焦点坐标为 并且双曲线 "" "#$!##!"$!##! 经过点 求双曲线的方程 )"$!%#’ ’ 解 点 到两焦点 的距离之差为 " )"$!%# *"#$!##!*"$!## " ! 槡 #)*###)*#& $$)"#$#%!+"%)##!#%*"#)%*$’ " ! 即 !"&$!"&!’ 又 故 槡 槡 槡 (&$! %&(!#"!& $!#!!&! &’ 因为焦点在 轴上 所以双曲线的标准方程具有标准形式 $! !! $ ! # & "! %! 将 槡代入就得到所求双曲线方程为 "’ "&!!%&! & $! !! # &"’ $ "! 45 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 例 已知方程 !! $! !! # %%& "#" $#" 若方程表示双曲线 求 的取值范围 !%" # " $ 证明 中的双曲线有共同的焦点 !!" !%" & 解 要使方程表示双曲线 则 ! !%" # %"#""&# 或%"#"#&#成立 !!!! $ ! $ & &$#"#& &$#""& 解得 %""’"# 或%"#’"# !! $ ! $ &"#’$ &""’$& 即 因此 当 时 方程表示双曲线 ’$#"#’"& # ’$#"#’" # # 且原方程可写为 $! !! ’ %%& $#" ’"’" 由 可知 双曲线的焦点在 轴上 且 !!" !%" # $ # (!%$#"#!’"’ ""%%& 所以 方程表示的双曲线的焦点坐标为 显 # !&#%"#!&#’%"# 然与方程中的 无关 因此 中的双曲线都有共同的焦点 " # !%" & 练 习 求适合下列条件的双曲线的标准方程 %& % 两焦点坐标为 且 !%" !&#’$"#!&#$"# "%"$ 两焦点坐标为 且经过点 !!" !&#’("#!&#("# !!#’$"& 方程 !! $! 表示双曲线 求 的取值范围 !& ’ )% # ) & !#) )#% !! ! ２ * ． ! ２ * ． ! ２ ! 双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质 实验 任意选取 用描点作图法或计算机软件作出 ! ""&#*"&# 双曲线 !! $! 的图形 如图 所示 观察图形 研究它的如 ’ %% # ! %% & # "! *! 46 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 图 ! "" 下性质 ! 范围 曲线是否分布在一个有限的范围之内 或者在某一个 "! ! " 范围之外 " 对称性 曲线是不是中心对称图形 如果是 找出对称中心 !! ! " # ! 曲线是不是轴对称图形 如果是 找出对称轴 " # ! 你所观察到的其他性质 #! ! 比如 当曲线无限延伸时 双曲线的一支与抛物线有什么区别 # # ! 以下通过双曲线的标准方程 "! %! 来研究双曲线的一些简单 $ ’" #! &! 性质 ! !!!!! 一、 范 围 将 当作已知数 从方程中解出 " # 槡 &"!$#! %’( ! ! # 要求出实数值 则实数值 的取值范围是 即 %# " """### "$$$)# 双曲线的两支分别位于直线 左侧和直线 $#%%&##*)’! "’$# "’ 右侧 向左右两方无限延伸 # # ! 槡 将 当作已知数 从方程中解出 #%!*&! 的取值范围 % # "’( !% & 是全体实数 ! 由表达式 还可以更精细地描述双曲线分布的范围 双曲线上的 ! ! 点的坐标 满足条件 $"#%’ 47 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 槡 槡 #$!%&! #$! # !!!" " " !$!’ & & & 当 时 当 时 # # # # $#& !% $"!" $" $$%& !% $%!% $’ & & & & 因此 双曲线处于两条直线 所围成的包含 轴在内的那 # ! !"( $ $ & 两个区域中 并且在直线 所围成的区域外侧 如图 ! $"%&!$"& ! !""’ &&二 & 、 && 对称性 将 分别换成 和 #$!!$ #%$!%!$! #$!%!$ #%$!!$! 双曲线标准方程都不变 可见双曲线关于原点 轴 轴都是对称 ’ %$ %! 的 原点是它的对称中心 两条坐标轴都是它的对称轴 ! ! ’ 双曲线的对称中心称为它的中心 ’ &&三 & 、 && 顶 点 双曲线 $! !! 与它的对称轴 轴有两个交点 % "" $ ) #%&!#$! &! #! " 都称为双曲线的顶点 这两个顶点之间的线段 叫作 )#&!#$! ’ )) ! " ! 双曲线的实轴 长度为 实轴 被中心 分成两条长 #$%&’&()*$! !&’ )) * " ! 度相等的线段 它们的长度 称为双曲线的实半轴长 *) !*)! & ’ " ! 双曲线 $! !! 与它的另一条对称轴 轴没有交点 但我们仍 % "" ! ! &! #! 将这条对称轴上两点 之间的线段 称为双曲 +##!%#$!+##!#$ ++ " ! " ! 线的虚轴 它的长度等于 这个长度的一半 称为 #)+&,)-&$.&()*$! !#! # 虚半轴长 ’ &&&&& 四、 渐近线 我们已经知道双曲线处于两条相交直线 所围成的 包 # !"( $ % & 含 轴在内的两个区域中 从图象上看 双曲线的两支向两端无限 $ ’ ! 延伸 越来越接近于这两个区域的边界直线 我们通过方 # ! !"( $’ & 48 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 程来研究双曲线接近这两条直线的程度 ! 在双曲线方程 "! %! 中将 当作已知数 解出 $ ’" " ! #! &! 槡 (&"!$#! %’ ! # 我们先来研究双曲线中 的一支 先来考察这支曲线向右上 "!# ! 方接近于直线 的程度 为此 对同样的横坐标 计算出直 & %’ " ! ! "! # 槡 线 &" 与双曲线 &"!$#!上的点的纵坐标之差 %’ %’ # # 槡 槡 &" &"!$#! &""$ "!$#!# """"")’ $ ’ # # # &#! &# ’ 槡 ’ 槡 ! #""* "!$#!# "* "!$#! 随着 的无限增大 分母 槡 无限增大 分子 不变 因 " ! "* "!$#! ! &# ! 此 无限接近于 这说明双曲线在右上方无限接近于直线 & !) #! %’ "! # 槡 同理可知 当 无限增大时 双曲线 &"!$#!与直线 ! " ! %’$ %’ # 上具有相同横坐标 的点无限接近 双曲线向右下方无限接近 & $ " " ! # 于直线 & %’$ "! # 由于双曲线 "! %! 与直线 & 及 & 都是关于原点 $ ’" %’ " %’$ " #! &! # # 成中心对称的图形 由双曲线向右上方无限接近于直线 知道 & ! %’ " # 它向左下方也无限接近于这条直线 由双曲线向右下方无限接近于直 ! 线 知道它向左上方也无限接近于这条直线 & %’$ " ! # 双曲线 "! %! 在无限延伸的过程中无限接近于两条直线 $ ’" %’ #! &! 这两条直线称为双曲线的渐近线 & ( "! "$%&’()*)+#! # 过实轴的两个顶点 作平行于虚轴的直线 + "$#!##!+ "#!## " ! 49 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 过虚轴的两个顶点 作平行于实轴的 !"#$! %""!&’#!%""!’# ! # 直线 这四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在的直 ("#’! ) 线就是双曲线的两条渐近线 ’ ("# !) $ 在双曲线 !# (# 和它的渐近线方程 ’ 中 将 与 互 & "! ("# ! ! ! ( $# ’# $ 换 就得到双曲线 (# !# 的渐近线方程 ’ 即 $ ! & "! !"# (! ("# !) $# ’# $ ’ !!!! 五、 离心率 与椭圆类似 双曲线的半焦距与实半轴长的比 叫作双曲线 + ! *" $ 的离心率 因为 所以双曲线的离心率 + ) +"$""! *" "!) $ 例 求双曲线 的实半轴长 虚半轴长 焦点坐 !! $(#&%!#"&$ $ $ 标 渐近线方程和离心率 并画出曲线的草图 $ ! ) 解 将双曲线方程化成标准方程得 !# (# ! & "!) $ ! % 槡 因此实半轴长 虚半轴长 $ # $" " ! ’"!) % & 槡 槡 槡 槡 焦点坐标为 $ !& " !& # +" $#,’#" ,!" ! # !" ) % & & 从而 渐近线方程为 ’ & ! ("# !"# !) $ # 槡 !& 槡 离心率为 + & !& *" " " ) $ # # & 为画出双曲线的草图 在坐标系中画出渐近线 顶点 & ! ("# !! # 算出双曲线在第一象限内一点的坐标 比如取 算出 " # # # !" ) ! ("! & 槡 可见点 在双曲线上 将第一 四象限内 # # !" #"’%$! ""’%$!#!# ) $ & 50 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 已知的三点 依次连成光滑曲线并让它逐 !& # !!"#$"!%#" "! "!!"#$"%# ’ 步接近渐近线 就画出第一 四象限内双曲线的一支 由对称性可画 " $ " 出位于第二 三象限内的另一支 如图 $ " & %&" 图 & %& 例 已知双曲线的两焦点坐标 以及双曲线 !! #!!"!&#"#!!"&#" % & 上一点 的坐标 求双曲线的方程 顶点坐标和渐近线 $ !’"!&#" $ 方程 " 解 槡 !&%&"$#"!"$#"& !’(!#&’!!&(&#&!’)*(’)&" & % 即 又 %&%" (&&" 故 槡 槡 槡 )&(&!%&& &&!%&& ’" 双曲线的焦点在 轴上 方程具有标准形式 *& +& 且为 * " ! &%" %& )& +& *&! &%" ’ 槡 顶点坐标为 渐近线方程为 即 % ’ !!",%#" *&, +" *&, +" ) ’ 例 以下方程的图象是不是双曲线 如果是 求出它的焦点坐 "! % " 标 顶点坐标和渐近线方程 $ " !%#$+&!**&&!&!&!&#$+&!**&&%&!’#$+&!**&&!" 解 将方程 变形整理得 *& +& 这个 ! !%# $+&!**&&!&! ! &%" $ * 方程具有标准形式 *& +& 其中 槡 这是实轴在 轴上 ! &%" %&&")& *" * %& )& 的双曲线的标准方程 因此图象是双曲线 它的顶点坐标为 " " !!",&#" 51 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 半焦距 槡 槡 焦点坐标为 !" #!$%!" "#$"%! "&!&%#’ 渐近线方程是 ! 即 !槡 ("&槡)! ("& $)’ $ $ 槡 方程具有标准形式 )! (! 其中 ’ $ 故图象 "!# * "’! #" !%" ’ #! %! ! $ 是实轴在 轴上的双曲线 它的顶点坐标为 " ’ # ) ! & !& ’ ! 槡 半焦距 槡 ’ ’ %槡 焦点坐标为 " %槡 # !" #!$%!" $ " $! & $!& ’ " $ ’& ’& 渐近线方程为 % 即 !槡 ("& )! ("& $)’ # $ 一般地 对任意 将原方程左边分解因式得 槡 槡 因而图 !! ! "%# "!)$ $(#"!)* $(#"&! 方程 !!""!! 的图形 ! 是 "# 两 " 条 $ 象由两条直线 槡 和 槡 即 !槡 组成 不 " 直 "% 线 "&! 它 !)$ $("& !)* $("&! ("& $ $) ! !#’"%&!! 是双曲线 这两条直线也是本题 中的双曲线的共同的渐近线 们 是 双 曲 线 !"#" $ ’ "’#$"!# ’ 的渐 在初中学习反比例函数时就知道它的图象是双曲线 只不过这个 ""%"&("(#!# 近线 ’ ) 双曲线是 斜着 摆放的 我们将它重新摆放使其实轴在 轴上 中 % & ’ ) ! 心在原点 求标准方程 ! ’ 例 反比例函数 的图象是双曲线 两条坐标轴是它的渐 ’ !! (" ! ) 近线 求它的实半轴长和半焦距 以它的中心为原点 实轴所在的直 ’ ’ ! 线为 轴重新建立直角坐标系 求双曲线在这个坐标系中的方程 ) ! ’ 解 如图 所示 图象的对称轴是直线 对称轴与 ! ! ’%"(# ! (")’ 双曲线 的交点坐标满足条件 可解得 因此两交 ’ ’ (" )" ! )"&’’ ) ) 点坐标分别为 这就是双曲线的两个顶点 "’!’#!"*’!*’#! +!+ ’ ! 的坐标 两顶点的距离 ’ 槡 槡 "++"" ’’)"*’#(!$’’)"*’#(!"! !! ’ ! 因此 实半轴长 ’ 槡 ! #" "++"" !’ ! ’ ! 图象的两条渐近线的夹角为直角 渐近线与实轴之间的夹角为 ! 因此 ! ! " 52 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· ! ! 槡 #!"# #%!!!!#"# &! " $ 槡 槡 $# "&%!&# &’&#&& 半焦距 $#&& 所求方程具有双曲线的标准方程 ’& )& 的形式 将 槡 ( #% ! "#!# & "& !& 代入得 ’& )& 如图 ( #%& & %(")#& & & 图 & %( 类似于直线与椭圆的位置关系的讨论 下面我们来研究直线与双 ! 曲线的位置关系 & 例 讨论直线 与双曲线 的公共点的个数 !! )#’%! ’&()&#% & 分析 直线与双曲线的公共点的个数就是由它们的方程组成的方 ! 程组的解的个数 & 解 由 #)#’%!! ! " $’&()&#% 消去 得 ) ’&("’%!#&#%! 整理得 &!’%!&%%*+& "%# 如果 则方程 变为 无解 此时直线与双曲线无公 !#+! "%# %*+! & 共点 事实上 此时直线为 就是双曲线的渐近线 当然与双 & ! )#’! ! 曲线无公共点 & 现在设 也就是直线平行于两条渐近线中的一条 因而方 !&+! ! 程 成为一元一次方程 有唯一解 原方程组有唯一一组解 此时 "%# ! ! & 53 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 直线与双曲线有一个公共点 ! 例 讨论直线 与双曲线 的公共点的个数 !! "#$ "!%&!#" ! 解 由 #"#$! ! " $"!%&!#" 消去 并整理得 " &!#$!%"! "%# 当 即 时 方程 无实数根 此时直线与 $!%"&# $"&$&" ! "%# ! 双曲线无公共点 ! 当 即 或 时 方程 有两个不同的实数 $!%"’# $&%" $’" ! "%# 根 此时直线与双曲线相交 有两个公共点 ! ! ! 当 即 或 时 方程 有两个相等的实数 $!%"%# $#%" $#" ! "%# 根 此时直线与双曲线有唯一的公共点 或 这个公共点 ! "%"!## ""!##! 就是双曲线的一个顶点 直线与双曲线相切于这个顶点 ! ! 例 讨论直线 与双曲线 的公共点的个数 "! &#%!"’( "!%&!#" ! 解 将 代入 并整理得 ! &#%!"’( "!%&!#" %&"!’’("%(!%"%#! ! 判别式 !#’(!%"!! 当 即 时 方程 有两个不同的实数根 此时直线与 !’# (!’& ! ! ! 双曲线相交 有两个公共点 ! ! 当 即 时 方程 无解 此时直线与双曲线无公共点 !&# (!&& ! ! ! ! 当 即 时 方程 有两个相等的实数根 此时直线与 !## (!#& ! ! ! 双曲线有一个公共点 即直线与双曲线相切 ! ! 综上可知 对于一般的双曲线 "! &! 与直线作同样的讨论 ! % #" ! )! (! 可以发现它与直线的位置关系有如下 种情况 ( $ 直线是双曲线的渐近线 与双曲线无公共点 如图 ""# ! ! ! "’")#! 直线不是双曲线的渐近线 并且与双曲线无公共点 如图 "!# ! ! ! "’"*#! 直线平行于双曲线的一条渐近线 与双曲线有一个公共点 "&# ! ! 如图 ! "’"+#! 54 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 直线与双曲线相切于一个公共点 如图 !!" # " #!!$"! 直线与双曲线相交于两个公共点 如图 !%" # " #!!&"! 图 直线与双曲线的 种位置关系 " #!! % 练 习 指出下列双曲线的实轴长 虚半轴长 焦点坐标 渐近线方程和离心率 #! $ $ $ ! "" #" #" "" !#" ( *#%!!!!!!!!!! !"" ( *#% ’ #) ’ #) !+"""$#"%#% ! !!"!""$’#"%#! 求适合下列条件的双曲线的标准方程 并画出草图 "! # ! !#"&%!#’%+% 槡 经过点 !""&%" %# (!$%#""! 讨论直线 与双曲线 的公共点的个数 +! #%)"*# ""$#"%# ! 55 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 习题 ! ! 求适合下列条件的双曲线的标准方程及其离心率 !! ! 焦点在 轴上 且过点 !!" " ##$"# %!&##$"$ !$"’$!$#($#$ 经过两点 槡 槡 !%" %!&&#&" $"#)!&#&%"! 已知 若 则动点 的轨迹是 $! *!&##’"#+!##’"! ",*"&",+"$#!##’"# , !!!" 双曲线的左支 双曲线的右支 !(" !!!!!!!!!!!)" 以 为端点的射线 线段 !*" + !+" *+ 求适合下列条件的双曲线的标准方程 %! % 焦点在 轴上 焦距为 渐近线斜率为 ! !!" - # ,# . $ % 经过点 且一条渐近线的倾斜角为 ! !$" !%#&$"# $ " 焦点在 轴上 过点 槡 且 与两焦点连线互相垂直 !%" " # ,!- $#&%"# /!’##" $ 离心率 槡 且经过点 !-" 0$ $# ,!&##%"$ 以椭圆 "$ -$ 的长轴的端点为焦点 且过椭圆焦点 !#" . /! # ! $’ !" 过 的直线 与双曲线 -$ 有且仅有一个公共点 求直线 的方程 -! ,!’#!" 1 "$& /! # 1 ! % 过双曲线的焦点 的直线与该双曲线的同一支相交于 两点 且 #! 2 %#) # ! 另一焦点为 则 的周长为 "%)"$3# 2 $ # $%)2 $ !!!" !("-’!!!!!!!!!!!!!! !)"-’&3 !*"-’4$3!! ! !+"-’&$3 56 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 若双曲线 "" %" 和椭圆 "" %" 有共同的焦 !! $ ’# !#!$"&!$# ) ’# !(!*!$# # & ( * 点 且 是两条曲线的一个交点 则 + # "+ " " , " ",+ #"$",+ ""’ !### 槡 槡 !%#("$#" # !&# ($# # !’# !($## # !(#($# " 已知双曲线 "" %" 的两个焦点分别为 点 在双曲线上 且 )! * + #! ,# + # "+ " " , " ,+ #$ 求点 至 轴的距离 ,+" , " ! " 过点 作直线与双曲线 相交于两点 且 为线段 -! -!!"## ""$.%"’#! ."/" - ./ 中点 求这条直线的方程 " ! 我海军三艘巡洋舰在海上巡逻 舰在 舰的正东 处 舰在 舰的北 *! "- . !/0 "/ . 偏西 相距 处 某时刻 舰仪器显示信号 一敌舰 侵犯我领海 1$2 ./0 ! - " , ".3 后 两舰同时显示这种信号 舰准备开炮 设信号传播速度为 "."/ "- " #/0%3" 且 舰与敌舰 均为静止的 若不计空气阻力与舰高 求 舰发射炮弹的方位角 - , " " - ! 抛物线 ２． ３ 抛物线 "41# ## ## " ２ 4 ． 1 ３ 4 ． # １ #抛抛物物线线的的标定准义方与程标准方程 初中学过的二次函数的图象称为抛物线 在重力作用下的平抛物 ! 体或斜抛物体 比如运动场上推出的铅球 投出的篮球 水池里喷出 ! & & 的水柱 它们运动的轨道都是抛物线的一部分 #" ! 怎样通过几何性质来刻画抛物线 ’ 实验 任给一个定点 和一条直线 设计适当的方法或装置画 # + 0! 出到 和 距离相等的点的轨迹并观察轨迹的形状 + 0 ! 方法 描点作图 如图 所示 作 与 垂直相交于 !# ( " #5!6# " +1 0 作 的中点 则 在所说轨迹上 在 上任取一点 过 1! +1 2" 2 ! 0 3" 3 作 的垂线 与线段 的垂直平分线交于一点 则 在所说轨迹 0 " +3 ," , 上 在 上 的两侧各取一些点作为 按上述方法作出轨迹上一系 ! 0 1 3" 列的点 依次连接成光滑曲线 就得到了轨迹的大致形状 ," " ! 57 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 图 ! "# 方法 设计装置如图 将一根直尺沿着直线 固定不 !! ! "#!$"# ! 动 在一个三角板的一条直角边上取定点 设三角板的直角顶点为 " #$ 取一条细线使它的长度正好等于 的长度 将这条细线的一端 $" #$ " 固定在三角板上的点 处 另一端用大头针固定在点 处 将三角 # $ % " 板的另一条直角边紧靠直尺的边缘 与 重合 用铅笔靠着细线将它 $ ! " 绷紧 使铅笔贴在三角板上 之间 让三角板沿着直尺滑动 则铅 $ #$ " $ 笔尖所在的点 就能画出所说的轨迹的一段 & " 观察画出的轨迹的形状 发现它们好像是初中学过的二次函数的 $ 图象 抛物线 为了验证所得的轨迹形状是否与二次函数的图象相 %%% " 同 我们在适当的直角坐标系下写出轨迹的方程 $ " 例 已知定点 定直线 且 动点 到 与 的距离相 "! %$ ! %"!" & % ! 等 在适当的直角坐标系中求动点 的轨迹的方程 " &!’$(" " 解 如图 过点 作直线 的垂线交 于点 设 ! ! "%$ % ! ! )" *+ 图 ! "% 58 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 取 的中点 以 为原点 以 的方向为 轴的正方 ##" !!"!# !" $# $ ! $! % 向 建立直角坐标系 ! # 槡 点 到点 "( # 的距离 " (#! &"%!’# ! !" )* %+ ,’!# ! # ! 点 到直线 的距离 ( &"%!’# - ) * %, # ! ! 槡 " (#! ( $$$$)*) % %+ ,’!* %, # ! ! ! " (#! " (#! % %+ ,’!* %, ! ! (! (! %%!+(%, ,’!*%!,(%, $ $ %’!*!(%# 因此 所求轨迹的方程为 ! ’!*!(%# 如果以 为原点 的方向为 轴正方向建立直角坐标系 则 ##" $ $$! ’ ! 可得轨迹方程为 即 这是以 为自变量 为因 # %!*!(’! ’* %!! % $’ !( 变量的二次函数 在初中数学中就知道它的图象是抛物线 而 ! # ’!* 的图象是将 开口向上 的抛物线 绕顶点沿顺时针方 # !(% % & ’* %! !( 向旋转 得到的 %"& # 平面上到一定点 和定直线 距离相等的点的轨迹叫作抛 ! -"!&-# 物线 定点 叫作抛物线的焦点 定直线 叫作抛物线的 "’()(*+,(#! ! ! - 准线 "-.)/01).2## 对任一 焦点为 准线为 的抛物线方程为 "( # ( (’"! ! !" ! %*+ ! ! ’!*!(% 这称为抛物线的标准方程 # 如果按其他方式建立坐标系 就得出抛物线的其他形式的方程 ! # 如果建立的坐标系满足条件 原点是焦点到准线的垂线段的中点 一 ’ ! 