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合肥一六八中学 2023 级高二期末调研试卷
数学试题
合肥一六八中学命题中心
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
.
1 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解二次不等式 确定集合B，与集合A求并集即可.
【详解】解不等式 ，可得 .
，
又 ,
故选：A.
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若 ，则 ，即 ，得不出 ，如 ，
所以“ ”不是“ ”的充分条件；
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ，可得 ，即 ，
所以“ ”是“ ”的必要条件；
所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件，
故选：A．
3. 已知 是奇函数，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇函数的定义列式求解.
【详解】函数 的定义域为 ，由 为奇函数，得 ，
即 ，则 .
故选：B
4. 若奇函数 在区间 上是增函数，且最小值为5，则它在区间 上是（ ）
A. 增函数且有最大值 B. 增函数且有最小值
C. 减函数且有最大值 D. 减函数且有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果.
【详解】因为函数 在区间 上是增函数，且有最小值5，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 为奇函数，
所以函数 在区间 上是增函数，且有最大值 .
故选：A
5. 已知事件 ，且 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据概率的乘法公式及条件概率公式计算即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
故选：D.
6. 甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为 ， ， ，
且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对立事件的概率公式结合独立事件概率公式计算求解.
【详解】记甲、乙、丙获得一等奖分别为事件 ， ， ，则 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ，
则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为
.
故选:C.
7. 已知函数 若 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作函数 的图象，当 时，结合图象确定 的范围，当 时，化简不等式求 的范围，
由此可得结论.
的
【详解】 由 图象（如图所示）知，
①当 时，只有 时才能满足 .
②当 时， .
故由 ，得 .
当 时，不等式为 成立；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，不等式等价为 .
， ，
综上可知， .
故选：D.
8. 已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】令 ，则原不等式等价于 ，应用柯西不等式得
，再两次应用基本不等式求 的最小值，注意最小值
的取值条件.
【详解】令 ，即 ，则 ，
当且仅当 时等号成立，
又 ，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司综上， ，即 ，
当 时等号成立.
故选：D
【点睛】关键点点睛：令 ，应用柯西不等式求得 ，再利用
基本不等式求 的最值即可.
二、多选题（本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项
符合 题目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.）
9. 下列选项中，正确的是（ ）
A. 若p： ， ，则 ： ，
B. 若不等式 的解集为 ，则
C. “ ”是“ ” 的充分不必要条件
D. 若 ， ，且 ，则 的最小值为9
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据命题的否定即可判断选项A正误，根据一元二次不等式解集和一元二次方程根之间的关系,再
利用韦达定理,即可判断选项B正误，求出 的解后可判断C的正误，根据“1”的代换结合基本不等式
可判断选项D的正误.
【详解】对于A，由题知,“ ”的否定是 “ ”，故选项A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B，若不等式 的解集为 ,
则 的两根为 且 ,
根据韦达定理有: ，解得 ，所以 ，故选项B错误；
对于C， 解为 或 ，
故 能推出 ，但 推不出 ，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，
当且仅当 ,即 时等式成立，故 的最小值为9，D正确.
故选：ACD
10. 已知 的图象如图所示．若 ，则关于方程 根
的情况说法正确的是（ ）
A. 有三个实数根 B. 当 时，恰有一个实数根
C. 当 时，恰有一个实数根 D. 当 时，恰有一个实数根
【答案】AB
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意，函数 的图象可由 的图象向上平移 个单位长度得到，如图所
示．由图象易知方程 有三个实数根．当 时，恰好有一个实数根；当 时，没有实
数根；当 时，恰好有两个实数根；当 时，没有实数根．所以只有A，B正确．
11. 已知函数 的图象在 ， 两个不同点处的切线相互平行，则
下面等式可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由 因式分解即可判断CD；利用基本不等式可判断AB.
【详解】因为 ，所以 ，
又 在 两点处的切线相互平行，所以 ，
整理得 ，因为 ，所以 ，C对D错；
又 ，且 ，所以 ，A错B对.
故选：BC
三、填空题（本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分）
12. 已知函数 ，则 _______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【分析】解法1：首先将函数解析式进行化简，化简成正切形式，然后将 代入求值即可；解法
2：首先求出满足 的 的一个值，然后将其直接代入解析式中求函数值即可.
【详解】解法1：
当 时，有 ．
解法2：令 ，得 .
故答案为： .
13. 已知函数 在同一个坐标系的图象如图，则能使不等式 成立的
的取值范围是__________.
【答案】 或
【解析】
【分析】利用幂函数与指对函数的图象性质，数形结合即可得解.
【详解】由题图可知，当 或 时，符合不等式 .
故答案为： 或 .
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学科网（北京）股份有限公司14. 已知 ， ， ， ，则 _____.
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数，结合对称性求得答案.
【详解】依题意， 分别可视为函数 与 和 图象交点的横
坐标，
函数 的图象关于直线 对称， 的图象也关于直线 对称，
因此两个交点 也关于直线 对称，则 ，
由 ，得 ，所以 .
故答案为：1
四、解答题（本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
.
15 设函数 ， .
（1）求方程 的实数解；
（2）若不等式 对于一切 都成立，求实数b的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）转化为关于 的一元二次方程进行求解.
（2）分离参数，构造函数 ，求导得到 的最小值即可求解.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司由 ，代入方程 得： ，
即 ，解得 ，即 .
