文档内容
清远市 2024—2025 学年第二学期高中期末教学质量检测
高二数学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. （ ）
A. 8 B. 13 C. 63 D. 66
【答案】D
【解析】
【分析】根据排列数公式计算即可.
【详解】 .
故选：D.
2. 已知 ，则 的值为（ ）
A. -1 B. -2 C. 0 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数定义结合导数公式计算求解.
【详解】 ，所以 ，
故选：B.
3. 某活动室有足球和篮球，从中随机挑选2个球，若这2个球中足球个数为 ，且 的分布列如下表所
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学科网（北京）股份有限公司示，则 （ ）
0 1 2
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分布列概率之和为1，建立方程求解.
【详解】由题意可知， ，解得 .
故选：A.
4. 某班级有 名学生，其中男生､女生的人数及是否喜爱篮球的人数如表所示，从这 名学生中随机选
择 人作为体育课代表，若选到的学生喜爱“篮球”，则该学生是女生的概率为（ ）
喜爱“篮球” 不喜爱“篮球” 合计
男生
女生
合计
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记事件 选到的学生喜爱“篮球”，事件 选到的学生是女生，利用条件概率公式可求出
的值.
【详解】记事件 选到的学生喜爱“篮球”，事件 选到的学生是女生，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，由条件概率公式可得 .
故选：B.
5. 如图，要让电路从 处到 处只有一条支路接通，则不同的路径有（ ）
A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 9种
【答案】C
【解析】
【分析】利用分类加法计数原理以及分步乘法计数原理，可得答案.
【详解】由分类加法计数原理以及分步乘法计数原理可知，
不同的路径有 种.
故选：C.
6. 已知 ，若 ，则 （ ）
A. -1 B. -2 C. 11.8 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，利用二项分布的期望、方差计算公式及随机变是的运算性质，即可求解.
【详解】由题知， ，
又 ，所以 ，
所以
故选：C.
7. 已知函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为 ，则曲线 在点
处的切线的方程为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出导函数，再求出切线斜率，最后应用点斜式计算求解.
【详解】 ，
依题意 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线的方程为 ，即 ，
故选:B.
8. 已知数列： ，从中任选三项组成一个新数列，则所有新数列中的最小项之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据任意三个不同项可组成 个数列，再得出最小项的和结合组合数的性质计算求解.
【详解】由题知，任意三个不同项可组成 个数列；
在所有递增的新数列中，以1为最小项的新数列有 个，
以2为最小项的新数列有 个，
以3为最小项的新数列有 个，
，
以2023为最小项的新数列有 个，
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学科网（北京）股份有限公司此时，所有新数列中的最小项之和为
，
所以所有新数列中的最小项之和为 .
故选:D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法和二项式系数性质分别计算判断.
【详解】令 ，得 ，故A正确；
，故B错误；
令 ，得 ，又 ，
所以 ，故C正确；
令 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，故D正确.
故选：ACD.
10. 在 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有 的人患了流感，假设这三个地区的人
口数之比为 ，现从这三个地区中任意选取一个人，下列结论正确的是（ ）
A. 若此人选自 地区，则其患流感的概率为0.05
B. 此人患流感的概率为0.0485
C. 若此人患流感，则其选自 地区的概率为
D. 若此人患流感，则其选自 地区的概率为
【答案】ABC
【解析】
【分析】应用条件概率计算判断A，应用全概率公式计算判断B，根据贝叶斯公式计算判断C，D.
【详解】设 “此人患流感”， ，
所以 ，故A正确；
所以 ，故B
正确；
若此人患流感，则其选自 地区的概率为 ，故C正确；
若此人患流感，则其选自 地区的概率为 ，故D错误，
故选:ABC.
11. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 若 有两个零点，则
B. 若 ，则 无最值
C. 当 时，方程 有唯一实根
D. 若存在 ，使得 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用求导来判断单调性和值域可判断A；利用求导结合基本不等式判断单调性可判断 B；利用作
差构造函数求导，结合单调性和值域可判断C；利用分离参变量构造函数求导结合单调性可判断D.
