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汕头市 2023~2024 学年度普通高中毕业班期末调研测试
数学
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试
题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知 是关于 的方程 的一个根，则实数 的值为（ ）
A.8 B. C.4 D.
2.设 表示“向东走10km”， 表示“向南走5km”，则 所表示的意义为（ ）
A.向东南走 B.向西南走
C.向东南走 D.向西南走
3.已知全集 ， ，则集合 为（ ）
A. B. C. D.
4.已知直线 和 平行，则实数 （ ）
A.2或 B.1 C. D.2
5.已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
6.关于椭圆 与双曲线 的关系，下列结论正确的是（ ）
A.焦点相同 B.顶点相同 C.焦距相等 D.离心率相等
学科网（北京）股份有限公司7.已知函数 （ 为自然对数底），则下列函数是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列 的前 项和、前 项和、前 项和分别为 、 、 ，则“ 为等比数列”的一个必
要条件为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某科技攻关团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示：
年龄 45 40 36 32 29 28
人数 1 2 1 3 2 1
则关于这10人年龄的说法中，正确的是（ ）
A.中位数是34 B.众数是32
C.第25百分位数是29 D.平均数是34.3
10.已知定义在 上的函数 满足： 、 ， ，且当 时，
，若 ，则（ ）
A. B. 在 上单调递减
C. D.
11.某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储存温度 （单位：℃）之间满足函数关系 （
， 、 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则
（ ）
A. 且
B.在10℃的保鲜时间是60小时
C.要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃
D.在零下2℃的保鲜时间将超过150小时
12.在三棱锥 中， 平面 ， ， 是底面 上（含边界）
的一个动点， 是三棱锥 的外接球 表面上的一个动点，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.当 在线段 上时，
B. 的最大值为4
C.当 平面 时，点 的轨迹长度为
D.存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中 项的系数为15，则 __________.
14.若正四棱台的上、下底边长分别为2、4，侧面积为 ，则该棱台体积为__________.
15.已知函数 在区间 上恰有三个零点，则 的取值范围是__________.
16.椭圆与双曲线具有如下光学性质：
（1）由椭圆的一焦点射出的光线经椭圆反射后过椭圆的另一个焦点；
（2）由双曲线的一焦点射出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.
如图①，一个光学装置由有公共焦点 、 的椭圆 与双曲线 构成，现一光线从左焦点 射出，依次经
与 反射，又回到了点 ，历时 秒；若将装置中的 去掉，如图②，此光线从点 射出，经 两次反
射后又回到了点 ，历时 秒.若 与 的离心率之比为 ，则 __________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分） 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ，
（1）求角 的大小；
学科网（北京）股份有限公司（2）点 为 的重心， 的延长线交 于点 ，且 ，求 的面积 .
18.（本小题满分12分）记等差数列 的前 项和为 ，首项为 ，已知 ，且 ，
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
19.（本小题满分12分）如图，在边长为4的正三角形 中， 、 分别为边 、 的中点将
沿 翻折至 ，得四棱锥 ，设 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
20.（本小题满分12分）《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求，是综合评价学
生综合素质的重要依据.为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校从
全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查.获得如下信息：
①男生所占比例为60%；
②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%；
③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人.
（1）完成 列联表，依据小概率值 的独立性检验，分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联？
体育锻炼
性别 合计
喜欢 不喜欢
男
女
合计
（2）（ⅰ）从这200名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.
记事件 “至少有2名男生”、 “至少有2名喜欢体育锻炼的男生”、 “至多有1名喜欢体育锻
学科网（北京）股份有限公司炼的女生”.请计算 和 的值.
（ⅱ）对于随机事件 、 、 ， ， ，试分析 与
的大小关系，并给予证明
参考公式及数据： ， .
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
21.（本小题满分12分）已知圆心在 轴上移动的圆经过点 ，且与 轴、 轴分别交于 、
两个动点，过点 垂直于 轴的直线与过点 垂直于 轴的直线交于点 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）点 、 在曲线 上，以 为直径的圆经过原点 ，作 ，垂足为 .试探究是否存在定点
，使得 为定值，若存在，求出该定点 的坐标；若不存在，说明理由.
22.（本小题满分12分）已知函数 ， .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）当 时，证明： .
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