【小问2详解】
不等式 即 ，
原不等式可化为 对 都成立，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时， ，
所以 ，即 ，解得： .
16. 对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为 的不动点.已知函数
.
（1）当 时，求函数 的不动点；
（2）若对任意实数 ，函数 恒有两个相异的不动点，求 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若 的两个不动点为 ，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）首先得到函数的解析式，然后根据不动点的概念列出方程求解方程的解即可.
（2）首先根据不动点的概念列出方程，然后令判别式大于0，可得到关于 的不等式，然后构造关于
的新函数，令其最小值大于0，即可求得 的取值范围.
（3）根据韦达定理可得到关于 的等式，然后化简用 的表达式将 表示出来，然后根据基本不等式的
性质可求出 的范围.
【小问1详解】
因为 ，所以 .
设函数 的不动点为 ，则 .
化简得 ，解得 ，所以 的不动点为-1.
【小问2详解】
令 ，则 有两个相异的解.
所以 ，即： 对于任意 恒成立.
令 ，则 ，
解得 .
【小问3详解】
因为 为 的两个不动点，且 ，
所以 .
因为由（2）知， ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
由（2）得到 ，根据基本不等式的性质可得 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 .
又 ，所以 .
所以实数 的取值范围为 .
17. 某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下：
总
会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
和
锻炼时长 （小
3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40
时）
体重减少量
1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4
（千克）
并计算得：
（1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量 与变量 之间的线性相关关系，请用相关系数
加以说明；
（2）求经验回归方程 （结果精确到 0.01 ）；
（3）该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重
减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释.
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学科网（北京）股份有限公司(参考公式：相关系数 ，回归方程 中斜率和截距的最小二乘法
估计公式分别为 ， . 参考值： )
【答案】（1）答案见解析
（2） ；
（3）答案见解析
【解析】
【分析】(1) 利用相关系数公式直接代入数据求解即可；
(2) 利用公式 ，先求一次项系数，再利用经过样本中心点 ，可求出 ，
从而可得回归直线方程；
(3)利用一次项系数 可解释会员平均每周锻炼时长增加2个小时，预测平均体重减少量增加0.84千克，与
实际效果相当，说明具有参考价价.
【小问1详解】
由表可知：
所以 =
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学科网（北京）股份有限公司,
因为 与 的相关系数 接近1,
所以 与 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合 与 的关系.
【小问2详解】
由题可知： =
，
所以
【小问3详解】
由(2)可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时，
预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际增加值0.8千克较为接近，
因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值；
造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少，
或者造成体重减少的原因还受其他因素影响，
比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等.
18. 某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员
工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数
为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分.连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束.
（1）设员工在游戏过程中累计得 分的概率为 .
①求 ；
②求证数列 为等比数列.
（2）得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，
且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？（精确到1
元）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）① ；②证明见解析；
（2）1499元.
【解析】
【分析】（1）①根据事件发生概率，依次分类进行求解即可；
②由题知，累计获得 分时有可能是获得 分时掷骰子点数为奇数或获得 分时掷骰子点数为偶数，
而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为 ，所以 ，结合数列递推关系，即
可证明 是公比为 的等比数列.
（2）由（1），运用累加法可求得 ，进而可求得员工获得二等奖和一等奖的
概率，设一等奖的奖金为 元，进而可得 ，解不等式即可.
【小问1详解】
①由题意，员工游戏过程中累计得1分，即第一次投掷为奇数，其概率为 ；
累计得2分，即第一次投掷为偶数或连续两次投掷都是奇数，其概率为 ；累计得3分，
即前两次投掷一次为偶数，一次为偶数或连续三次投掷都是奇数，其概率为 ；
②由题知，累计获得 分时有可能是获得 分时掷骰子点数为奇数或获得 分时掷骰子点数为偶数，
而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为 .
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
则 ，又
故 为首项为 ，公比为 的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知 ，
将所有等式相加得 ，
所以 ，
所以 ，
设一等奖的奖金为 元，二等奖的奖金为 元，
由题意知 元，
解得 ，即一等奖的奖金最多不超过1499元.
19. 已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点， 为 的导函数.
（i）求实数 的取值范围；
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学科网（北京）股份有限公司（ii）记 较小的一个零点为 ，证明： .
【答案】（1）在 上单调递减，在 单调递增；
（2）（i） ；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数，根据导数正负得到函数的单调性；（2）（i）先讨论单调性，根据 有两个
零点得出最小值 ，即可得 的取值范围；（ii）结合（i）知，要证 ，即证
，即 ，分 和 进行证明.
【小问1详解】
当 时， ，函数 的定义域为 ，
，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
综上所述，函数 在 上单调递减，在 单调递增.
【小问2详解】
（i）函数 的定义域为 ， ，
①当 时， ，函数 在 单调递减， 至多有一个零点，不符合题意；
②当 时，令 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
∴当 时， 取得最小值，最小值为 .
因为函数 有两个零点，且 时， ， 时， ，所以 .
设 ，易知函数 在 单调递增.
因为 ，所以 的解集为 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
（ii）因为 ，由 ，结合（i）知 ，
要证 ，即证 ，即 ，
当 时，因为 ， ，不等式恒成立；
当 时，由 得 .
即证 .
即证 .
即证 .
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学科网（北京）股份有限公司设 ， ，由 ，
所以 在 单调递增.
所以 ，故原不等式成立.
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司