【详解】对于A，函数 的定义域为 ，
令 ，则 ，令 0，则 ，
所以函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 ，
即函数 的极小值为 ，
若函数 有两个零点，则 ，解得 ，故A错误；
对于B，若 ，对于函数 ，有 ，
解得 ，即函数 的定义域为 ，
由 则
，
当且仅当 时，等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 在 上为减函数，函数 无最值，故B正确；
对于C，当 时，方程 ，即 ，
即 ，令 ，则 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，
所以 在 上有一个零点，所以方程 有唯一实根，故C正确；
对于D，若存在 ，使得 ，则 ，
令 ，则 ，
又 ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
即 ，故D正确，
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某班女生的身高 （单位：cm）近似服从正态分布 ，从中随机选取一人，则
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学科网（北京）股份有限公司__________.（精确到0.0001，参考数据：若 ，则
，
）
【答案】
【解析】
【分析】利用正态分布的 区间来进行计算即可.
【详解】由题知， ，则 .
故答案为：
13. 某校安排4位老师在期末考试的3天值班，要求每人需要值班1天或2天，且每天有两人值班，则不同
的值班方案有__________种.
【答案】90
【解析】
【分析】根据题意，先确定值班天数分配，然后分两种情况讨论，结合组合数以及两类计数原理代入计算，
即可得到结果.
【详解】设4位老师分别为甲､乙､丙､丁，
由题知，这4人中恰有2人均值班2天，剩下2人均值班1天.
从4人中选2人均值班2天有 种选法，
下面讨论甲和乙均值班2天的情况：
若甲､乙两人值班的日期都相同，有 种不同的结果；
若甲､乙两人值班的日期有一天相同，有 种不同的结果，
所以不同的值班方案有 （种）.
故答案为：90
14. 小李家共有10只信鸽，其中戴盔鸽有3只，李种鸽有 且 只，其余的为蓝鸽，且随机
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学科网（北京）股份有限公司取出2只信鸽，其品种不相同的概率是 .现随机取出2只信鸽，若取出1只蓝鸽记10分，取出1只戴盔
鸽记20分，取出1只李种鸽记30分.用 表示取出的2只信鸽的分数之和，则 的数学期望为
__________.
【答案】38
【解析】
【分析】根据题意可知“任意取出2只信鸽，这两只信鸽的品种相同”的概率为 ，进而列出等式可
求出n的值，进而根据题意可知 的可能取值，求出其分布列，进而可求数学期望.
【详解】设“任意取出2只信鸽，这两只信鸽的品种相同”为事件 ，
则 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以李种鸽有3只，蓝鸽有4只，
所以 的所有取值为 ，
且
，
所以 .
故答案为：38
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15. 在研究某类杨树的树高与胸径（树的主干在地面以上 处的直径）之间的关系时，某研究员收集的
一些数据如表1所示.
（1）由表1数据，求胸径 与树高 的平均值；（胸径 精确到 ，树高 精确到 ）
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据这些数据，可建立该类杨树树高 （单位： ）关于胸径 （单位： ）的一元线性回归模型
为 ，用（1）中结果求 的值并估计胸径为 的该类杨树的树高；（精确到 ）
（3）若这12棵杨树树龄相同，分别种植于南坡和北坡，且成材情况如表2所示，根据 的独立性检
验，能否认为树龄相同的这类杨树是否成材与种植位置有关联？
编号 1 2 3 4 5 6
胸径 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3
树高 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1
编号 7 8 9 10 11 12
胸径 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2
树高 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7
表1
成材情况
种植位置 合计
成材 未成材
南坡 5 1 6
北坡 2 4 6
合计 7 5 12
表2
参考公式及数据： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司（3）认为树龄相同的这类杨树是否成材与种植位置有关联，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据和平均数的计算公式计算即可.
（2）首先求出 ，然后得到一元线性回归方程，然后将 代入方程即可求出杨树的树高.
（3）首先作出零假设，然后计算卡方值，并比较数据，得出结论.
【小问1详解】
由题知，
，
.
【小问2详解】
，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，
即估计胸径为 的该类杨树的树高为 .
【小问3详解】
零假设为 ：树龄相同的这类杨树是否成材与种植位置无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到 ，
根据 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为树龄相同的这类杨树是否成材与种植位置有关联，此推断错误的概率不大于0.1.
16. 如图，在三棱锥 中，底面 是等腰直角三角形， 底面
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学科网（北京）股份有限公司是 的中点， 是 的中点，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） .
【解析】
【分析】（1）在平面 内，过点 作 ，以 为坐标原点，分别以 所在直线
为 轴､ 轴､ 轴建立空间直角坐标系，利用直线方向向量与平面法向量垂直即可证明结论；
（2）求出 以及平面 的法向量 ，再利用空间向量夹角公式求解即可.
【小问1详解】
在平面 内，过点 作 ，
由题知， ，
所以 ，
所以 .
