数学-2024年1月“七省联考”考前猜想卷（参考答案）_2024年1月“七省联考”考前猜想卷数学试题+答案

2024 年 1 月“七省联考”考前猜想卷
数 学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A A B C C D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9 10 11 12
AC ACD ACD AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． f (x)=x（答案不唯一） 14．3
5
15． 16．3π
32
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
1 1
17. 【解析】（1）点( , )在直线y=x+2上
a a
n+1 n
1 1
得 − =2， ---------------------2分
a a
n+1 n
 1  1
所以数列 是以首项为 1，公差为2的等差数列． --------------------3分
a  a
n 1
故 1 = 1 +2(n−1)=2n−1，即a = 1 ． ---------------------5分
a a n 2n−1
n 1
1 1 1 1 
（2）a a = =  −  ---------------------6分
n+1 n (2n−1)(2n+1) 22n−1 2n+1
1 1 11 1 1 1 1 
所以T = 1− +  − ++  − 
n 2 3 23 5 22n−1 2n+1
1 1 1 1 1 1  1 1  1
= 1− + − ++ − = 1− < ， ---------------------8分
2 3 3 5 2n−1 2n+1 2 2n+1 2
要使T <3m−12对n∈N*恒成立，
n1 25
3m−12≥ ,即m≥ ---------------------9分
2 3
又m∈Z，所以m的最小值为9. --------------------10分
18.
【解析】（1）因为c−2bcosA=b，
由正弦定理得sinC−2sinBcosA=sinB ---------------------2分
又A+B+C=π，所以sin(A+B)−2sinBcosA=sinAcosB−cosAsinB=sin(A−B)=sinB---------3分
 π  π  π π
因为ABC为锐角三角形，所以A∈0, ，B∈0, ，A−B∈− , 
 2  2  2 2
 π π
又y=sinx在− , 上单调递增，所以A−B=B，即A=2B； ---------------------5分
 2 2
（2）由（1）可知，A=2B，所以在△ABD中，∠ABC =∠BAD，
AD AB 2 1
由正弦定理得： = = ，所以AD=BD= ，---------------------7分
sinB sin(π−2B) sin2B cosB
1 sinB
所以S = ×AB×AD×sinB= =tanB． ---------------------9分
ABD
2 cosB
又因为ABC为锐角三角形，
π π π π π
所以0<B< ，0<2B< ，0<π−3B< ，解得 <B< ， ---------------------11分
2 2 2 6 4
 3   3 
所以tanB∈ ,1，即△ABD面积的取值范围为 ,1． ---------------------12分
   
 3   3 
∑ 5 ( x −x )( y −y )
i i 1320 1320
19.
【解析】（1）r= i=1 = = ≈0.99-----------------2
∑ 5 ( x −x )2 ∑ 5 ( y −y )2 10× 176400 2× 441000
i i
i=1 i=1
分
1
（2）因为x= ×(1+2+3+4+5)=3，y=590，
5
∑ 5 ( x −x )2 =10，∑ 5 ( x −x )( y −y ) =1320， -------------------4分
i i i
i=1 i=1
∑ 5 ( x −x )( y −y )
i i 1320
所以b ˆ= i=1 = =132，aˆ=590−132×3=194， ------------------6分
∑ 5 ( x −x )2 10
i
i=1
所以变量x，y之间的线性回归方程为yˆ =132x+194，
当x=7时，yˆ =132×7+194=1118（万元）．
所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元． ---------------------8分（3）补全完整的列联表如下．
参加过直播带货 未参加过直播带货 总计
女性 25 5 30
男性 15 10 25
总计 40 15 55
---------------------9分
零假设H ：参加直播带货与性别无关，
0
55×(25×10−5×15)2
根据以上数据，经计算得到 K2 = ≈3.743>2.706=x ，---------------------11分
30×25×40×15 0.1
根据小概率值α=0.1的独立性检验我们推断H 不成立，即参加直播带货与性别有关，该判断犯错
0
误的概率不超过10%. ---------------------12分
20. 【解析】（1）如图所示：
当点G为AA 的中点时，FG//平面ADE， ---------------------1分
1 1
证明如下：设H为DE中点，连接FH,AH .
1
因为在三棱柱ABCABC 中，BB //CC //AA ， ---------------------2分
1 1 1 1 1 1
D,E,F,G分别为BB,CC,BC,AA 的中点，
1 1 1
所以FH//EC//AG，且FH=EC=AG，
1 1
所以四边形AGFH 为平行四边形.
1
所以FG//AH ， ---------------------4分
1
又因为AH ⊂平面ADE，FG⊄平面ADE，
1 1 1所以FG//平面ADE. ---------------------5分
1
（2）如图所示：
取AB中点O，连接OB,AB,OC.
1 1
因为AB= AA =BB ，∠ABB =60°，
1 1 1
所以ABB 为正三角形，所以BO⊥ AB. ---------------------6分
1 1
又因为平面AABB⊥平面ABC，平面AABB平面ABC = AB，BO⊂平面AABB，
1 1 1 1 1 1 1
所以BO⊥平面ABC，
1
又CO,AO⊂平面ABC，
所以BO⊥CO,BO⊥ AO，
1 1
因为ABC为等边三角形，所以OC⊥AB. ---------------------7分
以O为原点，分别以OCOA,OB 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
1
 3 3 3
依题意得A(0,3,0),B(0,−3,0),C(3 3,0,0),A(0,6,3 3),B(0,0,3 3),D0,− , ，--------------8分
1 1   2 2  
  15 3 3  
所以DA
1
=
 
0,
2
,
2

 
，DE=BC =(3 3,3,0).

