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江苏省 2026 届高三 G4 联考数学试卷
一、单选
1. 集合 ，下列选项不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出 可判断A；空集是任何集合的子集可判断B；结合常用集合的记法及补集的
运算可判断C；根据集合间的关系可判断D.
【详解】解方程 得 ，所以 ，根据元素与集合的关系故A正确；
空集是任何集合的子集，所以 ，故B正确；
表示无理数组成的集合， 均为无理数，所以 ，故C正确；
表示的是集合，所以 ，故D错误.
故选：D.
2. 在复平面内位于第几象限（ ）
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】A
【解析】
【分析】先利用复数的性质对已知复数进行化简，进而得出该复数对应复平面内的点坐标，从而确定所在
象限．
【详解】 ，
，
复数 在复平面内对应的点为 ，实部 ，虚部 ，
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学科网（北京）股份有限公司位于复平面内的第一象限，故A正确．
故选：A．
3. ， ， ，则 （ ）
A. B. 6 C. D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】由 ，得到 ，通过 即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
4. ， ， ，A与B到l的距离相等，则 （ ）
A. 0 B. 2 C. 0或2 D. 或2
【答案】C
【解析】
【分析】利用点到直线公式结合题目信息列式可得答案.
【详解】点 到直线 的距离为 ，
点 到直线 的距离为 ，
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学科网（北京）股份有限公司由题意得 ，解得 或 .
故选：C.
5. 正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为3，侧棱长为 ，则体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用正三角形的中心（重心）性质，通过边长计算中心到顶点的距离（即底面外接圆半径），
再通过勾股定理 计算棱台的高，最后代入正棱台体积公式完成计算即可.
【详解】由题知当上底面边长 时，则正三角形中心（重心）到顶点的距离： ，
当下底面边长 时，正三角形中心到顶点的距离： ，
设棱台的高为 ，侧棱长 ，
由勾股定理得：
，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
将 ， ， 代入体积公式：
故选：C.
6. 一间教室初始二氧化碳浓度为 ，第t分钟的浓度为 ，满足 ．则降至 需
要至少多少整数分钟（参考： ）（ ）
A. 21 B. 20 C. 19 D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】根据初始条件，先求出 ，得函数模型解析式 ，再代入 ，利
用对数的运算性质计算即得.
【详解】依题意， 时， ，则得 ，解得 ，则 ，
由 ，可得 ，即 ，
两边取自然对数， ，故 .
故降至 需要至少20分钟.
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司7. ，下列式子一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正余弦函数的单调性可判断AB；取 ，结合正弦函数单调性可判断C；利用余
弦函数的单调性和奇偶性，分 和 讨论即可判断D.
【详解】对A，因为 ，且函数 在区间 上单调递增，
所以 ， ，所以 ，即 ，
所以 ，错误；
对B，因为函数 在区间 上单调递增，
所以，当 时， ， ，
所以 ，即 ，
此时 ，错误；
对C，当 时， ， ，
所以 ，
此时 ，错误；
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学科网（北京）股份有限公司对D，因为 是偶函数，且在 上单调递减，
所以，当 且 时， ， ，
所以 ，即 ， ，
此时 ；
当 且 时， ， ，
所以 ，即 ， ，
此时 .
综上， ，正确.
故选：D
8. 关于 对称，则其最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先对 进行因式分解，利用关于 对称，得出 的值，最后用换元法将
转换为二次函数求最值即可.
【详解】 ，因关于 对称，
故 的根应为 和 ，所以 ，得 ， ，即
.
令 ，则 ，代入得：
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学科网（北京）股份有限公司，令 ， ，函数开口向上，
对称轴为 ， ，因此，函数 的最小值为 .
故选：B
二、多选
9. 下列说法正确的是（ ）
A. ， ，则
B. ，则
C. ，则 的最小值为
D. ， ，则 的最小值为1
【答案】BD
【解析】
【分析】作差比较可判断A；根据不等式的性质和对数函数的单调性可判断 B；直接使用基本不等式可判
断C；利用常数代换法，结合基本不等式可判断D.
【详解】对A，因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，错误；
对B，因为 ，且 为增函数，
所以 ， ，所以 ，正确；
对C，因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的最大值为 ，当 时， ，
所以 不是 的最小值，错误；
对D，因为 ， ，所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，正确.
故选：BD
10. 中，A，B，C对边分别为a，b，c， ， 外接圆半
径为1， 的面积等于 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据正弦定理边角互化得 ，整理即可判断；对于B，根
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学科网（北京）股份有限公司据面积关系得 判断；对于C，根据 得 ，且 ，再根据
求解判断；对于D，先求得 ，再结合诱导公式与和差角公
式求解判断.
【详解】因为 ， 外接圆半径为1，
所以 ，整理得： ，故A选项正确；
因为 的面积等于
所以 ，即 ，故B选项错误；
所以由 得 ，且 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，故C选项正确；
因为 ， ，所以
所以 ，即
因为 ，，
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学科网（北京）股份有限公司所以
，
故D选项正确.