条坐标轴指向焦点从而垂直于准线 所得的抛物线的方程就称为标准 ! 方程 这样的标准方程及其图象有如下四种情况 其中 # ! (’"# 59 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 图 形 焦点坐标 准线方程 标准方程 !! "! # ! !" "#$ %!#!!" ! ! " ! # ! $ !" "# %!#$!!" ! ! " !# ! "! %#$ "!#!!% ! ! " !# ! "!$ %# "!#$!!% ! ! 例 求如下抛物线的焦点坐标和准线方程 !! !! $ 其中 "##%!#$"%!!!!!!!! "!#%#&"!! &""’ 解 方程具有标准形式 其中 从而 ! "## %!#!!"! !!#$! !#!’ 因此焦点坐标为 准线方程为 即 "! # ! !" #"#!"#! "#$ ! "#$#’ ! ! 方程可化为 具有标准形式 其中 # # "!# "!# %! "!#!!%! !# ’ & !& 因此焦点坐标为 准线方程为 即 " !# " ## ! # "! # "! ! %#$ ! %#$ ’ ! $& ! $& 60 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 练 习 求下列各抛物线的焦点坐标和准线方程 并画出草图 !! ! ! ! ! "!#""#!#$$! ""#"#!#$"$! "$#""#% $$! "%#"#% $"! % % 求适合下列条件的抛物线的标准方程 "! ! 焦点为 准线方程为 "!# &"%"!&#$!!!! ""# "#%"! !! "２’．$３’．"２!抛抛物物线线的的简简单单几几何何性性质质 实验 选取 的值作出抛物线 ! ’"& 的图象 如图 所示 观 ""#"’$ ! " !( ! 察图象研究它的几何性质 建议研究 ! 如下性质 % 范围 抛物线伸展的范围是有 !! % 限还是无限 在上 下 左 右四个方 & ’ ’ ’ 向上都有限还是都无限 如果在某个方向 & 上有限 找出在这个方向上最远的点 图 ! ! " !( 对称性 是不是中心对称图形 如果是 找出对称中心 是 "! % & ! ! 不是轴对称图形 如果是 找出对称轴 & ! ! 你所能想到的其他性质 $! ! 下面我们通过抛物线的方程研究它的几何性质 ! !!!!! 一、 范 围 在 中将 在方程 中将 当作已知数 求出 槡 由于 !! !!"!#$ ! ""#"’$ $ ! "#( "’$! ’" 当作已知数解出 $" 因此 的取值范围为 这就是说 抛物线在 轴的右侧 向 可以看出 的取 &! $ $#&! ! " ! " !!! ! !# 右无限延伸 当 的值无限增大时 槡 也无限增大 图象 值范围为全体实数 这 ! $ !$"$# "’$ ! ! 也说明图象向上和向下 向上和向下都无限延伸 无限延伸 ! % 61 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 取最小值 时 图象最左边的点是原点 ! ! !"#!$ "!!!#$ !!二 ! 、 !! 对称性 点 关于 轴的对称点是 在方程 中将 换 "!!"# ! "!!%"#$ ""#"&! " 成 得到的 与原方程 相同 这说明 这条抛 %"! "%"#"#"&! ""#"&! $ $ 物线关于 轴对称 轴是它的对称轴 ! !! $ 每一条抛物线有唯一一条对称轴 称为抛物线的轴 ! "#$%&#$ !!三 ! 、 !! 顶 点 抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线的顶点 $ 比如 抛物线 的顶点是原点 ! ""#"&! "!!!#$ !!!!! 四、 离心率 抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比 叫作抛物线 ! 的离心率 用 表示 由定义可知 ! ’ $ !’#’$ 例 一条抛物线关于 轴对称 顶点在原点 并且经过点 !! ! ! ! 求该抛物线方程 "’!"#$ $ 解 由已知可设这条抛物线的标准方程为 将已知点 ! ""#"&!$ 的坐标 代入方程得 因此 故所 "’!"# !#’!"#" ""#"&(’! &#"$ 求方程为 ""#(!$ 例 已知抛物线的焦点坐标为 一条斜率为 的直线 "! "’!!#! ’ ) 经过抛物线的焦点 且与抛物线相交于 两点 求线段 的长 *! +!, ! +, $ 分析 我们考虑运用数形结合的方法来解决此题 先画图 如图 此题也可由抛物线 ! $ ! !! 的焦点坐标和直线 的 所示 设 由抛 ! " ’) $ +"!!"#!,"!!"#$ 斜率求出直线 的方 ’ ’ " " 物线的定义可知 等于点 到准线的距离 ! 程 再与抛物线的方程 !"+*" + ! 联立求出 两点的 设 而 于是 "!# "++-"$ "++-"#. ! . #!/’! "+*" 坐标 然后利用两点间 + + ’ ! 同理 的距离公式可以求出 #. #!/’$ !",*"#",,-"#. #!/ + ’ , " 于是得 这种方法虽 " 然 " 思 # 路 " 简 $ 单 但是需要 ’! "+,"#"+*"/",*"#! ’ /! " /"$ 由此可见 只要求出点 的横坐标之和 ! 进行复杂的代数运算 ! +!, $ 就可以求出 图 自己可以试一试 " ’) $ ! /!! "+,"$ ’ " 62 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 解 由题意可知 则 所以抛物线方程为 准 ! ! ""! !"!! #!"#$! ! 线 如图 设 点 到准 %&"$"’"( ! "$! )#$!#$!*#$!#$! )!* " " ! ! 线的距离分别为 则由抛物线的定义可知 + !+ ! ) * "),""+ "$-"!"*,""+ "$-"( ) " * ! 于是 ")*"""),"-"*,""$-$-!( " ! 又已知抛物线的焦点为 所以直线 的方程为 ,#"!%$! )* #"$’"( ! 将 代入方程 得 ! #!"#$! 一元二次方程 #$’"$!"#$! !! !"!# 的根与 化简得 $"#%&"!!""" $!’&$-"’%( 系数的关系为 由一元二次方程根与系数的关系可得 !!$-$"&! $ " ! "#"&’ # 于是 # ! ! ")*""$-$-!’$( " ! % 所以 线段 的长是 " # " ! & ! ( ! )* $( 例 抛物线形拱桥如图 所示 当拱顶离水面 时 !! ! "( ( !)*+ ! 水面宽 如果水面上升 水面宽多少 精确到 #)*+( %)*+! # %)%"+$% 解 以拱桥顶为原点 以向上的方 ! ! 向为 轴正方向 为单位长 建立 # !"+ ! 直角坐标系 则现在水面与拱桥在第四 ! 象限内的交点 的坐标 为 ) #$!#$ " " " #!)!*!’!)*$( 图 抛物线方程具有标准形式 ! "( $!" 由 得 ’!!#( $!"’!!# " " $! !)!*! !!"’ ""’ "!)%!*( # ’!)* " 水面上升 之后 水面与拱桥在第四象限内的交点 %)*+ ! ) #$! ! ! 的纵坐标为 代入抛物线方程得 #$ #"’!( ! ! 槡 槡 $" ’!!#" ’!)%!*,#’!$#!)%"( ! ! 故水面宽为 !)%",!’#)%!#+$( 63 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 下面我们来讨论直线与抛物线的位置关系 ! 例 讨论直线 与抛物线 的公共 !! "#$%&’!$"!" %"#"("!(#!" 点的个数 ! 解 由 %"#$%&’# ! $ &%"#"(" 消去 并整理得 " %")"($%)"(’#!! !’" 这是关于 的一元二次方程 判别式 % # !#!)"($"")#!)"(’"##(!($"&"’"! 当 即 ($"时 方程 有两个实数解 方程组有两组 !#! ’#) # !’" # " 实数解 此时直线与抛物线相交 有两个公共点 ! # ! 当 即 ($"时 方程 有一个实数解 方程组有一组 !#! ’#) # !’" # " 实数解 此时直线与抛物线有一个公共点 观察图象可知 直线与抛 ! ! # 物线在这个公共点的切线的方向一致 此时称直线与抛物线在这个公 # 共点相切 这个公共点称为它们的切点 # ! 当 即 ($"时 方程 无实数解 方程组无实数解 !(! ’() # !’" # ! " 此时直线与抛物线相离 无公共点 # ! 例 讨论直线 与抛物线 的公共点的个数 "! %#* %"#"(" ! 解 将方程组 %%#*# ! $ &%"#"(" 消去 得 % *"#"("! 虽然此时直线与抛 这是关于 的一元一次方程 在任何情况下都有唯一解 *" !! " # "# # 物线只有一个公共点 "( ! 但从图象观察可知 直 ! 故直线与抛物线有唯一的公共点 ! *"" 线与抛物线在这一点的 *# ! "( 切线方向并不相同 它 一般地 直线与抛物线的位置关系有如下四种可能 ! 们在这一点相交而不相 # $ 相离 无公共点 如图 切 ! !$" # # " "!!%"! 相交于两点 如图 !"" # " "!!&"! 相切于一点 如图 !’" # " "!!("! 相交于一点 直线平行于抛物线的轴 如图 !#" # # " "!!)"! 64 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 图 ! !" 圆锥截线 设直线 相交于点 夹角为锐角 其中直线 绕直线 旋 !!" #! !$ " ! 转一周形成圆锥面 则 是圆锥面的顶点 是圆锥面的轴 圆锥面 $ # !! ! 上过点 的任意一条直线都是圆锥面的母线 # $ 用一个不经过 点的平面 去截这个圆锥面 随着平面与轴所成 # " ! 角 的不同 截线的形状也随之变化 # ! $ 如图 所示 ! !# $ 平面与轴垂直 截线是圆 ! #$#% ! ! $ ! 截线是椭圆 ! !$!!#! ! $ ! 截线是抛物线 $$#%!! $ 截线是双曲线 %$"!#!!! $ 圆 椭圆 抛物线 双曲线都可以 " " " 由平面截圆锥面得到 统称为圆锥曲线 ! 图 ! !# !&’()&*+&,)’("$ 65 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 练 习 指出下列抛物线的顶点坐标 对称轴 焦点坐标 准线方程 !! ! ! ! ! ! "!#""##$$! ""#$"#$""$! "$#"#%"%$"$! "%#$#% ""! !& 过点 作直线 与抛物线 只有一个公共点 这样的直线有 "! &""%%# ’ ""##$ ! 条 ! 过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 两点 若 $! ""#%$ ("$ ! %"! #%)"$ " %"" # % 则 $ ! *$ " #&% "()"# ! 习题 ! ! 指出下列各抛物线的焦点坐标和准线方程 并画出草图 !! % ! "!#""#$$!! ""#$"#%"$!! "$#""#+$"+#’#! 抛物线 的准线方程为 则 "! ""#+$ $#%!! +# "!!# "(#)"!!!!! "*#)%!!!! "+#"!!!!! ",#% 抛物线 上的点到其焦点距离最近的点的坐标为 $! ""#%$ "!!# "(#"’%’# ! "*#"!%!# ! "+#"!%’# ! ",#")!%’# 抛物线 与直线 交于两点 其中点 的坐标为 %! ""#",$ +$*"%%-’ (%)! ( 该抛物线的焦点为 求 的值 "!%"#% -% "-("*"-)" ! 求过定点 且与抛物线 只有一个公共点的直线的方程 .! ."’%!# ""#"$ ! 过抛物线 焦点的直线交抛物线于 两点 已知 为坐 &! ""#%$ (%) % "()"##%/ 66 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 标原点 的重心的横坐标为 直线 的倾斜角为 !!!"# """"! "# """"$ 设抛物线 上一点 到直线 的距离为 则点 到抛物线焦点 !$ %"&#’ ( ’)"$% &! ( * 的距离为 """"$ 当 为何值时 直线 与抛物线 有两个公共点 ’$ + ! %&+’)+," %"&#’ " 为抛物线 上一动点 是焦点 是定点 求 ($- %"&#’ !* !(#)!*$ $ #-(#)#-*# 的最小值 $ 圆锥曲线的应用 ２． ４ 圆锥曲线的应用 "+#" "" 圆 椭圆 抛物线 双曲线统称为圆锥曲线 它们都可以由平面 "" % % % $ 去截圆锥面得到 $ 圆锥曲线在自然界广泛存在 在生活 生产和科学技术中有广泛 ! % 的应用 下面是一些初步的例子 $ $ """一"、 "斜抛物体的轨迹 运动场上推出的铅球 投掷的手榴弹 投出的篮球 都是斜抛物 % % ! 体 它们的运动轨迹近似地都是抛物线 喷水池里喷出的水柱中的每 ! $ 一部分水也可以看作斜抛物体 水柱的形状也接近于抛物线 ! $ 例 将物体向斜上方抛出 抛出时的速度大小为 方向与水平 这是数学建模 借 !" ! . % ! ! 助 ! 于适当的数学模 ! 型来 方向的夹角为 假如只考虑重力 不计空气阻力 试说明斜抛物体的运 描述物体的运动 !$ ! ! ! 动轨迹是抛物线的一部分 并求这条抛物线的焦点与准线之间的距离 ! $ 解 斜抛物体的运动可以分解为水平方向的运动和竖直方向的运 " 不从物体抛出时开 动 水平方向没有受力 运动为匀速运动 速度大小为 设 !! 始计算时间和坐标 而 $ ! ! . % ,-.!$ ! 轨道最高点为 则物体在点 处只有水平方向的速度 而没 以物体到达最高点时的 !! ! . % ,-.! 时刻为 位置为原 有竖直方向的速度 在运动轨迹所在的平面内建立直角坐标系 以 !! 点 这样可以简化运 $ ! * ! 为单位长度 以 为原点 使 轴在沿水平且其方向指向物体在 算 得出的方程也最简 ! / ! ! ! ’ 单 要注意 物体从抛 点 前进的方向 轴的正方向竖直向上 如图 所示 ! ! 出直到最高点这一段的 ! !% ! " "" $ 物体在 轴方向上的运动是匀速运动 速度为 以物体 时刻 都是负的 ’ ! . % ,-.!$ " ! 在点 的时刻为 则经过 之后的 坐标为 允 ! %! /. ’ ’&#. % ,-.!$/$# 67 书书书 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 许 取负值 表示物体到达最高点 ! ! " 之前的情况 #" 物体在 轴方向上有重力加速 加速度大小为 $ !! !" 表示方 度 到达最高点 时 也就是 ! 向 "# 向 $ 下 !%&" 当 "! 为负值时 %&# " # # $ 时 的速度为 时刻 时的 算出的 值就是物体到 !’" " "# ! $ % 达最高点之前的 坐 标 % 坐标为 $’% # &!!# # ! 图 因此 在时刻 时物体的位置坐 ! !! ! ! 标 # # " #(!$"’) " !$%&!!% &!! # ! 由 解出 代入 坐标表达式得 ( (’) " !$%&! !’ ! $ ) " $%&! # # ( "! $’% & ! ! ) " $%&! 即 !)!$%&!! (!’% " $! & 为什么命名为 抛 具有抛物线的标准方程 的形式 其中 )!$%&!! !! ! (!’%!*$ ! *’ " # 物线 就是因为它是 & "# 抛出的物体所走的 这说明了斜抛物体的运动轨迹是抛物线 这个抛物线的焦点与准 ! ! 路线 "!!! 线之间的距离 )!$%&!! *’ " # & !!!!! 二、 天体运动的轨道 天文学家开普勒根据前人观测行星运动的大量数据总结出行星运 动的三大定律 其中第一定律是 # $ 太阳系中的行星运动的轨道是椭圆 太阳位于椭圆的一个焦点处 ! # 牛顿根据开普勒定律得出了万有引力定律 这个定律指出 宇宙 # $ 间任何两个物体之间都有吸引力 称为万有引力 万有引力的大小与 ! # 两个物体的质量的乘积成正比 与它们之间的距离的平方成反比 ! # 按照万有引力定律可以推出 绕太阳运动的天体 它的运动轨道 ! ! 是圆锥曲线 当天体运动的动能小于某一个值时 运动轨道是椭圆 # ! % 等于这个值时 轨道是抛物线 大于这个值时 轨道是双曲线的一 ! % ! 支 当轨道是抛物线或双曲线时 天体就不是太阳系中的行星 它将 # ! ! 68 书书书 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 一去不复返 ! 例 某颗彗星的轨道是一个椭圆 太阳位于椭圆的一个焦点 !! ! 处 如图 所示 彗星离太阳的最近距离是 天文单位 最 ! ! !" ! #$%&’ ! 远距离是 天文单位 天文单位是太阳与地球之间的平均距 ($(’" "# 离 约为 是度量太空中的距离的一种单位 求椭圆 ! #$()*#)&+,! #! 轨道的长半轴和短半轴之长各是多少个天文单位 ! 解 如图 设椭圆的焦点为 ! ! !"! "!"! # ! 焦距为 太阳位于焦点 处 !#! " ! # 彗星位置 到两焦点的距离之和 图 $ "$" # "% ! !" 等于一个固定值 要使 最大 必 "$" ! " !&! "$" #" ! 须距离之差 最大 但 仅 "$""’"$"" ! "$""’"$""#""""(!#! # ! # ! # ! 当 成一条直线且 在 和 之间时 达到 "!"!$ " " $ !"$""’"$"" # ! ! # # ! 最大值 达到最大值 而仅当 达到最大值 !&%!# !#!"$"" (&%#! "$"" # ! ! 时 达到最小值 可见 &%# !"$"" &’#! # %&%#(($(’"! $ &&’#(#$%&’! 解之得 ($(’"-#$%&’ !&( ("$(!%(!#(($(’"."$(!%(/!$)"&(! ! 因此 槡 槡 !!)( &!’#!( "$(!%(!’!$)"&(!’!$&0(!! 椭圆的长半轴长 天文单位 短半轴长 天文单位 "$(!%( ! !$&0(! ! !!三 ! 、 !! 光 ! 学性质及其应用 探照灯的反射面由抛物线的一部分绕轴旋转而成 光源安置在抛物 ! 线的焦点处 这样可以使发出的光线经过镜面的反射之后平行射出 ! ! 电影放映机需要将尽可能强的光线照在电影胶片上 放映机的聚 ! 光灯的反射镜由椭圆的一部分绕长轴旋转而成 光源安置在椭圆的一 ! 个焦点处 正在放映的电影胶片位于另一个焦点处 光源发出的光线经 ! ! 过镜面的反射之后全部聚于另一个焦点处 以最强的光线照亮电影胶片 ! ! 如果反射面由双曲线的一支绕轴旋转而成 光源安置于焦点处 ! ! 69 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 发出的光线经反射之后发散射出 就好像是从反射镜后面另一个焦点 ! 的位置射出的那样 ! 例 探照灯反射镜由抛物线的一 !! 部分绕轴旋转而成 光源位于抛物线 ! 的焦点处 这样可以保证发出的光线 ! 经过反射之后平行射出 如图 ! ! !"! 已知灯口圆的直径为 灯的深度 图 #$%&! ! !" 为 "$%&! 将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点 光源应 "’# ! 安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方 $ 为了使反射的光更亮 增大反射镜的面积 将灯口圆的直径 "!# ! ! 增大到 并且保持光源与顶点的距离不变 求灯的深度 ##%&! ! ! 解 在反射镜的轴截面上建立 ! "’# 直角坐标系 以抛物线的顶点 也是反射 ! " 镜的顶点 为原点 以旋转轴为 轴并且 # ! " 使抛物线开口方向是 轴的正方向 以 " ! 为单位长 如图 所示 则抛物 ’%& ! ! !( ! 线的方程具有标准形式 灯口圆 #!$!%"! 与轴截面在第一象限内的交点 的坐标 & 为 代入抛物线方程得 图 ""$!)$#! ! !( !!!)$!$!%’"$! 解之得 焦点坐标为 故光源所在位置与 "( "% # ""( # %$ ! !$ $ !$ ! " ! * 顶点的距离为 "( $(+#!("%&#! * 光源应安置在旋转轴上离顶点 处 (+#!(%& ! 坐标系仍如 焦点与顶点的距离 不变 因此抛物线方 % "!# "’#! ! ! 程 不变 为 灯口圆与轴截面在第一象限的交点的 "( #!$!%" ! #!$ "! ! 纵坐标变为 将 代入抛物线方程求横坐标 得 ## $))"%&#! #$)) "! ! 70 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· #$ !!"#" !!"! "!"! !#%&#"’(#$ " #$ 故灯的深度为 #%&#’($ 练 习 双曲线形自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面 如图 )$ ! 所示 它的最小半径为 上口半径为 下口半径为 高为 " "* ! )"(! )!(! "$(! 请选择适当的坐标系求此双曲线的方程 $$($ $ 图 图 " "* " "+ 某隧道横截面由抛物线及矩形的三边组成 尺寸如图 所示 某大车空车 "$ ! " "+ $ 时能通过隧道 现载一集装箱 箱宽 车与箱共高 试判断此车能 ! ! !(! #&$(! 否通过此隧道 并说明理由 ! $ 习题 ! ! 某农场为节水推行喷灌技术 喷头装在管柱 的顶端 处 喷出的水流在各 )$ ! %& & ! 个方向上呈抛物线状 如图 所示 现要求水流最高点 离地面 点 ! " "% $ ’ $(! 到管柱 所在直线的距离为 且水流落在地面上以 为圆心 以 ’ %& #(! % ! ,( 为半径的圆上 求管柱 的高度 ! %& $ 71 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 图 ! !" 设有一颗彗星 围绕地球沿一抛物线轨道运行 地球恰好位于这条抛物线的焦 !! ! ! 点处 当此彗星离地球为 万千米时 经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的 ! " ! 夹角为 求这颗彗星与地球的最短距离 #$%! ! 一种卫星接收天线的轴截面如图 所示 卫星波束呈近似平行状态射入轴 #! ! !& ! 截面为抛物线的接收天线 经反射聚集到焦点处 已知接收天线的口径 直 ! ! " 径 为 深度为 # ’(")! $(*)! 试建立适当的坐标系 求抛物线的标准方程和焦点坐标 "+# ! ! 为了增强卫星波束的接收 拟将接收天线的口径增大为 求此时卫 "!# ! *(!)! 星波束反射聚集点的坐标 ! 图 ! !& 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔 它的跨度为 拱顶呈抛物线形 ’! ! !$)! ! 拱顶距水面 桥墩高出水面 现有一货轮欲通过此孔 该货轮水下宽 ,)! ’)- ! 度不超过 目前吃水线上部分中央船体高 宽 若不考虑水下深 +")- *)! +,)- 度 该货轮在此状况下能否通过桥孔 请说明理由 ! ! - 有一条光线沿直线 射到抛物线 上的一点 经抛物线反射后 反 *! #$’ #!$’% &! ! 射光线与抛物线的另一个交点是 是抛物线的顶点 是抛物线的焦点 ’!( !) ! 求弦 的斜率和 的面积 &’ !(&) *! 72 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 数学实验 !!!! 圆锥曲线的光学性质 实验 圆锥曲线的光学性质 !! ! 实验目的 将圆锥曲线绕轴旋转得到的曲面作为反射镜面 研 ! ! 究从焦点发出的光线经过反射之后发出的光束的性质 ! 