设平面ADE的法向量n=(x,y,z)，
1
  15 3 3
 n⋅DA =0  y+ z=0  ( )
则由 1 ，得 2 2 ，令x=1，得n= 1,− 3,5 . --------------------9分
n⋅DE=0 
3 3x+3y=0

取平面ABC的法向量m=(0,0,1)，
设平面ADE与平面ABC所成二面角的大小为θ，
1 
  m⋅n 5 5 29
则 cosθ= cos m,n =   = = . ---------------------11分
m⋅ n 1× 29 29
2 29
所以sinθ= 1−cos2θ= ，
29
2 29
所以平面ADE与平面ABC所成二面角的正弦值为 . ---------------------12分
1
29
x+y+1=0
21. 【解析】（1）联立 ，消y得x2+2px+2p=0，
x2 =2py
因为直线x+y+1=0与抛物线C:x2 =2py(p>0)相切，
所以∆=4p2−8p=0，解得p=2或p=0（舍去）， --------------------2分
当p=2时，x2+4x+4=0，解得x=−2，所以y=1， --------------------4分
所以抛物线C的方程为x2 =4y，点A的坐标为(−2,1)； ---------------------5分
（2）显然直线l的斜率存在，
可设为y=kx+b,M(x,y ),N(x ,y )，
1 1 2 2
y=kx+b
由 ，消y得x2−4kx−4b=0，
x2 =4y
则∆=16k2+16b>0，
x +x =4k,xx =−4b， ---------------------7分
1 2 1 2
 
AM =(x +2,y −1),AN =(x +2,y −1)，
1 1 2 2
因为以MN为直径的圆过点A，
 
所以AM⋅AN =0，
即(x +2)(x +2)+(y −1)(y −1)=0， ---------------------8分
1 2 1 2
整理可得 ( k2+1 ) xx + k(b−1)+2  (x +x )+(b−1)2+4=0，
1 2 1 2
所以−4b ( k2+1 ) +4k2(b−1)+8k+(b−1)2+4=0，
化简得b2−6b+9=4k2−8k+4，
所以(b−3)2 =(2k−2)2，
所以b−3=2k−2或b−3=2−2k，
即b=2k+1或b=−2k+5， ---------------------9分当b=2k+1时，直线l: y=kx+2k+1，
即y−1=k(x+2)，所以直线l过定点(−2,1)（舍去）， --------------------10分
当b−3=2−2k时，直线l:y=kx−2k+5，满足∆>0，
即y−5=k(x−2)，所以直线l过定点Q(2,5)， ---------------------11分
当直线l与AQ垂直时，点A到直线l的距离最大，
5−1
又k = =1，所以k =−1，
AQ 2−(−2) l
所以直线l的方程为x+y−7=0. -------------------12分
22. 【解析】（1）解： f (x)的定义域为(2,+∞)，
当a=1时， f (x)=(x−1)ln(x−2)−x+3，
x−1 1
f′(x)=ln(x−2)+ −1=ln(x−2)+ ， ---------------------2分
x−2 x−2
1
设g(x)=ln(x−2)+ ，
x−2
1 1 x−3
则g′(x)= − = ，
x−2 (x−2)2 (x−2)2
令g′(x)=0，解得x=3， --------------------4分
当x∈(2,3)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(3,+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增.
所以，g(x) =g(3)=1>0，则g(x)= f′(x)>0对任意的x>2恒成立，
min
所以，函数 f (x)的单调递增区间为(2,+∞)，无递减区间. ---------------------6分
a(x−3)
（2）解：当x>3时， f (x)>0恒成立等价于ln(x−2)− >0在(3,+∞)上恒成立，
x−1
a(x−3)
设h(x)=ln(x−2)− (x>3)， ---------------------8分
x−1
1 2a
x2−2(a+1)x+4a+1
则h′(x)= − = ，
x−2 (x−1)2 (x−2)(x−1)2
设ϕ(x)=x2−2(a+1)x+2a+1(x>3)， ---------------------9分
则ϕ(x)图象为开口向上，对称轴为x=a+1的抛物线的一部分，当a≤2时，a+1≤3，ϕ(x)在(3,+∞)单调递增，且ϕ(3)=4−2a≥0，---------------------10分
所以，ϕ(x)≥0，即h′(x)≥0，则函数h(x)在(3,+∞)上单调递增，
又因为h(3)=0，所以h(x)>0在(3,+∞)恒成立，满足题意；
当a>2时，a+1>3，ϕ(3)=4−2a<0，
所以方程ϕ(x)=0有两相异实根，设为x、x，且x <x ，则x <3<x ，
1 2 1 2 1 2
当x∈(3,x )时，ϕ(x)<0，h′(x)<0，h(x)在(3,x )上单调递减，
2 2
又因为h(3)=0，故当x∈(3,x )时，h(x)<h(3)=0， ---------------------11分
2
所以，h(x)>0在(3,+∞)上不恒成立，不满足题意.
综上，a的取值范围为(−∞,2 ] . ---------------------12分