故选：ACD
11. 如图， 是正方体，边长为1，P，M，N为 ，AB， 的中点，Q是平面PMN
上一点，则（ ）
A. 平面PMN截正方体所得截面为五边形
B. 平面 与平面 夹角的余弦值为
C. 若 ，则Q点的轨迹长度为
D. ， 交于O，绕O将上底面旋转45°得到正方形EFGH，连接得一个十面体，它的体积是
【答案】BD
【解析】
【分析】作出正方体被平面 截得的截面，得出截面为正六边形即可判断A；建系后写出相关点的坐
标，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即可判断B；先运用向量法求得点 到平面 的
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学科网（北京）股份有限公司距离，由题意，点 在以点 为球心，半径为1的球面上，而点 的轨迹即为球 与平面 的交
线，利用球的截面性质即可求得轨迹长判断C；作出十面体，将该十面体放在一个四棱台中，根据棱台体
积及三棱锥体积计算公式即可判断D．
【详解】对于A，因P，M，N为 ，AB， 的中点，而点 同在平面 和平面 上，
点 同在平面 和平面 上，点 同在平面 和平面 上，
故平面PMN截正方体所得截面为六边形，可作图如下：
其中点 分别是边 的中点，分别连接 ，易证 ， ，
故得 ，同理可得 ，故平面PMN截正方体所得截面为六边形 ，
故A错误；
对于B，如图建立空间直角坐标系 .
则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，
则 ，故可取 .
又平面 的一个法向量显然为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，故B正确；
对于C，Q是平面PMN上一点，因 ，由 可得点 在以点 为球心，半径为1的球
面上，
则点 的轨迹即为球 与平面 的交线.因 ，由B项可得平面 的一个法向量为
，
则点 到平面 的距离为 ，则点 的轨迹圆的半径为
，
故轨迹长为 ，故C错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于D，如图所示， 即为侧面均为三角形的十面体，
在平面 内，分别过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，
设平行线依次相交于点 ，连接 ，则易得 为正方形，
而 是上底面和下底面都是正方形的四棱台，底面边长为 和1，高为1，
故 ，
因为 ，
所以 ，故D正确.
故选：BD.
三、填空
12. 写出一条与 和 都相切的直线：______．
【答案】 （或 ， ）
【解析】
【分析】由题知两圆位置关系为外切，有三条公切线，进而作出图象，结合图象可设公切线方程为
，再根据相切关系建立方程 ， ，两式作比得 ，再
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学科网（北京）股份有限公司分类求解即可.
【详解】由题知 的圆心为 ，半径为 ，
的圆心为 ，半径为 ，
所以 ，故两圆位置关系为外切，有三条公切线.
为
如图，由图可知，公切线方程斜率存在，故设方程 ，
则由直线与 相切得： ，即 ，
由直线与 相切得： ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
当 时， ，代入 整理得 ，解得 或 ，
此时公切线方程为 （ ）或 ，
当 时， ，代入 整理得 ，解得 ，此时
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学科网（北京）股份有限公司公切线方程为 （ ），
综上，所求的公切线方程为 ， 或
故答案为： （或 ， ）
13. 正项等比数列 满足 ， ，记 ， 的前20项和为
______．
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列基本量的计算得公比为 ，进而得 ， ，再结
合裂项求和法求解即可.
【详解】由题，设正项等比数列 的公比为 ，
因为正项等比数列 满足 ， ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍），
所以 ，
所以 ，
所以 的前20项和为
故答案 ：为
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学科网（北京）股份有限公司14. 已知 ，存在实数 ，使得 有四个不同的解，则a的取值范围是
______．
【答案】
【解析】
【分析】首先判断 是 的一个解，当 时，将问题转化为 有三个不同的解，
构造函数，根据导数研究函数的性质，分类讨论求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 是 的一个解，则存在实数 ，使得 有四个不同的解，
即当 时， 有三个不同的解.
，令 ，
当 时， ，且 .
当 时， ， ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，且 ，当 时， ，
在同一平面直角坐标系中，作出函数 的图象，如图：
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学科网（北京）股份有限公司由图知：
当 时， 的图象与直线 至多有两个交点，不符合题意；
当 时， 的图象与直线 有三个交点，符合题意；
当 时， 的图象与直线 有三个交点，符合题意；
当 时， 的图象与直线 至多有两个交点，不符合题意；
当 时，存在实数 ，使得 的图象与直线 有三个交点，符合题意.
综上， .
故答案为： .
四、解答题
15. 中， 对边分别是 ， ．
（1）求角 ．
（2） ， ，求 的面积．
【答案】（1） ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）由正弦定理得到 ，再由余弦定理求得 ，即可求得 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由正弦定理得 ，故 或 ，根据三角形内角和求出 ，再由三角形面积公式即
可求解.
【小问1详解】
因为 ，
所以由正弦定理得 ，即 .
又 ， ,
所以 .
【小问2详解】
因为 ，
所以由正弦定理得 .
因为 ，所以 .
所以 .
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 或 .
当 时， ,
所以
.
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
所以
.
综上所述， 的面积为 或 .