实验内容和方法 任选 画出抛物线 标出它 ! ""!! #"$""%! 的焦点 !" "的位置 它的对称轴是 轴 & !! ! % ! " 从焦点 向抛物线上任意一点 作入射光线 根据光的反 & ’ &’! 射定律按照如下几何作图法作出反射光线 如图 ’( " " #!#! 过点 作抛物线的切线 过 作 ’ )! ’ 则 是抛物线在点 处的 ’*#)! ’* ’ 法线 从 作射线 与入射光线 ! ’ ’( &’ 分别位于法线 的两侧 且 ’* ! $&’*$ 则 是反射光线 $*’(! ’( ! 从 向抛物线上不同的点作入射 & 实际作图的时候可 光线和反射光线 观察所有的反射光线 !! ! 能有误差 得到的结果 图 ! 的相互位置关系 你发现了什么规律 " #! 只能是近似的 为了减 ! $ ! 小误差 作图时力求 试对椭圆和双曲线做同样的实验 你发现了什么规律 ! ! $ 精确 ! 实验 探照灯的反射镜面 "! ! 实验目的 寻找一种平面曲线 将它绕某条轴旋转所成的曲面 ! ! 作为探照灯的反射镜面 可以将轴上适当的位置 安置的光源发 ! & 出的光线经反射后平行射出 ! 实验内容和方法 在平面上建立直角坐标系 以 轴为镜面 ! ! % 的旋转轴 原点 为所求曲线的出发点 取 在 轴上取 ! + ! ,"!! % 作为光源的位置 &",!!# ! 73 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 我们的目的是寻找从 出发 处于第一象限内的一条曲线 ! ! ! 使得从 点发出的光线经过曲线反射之后沿 轴的正方向射出 " # $ 如图 首先让光线从 射到点 经反射之后沿 轴的 ! "#! " !! # 正半轴 射出 为此 曲线在点 的法线方向应当沿 轴 切线 !# $ ! ! # ! 方向应当垂直于法线方向 沿 轴向上 取定一个很小的长度 作 ! % $ & 为曲线每一步前进的距离 称为步长 从 出发沿 轴正方向画 ! $ ! % 一条长度等于 的有向线段 作为镜面曲线的第一段 & !’ ! $ # 连接 作为入射光线 过 "’ ! ’ # # 作射线 平行于 轴向右作为反 ’( # # # 射光 线 作 的 角 平 分 线 $ !"’( # # 根据光的反射定律 应 ’) $ !’) # # # # 是镜面曲线的法线方向 从 出发向 $ ’ # 右上方作长度等于步长 的有向线段 & 图 作为镜面曲线的第二段 ! "# ’’"’)! $ # ! # # 照此方法可以一段一段地作出折线 作为镜面曲线 !’’’ " # ! " 的近似形状 假如已经前进了 步作出了折线的 $ * !’’’ "’! # ! " * 则下一步作图应当如下进行 # 连接 作 平行于 轴向右 作 的角平分 "’! ’( # ! !"’( * * * * * 线 作为镜面曲线的法线 从 出发向右上方作长度等于 ’) ! ’ & * * * 的有向线段 作为镜面曲线的下一段 ’’ "’) ! $ * *+# * * 照此方法进行下去 画出的折线越来越长 直到经过若干步之 ! ! 后你认为长度已经足够 就停止作图 ! $ 可以先用手工作图 观察所得到的折线 的大致 ! !’’’ "’ # ! " , 形状 猜测它接近于什么曲线 ! $ 但是 手工作图时 不可能取得很小 不能很大 这样作出 ! & !, ! 来的折线 离准确的镜面曲线误差太大 因此 最好利用计算机 ! $ ! 作图 $ 预先取很小的 作为步长 取怎样的 恰当 需要走多 &#$ $ $ & ! 少步才停止 需要通过实验结果来检验 利用解析几何知识依次 ! $% 算出 的坐标 然后让计算机将这些点依次连 ’!’!’!"!’ $ # ! " , 74 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 接成光滑曲线 作为镜面曲线的近似形状 ! ! 我们得出的实验结果如图 通过观察 猜测它是什么曲线 ! "!! ! ! 曲线好像是抛物线 ! 为了验证它是否为抛物线 ! 可以作一条抛物线与它比较 为 ! 此 只需以 为顶点 轴为对 ! " "# 称轴 作一条抛物线 在 ! $!%!&# 第一象限内的部分 并适当选择 ! 使这条抛物线经过实验曲线 &!# 的终点 观察所作的抛物线与 ’! ( 图 实验得到的镜面曲线是否吻合 ! "! ! 如果有兴趣 你可以将实验 中对镜面曲线的要求按如下方案 ! ! 之一修改 # 在 轴的正半轴上取两点 使 $$% # ) $*!#%!)$*!#% #"*" $ $ ! ! $ 要求从 发出的光线经镜面反射之后会聚到 *! ) )! ! $ ! 在 轴的正半轴和负半轴上各取一点 $!% # ) $*!#%!)$+*! $ $ ! ! 使 要求从 发出的光线经过反射之后看起来是 #% *!#!%*! ) $ ! $ 从 射出的 ) ! ! 然后利用实验 所说方法 分别找出满足上述要求的镜面曲 ! ! 线 观察并猜测曲线的形状 画图验证你的猜测 ! ! ! 75 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 曲线与方程 !２"．#５!曲线与方程 !! 解析几何与欧氏几何的区别在于 它是用代数方法研究几何图 !! ! 形 解决有关几何图形的问题 其基本思路是先将几何图形及其性质 ! ! 用代数语言来描述 利用代数运算的方法加以解决 再将所得的结果 ! ! 翻译回几何语言 ! 反过来 对一些代数问题 也可以用几何模型加以解释 用几何 ! ! ! 方法加以解决 ! 前面我们已经用解析几何的方法研究了直线 圆锥曲线等简单的 " 平面曲线 回顾一下 我们研究的基本方法是 ! ! # 在平面上建立适当的直角坐标系 用 表示曲线上任意一 ! $"!#% 点的坐标 ! 由于曲线通常可以看成是满足一定条件的点的轨迹 即曲线上任 $ 意一点都满足此条件 而所有满足此条件的点都在曲线上 所以下 ! %! 面要做的就是把曲线上的点满足的几何条件转换成该点的坐标 $"! 满足的代数等式 也就得到了曲线的方程 #% ! ! 一般地 在平面直角坐标系中 如果某曲线 看作满足某种条 ! ! $ $ 件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程 的实数解 % %$"!#%&$ 建立了如下关系 # 点在曲线上 点的坐标满足方程 " ! 即 # 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 !%" # 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 !!" ! 此时 方程叫曲线的方程 曲线叫方程的曲线 ! ! ! 例 已知两定点 动点 使直线 !! ’$(&!$%!)$&!$%! * *’!*) 的斜率的乘积为 ! 证明点 的轨迹方程是 "! ’#! ( ! * + &%$##$%! ’ %( ’! 证明 设 是曲线上任意一点 则 ! *$"!#%$##$% ! $ $ $ # # , & $ !, & $ ! *’ "+& *) "(& $ $ 76 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 根据题设 有 ! ! # ! ! " ! %$ ! "#" "$" $ ! ! 化简得 "# $!# !# !%%& %& $# 所以 是方程 "# $!# 的一个解 #"!!$ # %% & ! ! %& $# 另一方面 设 是方程 "# $!# 的解 ! ’#"!!$#!!!$ # %% ! ! ! ! %& $# 那么 "# $!# !# !%%& %& $# 即 # !#% #%&’"#$& ! $ ! 所以 # #%&’"#$ ! ! !# $ ! # ( "( % ! " ! % ! % %$ & ’) ’* "#" "$" "#$%& "#$%& $ ! ! ! ! 即 与点 所确定直线的斜率积为 所以点 是这 # ’#"!!$ )!* $ ! ’ ! ! $ 条曲线上的点 & 由上可知 符合给定条件的点 的曲线方程是 ! ’ "# $!# # %%#!!!$& %& $# 回顾求椭圆 双曲线 抛物线的标准方程的过程可以看出 求曲 % % ! 线的方程 一般有下面几个步骤 ! & 一般情况下 如果 !! ! 化简前后方程的解集是 相同的 第五步可以省 ! 略不写 如有特殊情 ! 况 可适当予以说明 ! ! 另外 根据情况 第二 ! ! 步也可以省略 即根据 ! 条件直接列出曲线方 程 ! 77 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 例 在边长为 的正 内有一动点 已知 !! !! ""#$ %! #%"#!& 求点 的轨迹方程 #%##!’#%$#!! % ( 分析 在建立平面直角坐标系时 一般应当充分利用已知条件中 ! ! 的定点 定直线等 这样可使问题中的几何特征得到更好的表示 从 " ! ! 而使曲线方程的形式简单一些 ( 解 以 的中点为坐标原点 所在直 ! #$ !#$ 线为 轴建立平面直角坐标系 如图 这 ) # ! ""$! 时点 的坐标分别为 #!$!" #*!!#$!#!!#$! 槡 设点 的坐标为 ##!"!$( % #)!+$( 在不考虑点 在 内的情况下 它的 % ""#$ ! 图 轨迹就是集合 ! "" ,&%%##%"#!&#%##!’#%$#!&( 所以 槡 )!’#+* "!$!&#)’!$!’+!’#)*!$!’+!! 化简得 槡 )!’+!’! "!+*!!&#( 注意到点 在三角形内 所以 % ! +$#( 因此所求点 的轨迹方程是 % 槡 )!’+!’! "!+*!!&##+$#$( 圆锥曲线的统一定义 前面我们已经分别给出了椭圆 双曲线 抛物线三者的定义 那 ! ! " 么我们能否给这三种圆锥曲线下一个统一的定义呢 # 下面我们先来研究抛物线 ( 抛物线是到一定点 和定直线 距离相等的点的轨迹 - .$-%.% ( 建立直角坐标系使 的坐标为#/ $ 的方程为 / 则 - "# ". )&* ( ! ! 78 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 点 在抛物线上 等于 到 的距离 几何描述 !!""## !"!$" ! % ! # 槡 ! ’"! ’ 代数等式 ! "& (#!) "( ! # ! ! 方程 !#!)!’" ! #* 显然 抛物线的定义还可以改写为 抛物线是到一定点 和到 " $ $ 定直线 的距离之比为 的点的轨迹 % +)" * 这一改写 使人不禁想到 对于一般的比值 动点的轨迹将是 " $ +" 怎样的曲线呢 让我们试一试 % * 例 任意给定常数 定点 和定直线 动点 !# +!+$##& $ %!$%%#* 到 的距离 与 到 的距离 之比等于 选择适当的直角坐 ! $ , ! % , +* " ! 标系 求点 的轨迹的方程 " ! * 解 设点 到 的距离为 # $ % ’$#* 不妨以 为原点建立直角坐标系 使 $ " " 轴垂直于 如图 则 的方程 %! ! $%#" % 为 ")&’* 槡 ,)"!$") "!(#!",)""(’"* " ! 图 ! $% 点 满足条件 则 即 , ! ")+" ,)+," , " ! ! 槡 "!(#!)+""(’"* ! 两边平方 并整理得 " !"&+!#"!(#!&!’+!"&+!’!)#* " 这就是点 的轨迹的方程 ! * 我们得出了轨迹的方程 但是并不知道它是什么曲线的 "" 方程 *## 当 时 方程 为 可写为 +)" " " #!&!’"&’!)#" 在研究三角函数的 !! 图象时 将 的 #!)!’ ! "( ’" * # ! !"!"## ! 图象往右平移 个单 ! 将它的图象向右移动 将原来每个点 移动到新的位置 $ ’ ! " !!""## 位 ! 就 得 到 ! " " !#的图象 这 其中 则移动后图象上所有的点 的 !"##$ % !-!"-"#-#" "-)"( ’ "#-)#" !- 里也是采 $ 取同样的方 ! 坐标 满足的方程为 法 !"-"#-# #-!)!’"-* $ % 79 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 这是抛物线的标准方程 ! 这说明 经过平移 当 时方程 恰好变为我们熟悉的抛物线 ! ! "#! ! 的标准方程 那么当 或 时 方程 的图象又是什么曲线 ! "!"!! ""! ! ! " 我们可以取 为一些符合条件的特殊值 代入方程 得到一些 " ! !! 方程 然后分别把它们的图象画出来 ! ! 经过观察这些图象 我们可以得 ! 出如下结论 当 时画出的图 # "!"!! 象可能是椭圆 当 时可能是双曲 ! ""! 线 椭圆和双曲线的焦点都在原点 ! ! 也就是定点 椭圆的长轴和双曲线 $! 的实轴都在 轴上 如图 % $ # $%%! 图 # $% 为了验证这一结论 我们先看看 ! 下面的例题 或许能对我们有所启发 ! ! 例 在椭圆 %# (# 中 已知点 的横坐标 求点 到焦 !# ’ #! ! * %! * &# )# 点 的距离 并将所得的结果化简 $ $+,!"% -! ! ! 解 设点 的坐标为 则 # * $%!(%! 槡 -#$*$$# $%’,%#’(#! " ! 由 %# (# 得 )# 代入 得 ’ #! (##)#+ %#! " &# )# &# 槡 )# ####-# %#’#,%’,#’)#+ %# &# 槡 &#+)# # %#’#,%’$,#’)#%! ! &# 将 及 代入 得 &#+)##,# )#’,##&# ! 槡 槡 !,%"# !,% "# , &# -# ’#,%’&## ’& # %’ ! & & & , 即 - , # ! # &# & %’ , 观察发现 例 最后得到的表达式 中的 &# 就是点 ! # ! %’ *$%!(% , 80 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 到直线 $!的距离 如图 !"# ! ! "#& % 不妨用 表示点 到焦点的距离 ’ ( ! $ 表示点 到直线的距离 这个表达式 ’ ( ! ! 的比值为一常数 使人自然想到了例 ! ! $ 图 中的 即 % ! "# )" )" #& $ 因此 这个表达式的几何意义是 ! $ 椭圆 !! +! 上的每一点到焦点 的距离与它到直线 $! * ,! "$ - $ !#%"%# !! 学习解析几何 ! 既 要善于将几何性质用代 $!的距离之比等于常数 % 离心率 !"# ! )#& 数表达式来描述 又要 % $ ! 善于理解代数表达式的 由于 上面所得到的比值 % 是小于 的正实数 是 几何意义 真正做到 $!%!%! )" $ &% ! $ 代数几何熔一炉 " #! 椭圆的焦点偏离中心的距离 离心率 反映了椭圆的焦点偏离中心的 ! ) 程度 & 既然椭圆 !! +! 上任一点到焦点 和直线 $! * "$ -"#%!%# !"# $! ,! $ % 的距离之比等于固定值 离心率 很自然要问 % " )#! $ $ 如果动点 到点 与直线 $!的距离之比等于常数 ( - "#%!%# !"# 已经知道这个椭圆 $ % !! 上的点都在这个轨迹 % 离心率 那么点 的轨迹是什么 是否就是椭圆 !! +! 上 但是否还有别的点 " )#! ( % * "$% ! $ $! ,! 在这个轨迹上呢 因 ! 例 设 动点 到定点 和定直线 此 仍然需要研究 !" $!%!%& ("!!+# -"#%!%# !" " ! $!的距离之比等于 % 离心率 求点 的轨迹的方程 # " )#& ( & % $ 解 点 到 的距离 槡 " ( - ’"#(-#" "!*%#!*+!& $ $ $ 点 到直线 $!的距离 $! ( !"# ’ " !* & % ! % 因此 ’ % 槡 % $! !"""" $" "$" "!*%#!*+!" !* ’ $ $ % ! !% "! " $ "!*%#!*+!" !*$ $ ! %!" " $ $& !!*+!"$!#%! $! 81 书书书 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· !! ! " #!$%!&!! "! #! %! ! " $ &"’ "! !! 所以 所求的方程为 #! %! 轨迹是椭圆 ! $ &"! ’ "! !! 对任何一个椭圆 都可以适当选择坐标系使它的方程具有标准形 ! 式 #! %! 按照例 所得的结果 可以将这个椭圆看成到一个定 $ &"’ ! ! "! !! 点和一条定直线的距离之比等于一个定值 的点的轨迹 ) (& #"#!"# ’ " 这个定点就是椭圆的一个焦点 这条定直线 "!称为 *"+)!##! #&+ " ) 椭圆的准线 ’ 将平面上所有的点 绕原点旋转 变到它关于原点 "#!%# "$#%! 的对称点 则椭圆 #! %! 仍是它自身 它的焦点 "+#!+%#! $ &" ! "! !! 变到另一个焦点 准线 "!变到直线 *"+)!## *")!##! #&+ #& " ! ) "! 因此 这个椭圆也是到定点 与到定直线 "!的距离之比等 ’ ! * #& ) ! ) 于 ) 的点的轨迹 也就是说 直线 "!是这个椭圆的另一条准线 ’ ! #& ’ " ) 例 任给正实数 点 直线 且 设动点 到 !! ($"! *! ,! *%,’ - * 的距离与 到 的距离之比等于常数 动点 的轨迹是什么 - , (’ - $ 分析 只要能找到适当的 使 并建立适当的直角 ) ! "&)&# (& ! " 坐标系 使点 的坐标为 的方程为 "! 则由例 知 ! * "+)!##!, #&+ ! & ) 道轨迹在此坐标系下的方程是椭圆的标准方程 轨迹是椭圆 ! ’ 解 椭圆 #! %! 的焦点 与准线 "!之间的 ! $ &" * "+)!## #&+ "! !! " ) 距离 "! "!+)! "!+(!"! "’(! .& +)& & & "! ) ) (" ( 82 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 其中 # !" % $ 设点 到直线 的距离等于 & ’ (!!% 取 !( 则 "#!$ 取 则 # $" ! (" $% #"!$! !" % "#!$ ! $ 过 作 的垂线 交 于 延长 到 使 如 & ’ &) ’ )% )& * "&*""#! 图 $ %&% 图 $ %& 则 ####")*""")&"+"&*" "#!$ " $ $$ "(+#" $+!$" $" "$" % ! ! # # 以 为原点 的方向为 轴正方向建立直角坐标系 则 的 %%$ * #)* , ! & 坐标为 的方程为 $$ 根据例 的结果 到 的距离 $-#!!%!’ ,"- % % ! & # 与到 的距离之比等于 的点的轨迹就是椭圆 ,$ .$ 其中 ’ ! + ""! /" $$ /$ 槡 $$-#$% 仿照例 例 例 的方法对双曲线进行研究 可以发现 $! %! ’ ! & 对任给的常数 点 和直线 到 的距离与到 的 !!"! & ’$&&’%! & ’ 距离等于 的点的轨迹是双曲线 是双曲线的一个焦点 称为双 ! %& !’ 曲线的一条准线 是双曲线的离心率 !! % 双曲线 ,$ .$ 的离心率 # 相应于它的两个焦点 - "" !" ! &$-#! $$ /$ $ " 各有一条准线 $$和 $$ !%!&$#!!%! ,"- ," % $ # # 由以上关于椭圆 双曲线的结果以及抛物线的定义 可以总结出 # ! 关于圆锥曲线的如下一般结论 & 任意给定常数 点 和直线 设动点 到 的 !!!!!"# & ’!&&’"! 0 & 83 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 如果允许椭圆的两 距离和到 的距离之比等于 则 的轨迹是圆锥曲线 其中 是这 !! ! "! # $ % 个焦点重合为一点 使 ! 条圆锥曲线的焦点 称为它的准线 则椭圆变成圆 !! $ !"!! ! 焦点是它的圆心 因此 当 时 的轨迹是椭圆 当 时是抛物线 当 时是 # "!! # ! "&! ! ""! 规定圆的离心率 双曲线 ! $" $ % 但是圆没有准线 这可以看作圆锥曲线的统一的定义 这样定义出来的轨迹包括除 "!# # $ 在科学研究和应用 了圆之外的所有的圆锥曲线 中常常将圆看成椭圆的 $ 特殊情况 但在中学教 根据圆锥曲线的上述统一定义 我们知道本节例 中的轨迹是圆 # ! ! 材中将椭圆与圆看成不 锥曲线 例 中得出的方程 可以看 同的曲线 ! ! !!""#"’#()#*#+"#’*"#+#&$# # 作是除了圆以外的圆锥曲线的统一方程 $ 当 或 时曲线分别是抛物线 椭圆 双曲线 "&!#$!"!! ""! $ $ $ 但例 中得出的方程不是它们的标准方程 ! $ 当 时 我们已经将曲线适当平行移动使得移动后的曲线经 "&! # 过原点 方程不含常数项 成为抛物线的标准方程 有兴趣的同学可以 # # $ !! 自己试一试 当 时 可以将这个方程的图象适当移动位置 使摆放在新 ! "#! # # 的位置的曲线方程不含一次项 曲线关于原点对称 方程成为椭圆或 # # 双曲线的标准方程 $ 练 习 证明与两条坐标轴的距离的积是常数 的点的轨迹方程是 !$ ,","$# ’)&-,$ 已知一条直线 和它上方的一个点 点 到 的距离是 一条曲线也在 的 #$ ! %! % ! #$ ! 上方 它上面的每一点到 的距离减去到 的距离的差都是 建立适当的坐 ! % ! #$ 标系 求这条曲线的方程 ! $ 习题 $ ! 设 两点的坐标分别是 证明线段 的垂直平分线 !$ .!/ ."*!!*!#!/"%!&#! ./ 84 书书书 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 的方程是 !"!#$"#$% 已知两定点 动点 使直线 的斜率的乘积为 !% &!$&"$#"&!&"$#" ’ ’& "’& $ % ! % ! ’ 证明点 的轨迹方程是 !! #! " ’ * #%!#!$#% ( )& %& 长为 是正常数 的线段 的两端点 分别在互相垂直的两条直线上滑 )% !(!( # &) &") 动 求线段 中点 的轨迹 " &) * % 求平面内到两个定点 的距离之比等于 的动点 的轨迹方程 ’% &") ! * % 已知点 到两条互相垂直的直线的距离的积是常数 求点 的轨迹方程 +% * +!+"$#" * % 已知 是两个定点 且 动点 到点 的距离是 线段 的垂 &% &") " #&)#,!" * & ’" *) 直平分线 交 于点 当点 移动时 求点 的轨迹方程 - &* ’% * " ’ % 设椭圆 !! 的两个焦点是 和 且椭圆 "% .$ "#!,%!("$# /!$0"$# /!0"$#!0"$#" (! % ! 与圆 有公共点 . !!"#!,0! % 求 的取值范围 !%# ( % 若椭圆上的点到焦点的最短距离为槡 槡 求椭圆的方程 !!# ), !" % 对 中的椭圆 直线 与 交于不同的两点 若 !)# !!# ." -$#,+!"1!+!$# . *"2" 线段 的垂直平分线恒过点 求实数 的取值范围 *2 &!$"$%#" 1 % 85 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 数学文化 !!! 圆锥曲线小史 圆锥曲线小史 平面在圆锥面上截得的不同曲线称为圆锥曲线 当平面与圆锥 ! 面的轴线垂直时 截得的曲线是一个圆 当平面与圆锥面的轴线不 ! " 垂直时 随着夹角逐渐变小 截得的曲线分别是一个椭圆 一条抛 ! ! ! 物线 或者双曲线的一支 ! ! 在平面直角坐标系中 圆锥曲线又称为二次曲线 ! ! 圆锥曲线的研究具有悠久的历史 圆锥曲线的性质在实际中具 ! 有广泛的应用 ! 早在公元前 年 柏拉图学派的梅内克缪斯 !"# ! #$%&’%()*+,$ 为了解决三等分角问题和倍立方问题 首先系统地研究了圆锥曲 ! 