因为 底面 ，且 在平面 内，
所以 ，
所以 两两垂直，
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学科网（北京）股份有限公司以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴､ 轴､ 轴建立空间直角坐标系 如图所示，
则 ， ，
设 ，因 为，所以
所以 ，所以 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
所以 ，所以 ，又因为 平面 .
所以 平面 .
【小问2详解】
由（1）知， ，
设平面 的法向量为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则
令 ，得 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
又 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17. 已知双曲线 与椭圆 的焦点相同，且离心率之比为 .
（1）求双曲线 的方程；
的
（2）若直线 与双曲线 左､右两支分别交于 两点，记点 关于 轴的对称点为 ，
证明：直线 过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）
（2）证明见解析，定点的坐标为 .
【解析】
【分析】（1）根据双曲线和椭圆的焦点相同以及离心率之比为3这两个条件列方程求出 的值即可确定
双曲线的方程.
（2）联合直线和双曲线方程组，结合韦达定理求出直线 的方程，进而确定定点坐标.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司由题知， ，化简得 .
解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
【小问2详解】
证明：设 ，则 ，
联立
消去 整理得 ，
所以 ，
所以 ，
又直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，
由对称性易知，若直线 过定点，则该定点在 轴上，
令 ，得 ，
所以直线 过定点，且该定点的坐标为 .
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学科网（北京）股份有限公司18. 甲､乙两名操作员对 三种电子信息传递元件进行随机连接检测，并制定如下标准：第一次由
元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个，若第三次
传递后，信息在 元件中，则该组检测成功，否则该组检测失败.若该组检测成功，则由原操作员继续操作
下一组检测；反之，则由另一操作员按上述规则继续操作下一组检测.
（1）求一组随机连接检测成功的概率；
（2）若第1次从甲开始进行随机连接检测，记在前4次检测中，乙操作的次数为 ，求随机变量 的分
布列与期望；
（3）若第1次从乙开始进行连接检测，求第 次由乙操作的概率 .
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）利用列举法求出所有的传递方法共有多少种，找出第三次传递后，信息在 元件中的情况，
再由古典概型的概率公式计算可得；
（2）依题意写出 的所有可能取值，分别计算其概率，列出分布列求解期望；
（3）分第 次由乙操作，第 次继续由乙操作和第 次由甲操作，第 次由乙操作两种情况，得到
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学科网（北京）股份有限公司与 的关系，通过构造数列可得 是等比数列，即可求解.
【小问1详解】
由题知，三次传递所有的传递方法有：
，
则共有8种传递方法，
第三次传递后，信息在 元件中的有两种情况，
所以第三次传递后，信息在 元件中的概率为 ，
即一组随机连接检测成功的概率为 ；
【小问2详解】
设在前4次检测中，乙操作的次数为 ，
依题意， 可取 ，
所以 ，
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3
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学科网（北京）股份有限公司所以 ；
【小问3详解】
若第1次从乙开始进行连接检测，则第 次由乙操作有两种情况：
（1）第 次由乙操作，第 次继续由乙操作，其概率为 ；
（2）第 次由甲操作，第 次由乙操作，
其概率为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 时， ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
19. 已知函数 的导函数为 .
（1）当 时，求 的极值；
（2）若 在 上不单调，求 的取值范围；
（3）已知 ，若 在定义域内有三个不同的极值点 ，且满足
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学科网（北京）股份有限公司，求实数 的取值范围.
【答案】（1）极小值为 ；极大值为 .
（2） .
（3） .
【解析】
【分析】（1）利用导数研究函数单调性、极值；
（2）先求 ，使 在 上不单调，由一元二次方程的解
求 的取值范围；
（3）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参.
【小问1详解】
当 时， ，
则 ，
所以当 或 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增，
所以当 时， 取得极小值，
且极小值为 ；
当 时， 取得极大值，
且极大值为 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
由题可知 ，
，
设 ，
注意到 ，要使 在 上不单调，
只需满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
【小问3详解】
由题知 ，其定义域为 ，
则 ，
令 ，得 或 ，
设 ，则 ，
当 时， ，所以 单调递增；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，所以 单调递减，
又当 时， ；当 时， ，且 ，
所以 的大致图象如图所示，
因为 在定义域内有三个不同的极值点 ，
所以 与 有两个不同 交的点，所以 ，
不妨设 ，则 ，
所以 ，所以
所以
，
令 ，则 ，
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在（ ）上单调递增，
所以 ，
又 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以当 时， 恒成立，
即当 时， 恒成立，
所以实数 的取值范围是 .
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学科网（北京）股份有限公司