16. 椭圆 的短轴长2，右焦点 ，上顶点 ， 与 的另一个交点为 ，满
足 ．
（1）求 的方程．
（2） 交 于 ，且 上存在 使 为平行四边形．
（i）求 范围；（ii） ，求 的值．
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）由题知 ， ， ，进而根据面积比得 ，再结合直线 的方程为
得 ，最后代入椭圆方程求解得 即可得答案；
（2）（i）设 ，联立方程 结合判别式得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
再根据 即可得 ，代入椭圆方程后整理得 ，最后
解不等式即可；
（ii）结合（i）得 ， ， ，再根据弦长公式与两点间的距
离公式得 ， ，最后根据 ， ，解方程即
可得 .
【小问1详解】
解：由题知：短轴长为 ，即 ，所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ，故 ，
因为直线 的方程为 ，将 代入得 ，
故将 代入 得 ，
因为 ，所以 ，
所以 的方程为 ；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：设 ，
联立方程 得 ，
所以 ，整理得 ①，
所以 ， ， ，
因为 上存在 使 为平行四边形，
所以 ，即 ，
将 代入 得 ，整理得 ②，
由 得 或 ，
所以 范围为 ；
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学科网（北京）股份有限公司（ii）由（i）得 ， ， ，
，
，
因为 ，
所以 ，整理得 ，解得 ，
因为 ，所以 .
17. 数列 满足 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 ．
（2） ，求 的前n项和 ．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）通过累乘求前 项和 ，再由 与 的关系得通项；
（2）化简 后，利用余弦函数的周期性分组，详细计算每个周期内的和，再分三种情况累加剩余项，得
到前 项和.
【小问1详解】
由 得 ，结合 ，
累乘得 .
当 时， ，
.
时 符合上式，故
【小问2详解】
由三角恒等式 ，得 ，
结合 ，故 .
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学科网（北京）股份有限公司因余弦函数周期为 ，故 ，即 的周期为3.
时， ； 时， ； 时， .
分3种情况求前 项和 ：
①当 （ ）时，前 项分为 个周期，
每个周期含 （ ）.
计算一个周期的和：
，
前 项和为 个周期的和累加：
，
代入 ，得 .
②当 （ ）时，前 项是前 项加第 项（ ）：
，
代入 ，得 .
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学科网（北京）股份有限公司③当 （ ）时，前 项是前 项加第 项（ ）：
，
代入 ，得 .
综上所述，
.
18. 三棱锥 中， ， ， ．
（1）若平面 平面 ，
①求证： ．
②三棱锥外接球球心 ，求 与平面 夹角的正弦值．
（2）二面角 的正切值为 ，求 的长．
【答案】（1）①证明见解析；②
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）①根据面面垂直性质定理得 平面 ，进而得 ；
②根据题意，建立空间直角坐标系，设三棱锥外接球球心 ，进而根据球心 到
的距离相等得 ，再利用向量方法求解即可.
（2）过点 作棱 交 的延长线于 ，进而得点 在以 为圆心， 为半径的圆上动，
设 ，则 ，再根据二面角的向量求法求解得
，
【小问1详解】
①证明：因为 ，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以
②根据题意，如图，建立空间直角坐标系， ， ， ， ，
设三棱锥外接球球心 ，则球心 到 的距离相等，
所以 ，即 ，解方程得： ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又因为平面 的法向量为 ，
设 与平面 所成角为 ，则
所以 与平面 夹角的正弦值为 .
【小问2详解】
解：过点 作棱 交 的延长线于 ，
因为 ， ， ．
所以 ，故点 在以 为圆心， 为半径的圆上动，
故以点 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，则
平面 的法向量为
则 ，即 ，令 ，则 ， ，
，
因为二面角 的正切值为 ，
所以二面角 的余弦值的绝对值为
所以
又因为 ，将其代入整理得 ，
解得 ，
所以 ， ，此时
故二面角 的正切值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司19. ．
（1） 是 的切线，求a的值；
（2） ．
① 时， 有两个极值点 ， ，求 ；
② 在 处有一条切线l，且 上所有点都在l下方（除 ）外，求 范围．
【答案】（1）
（2） ；
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义构造方程，构造新函数，利用导数分析函数单调性，进而求解；
（2）先求出函数定义域，利用求导求出相应极值点，再计算求解；对函数求导，构造新函数求二阶导数，
利用二阶导数分析函数的凹凸性，进而利用凹凸性求解．
【小问1详解】
，定义域为 ，
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学科网（北京）股份有限公司求导得 ，
设切点为 ，切线斜率 ，
切线方程为 ，
是切线，过原点 ，
，
令 ，其定义域为 ，
求导得 ，则在 上 ，即 在 上单调递增，
， ，
切线斜率 ．
【小问2详解】
① ，
，定义域为 ，
若 ， ，
当 时， ，
求导得 ，
令 ，解得 或 （舍去），故极值点为 ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，求导得 ，
令 ，解得 （舍去）或 ，故极值点为 ；
；
②当 时， ， ，
令 ，则 ，
， ；
当 时， ， ，
令 ，则 ，
， ；
在 和 上均为上凸函数，
上凸函数的图象在任意切点的切线下方（除切点外），
在 的定义域内均满足条件，
的取值范围为 ．
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学科网（北京）股份有限公司