线 欧几里得 阿基米德 都写了圆锥曲 ! #-+(./0$% #12()/*%0%,$ 线方面的著作 阿基米德证明了 由抛物线与它的弦围成的图形 ! ! ! 它的面积等于弦与弦两端的切线所构成的三角形面积的 因对 3&!! 圆锥曲线性质的研究而闻名于世的首推古希腊著名的几何学家 天 % 文学家阿波罗尼奥斯 约前 前 他是欧几 #144..5&/+,! 363’ 78#$! 里得的学生 在亚历山大学派中与欧几里得 阿基米德齐名的三大 ! % 学者之一 他首先证明了三种圆锥曲线都可以通过用一个平面与圆 ! 锥面相截而得到 而且知道了圆锥曲线的光学性质 他所写的 圆 ! ! ( 锥曲线论 是一本全面 系统 具有独创性的古希腊几何杰作 在 ) % % ! 此后一千多年的时间内 后人 至少在几何上 几乎不能再为它增 ! # $ 添什么新的内容 ! 世纪中叶 笛卡儿 发明了解析几何学 利用 79 ! #:%,(’2;%,$ ! 坐标法对圆锥曲线重新进行了研究 发现二次曲线在建立适当的坐 ! 标系后 一般总能归结为椭圆 抛物线和双曲线的标准方程 因 ! % ! 86 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 此 圆锥曲线又称为二次曲线 ! ! 圆锥曲线的理论具有广泛的应用 除了应用圆锥曲线的光学性 ! 质之外 天体运行的轨道遵循圆锥曲线的规律 开普勒 ! ! "!"#$"%! 在长期天文观察的基础上 发现了行星沿椭圆轨道运 &’(&#&)*+$ ! 动 并提出了著名的行星运动三定律 牛顿 ! ! ","-./0!&)1*# 对开普勒的成就加以发展 发现了万有引力定律 利用数学 &(2($ ! ! 严格地计算出 当初始速度为 时 物体的轨道是一个圆 % (3456&7 ! ’ 当初始速度超过 但小于 时 物体的轨道是 (3456&7! &&3256&7 ! 一个椭圆 而当初始速度大于 时 物体将沿着抛物线的 ’ &&3256&7 ! 轨道远离地球永不回头 ! 87 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· !!! 小结与复习 一 指导思想 ! !! 学习本章的目的 不仅是为了掌握圆锥曲线的定义和性质 还 ! ! 要更进一步学习如何用代数方法 坐标方法 研究几何问题 同时 " # ! 要学习如何利用运动的观点思考问题 如何利用数学研究运动变化 ! 着的现实世界 ! 二 内容提要 ! !! 这一章的主要内容包括椭圆 双曲线 抛物线的定义 标准方 $ $ $ 程 简单几何性质 以及它们在实际中的一些应用 $ ! ! 三种曲线的标准方程 各取其中一种 图形 性质如下表 !! " #$ $ % 椭 圆 双曲线 抛物线 ! 与两个定点的距 与两个定点的距 离的差的绝对值 离的和等于常数 与一个定点和一条 几何条件 等于常数 但小 但大于两定点 " 定直线的距离相等 " 于两定点之间的 之间的距离 # 距离 # "" %" "" %" 标准方程 $ ’! ( ’! %"’")" #" &" #" &" ")"## "#"&"## "#"#!&"## 图 形 ! 顶点坐标 "*#!##! "*#!## "#!## "#!*&# 88 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 续表 !! 椭 圆 双曲线 抛物线 ! 轴 长轴长 轴 实轴长 对称轴 ! ! !""! ! !"" 轴 轴 短轴长 轴 虚轴长 ! # ! !$ # ! !$ 焦点坐标 #%&!"$ #%&!"$ #* $ 槡 槡 !" &’ "!($! &’ "!)$! ! 离心率 & & ""+"#!+’ +##!+’ +’# " " 准线方程 "! "! * !’% !’% !’( & & ! 渐近线方程 $ #’% ! " 圆 椭圆 双曲线 抛物线统称圆锥曲线 它们的统一性 !!!, % % % ! 如下 & 从方程的形式看 在直角坐标系中 这几种曲线的方程都 ##$ & ! 是二元二次的 所以它们属于二次曲线 在科学研究和应用 ! , ! 中 ! 常常将圆看成椭圆的 从点的集合 或轨迹 的观点看 除了圆以外 它们都是 #!$ ! " # $ 特殊情况 但在中学教 ! 与定点和定直线距离的比是常数 的点的集合 或轨迹 这个定 材中将椭圆与圆看成不 + ! "$ 同的曲线 点是它们的焦点 定直线是它们的准线 只是由于离心率 取值范 ! $ , + 围的不同 而分为椭圆 双曲线和抛物线三种曲线 $ % , 从几何学的观点来看 它们都是由平面截圆锥面得到的截 #$$ & 线 见本章章头图 # $, 在宇宙间运动的天体 如行星 彗星 人造卫星等 由于运动 ! % % ! 速度的不同 它们的轨道有的是圆 有的是椭圆 有的是抛物线 ! ! ! ! 有的是双曲线 图 # ! $%$, 图 ! $% 坐标法是研究曲线的一种重要方法 本章在必修第三册第 $, , 89 书书书 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 章的基础上进一步学习了求曲线方程的一般方法 如何利用曲线 ! ! 的方程和曲线的几何性质以及用坐标法解简单的几何问题等 ! 椭圆 双曲线 抛物线是常见的曲线 利用它们的方程及 "! " " ! 几何性质 可以帮助我们解决一些简单的实际问题 本章通过例 ! ! 题 给出了解决某些实际问题的一般方法 ! ! 三 学习要求和需要注意的问题 ! !! 学习要求 #! ! 掌握三种圆锥曲线的定义 标准方程和简单的几何性质 ##$ " ! 能够根据具体条件 利用各种不同的工具画椭圆 双曲 #$$ ! " 线 抛物线的图形 " ! 了解圆锥曲线的实际背景 感受圆锥曲线在刻画现实世界 #%$ ! 和解决实际问题中的作用 ! 通过已学习过的圆锥曲线的知识 了解曲线与方程的对应 #"$ ! 关系 进一步感受数形结合思想 ! ! 需要注意的问题 $! ! 在引入曲线时 应通过丰富的实例 使学生了解圆锥曲线 ##$ ! ! 的背景与应用 ! 曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主 注重使学生体 #$$ ! 会曲线与方程的对应关系 感受数形结合的基本思想 ! ! 本章研究几何图形时 大量采用了坐标法 所以在解答问 #%$ ! ! 题时 最好先画出草图 注意观察 分析图形的特征 同时在解决 ! ! " ! 实际问题时 要注意选择适当的坐标系 以使问题变得简单 ! ! ! 四 参考例题 ! !! 例 一动圆与圆 外切 同时与圆 !! "$#$$#&"#’() ! "$# 内切 求动圆圆心的轨迹方程 并说明它是什么样 $$%&"%*#() ! ! 的曲线 ! 分析 本题可以按求点的轨迹方程的一般方法来解 设动圆圆 ! ! 心的坐标为 利用初中学过的两圆相切的性质和判定定理 #"!$$! 90 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 即充要条件 列出方程 最后化简整理 ! " # ! 本题也可以从分析图形入手来寻找解题思路 设动圆的半径为 ! 由图 可知 "# ! "# # !#$!%!#&!’"#!#$!%!#(!)"! $ $ ! ! 因为 !#$!’!#$!%!#&!’"’!#(!)"%!#&!’!#(! $ ! $ ! $ ! 为常数 利用椭圆的定义 可以直接求出它的方程 # # ! 图 ! "# 解法 如图 设动圆圆心为 半径为 两 !" ! "## $!*#+"# "# 已知圆的圆心分别为 ###! $ ! 分别将两已知圆的方程 *!’+!’%*’&’(# *!’+!)%*)#$’( 配方 得 # !*’""!’+!%)# !*)""!’+!%$((! 当 与 外切时 有 #$ ##$!*’""!’+!%) # $ !#$!%"’!# ! $ 当 与 内切时 有 #$ ##$!*)""!’+!%$(( # ! !#$!%$(*"! " ! 91 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 两式的两边分别相加 得 !!" ! !!"!#!!"!$!"% ! " 即 槡 槡 "&###"#’"# "&(##"#’"$!"% # 化简方程 先移项 再两边分别平方 并整理 得 #! ! ! ! 槡 " "&###"#’"$!"$&% $ 将 两边分别平方 并整理 得 $ ! ! #&"#%’"(!&’(&% % 将常数项移至方程的右边 两边分别除以 得 ! !&’! &" ’" # $!% & #) "* 由方程 可知 动圆圆心的轨迹是椭圆 它的长轴和短轴长分 & ! ! 别为 槡 如图 中虚线所示 !"!) #! " #+ % 解法 同解法 得方程 !" ! 槡 槡 "&###"#’"# "&(##"#’"$!"% ! 由方程 可知 动圆圆心 到点 和点 ! ! ""&!’# !"(#!&# !"#! ! " 的距离的和是常数 所以点 的轨迹是焦点为 和 &# !"! " "(#!&# 长轴长等于 的椭圆 并且这个椭圆的中心与坐标原点 "#!&#! !" ! 重合 焦点在 轴上 于是可求出它的标准方程 ! & ! % )""*$)!"+$!"! ,"*$#!+$)% ,"-"$#),+("*% 于是得动圆圆心的轨迹方程为 &" ’" # $!% #) "* 这个椭圆的长轴和短轴的长分别为 槡 图形如图 !"!) #! " #+ 中虚线所示 % 例 如图 直线 与抛物线 相交于点 !" " %&! ’$&(" ’"$"& 求证 求 的长 .!/%"!# $!.#!/%""# !./! % 解法 设 两点的坐标为 将 "" .!/ ."&!’#!/"&!’#! ! ! " " 92 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 图 ! "# 代入 中 得 !"#$! !!"!# ! "#$!#!"!#% 化简得 #!$$#&"%#% 解得 槡 槡 #"’( )!#"’* )% & ! 则 槡 槡 !"&( )!!"&* )% & ! ##" ##" !!’($’)""#!!#$"#!!# & & ! ! "##&!! & ! & ! 槡 槡 槡 槡 ""’( )#"’* )#&"&( )#"&* )# "#% *!’($’)% 槡 槡 !!%()%" "#$##!&"!$!#!"! &#% & ! & ! 解法 同解法 得方程 !! & #!$$#&"%#% 由一元二次方程根与系数的关系 可知 ! #&#"$!!#$#""% & ! & ! +!!"#$!!!"#$!! & & ! ! *!!$! ""#$!#"#$!# & ! & ! "#$#$!"#&##&" & ! & ! ""(&!*" "$"% ##" ##" *!’($’)"##&!! & ! & ! 93 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· !!"!"!"!## $!%&"%’# 槡 #&’#! !("("%) !*"*"% $ % $ % 槡 槡 ! %# !("("% $ % 槡 槡 ! %# !()("%"!(( $ % $ % 槡 槡 槡 ! %# &’($’!% $## 注意 当方程中系数为字母或绝对值较大的数时 解法 比解 $ % % 法 简单 对于椭圆 双曲线更是如此 $ % & # 例 如图 所示 已知 的面积为 且 &&% !! % !$ % $%+, -% %+# 槡 设 若以 为中心 为焦点的双 &&% &&% $! +,!$% #%+#!.%-! .# % %+ ! 曲线经过点 建立适当的直角坐标系 求 最小时此双曲 &&% ,% % #%,# 线方程 #!! 图 % !$ 解 如图 所示建立直角坐标系 设双曲线方程为 (% *% ! %!$ % " ! /% 0% 设 则 &&% $# ,!(%*"% +,!!(".%*"# $ $ $ $ 槡 槡 $ &&% $! $! 1!-! #%+##*! .%!$!*! # % $ ! $ % 槡 又 &&% &&% ! $!" 1!%+#+,!!.%#"# (".% !!(".".!$% $ % $ 槡 $ &&% 槡 ! $"% ) $!(!.) #!$!#%,#! (%)*%! .) ) # $ . $ $ . % 当 时 最小 &&% 1!.’#%!$! .!$ #%,# # 槡 点 的坐标为 ! $!" $!(!%#!$! , %% # $ % 94 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· #! # # %$! 解之得 # ""% $ " ! "" "$" !!" ! !" $ $""&$"%$’ $"% ’ $ " 故所求双曲线方程为 (" )" ! # %$’ $ $ " " 即 !"("#")"%$’ 复 习 题 二 根据下列条件判断方程 (" )" 表示什么曲线 $’ & %$ ’ %&* !&* "$#*%!$!!!!!!! ""#!%*%%’ 当 从 到 时 曲线 怎样变化 "’ ! ’( $)’( ! ("&)"*+,!%$ % 方程 的两个根可分别作为 -’ ("#!(&$.’ "!!# 一椭圆和一双曲线的离心率 "/# 两抛物线的离心率 "0# 一椭圆和一抛物线的离心率 "1# 两椭圆的离心率 "2# 与两圆 及 都外切的圆的圆心在 !’ ("&)"%$ ("&)"#)(&$".’ "!!# 一个椭圆上 双曲线的一支上 "/# "0# 一条抛物线上 一个圆上 "1# "2# 已知 三边 的长成等差数列 且 点 的 3’ &+,- +,!,-!-+ ! ’+,’(’-+’! ,!- 坐标分别为 求点 的轨迹方程 并指出它是什么曲线 "#$!’#!"$!’#! + ! ’ 在椭圆 (" )" 上求一点 使它与两个焦点的连线互相垂直 4’ 5 .$ ! ’ !3 "’ 95 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 曲线 "" #" 与曲线 "" #" 的 !! $ &’ % &’ !$!)" !""" "# % "#($ %($ 长 短轴相等 焦距相等 !*" # !+" 离心率相等 准线相同 !," !-" 直线 与椭圆 相交于 两点 求 两点的 .! "’"#%"&) ""%/#"&/ ($) $ ($) 距离 ! 已知中心在原点的双曲线的一个焦点是 一条渐近线的方程是 %! *!’/$)"$ 0"’ ’ 求双曲线的方程 "#&)$ ! 槡 双曲线的离心率等于 # 且与椭圆 "" #" 有公共焦点 求此双曲线的 ’)! $ $ &’ $ " % / 方程 ! 已知双曲线的离心率为 求它的两条渐近线所成的锐角 ’’! "$ ! 一个圆的圆心在双曲线 的右焦点上 并且此圆过原点 求这个圆 ’"! 0""’#"&’" $ $ 的方程 ! 如果直线 与双曲线 没有公共点 求 的取值范围 ’0! #&$"’’ ""’#"&/ $ $ ! 一圆经过点 且和直线 相切 求圆心的轨迹方程 并画出 ’/! *!)$0"$ #%0&) $ $ 图形 ! 求抛物线 上各点与焦点连线中点的轨迹方程 ’#! #"&"+"!+#)" ! 设抛物线的顶点为 经过焦点垂直于对称轴的直线和抛物线交于两点 ’1! ,$ )$-$ 经过抛物线上一点 垂直于对称轴的直线和轴交于点 求证 线段 . /$ % $./$ 是 和 的比例中项 $)-$ $,/$ ! 已知某荒漠上有两定点 它们相距 现准备在荒漠上围垦出一片以 ’!! ($)$ "23$ 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园 按照规划 围墙总长为 () $ $ 又该荒漠上有一条直线形水沟 恰好经过点 且与 成 角 现要 .23! 0 ($ () 0)4 $ 对整条水沟进行加固 但考虑到今后农艺园的水沟要重新设计改造 所以对 $ $ 水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固 问暂不加固的部分有多长 $ & 设 是双曲线 "" 的两个焦点 点 是双曲线上一点 且 &&% ’.! *$* (#"&’ $ . $ .*’ ’ " / ’ 则 &&% &&% &&% .*&)$ $.*$’$.*$& !""" " ’ " 96 书书书第 ２ 章 圆锥曲线与方程 ·············································· 槡 !!""! ! ! !#"$ " !%"&! ! ! !’"$ 过抛物线 的焦点 的直线与抛物线相交于 两点 自 ()! ""#"$%!$"*" & ’#( # 向准线作垂线 垂足分别为 求证 ’#( # ’)#()# $#’)&()#)*+! 点 是椭圆 上一点 是椭圆的两个焦点 又知点 "*! * (,%"+"-""#(,** #&#& ! ( " 在 轴上方 为椭圆的右焦点 直线 的斜率为 槡 求 * % #& # *& ,& .# $*&& " " ( " 的面积 ! 人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆 设地球半径为 卫星 "(! ! -# 近地点 远地点离地面的距离分别为 求卫星轨道的离心率 % .#.# ! ( " 两定点的坐标分别为 动点 满足条件 ""! ’!,(#*"#(!"#*"# / #/(’# 求动点 的轨迹方程 "#/’(# / ! 在直角坐标系 中 直线 交 轴于点 交抛物线 ".! %0" # 1$"#2!2%*" " /# 3$""# 于点 关于点 的对称点为 连接 并延长交 于点 "$%!$"*" *#/ * 4# 04 3 5! 求 &05& !(" & &04& 除 以外 直线 与 是否有其它公共点 说明理由 !"" 5 # /5 3 ’ ! 已知双曲线的方程为 "" 试问 是否存在被点 平分的弦 如 "&! %", /(# $ (!(#(" ’ " 果存在 求出弦所在的直线方程 如果不存在 说明理由 # & # ! 椭圆 与直线 相交于 两点 是 的中点 若 "-! 6%"+7""#( %+",(/* ’#( #3 ’( # 槡 槡 的斜率为 " 求椭圆的方程 &’(&#" "#03 # ! " 已知曲线 与直线 交于两点 和 ",! 3$"#%" 1$%,"+"/* ’!% #" " (!%# ’ ’ ( 且 记曲线 在点 和点 之间那一段 与线段 所围成的 ""# % ’%! 3 ’ ( 8 ’( ( ’ ( 平面区域 含边界 为 设点 是 上的任一点 且点 与点 和点 ! " 9! *!:#2" 8 # * ’ 均不重合 ( ! 若点 是线段 的中点 试求线段 的中点 的轨迹方程 !(" ; ’( # *; / & 若曲线 与区域 有公共点 试求 的 -( !"" <$%","6%+"",&"+6"+ /* 9 # 6 "- 最小值 ! 97 书书书3 第 章 空间向量与立体几何 平面空间向量同 !! ! 平不面需空插间翅向便量腾同空 !! !! 不登需天插入翅地便凭腾加空减 !! 登角天度入棱地长凭一加点减通 !! 角度棱长一点通 ! 向量不但是处理平面几何图形的强有力工具 ! 也是向处量理不空但间是图处形理的平强面有几力何工图具形的强有力工具 ! ! 也是处空理间空向间量图的形知的识强不有需力花工多具少时间来重新学习 ! ! 重要空的间是向要量学的会知用识向不量需及花其多运少算时来间描来述重空新间学图习形 ! 重及要其的性是质要学解决会空用间向图量形及的其有运关算问来题描述空间图形 ! ! 及其性质 解决空间图形的有关问题 ! ! 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 问题探索 !!! 尝试用向量处理空间图形 例 已知 是任意实数 !! !! !!"!# $ 求证 "!# $"!%"#"&!"%"!"%""% 求证 ""# $"!%"%##"&!"%""%#"%"!"%"!#%""#$ 证明 ! "!#"!%"#" &"!%"#"!%"#&!"!%"#%""!%"# &"!!%!"#%""!%""# &!!%"!"%"!#%"" &!"%"!"%"!#%"" &!"%"!"%""$ ""#"!%"%##" &&"!%"#%#’"&"!%"#"%""!%"##%#" &!"%"!"%""%"!#%""#%#" &!"%""%#"%"!"%"!#%""#$ 例 中已知 是任意实数 我们要问 在证明过程中哪 不少教师告诫学 ! !!"!# $ ! !! 生 在考试时 如果某 一步用到这个已知条件了 ! " ( 个题目的已知条件还没 仔细审查证明过程中的每一步 发现 用到了实数的乘法对于 有用到 就将这个题做 ! $ " 出来了 那就一定是做 加法的分配律 加法的结合律和交换律 乘法交换律 " ) ) $ 错了 或者是考官把题 " 难道只有实数的加法和乘法才有这些运算律吗 不见得 比 目出错了 其实不然 ( $ " " 例 的证明过程没有用 如 我们已经学过向量的概念和运算 假如在例 中将 换 ! ! ! ! !!"!# 到已知条件 #!"""# 成向量 实数的加法换成向量的加法 实数的乘法换成向量的数量 是任意实数 但此题 ! ! $" 却并没有做错 没有用 积 例 的论证过程所用到的运算律仍然成立 结论仍然成立 $ ! ! ! $ 到这个已知条件 说明 " 例 已知 是任意向量 这个已知条件可以替 "! !!"!# $ 换掉 求证 $ "!# $"!%"#"&!"%"!*"%""% 求证 ""# $"!%"%##"&!"%""%#"%"!*"%"!*#%""*#$ 证明 将例 的证明过程重新抄写一遍 抄写时将 换 ! ! ! !!"!# 99 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 请同学们自己完成 成表示向量的黑体字母 两个黑体字母的乘积中间加上一 !! !!"!#! 这个证明 点写成数量积的形式 证明就完成了 ! ! ! 虽然例 和例 的证明过程相同 但得出 " # ! 的结论的含义不同 ! 先来看例 的 将向量 分别用 # ""#! !!" 平面上的有向线段 表示 即 ""! "#!#$ ! !%"#! 图 则 如图 则 ! " ""! ""! "%#$! !&"%"$! ! "! !$"% ""! ""! ""! ""! #"####$#$%&$’#$%(#"####$#$%&$"#$! 在 中取 !! "!"# !$ 例 的结论 就是 $$# $$# 试解释 # ""# "!&"##%!#&#!$"&"# #!!"$#"! "!%"#!$!!%!!$"& #"$##%#"###&##$##(##"####$#$%&$"#$! 的几何意义 "! ’ 这就是 中的余弦定理 %#$" ! 在平方公式 如果 是直角 则 就有 即 !! !!" $"#$ ! !$"%’! "!&"##%!#&"#! 中将 #"!$!!"!!#"#! 实数 换成向量 #"$##%#"###&##$##! !## # 一念之差就得出了余弦 这就是 中的勾股定理 ()%"#$ ! 定理和勾股定理两个大 再看例 的 如果选取向量 两两垂直 则 定理 不过也得小心 # "##! !!"!# ! !$"% % # 将实数与向量混为一谈 所得的结论就成为 !$#%"$#%’! 也有出错的时候 例 % 如 由 与 "!&"&###%!#&"#&##! # !"! !$"$ 不能得出 例 长方体 的棱长 !$# "$#% !& #$") #$") ##$#%*!##)#% " " " " 求对角线 的长度 +!####%,! #" ! 就是从 走到 " " ##" !!!" ! 解 长方体的形状和位置完全由 从! 到 走走 & !% " # ! " ! 走!走走啊走 !沿着长 这三个基本向量 "# # "" $ ! !"%# "" ) ! !#%# "" # ! 方体的棱前进 走出一 " # 确定 设法将对角线向量 用这三个 条路线 ""! !"$""""# ! #" " ! 就将位移 ##" 分解成了 基本向量表示出来 !" ! % 三个阶段的位移 图 ##" !$# ! # $ ##" "#" ## " " 之和 # # "" " ! " %# "" $ ! &$ "" " ! &" "" " ! " ! 与 方 向 相 ##" ##" $" !% ""! ""! ""! 同 长度相 等 因 此 %#$&#)&##%!&"&#! " $ # 同理 于是 $ ##" "&! ##" %# " ## " " ! & ##" " ##%# "" " ! " #%"!&"&###%!#&"#&## ##" !!# ! %##$##&##)##&#####%*#&+#&,#! " 槡 &&&&& ##"#% *#&+#&,#! " 也许你会问 我们以前只学过平面向量及其运算 例 中的向 % ! ! 100 书书书 书书书 书书书 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 量 却是不在同一平面内的空间向量 还没有学过空 ""! ""! ""! !"!!#!!! $ ! 间向量 怎么能用空间向量的运算来解题呢 ! " 以前学习的向量是平面向量吗 向量是有大小和方向的量 空 " $ 间任何一条有向线段都是有大小和方向的量 当然就表示一个向 ! 量 这就是空间向量 空间任何两条有向线段表示的两个向量 ! $ !! 都可以用同一个平面上两条有向线段 与 来表示 用已 "! !" !# ! 经学过的法则可以计算出平面向量 的和 数量积 以及它 ""! ""! !"!!# # ! 们与任意实数 的乘积 也就算出了空间向量 的和 数量积 ! ! !!" # ! 以及它们与实数的乘积 $ 章头诗中说 平面 例 中的三个向量 确实不在一个平面内 但 !! ! " ! "" " ! !! "" # ! !! "" ! ! $ 空间向量同 不需插翅 ! " 是 要计算这三个向量之和 只要先将同一平面中的 相加 便腾空 就是说 平 ! ! ! "" " ! !! "" # ! #! $! 面向量 与 空间向 得到 再将同一平面中的 相加得到的 就是所求的 # ! ! "" % ! ! ! "" % ! !! "" ! ! ! "" % ! 量 的运算其实没有什 ! ! # 三个空间向量的和 同样 例 中每次计算数量积时都是在计算同 么区别 有了 平面向 $ ! " ! ! 量 的知识 不需要再 一平面内的两个向量的数量积 每一个步骤用到的都是你熟悉的知 # " 学习新的知识 就可以 $ " 识 还需要学习什么新知识呢 直接用来解决空间图形 ! " 的问题了 例 设 是平面四边形 则 ! !# !"%# ! !%$"#%!"#&%##’"%#&#!#$ 证明 从 出发的向量 ""! ""! ""! # ! !"!!%!!# 确定了点 的位置 从而确定了整 "!%!# ! 个图形 如图 因此 我们将涉及的所 ! " "$ ! 图 有的向量用这三个基本向量表示出来 " " $ ""! ""! ""! ""! ""! ""! "%’!%(!"!%#’!#(!%$ 注意到目标 即是 !"#&%##’"%#&#!#! !"#&%##("%#( 我们先计算这个等式的左边 #!#’$$ $ ###!"#&%##("%#(#!# 计算过程好像是初 ""! ""! ""! ""! ""! ""! ##’!"#&%!#(!%&#(%!%(!"&#(!## !! 中的代数式运算 将完 ! ##’! "" " ! #&! "" # ! #&! "" % ! #(#! "" # ! ’! "" % ! (! "" % ! #(! "" " ! #& 全平方式展开 合并同 " 类项 提取公因式 ####! "" % ! ’! "" " ! (! "" # ! # " ! ""! ""! ""! ""! ##’#!%’!"(#!#’!% ""! ""! ""! ##’#!%’%!"(!#& 101 书书书 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 有些人老是觉得空 ##" ##" !! !!!!"#!$%& 间向量比平面向量困难 因此 得多 是因为他们认为 " "#$$%%" ## # " !$ ## % " !" ! 向量离开了坐标就活不 成 平面向量用两个实 %"%!’#$!(%#!($"!!" ! 数组成坐标来表示 空 ! %"%!’#$!!%#!’$"!& 间向量要用三个实数组 例 有一个已知条件是 是平面四边形 仔细检查证 成坐标来表示 当然就 # #"%#$ $& ! 困难得多 例 例 明过程 发现没有哪一步用到这个已知条件 将这个已知条件去 ! !" " " & 没有用坐标 只用向量 ! 掉 允许 是空间四边形 证明过程仍然成立 的运算就痛快淋漓地将 " "%#$ " & 平面和空间的情形统一 例 设 是空间任意四边形 则 !! "%#$ " 解决了 如果你想用坐 ! 标 那就不妨试试 不 "#$%$%"%!’#$!!%#!’$"!& ! ! 麻烦才怪 证明 将例 的证明过程照抄一遍即可 ! ! # & 空间中向量的概念和运算 ３． １ 空间中向量的概念和运算 $%&! !! 我们知道 空间图形与平面图形是很不相同的 一般来说 处理 ! & ! 空间图形比处理平面图形更困难 比如 前面 问题探索 中的例 & ! " # 如果不用向量的方法 而用几何推理的方法来解 就比平面几何 ’! ! ! 的问题更困难 但是 当我们采用向量的方法来解决这些问题时 却 & ! ! 发现以前在处理平面图形时学过的向量的知识很自然地就能用到空间 图形上 不需要补充什么新的知识 这其中有什么奥妙 ! & $ 让我们将以前学过的向量的概念和运算回顾一下 看它们是只限 ! 于平面上呢 还是本来就适用于空间中 ! & 向量的概念 既有大小又有方向的量称为向量 % & 这既适用于平面上的向量 也适合于空间中的向量 二者的区别 ! & 仅仅在于 在空间中比在平面上有更多的不同的方向 % & 用有向线段表示向量 要表示向量 可以从任意一点 出发作 % !! " 有向线段 使 的方向与 相同 长度 等于 的模 则 "%! "% ! ! &"%& ! ! 有向线段 表示向量 记为 ##" "% !! !!"%& 这一表示法可以很自然地适用于空间的向量 不需要补充任何新 ! 102 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 知识 即使是不在同一平 ! !! 面内的两条有向线段 注意 从不同点出发的不同的有向线段 只要方向和 ! "#"$%" 表示的向量 !"!#$ ! 长度相同 所表示的向量就相等 也可以将 平行移动 ""! ""! " !"#&$%! #$ 到 使 如图 对于空间任何两个向量 !%! ! ##" %&# ##" $! ! "" !" 将 ##" ##" 看作同一平 !"!#$ 可以从空间任意一点 出发作 面内的向量 "" ’ ’ "" " ! &!" ! ## " " !! ##" %’ 反过来 同一平面 即用同一平面内的两条有向线段 ! ’ "" # ! &"" 内不平行的向量 !!"! 来表示 这说明 空间中任 一定可以用两条不在同 ’""’# !""! " 一平面内的有向线段来 何两个向量都可以看作同一平面内的向量 ! 图 表示 想一想为什么 ! " ’ ’ 向量的加减法 空间任意两个向量 ! !" 都可以看作同一平面内的向量 它们的加法与减法当然也都可以按 " " 照平面上的向量的加法和减法来进行 不需要补充任何新知识 具体 " ! 做法如下 ! 如图 从任意一点 出发作 ! #" ’ 并且从 出发作 ""! ""! ""! ’"&!"’#&"! " "$& 则 ""! ""! "! !("&’$"!)"&#"! 空间三个或更多的向量相加 不 " 能同时将这些向量都用同一个平面上 图 ! # 的有向线段来表示 但仍然可以将它 " 们依次用首尾相接的有向线段来表示 得到它们的和 比如 三个向 " ! " 量的和 在地面上沿 !! !"" 可以得到 ##" "#"$ !"% " "" # ! (# "" $ ! ($ "" % ! &" "" % ! " ##" ##" ##" 在空 "#%#$&!$’ 表示从 走到 再走到 再走到 总 中飞 水里游 只要是 " # $ %" ! " 沿 同样 的效果是从 走到了 如图 这 !"""#"$" " % # ! $$! 也都得到 ##" ##" !"%"#% 个道理大家都懂 不需要作为新的知识 ##" ##" " #$&!$’ 来重新学习 ! 空间向量的加法满足如下运算律 两个向量相加 可 ! 图 !! ! 加法交换律 ! $ 以看作同一平面上的向 %!!("&"(!!# $ 量的加法 交换律已经 加法结合律 ! 成立 不需再证明 三 &!#!("$(#&!(#"(#$!# $ ! ! 向量与实数相乘 任何一个向量 都可以看作某个平面上的向 个向量相加的结合律 ! ! ! 可以采用与平面向量相 量 它与实数 相乘可以按照平面向量与实数相乘的法则进行 同的方法证明 " ! ! ! 103 书书书 书书书 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 自己想一想 如何 空间向量与实数的乘法满足如下运算律 !! ! ! 由 作出表示 ##" 对向量加法的分配律 !"#! !! 的有向线段 !!!"!""##!!"!"!" # $ 对实数加法的分配律 "!"!"!#!#!!"!!!" # ! " ! " 这两个运算律涉及 向量的数量积 两个空间向量 可以看作同一平面上的向量 !! ! !$" $ 的向量都可以看作同一 它们的数量积可以按照平面向量的数量积的法则进行 具体做法如 平面的向量 运算律不 ! ! 需再证 下 图 从空间任意一点 出发作 则 ""! ""! ! " # $#! $ $%#!$$&#"$ "# 就是 所成的角 的数量积 #%$& !$" $!$" !%"#$!$$"$%&’"! 特别地 槡 $!"#!%!#$!$"$$!$# !"$ !%"#(%!&"! 空间向量的数量积满足如下运算律 ! !!"!!#%"#!"!%"#! 图 "!!%"#"%!! # $ 前面两个运算律所 ! 涉 ! 及的向量可以看作在 #!!%"""###!%""!%#! 以上我们将平面上的向量的概念和运算很自然地推广到了空间中 同一平面内 运算律不 ! 需再证 第三个运算律 的向量 当我们计算空间一条线段的长度 或两条直线的夹角 包括 的证明 ! 有一定困难 不 ! $ " ! 两条直线的平行或垂直关系 时 只需要用到至多两个向量的运算 要求掌握 这里就略去 # $ $ ! 了 你只要会应用它就 它们的运算都可以看作同一平面内的向量的运算 因此用以前的知识 ! $ 行了 应用起来与平面 ! 就可以解决 不需要补充什么新的知识 的向量是完全类似的 $ ! ! 例 如图 已知直三棱柱 中 ’ # )$ %&’ %&’ $#%’&#*(+$ ! ! ! 槡 是棱 的中点 求 #&%’##(+$$&’$#!$$%% $# ,$( ’’ $ ! ! 证 !%&&%(! ! ! 分析 由于直三棱柱的形状和位置完全由 ’ 这三个基本的向量确定 因而我 ""! ""! ""! ’%$’&$’’ $ ! 们应设法将向量 表示成这三个基本向 ""! """! 基本向量的线性组 %&$%( ! ! ! 合 ! 就是基本向量的倍 量的线性组合 ! ! 向量之和 这里 被表示成了 ! 三个基 !" 本 ## # " 向! 证明 ’’ 由于 % "" & ! #% "" ’ ! "’ "" & ! "& "" & ! ! ! 量的 倍 倍 $! "! "! #)’ "" % ! "’ "" & ! "’ "" ’ ! $ 图 倍之和 而 则是 ! # ) ##" ! "% ! """! """! ""! 倍 倍 ! 倍 ’’’’% ! (#% ! ’ ! "’ ! ( $! "" "$ # 之和 ""! !""! #)’%) ’’$ ! " ! 104 书书书 书书书 书书书 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 将 所以 ##" ##" ""! """! ""! ""! ""! ""! !""! !! !"#$"%$ !"!!#$"%&!’&"’&&#!"%&!% &&# 的每一项与 ! ! ! " ! " ## " " !" ##" #! ! 的每一项作数量 !##" $& "" ! ! "% ! & "" & ! "( " "" ! " ! 积 注意到 ##" ##" & "#!"%! 在 中 槡 ##" 两两的数量积等于 #$#!&" $$&!$$$"&$%&$’()$ ’$ " 零 " ! 最后只剩下 ##" ! "#"! 因此 ! "" " ! ! !! """ ! # ! $$&!$"% ! " $&& ! $"$" 槡 ’#"% ! " " 槡 *#"$(( ! ! " " ## " " ! " 这两项 & 所以 !"%!#( ! ! 练 习 已知向量 满足 求 的值 !( !$" $!$$’$$"$$+$%!$"&$’()( "!’""#!"!%"# ( 已知 分别是空间四边形 边 的中点 "( )$*$+$, !"&- !"$"&$&-$-! ( 用向量法证明 四点共面 面 ’"!#)$*$+$, (""#"-& )*+,( 习题 ’ ! 在正方体 中 化简下列各式 !( !"&- !"&- $ ’ ! ! ! ! ""! ""! ""! ""! ""! ""! "!#!"’"&’&&(’’’’’’’’’ ""#!!’!-’-&( ! ! ! ! ! ""! ""! ""! ""! ""! ""! "’#!"’""’"-’(’’’’’’’’ "+#!!’!"’"-( ! ! ! ! ! ! ! 已知空间四边形 的边长和对角线长都为 点 分别为 "( !"&- "$ )$*$+ !"$ 的中点 求下列数量积 !-$-& $ ’ ""! ""! ""! ""! ""! ""! ""! ""! "!#!"!!&(’ ""#!-!"-(’ "’#+*!!&(’ "+#)*!"&( 在平行四边形 所在的平面外一点 作向量 ""! ""! ""! ""! ’( !"&- . .)$’.!$.*$’."$ 求证 ""! ""! ""! ""! .+$’.&$.,$’.-$ ’ 四点 共面 平面 平面 "!# )$*$+$’,’’’(’’’’’ ""# !&& )+( 105 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 空间向量的坐标 !３"．#２ ! 空间向量的坐标 !! !! 一!、!!空间向量的分解与坐标 我们知道 平面上的向量可以用坐标表示 表示的方法是 在平 可以认为是 ! ! " !!!!""# 面内取两个相互垂直的单位向量 作为基 则平面内的每个向量 用 这两把 尺子 度 ! !量 "! " 得到的 $ 量数 % 都可以唯一地写成 的线性 ! $ 组 ! 合 ! # ! $ 比如 %" 表 示 向 东 走 # " ! $ !! # ! ! 表 示 向 北 走 !#"! " 就表示向东 其中的两个系数组成的有序 " 数 " 组 #! $ $%! 就 # ! 称为向量 在这组基下的坐 !#"!! 再 "" 向 # 北 ##!%$ " !#& "## 标 向量的运算都可以通过坐标的运算来实现 ! ! 在空间中 两个向量的线性组合不能将所有的向量都表示出来 ! ! 平面上用两把 尺 !! ! 但是 取三个两两垂直的单位向量 组成基 就可以将空间 子 就可以度量所有的 ! !!!!! ! " $ # ! 向量 空间中要三把 中每个向量 都写成这三个向量的线性组合的形式 # " 尺子 才够 比如 ! " ! # 分别表示向 ""#!$%!$&!! !#!#! $ # ! 东! 向" 北# 向 上 运 动 其中三个系数组成的有序数组 用来表示向量 作为 的坐标 $ $ ##!%!&$ "! " ! 则 就表 !$# %"###$& 我们重新来看 问题探索 中的例 看能否自己建立坐标 并 示向东 再向北 % & !! ! "$$ 再向上 通过坐标的运算来解决 #$$ $$! ! 例 长方体 的棱长 !! ’()* ’()* "’(""+!"’*"" $ $ $ $ 如图 求对角线 的长度 ,!"’’""-! ! %! ’) ! $ $ 解 取 方向上的单位向量 $$# ! ’( !! $ 方向上的单位向量 方向上 $$# $$# ’* !!’’ # $ 的单位向量 则 $$# $$# !! ’("+!!’*" ! $ $$# ,!!’’"-!! # $ ! 图 ! % $$# !!.!’)"+!$,!$-!! $ $ # ! $$# !!"’)"#"’)#"#+!$,!$-!$# $ $ $ # ! "+#!#$,#!#$-#!#"+#$,#$-#! $ # ! 因此 槡 如果有兴趣 请自 !! ! !! !"’) $ "" +#$,#$-#! 己尝试建立坐标来解决 在例 中 向量 被写成了两两相互垂直的单位向量 $$# 节中的例题 $ ! ’) !!!! $ $ # !"# ! 的线性组合 我们可以将这个表达式中的系数 ! +!$,!$-!! #+! ! $ # ! 106 书书书 书书书 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 称为 的坐标 与自己的数量积归结为坐标 的 ""! ""! !!"" #$ %#$ #&!!!"" ! ! 运算 % 一般地 我们有 ! 定理 设 是空间中三个两两垂直的单位向量 则 !# !!!!! ! ! " # 空间中任意一个向量 可以写成这三个向量的线性组合 #!" " $ "’(!)*!)+!% ! " # 上述表达式中的系数 由 唯一决定 即 #"" (!*!+ " % $ 如果 则 这个定理的证明不 "’(!)*!)+!’(,!)*,!)+,!! (’(,!*’*,! !! ! " # ! " # 要求掌握 但定理的结 ! +’+,% 论应当熟悉并能熟练 证明 任取空间一点 作 应用 # !!" -# - "" . ! ’ !! ! ""! ""! ""! !#-.’!#-.’!#-/’"% ! " " # # 如图 过 作直线 与 平 # !$# / 0 -. ! # 行或重合 与平面 相交于 #0 -.. 1% ! ! " 在平面 内过 作直线 与 图 -.. 1 0 -. ! " " " # !$ 平行或重合 与直线 相交于 #0 -. 2% " ! 则 ""! ""! ""! ""! "’-/’-2)21)1/% 有向线段 在直线 上 故 是某个 ""! ""! -2 -. # -2’(-. ’(!#( ! ! ! 实数 %# 有向线段 所在直线 与直线 平行或重合 故 ""! ""! 21 0 -. # 21’*-. ’ " " " 是某个实数 *!#* % " 有向线段 所在直线 与直线 平行或重合 故 ""! ""! 1/ 0 -. # 1/’+-. ’ ! # # 是某个实数 +!#+ % # 于是 "’(!)*!)+!% ! " # 设 !"" (!)*!)+!’(,!)*,!)+,!# ! " # ! " # 则 !(3(,"!)!*3*,"!)!+3+,"!’$% ! " # 如果 则 +3+,$$# ""! (3(, *3*, ####-.’!’3 !3 ! # # +3+, ! +3+, " (,3(""! *,3*""! ’ -. ) -. % +3+, ! +3+, " 107 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 这导致 在平面 内 但平面 不可能有三条两两相互垂 !" !"" # !"" ! " # " # 直的非零线段 这个矛盾说明了只能 !"!!"!!"# $%$&’$!$’$&# " # ! 于是 "(%(&#!)"*%*&#!’$# 平面上的坐标由两 " # !! 个数组成 ! 空间中的坐 如果 *%*&!$! 则 ! ## " " ’!’ (%(& ! ’ (%(& ! ## " " # 这导致 标由三个数组成 这是 # # *%*& " *%*& " ! 平面与空间的最大区 共线 但这与 矛盾 这说明 从而 !"!!" # !" $!" # *%*&’$! 别 但是 空间向量运 " # " # ! ! 于是 由 知 算的坐标公式与平面向 *’*&# "(%(&#!’$# !!$ (%(&’$!(’(&# " " 量的相应的公式却是非 上述定理中所说的两两垂直的单位向量 组成空间的一 !!!!! 常 类 似 的 很 容 易 " # ! ! 组基 将空间的向量 写成 的形式之后 表达式中 掌握 # " "’(!)*!)$! ! !! " # ! 的系数组成的有序数组 称为 在这组基下的坐标 坐标 "(!*!$# " # "(! 可以表示向量 向量的运算可以归结为坐标的运算 可以直接 *!$# "! # 这里 三个不共 用等式 来表明向量 的坐标是 面 !! 的向量 ! " "’"(!*!$# " "(!*!$## !!!!!# 在定理 的条件中将 改为任意三个不共面的向量 仔 的意思是 $ 如! 果"从同#一 " ! " !! # !! ! # 点 出发作有向线段 细检验可以发现 定理 证明的每一个步骤仍然能通过 或者稍加修 ! ! " ! 分别表 !"!!#!!$ 改就能通过 从而得出如下结论 示 则 ! $ !!!!!! !! ! " 不在# 同一个 定理 空间向量基本定理 设 是空间中三个不共 " 平 ! 面 # 内 !$ !% " # ! " !! # !! ! % 面的单位向量 则 ! 空间中任意一个向量 可以写成这三个向量的线性组合 ""# " $ "’(!)*!)$!# " # ! 上述表达式中的系数 由 唯一决定 即 "## (!*!$ " # $ 比如 在 问题探 如果 则 !! ! " "’(!)*!)$!’(&!)*&!)$&!! (’(&!*’*&! 索 的例 中 我们就 " # ! " # ! # ! ! 将所涉及的向量全部表 $’$&# 示成三个不共面的基本 虽然任意三个不共面的向量都可以取作基向量来建立坐标 但 ! 向量 的 ! ##" "!! ##" #!! ##" $ 是 为使坐标运算公式最简单 我们通常取两两垂直的单位向量作为 线性组合 ! ! % 基向量 然后再建立坐标 ! # 二、 空间向量运算的坐标公式 %%%%% 设在空间取定了三个两两垂直的单位向量 组成一组 !!!!! " # ! 基 将空间中任一向量 用它的坐标 来表示 则 # " "(!*!$# ! 108 书书书 书书书 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 向量的加减法 !! ! !""#"$#%!""#"$#&!"%""#%#"$%$# ! ! ! " " " ! " ! " ! " !""#"$#’!""#"$#&!"’""#’#"$’$# ! ! ! " " " ! " ! " ! " 向量与实数的乘法 "! ! (!""#"$#&!(""(#"($# 向量的数量积 #! ! 将平面向量运算的 !! 坐标公式中的两个坐标 !""#"$#$!""#"$#&""%##%$$ 换成三个坐标 就得到 ! ! ! " " " ! " ! " ! " ! 空间向量运算的坐标 以上公式与平面上向量的相应公式是类似的 很容易记忆和 公式 " !! 应用 !! 证明方法也是类似的 下面我们只对向量的数量积的坐标公式作 ! 一个证明 其余公式的证明就略去了 有兴趣的可以自己尝试 " " ! 由向量的坐标计算数量积的公式的证明如下 % 设 则 !&!""#"$#"!&!""#"$#" ! ! ! ! " " " " ! !!!!&""%#"%$"" ! ! ! ! " ! # 将数量积的表达式 !&""%#"%$"" " " ! " " " # !! 展开 一共有 项 但 ! ! $! " &!" ! " ! %# ! " " %$ ! " # #$!" " " ! %# " " " %$ " " # # 由于 ! ! 相互 ! 的 !!!!! 数量积"等于# $自己与 &" ! " " "" ! %" ! # " " ! $" " %" ! $ " " ! $" # % %! 自己的数量积等于 !# ! " " " " $" ! %# ! # " "" " %# ! $ " " " $" # % 最后 就 只 剩 下 "! !!! 三项 " # !$ ! " " " # $" ! %$ ! # " " # $" " %$ ! $ " "" # " " " # !# " # # $ &""%##%$$! ! " ! " ! " 例 求向量 的模 "! !!# !&!""#"$# "!"& 求两个非零向量 的夹角 !"# !&!""#"$#"!&!""#"$# ! ! ! ! ! " " " " 的余弦 ! 解 由向量的数量积公式知道 !!!# !"&!""#"$#$!""#"$#& 从而 ""%#"%$"! 槡 槡 "!"& !"& ""%#"%$"! 由向量数量积的定义 得 !"# !$!&"!""!"$%&! ! " ! " 109 书书书 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 根 据 所 求 得 的 !!! ""#$$#%% ! ! !"#!! $ % !槡 $ % $槡% $ % & !"#! 的 值 ! 可 以 在 !! $ !!! % ! "% $ #$% $ #%% $ "% % #$% % #%% % 的范围内求出唯 例 的结论可以作为公式来使用 "$!!# % & 一的 !! 求向量 的模的公式 !!!""$"%# $ 槡 !!!! "%#$%#%% 求向量 所成的角 的公式 !""$"%#"!""$"%# ! $ $ $ $ % % % ""#$$#%% !"#!!槡 $ % $槡% $ % "%#$%#%% "%#$%#%% $ $ $ % % % 柯西不等式 任取六个实数值 以它们为坐标可以造 "!$!%!"!$!%! $ $ $ % % % 出两个向量 当这两个向量都不为零 !!""!$!%#!!!""!$!%#& $ $ $ $ % % % % 时可以按照上述公式计算出它们的夹角 的余弦 由 可以 ! & !"#%!"$ 得出不等式 """#$$#%%#% !"#%!! $ % $ % $ % "$& ""%#$%#%%#""%#$%#%%# $ $ $ % % % 即 一般地 ! 柯西不等 "" $ " % #$ $ $ % #% $ % % #%"""% $ #$% $ #%% $ #""% % #$% % #%% % #& 式可以推广到对任意 这个不等式称为柯西不等式 其中的等号成立的条件是 即 个实数 & !"#%!!$! !! " " !" ! !"! 或 也就是说向量 与 平行 坐标 与 " 猜! ! 一 # 猜"应 !# 怎!样 ! 推 " 广 !# !不 $ !!& !! ! $ ! % ! "" $ !$ $ !% $ # "" % !$ % !% % # 成比例 其中一个是另一个的实数倍 $ 过 对于 的情形 ! & ! !!# ! 容易验证 柯西不等式当 即 或 即 不能通过几何的方式由 ! !!& " "!$!%# !!& " $ $ $ $ % 来证明 而要 时显然也成立 事实上 此时不等式中的等号成立 $%&!!"" ! 通 过 代 数 的 途 径 来 "!$!%!&# & ! ! % % % 证明 而此时其中的零向量是另一个向量的 倍 $# & & 110 书书书 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 因此 柯西不等式对任意六个实数 均成 ! !!"!#!!!"!# ! ! ! " " " 立 其中的等号成立的充分必要条件是 与 中 ! "#!!"!#$ #!!"!#$ ! ! ! " " " 的一个是另一个的实数倍 $ !!三!、!!点的坐标与向量坐标 在空间中任意取定一点 称为原点 则任一点 对应于唯一 % ! "# & 一个向量 反过来 任一向量 对应于唯一的一个点 使 ##" ##" %&$ # ! & !’%&$ 在原点 确定之后 向量 唯一地确定了点 的位置 称为点 的 ##" % # %& & # & 位置向量 $ 如果再取三个两两垂直的单位向量 组成一组基 则任 "#"#" # ! " # 一点 的位置向量 有唯一的坐标 使 ##" ##" & %& !!#"##" %&’!" ("" ( ! " 这个坐标 唯一地表示了向量 从而也唯一地表示 ##" #"$ !!#"##" %&# # 了点 &$ 以 为原点 分别以 的方向为 轴 轴 轴的正 % # "#"#" ! $" $# ! " # 方向 以 共同的长度为单位长 建立空间直角坐标系 则 # "#"#" # # ! " # 点 在此坐标系下的坐标就是向量 的坐标 ##" & %& !!#"##"$ 反过来 假如空间中已经建立了直角坐标系 以 为原点 点 # # % # 在此坐标系下的坐标为 分别取 轴 轴 轴的方向上 & !!#"##"$ ! $" $# 的单位向量 组成一组基 则向量 在这组基下的坐标就 ##" "#"#" # %& ! " # 等于点 在这个坐标系下的坐标 & !!#"##"$ 我们约定 如果在空间建立了直角坐标系 则当我们说到向量的 % # 坐标的时候 总是分别取 轴 轴 轴的方向上的单位向量 # ! $" $# "# ! 组成一组基 然后在这组基下再来写某个向量的坐标 "#" # $ " # 将点 的坐标与它的位置向量 的坐标联系起来 就可以利用 ##" & %& # 坐标的运算处理空间图形的问题 $ 例 如图 在空间中建立了直角坐标系 设两点 !! # !!# $ )#* 的坐标分别是 !!#"##"#!!#"##"$ ! ! ! " " " 求向量 的坐标 ##" !!" )* & 111 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 求两点 之间的距离 !#" !#" $ 求线段 中点 的坐标 !!" !" # $ 解 的坐标 !!""!#" !%#&#’"#!%# " " " # 分别是向量 的坐标 因此 ##" ##" &#’" (!#(" $ # # 图 ##" ##" ##" ! "" !")("*(!)!%*%#&*&#’*’"$ # " # " # " 槡 ##" !#"$!"$)$!"$) !%*%"#+!&*&"#+!’*’"#$ # " # " # " 点 的坐标就是 的坐标 在平面 内有 ##" ##" !!" # (# $ (!" (#) 故 " ##" ##" !(!+(""$ # ##" " (#) !!%#&#’"+!%#&#’"" # " " " # # # !%+% &+& ’+’" ) " ##" ##" # $ # # # 例 得出的结论可以当作公式和法则来使用 ! % 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线 !"" 段的终点的坐标减去起点的坐标 $ 两点 的距离 为 !#" !!%"&"’#""!%"&"’# , " " " # # # !" 槡 , ) !%*%"#+!&*&"#+!’*’"# !" # " # " # " 线段的中点坐标 等于线段两端点坐标的平均值 !!" " $ 例 已知直三棱柱 中 !! !"- !"- #%!-")%&’#%"!-) " " " 槡 是棱 的中点 如图 !&’#$"-$)"#$!! $) (## -- # ! "#$ " " 证明 %!"&!#$ " " 证明 在 中有 ! )*’!-" $-"$)"# 槡 $-!$)+,*!&’) !$ 以 为原点 的方向分别 ##" ##" ##" - #-!#-"#-- " 为 轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐 % && &’ 标系 $ 相关各点的坐标分别为 槡 !!!#&#&"# 图 ! "# 112 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 这是 节中的例 槡 槡 槡 ! !槡# !! !"# !!""!"##""!$"""##"#"""" # $ 题 在 节中用向量 ! ! % ! !"# 的运算来解答 这里再 于是 ! 利用坐标运算解答一 次 两个解答实质上是 槡 槡 槡 槡 " "" ! ! %!"& $"!&""#&"#%!& $"!"##" ! ! 相同的 坐标运算其实 ! """! ! 槡 !槡 槡# ! 槡 !槡# 就是向量运算的另一种 "#% "& $""&"" #& # % & $"""& # " ! % % 叙述 对于这种天然存 ! 在直角坐标系的问题 ""! """! 槡 槡 槡 ! !槡# ! "!$"#%!& $#!& $#’!’"( #( & # %"$ 坐标运算更显简单 但 ! ! % ! 我们以后也会遇到不方 所以 #"!$"#$ 便建立直角坐标系的例 ! ! 子 那时就显示出向量 ! 运算的威力了 ! 练 习 设命题 是三个非零向量 命题 为空间的一组基 则命 !$ )%!"""# & *%’!"""#( " 题 是命题 的 ) * !### 充分而不必要条件 必要而不充分条件 !)# ###### !*# 充要条件 既不充分又不必要条件 !+# ###### !,# 如图 所示 已知空间四边形 其对角线 %$ $ !$ " +"!," 为 是边 的中点 是 的重 +!"","# +" "- %"!, 心 则用基向量 表示向量 的表达式 ""! ""! ""! ""! " +""+!"+, #- 为 ####$ 向量 向量 与 共线 且 $$ !%!%"&!"%#" " ! " !$"% 求 &!-$ "$ 已知空间三点 图 .$ "!&.""".#"!!&%"%".#" $ !$ 设 ""! ""! ,!&$"%"$#$ !%"!""%!,$ 求 !!# &!&"&"&& 求 与 的夹角 !%# ! " & 若向量 与 互相垂直 求实数 的值 !$# .!’" .!&%" " . $ 在棱长为 的正方体 中 分别是棱 上的动 /$ / "!,0 "!,0 "1"2 "!"!, ! ! ! ! 点 且 求证 " "1%!2$ %"2$,1$ ! ! 113 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 习题 ! ! 若 为空间四点 且向量 构成空间的一组基 那么错 ##" ##" ##" !! "!#!$!% ! "#!"$!"% ! 误的是 "!!# 四点不共线 四点共面 但不共线 ""#"!#!$!% !!! "##"!#!$!% ! 四点不共面 四点中任三点不共线 "$#"!#!$!% !!! "%#"!#!$!% 空间四边形 点 在 上 且 ##" ##" ##" &! "#$%!"#&!!"$&"!"%&#! ’ "# ! "’&&’#! 为 中点 则 用 表示 ##" ( $% ! ’(&!!!!!!" !!"!# #! 已知 求 的面积 ’! #"!!(!!#!$"!!&!!#!%"&!&!)#! $#$% ! 已知 分别是正方体 的棱 的中点 求证 面 )! ’!(!) #% %%!$%!%* ! $#)% ! ! ! *’(! 若 两点的坐标分别为 求 *! #!$ #"+,-!!-./!!’#!$"&+,-"!&-./"!!#! 的取值范围 ##" &#$& ! 已知 试求 以 为相邻两边的平行 0! !&"!!(!+!#!"&"+!!&!!#! $"!# !!" 四边形的面积 此平行四边形的两条高的长 %"&# ! 已知 若三个力 1! $&"!!&!’#!$&"+&!’!+!#!$&"’!+)!*#! $! ! & ’ ! 共同作用于一物体上 使物体从点 移到点 $!$ ! #"!!+&!!# $"’!!!&#! & ’ 则合力 所做的功是 $ !!!!! 直线的方向向量 ３． ３ 直线的方向向量 ’2’! !! 在处理空间图形的时候 经常需要考虑两条直线所成的角 考虑 !! ! ! 114 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 两条直线的平行和垂直关系 直线的平行和垂直是两条直线成特殊角 ! 的情形 垂直是两条直线成直角的情形 平行是两条直线不重合且成 ! " 角的情形 !" ! 两条直线所成的角 只与两条直线的方向有关 与直线所处的位 " " 置没有关系 ! 直线的方向可以用向量来表示 在直线 上任取两个不同的点 ! " 则有向线段 所代表的向量 就表示直线的方向 称 ""! ""! #"$" #$ #$ ! #$ 为直线 的方向向量 当然 也是直线 的方向向量 ""! " ! "$# " ! 一般地 如果向量 与直线 平行 就称 为 的方向向量 " !#! " " ! " ! 两条直线垂直 它们的方向向量垂直 比如在本章 问题探索 $ ! # $ 例 中 直线 的垂直用它们的方向向量 之间的垂 ""! ""! # " #%"$& #%"$& 直来描述 从而可以用向量数量积的等式 来描述 ""! ""! " #%%$&’! !$%& 节的例题也是这样 ! 要证明两条直线平行 只要证明这两条直线不重合 并且它们的 " " 方向向量 与 平行 也就是证明其中一个方向向量是另一个方向 ""! ""! #$ %& " 向量的实数倍 是某个实数 ""! ""! !%&’(#$ &( ’! 要求两条直线 所成的角 只要先计算它们的方向向量 直线与平面所成的 #$"%& !" !! 角 的 取 值 范 围 是 所成的角 如果 则 否则 ""! ""! ! ! #$"%& ! & ! !%! & % ’ " !’! & ! ’ &! & %!" " !! !# ! " 此时 而不论 是否大于直角 都可由 !’!)!! ! " & & ""! ""! ’#$%%&’ ()*!’’()*!’’ & ’#$’%’%&’ 得出 !! 例 已知单位正方体 点 分别是棱 "( #$%& #$%& " *"+ & & & & 和 的中点 如图 求 $% %& " $ &#! #& & & & & & 与 所成的角 *+ ! 解 以 为原点 分 ""! ""! ""! ( # "#$"#&"## & 别为 轴 轴 轴的正方向建立空间直 , (- (. 角坐标系 则相关的点的坐标为 " & &!"&" & & & ’ &’"$ &&"!"&’"% &&"&"&’"* &" "& " 图 & & ’ $ &# 115 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· "! # ! !!!! " " 故 ##" ##" " ! ! # !#$ %"#!!!!#!!&!% ’ ! !# " ! " " 设直线 所成的角为 它们的方向向量 的夹 ##" ##" #$ !&! !! #$ !&! ! ! 角为 则 !! ! ##" ##" $#$ $&!$ $%&!%$$%&!$% ! ! $#$$$$&!$ ! ! " ! % 槡 % " 槡 " !#" "!#" " !"(!"$ ’ ( " " 这说明直线 所成的角 ! #$ !&! !% " ! ’ 例 若一非平面四边形对边长相等 证明两对角线中点连线垂 !! ! 直于两对角线 " 证法 如图 设 为不在同一平面内的四边形 "! ’ !(! #)*$ ! 是对角线 $#)$%$*$$!$)*$%$$#$!+ #* 的中点 是对角线 的中点 需要证明 !, )$ ! 且 +,%#* +,%)$" 因为 ##" ##" ##" ##" ##" "+,%"+#(#$($,#("+*( ##" ##" !*)(),# 图 ##" ##" %#$(*)! ’ !( 所以 ##" ##" ##" ##" ##" ##" "+,$#*%#$$#*(*)$#* 灵活运用三角形中 ! ##" ##" ##" ! ##" ##" ##" !! % "#$"(#*"’$*"#’ "*)"(#*"’#)"# 的余弦定理与向量夹角 " " 公式 ! ! ##" ##" ##" ##" ##" ##" % "#$"(#*"’$*"’*)"’#*"(#)"# " %#! 因此 +,%#*" 同理可证 +,%)$" 证法 因为 ##" ##" ##" ##" ##" ##" ##" !! )+,%"+#(#$($,#("+*(*)(),#( ##" ##" ##" ##" ##" ##" !"+#(#)(),#("+*(*$($,# 116 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· ""! ""! ""! ""! !"#$%#$"&$%&’ 所以 ""! ""! ""! ""! ""! ""! ""! ""! ""! ""! !()!"%!"#!"%$%#!"%$"&!"%$%&!"% ""! ""! ""! ""! ""! ""! ""! !"#!""#$#%#$%#!""#$#%#$"&! ""! ""! ""! ""! ""! #""&$&%#$%&!""&$&%# ""! ""! ""! ""! ""! ""! ""! !"#"$"#!#%*#%"$%#!"#$"&"$ ""! ""! ""! ""! ""! #"&!&%$%&!"&*%&" ""! ""! ""! ""! !"#"*#%"$"&"*%&"$ 即 ""! ""! # ""! ""! ""! ""! #()!"%! ""#"*#%"$"&"*%&"#!$$ ! 所以 #()$"%’ 同理可证 #()$#&’ 练 习 如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别为 #’ !!"#$$$ 则这条斜线与平面所成的角为 ##$"!"$$#$##$ "### "%#&$’#### "(#)$’#### "*#!+’#### ",#-$’ 已知长方体 中 求异面直线 "’ "#%& "#%& $"#!-$"&!!$## !+$ # # # # # 与 所成角的余弦值 &" "% ’ # 习题 # ! 已知正方体 的棱长为 分别是 #’ "#%& "#%& #$+$,$- && $#&$## # # # # # # 的中点 求证 求 与 所成角的余弦值 ’"## %+,$%,&""# +, %- ’ 已知直三棱柱 中 "’ "#% "#% $%"!%#!#$%#%"!&$’$""!"$($) # # # # 分别为 的中点 求 的长 求异面直线 与 所成 "#$"" ’"## #) &""# #" %# # # # # # 117 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 角的余弦 求证 !"!# $!"!#$% " " 已知正四棱锥 底面中心为 分别为 的中点 底面边 !% & !"#’ (%)%* &!%&# % 长为 高为 建立适当的空间直角坐标系 求异面直线 与 所成角的 #% $% % ") ’* 正切值 % 直线与平面的垂直关系 ３． ４ 直线与平面的垂直关系 !%$" "" 在必修第三册第 章中 我们已经学习了直线与平面垂直的一些 "" & % 基本知识 % 直线与平面的垂直 是通过直线与直线的垂直来定义的 % $ 如果一条直线 与一个平面 相交 并且垂直于平面 内所有的 + ! % ! 直线 就称直线 与平面 垂直 记作 % + ! % +!!% 向量是处理直线与直线垂直的强有力的工具 很自然地 它也是 % % 处理直线与平面垂直的强有力工具 % 在必修第三册中 首先来看 !! ! 通过探索和实验认识了 $ 定理 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线垂直于一个 这个定理 但是没有给 ! " " # 出一个数学证明 平面内两条相交直线 那么这条直线就与这个平面垂直 ! % % 利用向量的运算可以很容易对这个定理给 出一个证明 $ 设 是平面 内两条相交直线 直线 ,%- ! % + 与平面 交于点 且 如图 ! (% +!,%+!-% ! 求证 "&% $+!!% 图 证明 根据直线与平面垂直的定义 要证 ! "& " % 明 只需证明 对于平面 内任意一条直线 +!!% $ ! .%+!.% 从点 出发在平面 内作不等于零的有向线段 ( ! (!%("%(/% 118 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 分别表示直线 的方向向量 !!"!# !!"!#$ 由 相交知 是平面 内不平行的向量 根据平面向量基 !!" !!" ! $ 本定理 平面 内的向量 可以写成 的线性组合 ! ! # !!" " #%&!’("! 其中 是某两个实数 &!( $ 任取直线 的方向向量 则由 知 整个证明过程实质 ) %! )!!!)!" !! 上就是一句话 ! %#!%!!%#"%!$ 从而 !""!!#!"#!!" !"$""#$#%!!% 就这么简单 & %##%%#$&!’("%%&%#!’(%#"%&#!"(#!#!$ 这说明 从而 %!#! )!#$ 由于 是平面 内任意直线 就得到 # ! ! )!!$ 过空间任意一点 作平面 的垂线与 相交于点 则 称为 * ! ! * ! * ! ! 就好比光线垂直照 点 在平面 内的射影 !! * ! $ 射到平面 上 将点 ! ! ! 预先给定平面 空间任何一个图形的每一个点 在平面 上都 在平面 上投下一个影 !! * ! ! 子 有一个射影 所有这些 在平面 上组成一个图形 称为这个空 * ! * ! ! !!" ! ! 间图形在平面 上的射影 ! $ 直线 在平面 上的射影是什么图形 ) ! & 容易看出 如果直线 垂直于平面 那么 在 上的射影是一 ! ) !! ) ! 个点 就是 与 的交点 如果 与 不垂直 在 上的射影就是一 ! ) ! $ ) ! !) ! 条直线 $ 与平面 相交而不垂直的直线 称为平面 的斜线 关于平面 ! ) ! $ ! 的斜线 的射影 我们有如下命题 ) ! " 例 设直线 是平面 的斜线 是 !" ) ! !)+ ) 在平面 上的射影 是平面 内的直线 ! !, ! $ 求证 如果 则 "$%% ,!)+! ,!)’ 如果 则 $’% ,!)! ,!)+$ 证明 如图 设 与平面 相交于 图 " $ %&! ) ! $ %& 点 是直线 上与 不同的任意一点 是 在平面 内的射 -!. ) - !.+ . ! 影 则直线 平面 直线 就是直线 直线 就是 在平 ! .+.! !$ -. )! -.+ ) 面 上的射影 ! $ 119 书书书 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 任取直线 的方向向量 由 及 知 从而 ! !" ##$!! !"! ##$!!" $$# #$#!!%!" 我们有 $$# $$# $$# &#%&#$’#$#" 由 得 从而 $$# ""# !!($ !!&#$%!" $$# $$# $$# %%!!&#%!!"&#$’#$## $$# $$# %!!&#$’!!#$#%!#!$!" 故 即 $$# !!&#$ !!(" 由 得 而 因而 $$# $$# $$# $$# "%# !!( !!&#%!" &#$%&#)#$#$ $$# $$# $$# %%%!!&#$%!!"&#)#$## $$# $$# %!!&#)!!#$#%!&!$!" 故 即 $$# !!&#$$ !!($" 以上的结论 称为 ""# 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜 % $ 线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 $ " 结论 称为 "%# 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果它和这个平面 % $ 的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直 $ " 也可不用向量运算 而利用直线与平面垂直的判定定理推出三垂 $ 线定理及逆定理 " 例 的另一种证明方法如下 " " 如图 仍设 在 上另取一点 是 在 内的 ’ "($ (&!%&$ ( #$#$ # ! 射影 从而 且由 知 " ##$!!$ !"! ##$!!" 且 与 是平面 内两条相交 ""#!!&#$$!!##$$ &#$ ##$ &##$ 直线 由直线与平面垂直的判定定理得 平面 又 平面 " %!! &##$" (" 故 &##$$ !!(" 且 与 是平面 内两条相交 "%#!!&#$!!##$$ &# ##$ &##$ 直线 由直线与平面垂直的判定定理得 平面 又点 " %!! &##$" &$ 都在平面 内 因此 平面 故 #$ &##$ $ ($" &##$" !!($" 例 如图 所示 在四棱锥 中 底面 !% ’ ") $ * &#+, $*,! 底面 为正方形 分别为 的中点 求 &#+,$ &#+, $-$. &#$*# " 120 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 证 !!"!#$% 证法 面 !"""&$! ’(#$" 是 在底面 上的射影 )"’$ &’ ’(#$ % 又已知底面 为正方形 ’(#$ " )"#$!’$% 由三垂线定理可知 "#$!&’% 图 又 分别为 的中点 ! "# *"!"" ’("&( " )"!"#’&")"!"!#$% 证法 分别是 的中点 %%$ "%%$ #"""!"" ’("&( ")"!"& ’&% $ %%$ %%$ "%%$ %%$ " %%$ %%$ %%$ *"!"##$+ ’&##$+ $’$,$&%##$ $ $ " %%$ %%$ %%$ %%$ + $’$##$,$&##$%% $ 又底面 底面 %%$ %%$ &$! ’(#$")"$&!#$%)"$&##$+%% 又底面 为正方形 即 %%$ %%$ ’(#$ ")"’$!#$" "’$##$+%% %%$ %%$ )"!"##$+%%)"!"!#$% 练 习 已知直三棱柱 的底面 是等腰直角三角形 且 ’(# ’(# ’(# " ’’(#+&%’" " " " 为 的中点 问在线段 上是否存在点 使得 ’#+$-"((+!-"$ ’# % ’’ "" " " " " 面 若存在 求出 若不存在 说明理由 %%$ #"! ($"& " (’"(’ " % " 习题 " ! 在正方体 中 分别为 的中点 求证 面 "% ’# "!"" (( "$# % !’!! ’$"% " " " " 试判断 在棱长为 的正方体 中 棱 上是否存在一点 使 面 $% ! - ’# " $$ &" ($! " " " 121 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 若存在 求出 的长 若不存在 试说明理由 !"#! " $! # " % 已知 为 斜边上的高 将 绕 旋转至 !% #$ "#!"&# "&$’$"$" !"#$ #$ 使二面角 为 求证 面 求异面 !"(#$" "(#$ & %&’%$(% &&"(" "(#$#$$% 直线 与 所成角的余弦值 "(# &$ % 平面的法向量 ３． ５ 平面的法向量 !)*# ## 我们已经学会用方向向量来表示直线的方向 要计算两条直线所 ## % 成的角 只要计算这两条直线的方向向量之间所成的角即可 直线的 " % 平行或垂直关系 也可以转化为它们的方向向量的平行或垂直关系来 " 讨论和研究 % 能不能将任意一个平面 的方向用一个向量来表示 比如 与平面 平 !! ! ! ! ! 行的向量能不能表示这 如果有向线段 所在的直线与平面 平行 或者 在平面 个平面的方向 "& ! " "& ! " 上 就称向量 与平面 平行 %%$ " "& ! % 如果有向线段 所在的直线与平面 垂直 就称向量 与平 %%$ "& ! " "& 面 垂直 ! % 例 如图 在直棱柱 中 与哪些棱平行的 !# ! (+" "&# "&# " ( ( ( 向量与平面 平行 这些向量是否两两相互平行 与哪些棱平行 "&# " ! 的向量与平面 垂直 这些向量是否两两相互平行 "&# " ! 解 与 棱 # "&"&#"#"""&"&#" ( ( ( ( 平行的向量与平面 平行 这些向量并 #" "&# " ( ( 非两两平行 比如 两两不平行 %%$ %%$ %%$ % ""&"&#"#" % 与棱 平行的向量与平面 """&&"## ( ( ( 垂直 这些向量两两平行 "&# " % 一般地 与同一平面 垂直的向量相互平 图 " ! ! (+ 122 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 行 与同一个非零向量垂直的不同的平面相互平行 与平面平行的向量 ! ! !! 有各不相同的方向 不 与平面 垂直的非零向量称为 的法向量 平 ! ! ! !!"#$%&’()*"#"! 适合用来表示平面的方 面的法向量可以代表平面的方向 向 与平面垂直的向量 ! ! 相互平行 只可能有两 例如 在例 所说的直棱柱 中 和 都是 ! # + "#$ "#$ #" "" " ! " "" " ! 个相反的方向 能够确 + + + + + ! 平面 的法向量 定平面的方向 "#$ ! ! 例 如图 已知正方体 !# , -.# 求平面 的一 "#$% "#$% ! #%" + + + + + 个法向量 ! 解 设正方体的棱长为 以 为 # &! " 原点 以 的方向分别作 ""! ""! ""! # "##"%#"" + 为 轴 轴 轴的正方向 建立空间 ’ $( $) # 直角坐标系 则 的坐标分别 # ##%#" 图 + , -. 为 从 #!&#.#."#%!.#&#."#" !.#.#&"! + 而 ""! ""! #%*!+&#&#."###"*!+&#.#&"! + 如果能找出非零向量 同时垂直于 从而同时垂直 ""! ""! !*!’#(#)" #%##"# + 于平面 内两条相交直线 则 垂直于平面 是 #%" #%##"# ! #%" # + + + 平面 的法向量 #%" ! + 平面 ’!+&#&#."%!’#(#)"*+&’,&(*.# !$ #%" + %& ( !+&#.#&"%!’#(#)"*+&’,&)*. %’*(*) 其中 %!*!’#’#’"# ’).! 比如取 得到 正方体对角线 表示的 ""! ’*& !*!&#&#&"*"$! "$ + + 向量 是平面 的法向量 ""! "$ #%" ! + + 练 习 已知平面 中有三点 求平面 的法向量 +! ! "!-#,#+"##!/#+#-"#$!0#,#1"! ! ! 在棱长为 的正方体 中 试判断 是否是平面 的法 ""! -! & "#$% "#$% # "$ $#% + + + + + + + 向量 ! 123 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 习题 ! ! 已知 面 面 为正方形 试建立适当空间直角 !! "#" #$%&!"#’#$’"! #$%& ! 坐标系 分别求下列平面的法向量 ! " 面 面 面 面 #!$ #$%&%!! ##$ "#$%!! #"$ "$%%!! #$$ "%&! 在四面体 中 面 #! #$%& !#$" $%&!$%’%&!#$%&’%&’!##&$’"&’! 分别为 的中点 分别求出面 与面 的法向量 并据此 (!) #%!#& ! $() #$% ! 说明平面 与平面 的位置关系 $() #$% ! 在底面是直角梯形的四棱锥 中 面 "! * #$%& !##$%’%&’!*#" #$%&! 且 求面 与面 的法向量以及这两个法向 ! *#’#$’$%’!!#&’ ! *%& *#$ # 量所成角的余弦值 ! 直线与平面 平面与平面所成的角 ! ３ " ． # ６ ! 直线与平面、!平面与平面所成的角 !! 如果直线 与平面 垂直 很自然地定义直线 与平面 所成的 !! + ! ! + ! 角 为直角 ! " !"’ ! # 直线与平面所成的 如果直线 与平面 不垂直 则 在 内的射影是一条直线 !! + ! ! + ! +,! 角 的 取 值 范 围 是 将 与 所成的角 定义为直线 与平面 所成的角 + +, " + ! ! " !# !! ! 实际计算的时候 常常不容易确定 在平面 内的射影 作直 " ! + ! +,! 线 的方向向量 和平面 的法向量 取 与 所成的角 + ! ! "! ! " "!"$ ! ! 124 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 则直线 与平面 所成的角 可由 " !# ! !! ! ! ! "" #"! " " # !!$"! $%&""’($"" # !!!$!"! 求出 "$ 例 如图 已知正方体 求直线 !" ) "#! %&’( %&’(! %& # # # # 与平面 所成的角 的正弦值 &(% " $ # 解 设正方体的棱长为 以 为原 " )$ % 点 以 的方向分别作为 $$# $$# $$# ! %&!%(!%% * # 轴 轴 轴的正方向 建立空间直角坐 %+ %, ! 当然可以取 ##" 标系 !! 为 的 ! 方 " 向 # $ !$"!"!# !" 向量 但取它的实数倍 直线 的方向向量可以取作 " %& !"&#! 更简单 !""!"!# % !!!’$ 是平面 内两条相交直 &(!(% &(% 图 节例 求平面 # # ) "# !!!"# $ 线 的法向量是通过 !& $$ ( # "&#)!)!!’!( $$ % # # "&!!#)!)’! ! 解 " 方 # 程% 而在这里是怎 由 ! 样求出法向量 "%!%! 的 凑的 只要凑 &#!#!#’$&#)!)!!’"#)-)"!! % 出 # 一个 $ 非零的 % "$!%! 与 &#!#!#’$&!!#)!)’"#)-)"! &# "’!(’!&#!"&! 的数量积都是 知 垂直于 从而垂直于平面 因此 是 $$# $$# (’!’# ""&#!#!#’ &(!(%! &(%! " 就找到一个法向量 # # 平面 的一个法向量 &! ) &(% $ # 设 与 的夹角为 与平面 所成的角为 则 ! " "!! &(% "! "" # # ! #"! " # 槡 !!$"! !#*#+#*!+#*!! ) $%&""!’($"!" " 槡 " $ # !!!$!"! #* #"-#"-#" ) 我们在必修第三册第 章中学习过二面角的概念 现在来回顾 , ! 一下 ("" 在一个平面上作一条直线 则这条直线将平面分成两部分 其中 ! ! 每部分都称为半平面 从一条直线 出发的两个半平面 组成的 $ ! !! # 图形叫作二面角 记为 这条直线 称为这个二面角的棱 半 ! !!#$ ! ! 平面 都称为这个二面角的面 也可以在两个面内各取一个不在 !! # $ 125 书书书 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 棱上的点 将二面角记作 !!"! ! # "$ 二面角的大小可以用它的平面角来度量 过二面角 的棱 $ !#" # 上任意一点 作垂直于棱 的平面 分别与两个面 相交得到两 % # ! !! " 条射线 则 称为二面角 的平面角 本书中约 %!!%"! !!%" !#" $ 定平面角的度数在 范围内 并且将平面角 的度数也 !"!#$!" ! !!%" 称为二面角 的度数 特别地 当二面角 是 时称它 ! #" $ ! !# " %!" 为直二面角 此时称两个面 相互垂直 ! !! " $ 设两个平面 相交于直线 则以 为棱 两个面可以构成四 !! " #! # ! 个二面角 其中最小的一个二面角称为这两个平面所成的角 取值范 ! ! 围是 两个平行平面所成的角为 " "# !! $ !"$ & 实际计算二面角或两个平面所成的角的大小时 有时不容易确定 ! 二面角的平面角 而可以通过两个平面的法向量求解 ! $ 例 已知单位正方体 分别是棱 ! " !"&’ !"&’ !(!) # # # # 和 的中点 如图 试求 "& &’ ! ’ &&$ $ # # # # 与平面 所成的角的正弦值 "##!) "(’ % # 二面角 的余弦值 图 "&# & ’" " " ’ &’#$ # # 图 图 ’ && ’ &’ 解 以 为原点 分别为 轴 轴 轴的正 $$# $$# $$# " ! !!"!!’!!! * &+ &, # 方向建立空间直角坐标系 则相关的点的坐标分别为 ! ""#!!!!#! " # # "# # ’"!!#!##!""#!!!##!&"#!#!##!(#! !# !) !#!# $ # # # & & 平面 的法向量 垂直于 和 而 $$# $$# $$# "## "(’ ! "’ "($ "’ -".#!#! # # # 由 可取 再由 $$# " # # " # # ##!"(- !! !# $ !’ !! !# -! !-"*!&!.##$ !’ & & 126 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 得 故 !!!"!"!#"!#$"#!$% #"!% !"!!"""!!#% 设 与 所成的角为 则 ""! &’ ! !" !! # , ""! !!"""!!#$ "!"! 槡 !$&’ " " ) &’(!" #!#$#& "" ’ ! # " 槡 )$ 槡 * " 槡 )$ , " ) % + " 槡 与平面 所成的角为 由 ! ) &’ ()* !" !!"(-.!"&’(!" " ! ! " ! ) 槡 此可得所成角的正弦值为 ) % ) 由于 ""! !"# $*("!!"%"%#!!%"!"%#"!!"!!"%#" ""! *+"!!"!"!#!!%"!"%#"!!"%"!#" ! ""! (("!!"%"!#!!!"%"%#"!%"%"!#% ! 所以平面 的法向量 应与 及 *(+ ! !!"!!"%# !!"%"!# ! ! 都垂直 易验证 符合要求 " !"!!"!"!!# % ! 又 因而平面 的法向量 应与 ""! (("!%"%"!#" *(( ! !!"!!"%# ! ! " 及 都垂直 易验证 符合要求 !%"%"!# " !"!!"!"%# % " 因此 分别为平面 与 的一个法向量 "!"! *(+ *(( % ! " ! ! 设 所成的角为 则 !"! !," ! " !$! $$$$$&’(!," ! " #!#$#!# ! " !!"!"!!#$!!"!"%# "槡 槡 !"$!"$!!!#"$ !"$!" 槡 " ) " 槡 " % ) , 槡 所以 所求二面角 的余弦值为 ) " + *( ( % ! ! , 练 习 正方体 中 是 的中点 则平面 与平面 !% &(+* &(+* ") (+ " (*) &(+* ! ! ! ! ! ! 127 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 所成的二面角的正弦值为 !!!" 槡 槡 槡 " % " " !!" !!!! !$" !!!! !&" !!!! !(") # " ’ 一个正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为槡 则其侧面与底面 "! %*"# 所成的角为 !!!" !!")+,!!!! !$"’-,!!!! !&"#+,!!!! !("%-, 习题 ! ! 如图 所示 已知直三棱柱 中 )! ’ "# # "#$ "#$ # ) ) ) 为 的中点 "$%$#%""%"#""$#%.-,#& ## # ) ) ’#"##""’&%.-,! ) 求证 平面 !)" $$’$ "##"% ) ) 求二面角 的余弦值 !"" ’ "$ " ! ) 以正方形 的对角线 为棱折成直二面角 "! "#$’ #’ # 图 ’ "# 连接 求二面角 的余弦值 "$# " $’ # ! 在三棱锥 中 面 求二面角 ’! ( "#$ #($$ "#$#"#%#$%$"%($# # "( 的余弦值 $ ! 点到平面的距离 !３"．#７ ! 点到平面的距离 !! 从空间中一点 到平面 作垂线 交平面 于 则线段 !! ( ! (’ ! ’# (’ 128 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 的长度 称为点 到平面 的距离 ! " ! # 假如知道了平面 的法向量 以及平面上任一点 不需要找出 ! ! $! 垂足 的位置也能求出点 到平面 的距离 此时向量 在法向 ""! % " ! !# $" 量 所在方向上的投影长度 就等于点 到平面 的距离 ! ! " ! # 从 出发作 过点 作 的垂线交 于点 则 ""! $ $&’!! " $& $& " ! ! 就是 在法向量 上的投影长 且 ""! ""! #$"# $" $& ! ! ""! #$""!# !’#$"#’##$"#"#$$"$&#’ # ! #!# 这样 就可以由 与 通过数量积运算得出 ""! ! $" ! !# 例 如图 在三棱锥 中 棱长 % % &’! ( $)* ! #($#’+!#()#’ 都 ,!#(*#’-!$$()!$)(*!$*($ 是直角 求底面 上的高 ! $)* # 解 以 为原点 以 的 ""! ""! ""! % ( ! ($!()!(* 方向分别作为 轴 轴 轴的正方向 . #/ #0 ! 建立空间直角坐标系 则三棱锥各顶点的 ! 坐标分别为 ($(!(!(%!$$+!(!(%!)$(!,! 图 (%!*$(!(!-%# % &’ 因此 ""! ""! $)’$1+!,!(%!$*’$1+!(!-%# 设平面 的法向量 则 $)* !’$.!/!0%! ’$1+!,!(%"$.!/!0%’1+.2,/’(! & ( $1+!(!-%"$.!/!0%’1+.2-0’(# 解得 其中 可以任意取值 +. +. $ +.+.% /’ !0’ !!’ .! ! ! . # , - , - 若令 则 .’,-! /’+-!0’+,!!’$,-!+-!+,%# 由于底面 上的高 就是顶点 到底面 的距离 $)* 3 ( $)* ! 所以 #( "" $ ! "!# #$+!(!(%"$,-!+-!+,%# %%3’ ’ 槡 #!# $,-%&2$+-%&2$+,%& +,- ’槡 # ,&-&2+&-&2+&,& 设直线 平行于平面 则 上所有的点到 的距离相等 称为 4 !! 4 ! ! 4 与 的距离 显然 只要在 上任取一点 求出 到 的距离 就 ! # ! 4 "! " ! ! 129 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 得到了 与 的距离 ! ! " 设两个平面 与 平行 则 上所有的点到 的距离 相等 ! " ! " ! # ! 称为两个平行平面 之间的距离 显然 只要在 上任取一点 # !! " " ! " 求出 到 的距离 就得到了这两个平面的距离 $! $ ! ! " 练 习 已知正方体 的棱长为 则直线 与 间的距离为 !" %&’( %&’( !! (% %’ !!" ! ! ! ! ! 设 求点 到平面 "" %""!#!!#!&"$!!!"#!’"%!#!&#!(")’!)$!(#! ( 的距离 %&’ " 习题 ! ! 三棱锥 的角 都是直角 求证 四个面的面积 这可以看作勾股定 !" * %&’ "%*&!"&*’!"’*% " $ !! 理在空间中的推广 满足条件 提示 设 ! *" +*" +*" ,*" " " $ $*%$,-!$*&$,.! #*%& #*&’ #*%’ #%&’ 易求出三个面 的 $*’$,/! #*%&!#*&’!#*%’ 面积及棱锥的体积 在 节的例题中已经求出棱锥 0" #)& 底面 上的高 由 可求出 ! %&’ 1! 0, * 1 * "# # #%&’ #%&’ 如图 所示 四面体 中 两 "" # "% ! %&’( !%&!&’!&( 两垂直 且 是 的中点 异面直线 ! %&,&’,"!2 %’ ! 图 槡 # "% 与 所成角的余弦值为 求此四面体的体积 !* %( &2 ! " !* 130 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 正四棱柱 中 点 为 中点 求点 !! "#$% "#$% !"#&"!""&#! ’ $$ ! % " " " " " " " 到平面 的距离 #%’ ! 共面与平行 !３"．#８ ! 共面与平行 !! 我们知道 空间中三个点一定在同一个平面内 但四个点不一定 ! ! 在同一平面内 ! 如果若干个图形在同一个平面内 就称这些图形共面 ! "$%&’()(*#! 怎样判断四个不同的点 是否共面 "!#!$!% $ 假如其中三个点 在同一条直线 上 过 与 可以作 "!#!$ ( ! ( % 平面 同在这个平面内 共面 !"!#!$!% !"!#!$!% ! 因此只需考虑 不共线的情形 此时 确定一个 "!#!$ ! "!#!$ 平面 设 是平面 的任意一个法向量 则 ! ! "#$ ! 共面 直线 在平面 内 "!#!$!% " "% "#$ $$# ""%%!! 于是 我们利用平面的法向量来判定一直线与该平面是否共面或 ! 平行 因此 我们有如下结论 ! ! % 一般地 设 是平面 的一个法向量 是直线 的方向向量 ! ! ! !" ( ! 则 或 "%!"(&! (’! 如果 且 上至少有一点 则 "%! ( "(!! (’!! 如果 且 上至少有一点 则 "%! ( ")!! (&!! 例 如图 设在空间建立了直角坐标系 已知三点 $! ! #+! ! """! 131 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 而 $!$"!!#$!%!$"!"#$!$!%"! ##$!%!&" 是空间任意一点 求 四点 ’ (!!!"!# 共面的充要条件 ’ 解 设平面 的法向量为 则 ! (!" !! 应垂直于 而 ! (!!("’ ##" ##" !!(!)#*%!%!$"!(")#*%!$!%"’ 图 易验证 垂直于 ! "# !)#%!%!%" #*%!%!$" 和 因此 是平面 的一个法向量 #*%!$!%"! !#%!%!%" (!" ’ 点 平面 直线 平面 #$ (!"% (#& (!" 是平 ##" !!!"#"$%! %!$(#)$ 面 上的点满足的 &’( 条 件 也 就 是 平 面 %#%!%!%"$#$*%!%!&")$*%&%+&)$ ! 的方程 &’( ) %$+%+&)%’ 例 如图 已知矩形 和矩形 垂直 以 !! ! "’! (!", (,-. ! (, 为公共边 但它们不在同一平面上 点 分别在对角线 ! ’ /!0 !,! 上 且 证明 % % (- ! ’!/’) ’!,’!’(0’) ’(-’’ %/0( ! ! 平面 ",-’ 证法 设 "! ’,(’)1!’,"’) 2!’,-’)3’ 以 为原点 分别以 ##" ##" , ! ,"!,(! 为 轴 轴 轴的正方向 建 ##" ,- $ &% && ! 立空间直角坐标系 则相关的点的坐 ! 标 为 !#2!1!$"!(#$!1!$"! 图 ! "’ -#$!$!3"’ 由于 垂直于平面 内两条相交直线 故 是 ##" ,( ",- ,"!,-! ,( 平面 的法向量 ##" ",- !,()#$!1!$"’ ##" "##" " #" " " !!!,/) ,!) #2!1!$") 2! 1!$ ! ! ! ! ! ##" ##" %##" % # " % " !!!,0),(+ (-)#$!1!$"+ #$!*1!3") $! 1! 3! ! ! ! ! ##" # " % " #" " " # " % " /0) $! 1! 3* 2! 1!$ ) * 2!$! 3’ ! ! ! ! ! ! 132 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 故 ""! ""! # ! $ $ !"!#$% & ’"#" (!##")"#$%#* " " 显然点 不在平面 上 因此直线 平面 ! +#, " !"# +#,* 证法 将 表示为三个基本向量 的线性 ""! ""! ""! ""! !$ !" #+"#,"#$ 组合 % ""! ""! ""! ""! $$$$!"%!-.-$.$" $""! ""! $""! % #-.-$. $, " " $ ""! ""! ""! $ ""! ""! % ##+.#$$.#&#+$. ##,&#$$ " " !""! $""! %& #+. #,* " " 结果发现 是平面 中两个向量 的线性组合 从点 ""! ""! ""! !" +#, #+"#, * # 出发作 则 平面 ""! ""! !""! $""! #/%!"%& #+. #," #/% +#,* " " 显然 不在平面 内 但由 知道 平行于平 ""! ""! !" +#, * !"%#/ !" 面 内的直线 由直线与平面平行的判定定理知 平面 +#, #/" !"# +#,* 练 习 如图 在四棱锥 中 底面 $* " !%" 0 $-+# " $-+# 是正方形 底面 "0$& $-+#"0$%$-"!"" 分别是 的中点 求证 面 0-"0# * %-## $!"* 要求至少用两种方法加以证明 # *$ 正方体 中 分别为 !* $-+# $-+# ","1 $-" $ $ $ $ $ 上的点 且 求证 图 $+ " $,%!,-"+1%!$1* % " !% $ 面 ,1# $-+#* $ $ 133 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 习题 ! ! 如图 所示 正方形 和正方形 交于 分别是 !! " "# ! "#$% "#&’ "#!(!) #%! 上的点 且 试用向量方法证明 平面 "& ! ")*%(! "()" &#$! 图 " "# 分别是棱长为 的正方体 的棱 的中 $!&!’!+!, - "$ #$!$%!"%!#% ! ! ! ! 点 求证 平面 求 的长 求证 平面 !#!$ "+," %$$%%#$$ +, %#"$ "&’" ! ! ##%%! ! ! 已知正方体 的棱长为 分别在 上 且 "! "#$% "#$% -!&!’ "# !#% ! #& ! ! ! ! ! ! 求证 平面 *#’! "&’" #$$#! ! ! 向量的线性相关 节例 的证法 提出了判断一条直线 平行于一个平面 "%& $ $ () ! 的另外一个方法 ! 134 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 设 是平面 内两条相交线段 根据平面向量基本定理 !"!!# ! $ ! 平面 内任何一条有向线段 表示的向量 都能写成 """! ""! ! % & %& !"! ! ! ! ! 的线性组合 的形式 反过来 假如直线 ""! """! ""! ""! !# % & ’(!")*!# $ ! %& ! ! 的方向向量 能写成 的线性组合 从平 ""! ""! ""! ""! ""! ""! %& !"!!# %&’(!")*!#! 面 内的点 出发作 则 在平面 内 ""! ""! ""! ""! ! ! !+’%&’(!")*!#! !+ ! $ 由 知道直线 与 平行或重合 如果 不在平面 ""! ""! %&’!+ %& !+ ! %& ! 内 则 ! %&#!$ 一般地 设 是空间四个点 其中 不共 ! ,!-!"!! ! ,!-!" 线 则由平面向量基本定理可知 ! " 共面 在平面 内 存在实数 使 ,!-!"!! $,! ,-" $ (!* 图 ""! ""! ""! ,!’(,-)*," # " "!$$ 图 " "! 可见 ""! ""! ""! %&’(,-)*," 平面 %%$%&& ,-" 或 平面 %% %&# ,-" 而如果 是直线 的方向向量 则 ! . ! 平面 ""! ""! !’(,-)*,"$.& ,-" 或 平面 %%%%%%% .# ,-"$ 如果向量 可以用平面 内的有向线段表示 就称向量 与平面 如果 可以用平面 ! ! ! ! !! ! 内的有向线段 表 平行 记为 ! ! !#!$ ! 示 一定也可以 !" 用与 如果一组向量可以用同一个平面内的有向线段表示 我们称这些 !! 平行的有向线段表 ! ! 示 所以我们不称 在 向量共面 而这也就是说这一组向量平行于同一个平面 # ! $ $ 平面 内而说 与 我们知道 两个向量一定共面 但三个向量不一定共面 怎样判 ! ! ! 平行 ! ! $ #! 135 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 断三个向量 是否共面 !!"!# " 我们有 定理 三个向量 共面 中有一个向量是其余两 ! !!"!# "!!"!# 个向量的线性组合 ! 证明 从同一点出发作 $$# $$# $$# ! "#$!!"%$"!"&$#! 先设 不平行 相交 由平面向量基本定理得 !!" !"#!"% ! # 两个向量线性相关 共面 平面 !! !!!!"!# ""&% "#% 这两个向量共线 平 " ! 存在实数 使 $$# $$# $$# 行 试自己作出证明 " ’!( "&$’"#)("% "! ! 是 的线性组合 "# !!" ! 再设 此时可作平面 包含 当然 也包含 !$!! ! "%!"&! ! "#! 此时 共面 并且 是 的线性组合 !!"!# ! !$!$")!$#!! "!# ! 最后设 平行且 此时 在直线 上 可作平面 !!" !&!! "% "# ! ! 包含 平面 也包含 共面 此时存在实数 "#!"&! ! "%!!!"!# ! ’ 使 是 的线性组合 "$’$!$’$!)!$#!" !!# ! 综上所述 可知在所有情况下定理的结论都成立 ! ! 如果一组向量中有一个向量是其余向量的线性组合 就称这一组 ! 向量线性相关 %"#$%&’"()%*%$)%$+&! 按照这个说法 定理可以重新叙述为 ! # 三个向量共面 这三个向量线性相关 " ! 根据这个定理 要证明四点 共面 只要证明 $$# ! #!%!&!* ! #%! 线性相关 要证明直线 平行于平面 只要证明 $$# $$# #&!#* ’ +, #%&! 线性相关 并且 不在平面 内 $$# $$# $$# +,!#%!#& ! +, #%& ! 136 书书书 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· !!! 小结与复习 一 指导思想 ! !! 空间向量是研究空间图形的有力工具 ! 平面上的向量都可以看作空间中的向量 空间中两个向量的运 ! 算可以直接看作平面上两个向量的运算 二者没有什么区别 平面 ! ! 向量的坐标由两个实数组成 空间向量的坐标由三个实数组成 这 ! ! 是二者的主要区别 但它们的坐标运算也是完全类似的 空间向量 ! ! 的知识不需要再花多少时间去学习 重要的是学会用向量及其运算 ! 来描述空间图形及其性质 解决空间图形的有关问题 ! ! 空间中线段的长度 两点的距离可以通过向量的模来计算 " ! 直线的方向可以用方向向量描述 平面的方向可以用法向量描 ! 述 这样 直线与直线 直线与平面 平面与平面所成的角都可以 ! ! " " 转化为向量之间的夹角的问题 通过向量的运算来解决 这也包括 ! ! 了直线与平面的平行关系的判定 点到平面的距离 也可以转化为 ! ! 点到平面的任一向量到平面的法向量上的射影来计算 ! 二 内容提要 ! !! 空间向量的概念及运算 与平面向量类似 !! # ! 空间向量的分解与坐标 "! ! 向量的坐标 设 是空间中两两垂直的单位向 $!% # !!!!! ! " # 量 则任一向量 可以分解为 的线性组合 ! " !!!!! # ! " # ""#!$%!$&!! ! " # 其中的系数 由 唯一确定 称为 的坐标 #!%!& " !$#!%!&% " ! 坐标运算公式 $"% ! 加减法 #$#!%!&%’$#!%!&%"$#’#!%’%!&’&%! ! ! ! " " " ! " ! " ! " 137 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 与实数的乘法 !!""###$$%"!"#!##!$$& 数量积 !""###$$%""###$$%""’##’$$& ! ! ! " " " ! " ! " ! " 向量的模 设 则 槡 ! !%""###$$# !!!% ""’#"’$"& 向量的夹角 设 它们的夹角 ! !%""###$$#!%""###$$# ! ! ! ! " " " " 为 则 !# !%! ""’##’$$ #$%!% ! " %槡 ! " !槡" ! " & !! ! !%!! " ! ""’#"’$"% ""’#"’$" ! ! ! " " " 点的坐标与向量坐标 设 则 "&$ ! (""###$$#)""###$$# ! ! ! " " " ##" ()%""*"##*##$*$$& " ! " ! " ! 用向量和坐标描述空间图形的性质 && ! 两点 的距离 为 "!$ (""###$$#)""###$$ + ! ! ! ! " " " () 槡 + % ""*"$"’"#*#$"’"$*$$"& () " ! " ! " ! 两条直线 所成的角 ""$ ,#, !! ! " 设 和 分别是 的方向向量 则 ! ! ,#, # ! " ! " !!%!! #$%!%!#$%&!#!’!% ! " & ! " !!!%!!! ! " 直线 与平面 的夹角 "&$ , " !! 设 是直线 的方向向量 是平面 的法向量 则 ! , #" " # %’(!%!#$%&!#"’!& 两个平面 所成的二面角 ")$ "#" !! ! " 设 分别是 的法向量 则 "#" "#" # ! " ! " #$%!%!#$%&"#"’!& ! " 共面与平行的判定 "*$ ! 设 是直线 的方向向量 是平面 的法向量 则 ! , #" " # 或 !%"%+$,%" ,&"& 三个向量共面 其中某个向量是其余两个的线性组合 $ & 两个不同的平面平行 它们的法向量平行 $ & 三 学习要求和需要注意的问题 ! ’’ 学习要求 !& & 138 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 了解空间向量的概念 了解空间向量的基本定理及其 !!" # 意义 $ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 !"" $ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示 能利用向量的数量 !#" # 积判断向量的共线与垂直 $ 理解直线的方向向量与平面的法向量 !$" $ 能用向量语言表述有关线线 线面 面面的垂直和平行 !%" % % 关系 $ 能用向量的方法证明有关线 面位置关系的一些重要定 !&" % 理 并能解决线线 线面 面面的夹角的计算问题 # % % ! 需要注意的问题 "! ! 要注意运用类比的方法 经历向量及其运算由平面向空间 !!" # 推广的过程 充分体会向量方法在研究空间几何问题中的作用 # $ 灵活选择运用向量方法与综合方法 从不同角度解决立体 !"" # 几何问题 不能强求统一 # ! 四 参考例题 ! !! 例 如图 在直棱柱 中 底面是等腰三 !! # #"# "#$ "#$ # ! ! ! 角形 侧棱 #""$#%’()# "" %"#&# ! 分别是 与 的中点 点 在平 ’ $$ "# # ’ ! ! 面 上的射影是 的重心 "#& #"#& (! 求 !!" $$"$$ 求 与平面 所成角的 !"" "# "#& ! 正弦值 $ 求点 到平面 的距离 !#" " "’& ! ! 图 解 设 # #" ! $$"$%$$#$%)! 以 为原点 的方向分别为 轴正方向 &&% &&% &&% $ #$"#$##$$ *#+#, ! 建立空间直角坐标系 则相关的点的坐标分别为 # "!)#(#("##!(#)#("#" !)#(#""#$ !(#(#""#&!(#(#!"# ! ! 139 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· "" " # ! ! !" # ! ! 从而 ""! " ""! ""! ""! "" " "# $%& "$’($)($*#& ! ! ! # # # # ""! "" " # "" " "# "" " !# %!& ! !" + ! ! & ! ! # ! ! # # # $ $ # 是 在平面 上的射影 平面 ""#% ! ’)* #%!$ ’)* %%!$*)# 而 ""! &*)&"%!"!%#+"%!%!"#&"%!"!+"## 故 ""! ""! "" " !# "! ! &%!$*)& ! ! $"%!"!+"#& + &%%"&!# $ $ # $ # 即 &’$’’&!# 要求 与平面 所成的角 先求 的方向向量 "!# ’) ’)* !! ’) " " 和平面 的法向量 ! ’)* "# " 不妨取 ""! """! ’)&"%!!!%#+"!!%!!#&"+!!!!+!## !&+ ’)& " ! " ""!+"!"## 平面 且 ""! ""! "$ ’)*#"$’)&% "$*)&%# " " " 由 可取 ""! ’)&"+!!!!%## "$"+!!!!%#&% "&""!"!,## " " 则 ""! *)&"%!!!+"#! ""!"!,#$"%!!!+"#&!&,&%#,&!# 故可取 因此 "&""!"!!## ! " 槡 ’""!+"!"#$""!"!!#’ ! ! ’()!&’*+’%!!" " &’& 槡 #$ 槡 $ & # 槡 ! & # # 槡 故所求角的正弦值为 ! # # 要求 到平面 的距离 先求平面 的法向 "## ’ ’!* ! ’!* " 量 "#& ! 垂直于 由 知可 ""! " *!!’!# !*&""!"!"#+"%!%!"#&""!"!%# ! 取 "&""!+"!,## ! 由 得 ""! ’!&""!"!"#+"!!%!%#&"+"!"!"#! ""!+"!,#$ "+"!"!"#&+!,,&%!,&!!"&""!+"!!## ! 140 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 点 在平面 上 在 上的射影长 ""! ""! ! !"# !!!$""!"!##%!! ! & ! ! # 就是所求距离 % ""! 槡 #!!$!# #""!"!##$"!!’!!### % # $ &$ ! # $ 槡 $槡$ % #! # # $ $ & 例 如图 所示 点 是边长为 的正方形 的 !$ & &&"’# ! ( % !)*# 中心 点 分别是 的中点 沿对角线 把正方形 ! "!+ !#!)* ! !* !)*# 折成直二面角 求 的大小 求二面角 # !* )%"!# %"(+ %"## 的余弦值 " (+ ! % 图 & && 解 如图 所示建立空间直角坐标系 则 $"!# & &&"(# ( ,-.! 槡 !"#!’#!"#!)"#!#!"#!*"’#!#!"#!#""!"!# ##% 槡 /$""!!’!! ##!+""!#!"#% 槡 ""! ""! /$("$"!!’!! ##!(+$""!#!"#% ""! ""! ""! ""! ("$(+ ! /$)*+&("!(+’$ ""! ""! $’ % #("##(+# # ""! ""! 0$&("!(+’&"",!!-",#! 即 ""! ""! /$&("!(+’$!#",% $%"(+$!#",% 设平面 有法向量 "## ("+ !$",!-!.#% ! 且 ""! ""! 0$("$!$" (+$!$"! ! ! 槡 槡 (,’-1 #.$"! (,1 #.$"! / ’ $/ ’ )#-$"% )-$"% 取 得 槡 则 槡 .$! ,$’ #! !$"’ #!"!!#% ! 141 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 又 面 !!"#" $"%! 面 的法向量为 $$# &! $"% "#’"!!!!"#( 由图易知二面角 的大小 为锐角 ) "% $ ! ( $$# 槡 &!#$%!’%#$%$! " !" $$ # # %%’ % % ! ! " % & % " " $$ # # # % % ’ & & ( " 复 习 题 三 已知 若 则 "( "’"’*!"!&#!#’""!+’,!(#! "&#! "!!# " " ")#*’"!,’"!!!!!!!!"*#*’ !,’+ ’ ’ " & " & "+#*’ !,’+ !! "-#*’+ !,’ , ’ , ’ 已知 若 则 ’( "’"’-!-!’#!#’"-!-."!+.#! ""#! ".#’!!!!( 空间两个动点 则 的最小值为 $$# &( $""/*!"/*!*#!/"’!*!*#! %$/% !!!!!( 已知三点 则 $$# $$# 0( $"!!"!"#!/""!’!"#!0""!"!’#! #$%$$/!$0%’!!!!!!( 已知空间四边形 且 则 与 所成角 ! $$# $$# .( "$/0!"/’"0! ’$"/’’$"0’ ! "$ /0 & 的余弦值为 !!!!( 在四棱锥 中 面 底面 是直角梯形 为梯形 ,( 1 $/0# !1#" $/0#! $/0# !$# 的高且 求异面直线 与 所成角的余弦值 1#’$#’$/’"!0#’’! 10 /# ( 已知点 平面 点 则 且 是 $$# $$# $$# $$# $$# 1( $!/!0( "! 1)"! $1&$/’! $1&$0’! $1& 的 $$# /0’! "!!# 142 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 充分而不必要条件 必要而不充分条件 !!" ! !"" 充要条件 既不充分又不必要条件 !#" ! !$" 试判断 四点是否 %! "!&#’#&"##!(#(#)"#$!*#*#+"#%!&’#&(#&," 共面 ! 已知 求 与 的夹角的 -! !&!./0!#!"#"&!012!#&#./0!"# !’" !(" 大小 ! 已知空间两个不同的单位向量 与 &’! !&!)#*#’"#"&!)#*#’" #&!&#&# & & * * 的夹角都等于 求 和 的值 求 ! &" !!&" )’* )* $!*" ./0%!#"&! ( & & & & 正方体 中 分别为 的中点 棱 &&! "$ #+#,#-#. "%#"##%$##$ # & & & & & & & & & 长为 求证 平面 平面 求平面 与平面 (!!&" ’ +,"" -.#%$!*" +," -.#% 之间的距离 ! 已知 面 四边形 是边长为 的正方形 是 的中点 &*! /%# "#$%# "#$% * #- /# # 槡 建立适当的空间直角坐标系 写出点 的坐标 %%$ %%$ + ./0%%/#"-&& !!&" # - $!*" + 在平面 内求一点 使 平面 /"% .# -.# /$#! 在长方体 中 为 上一点 且 &+! "$ #"#&3#"%&%#""&(#+ #$ # #+&*# & & & & & 点 在线段 上 求 求直线 与 %%$ %%$ , "% #"%#",!!&" ./0%"%#"+&$!*" "% & & & 平面 所成角的正弦值 求平面 与平面 所成角的正 ",+ $ !+" ",+ "#$% 切值 ! 在空间四边形 中 若 两两垂直 求证 必为锐 &(! /"#$ # /"#/##/$ # ’&"#$ 角三角形 ! 已知 面 且四边形 是边长为 的正方形 分别为 &3! 0$# "#$%# "#$% ( #-#. 的中点 求点 到平面 的距离 "##"% #0$&*# # -.0 ! 平面的方程 在 节例 中 求出了与三个已知点 &)! +4% & # "!&#’#’"##!’#&#’"#$!’#’#&" 共面的点 的坐标 所满足的条件 这其实 /!)#*#1" !)#*#1" )’*’1&&! 就是过这三个点的平面 的方程 "#$ ! 143 书书书第 ３ 章 空间向量与立体几何 ··········································· 采用同样的方法 可以求出在空间坐标系中给定的平面的方程 ! ! 试求过点 的平面 的方程 其中 "!# ""#!"!"#!$""!%!"#!&""!"!’# "$& ! 都不等于 #!%!’ "! 已知平面 有法向量 并且经过点 求平面 的方程 "## ! !("!!!!!#! "!!"!"#! ! ! 已知平面 有法向量 并且经过点 求平面 "$# ! !(""!$!&#! )"*!+!,#! ! " " " " 的方程 提示 空间任意一点 将用向量表示的 %%$ !" $ )"*!+!,#!!"!#))! " 这个几何条件翻译成坐标等式 !# 已知平面 的方程 证明 是平面 的法 "%# ! "*-$+-&,-.("! $!(""!$!&# ! 向量 提示 对平面上任意两点 证明 %%$ !" $ )!)! !#))!# ! # ! # 参照 节所说的方法求点到平面的距离 "&# $’( ! 求点 到平面 的距离 " "!!!!!# *-+-,(! % 求证 点 到平面的距离 # $ )"*!+!,# ! ! ! ! &"*-$+-&,-.& /( ! 槡 ! ! ! "#-$#-&# 并将这个公式与平面解析几何中的点到直线的距离公式进行比较 ! 144 书书书附 录 ···················································· 附 录 4 4 数学词汇中英文对照表 按词汇所在页码的先后排序 ! " 中文名 英 文 名 页 码 4 4 4 4 命题 4 !"#!#$%&%#’ ( 真命题 4 &")*!"#!#$%&%#’ ( 假命题 4 +,-$*!"#!#$%&%#’ ( 猜想 4 .#’/*.&)"* 0 原命题 4 #"%1%’,-!"#!#$%&%#’ 2 逆命题 4 .#’3*"$*!"#!#$%&%#’ 2 否命题 4 ’*1,&%3*!"#!#$%&%#’ 2 逆否命题 4 .#’3*"$*4’*1,&%3*!"#!#$%&%#’ 2 充分条件 4 $)++%.%*’&.#’5%&%#’ 6 必要条件 4 ’*.*$$,"7.#’5%&%#’ 6 充分必要条件 4 $)++%.%*’&,’5’*.*$$,"7.#’5%&%#’ 89 非 4 ’#& 8: 且 4 ,’5 8: 或 4 #" 82 全称量词 4 )’%3*"$,-;),’&%+%*" 8< 存在量词 4 *=%$&*’&%,-;),’&%+%*" 8< 椭圆 4 *--%!$* 08 焦点 4 +#.)$ 08 焦距 4 +#.,--*’1&> 08 标准方程 4 $&,’5,"5*;),&%#’ 0( 中心 4 .*’&*" 0? 顶点 4 3*"&*= 0? 长轴 4 @,/#",=%$ 0? 145 书书书附 录 ···················································· 长半轴 ! !"#$%&"’(")*+ ,- 短轴 ! !*.$%")*+ ,- 短半轴 ! !*.$%&"’(")*+ ,- 离心率 ! /00/.1%*0*12 ,3 双曲线 ! &24/%5$’" 6, 实轴 ! %/"’")*+ 63 虚轴 ! *!"7*."%2")*+ 63 渐近线 ! "+2!41$1/ 68 抛物线 ! 4"%"5$’" 98 准线 ! :*%/01%*) 98 轴 ! ")*+ ;< 圆锥曲线 ! 0$.*0+/01*$. ;9 法向量 ! .$%!"’=/01$% ><, 共面 ! 0$4’"."% >,> 线性相关 ! ’*./"%’2:/4/.:/.1 >,; 146 书书书