文档内容
2024 年 1 月“七省联考”考前猜想卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的.
1．若全集 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ， ，则 ，A错误，
，B错误，C正确， 或 ，D错误，故选C.
2．已知 为复数单位， ，则 的模为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】由 可得 ，所以 ，
所以 ，则 ，故选B.
3.在三角形 中， ， ， ，则 （ ）
A．10 B．12 C．-10 D．-12
【答案】A
【解析】记 ，则 ，， .
4． ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
即 ，而 ，
所以 ，故选：A
5.在等比数列 中， ， 是方程 两根，若 ，则m的值为（ ）
A．3 B．9 C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， 是方程 两根，
所以 ，即 ，
在等比数列 中， ，又 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，故选B.
6．中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平
台．大剧院的平面投影是椭圆 ，其长轴长度约为 ，短轴长度约为 ．若直线 平行于长轴
且 的中心到 的距离是 ，则 被 截得的线段长度约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设该椭圆焦点在 轴上，以中心为原点，建立直角坐标系，如图所示，
设椭圆的方程为： ， ，由题意可得 ， ，将 ， 代入方程，得 ，
因为直线 平行于长轴且 的中心到 的距离是 ，
令 ，得 (m)，故选C．
7. “ ”是“直线 与圆 相切”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．既是充分条件又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】C
【解析】圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，即 ，所以所求直线方程为 ．
“ ”是“直线 与圆 相切”的充要条件，故选C.
8．设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 .综上， .故选D
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部
选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．
9．近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系
列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等．根据下方的统计图，下
列结论正确的是（ ）
2010至2022年我国新生儿数量折线图
A．2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万
B．2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万
C．2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势
D．2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差
【答案】AC
【解析】对于A，由折线图可知：2010至2022年每年新生儿数量13个数据中有2010至2018年的数
量（9个）均高于1500万，3个数据低于1400万，根据数据之间的差距可得 2010至2022年每年新生
儿数量的平均数高于1400万，故选项A正确；
对于B，由图可知共有13个数据，因为 ，所以第一四分位数是按照从小到大排列的数
据的第4个数据，由折线图可知，第4个数据为2019年新生儿的数量，其值大于1400万，故选项B
错误；
对于C，由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，故选项C正确；
对于D，由折线图可知：2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波
动小，所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，故选项
D错误，故选AC.
10．已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）A． 的最小正周期为
B．当 时， 的值域为
C．将函数 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象
D．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
对称
【答案】ACD
【解析】由图可知， ，函数 的最小正周期 ，故A正确；
由 ，知 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，即 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，
对于B，当 时， ，所以 ，
所以 的值域为 ，故B错误；
对于C，将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到 的图象，故C
正确；
对于D，将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
因为当 时， ，所以得到的函数图象关于点 对称，故D正确．故
选ACD．
11．如图，在棱长为1的正方体 中，P为棱CC 上的动点(点P不与点C，C 重合)，
1 1
过点P作平面 分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（ ）
A．AC⊥平面
1
B．存在点P，使得AC ∥平面
1
C．存在点P，使得点A 到平面 的距离为
1
D．用过点P，M，D 的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
1
【答案】ACD
【解析】 连接
因为 ，所以 ＝ ，所以
又 平面 ， 平面 ，所以 平面
同理可证 ， 平面
又 ， 、 平面 ，所以平面 平面
易证 ⊥平面 ，所以 ⊥平面 ，A正确
又 平面 ，所以 与平面 相交，不存在点P，使得 ∥平面 ，B不正确.
因为 ，点 到平面 的距离为
所以点A 到平面 的距离的取值范围为
1
又 ，所以存在点P，使得点A 到平面 的距离为 ，C正确.
1
因为 ，所以 ，所以用过点P，M，D 的平面去截正方体得到的截面是四边形
1又 ，且 ，所以截面为梯形，D正确
故选：ACD
12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射
出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线
， 为坐标原点，一束平行于 轴的光线 从点 射入，经过 上的点 反射
后，再经过 上另一点 反射后，沿直线 射出，经过点 ，则（）
A．
B．延长 交直线 于点 ，则 ， ， 三点共线
C．
D．若 平分 ，则
【答案】AB
【解析】由题意知，点 ， ，如图：
将 代入 ，得 ，所以 ，则直线 的斜率 ，
则直线 的方程为 ，即 ，联立 ，得 ，解得 ， ，
又 时， ，则
所以 ，所以A选项正确；
又 ，所以C选项错误；
又知直线 轴，且 ，则直线 的方程为 ，
又 ，所以直线 的方程为 ，
令 ，解得 ，即 ， 在直线 上，
所以 ， ， 三点共线，所以B选项正确；
设直线 的倾斜角为 （ ），斜率为 ，直线 的倾斜角为 ，
若 平分 ，即 ，即 ，
所以 ，则 ，且 ，解得 ，
又 ，解得： ，所以D选项错误；故选AB.
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分
13．给定条件：① 是奇函数；② .写出同时满足①②的一个函数 的解析式：
.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】当 时，定义域为 ，关于原点对称，且 ，则其为奇函数，
又因为 ，所以 满足题意，
14．已知 的展开式中的常数项为240，则 ．
【答案】3【解析】 的展开式的通项 ，
令 得 ，令 ，无解，
所以 的展开式中的常数项为 ，所以 .
15.为备战巴黎奥运会，某运动项目进行对内大比武，王燕、张策两位选手进行三轮两胜的比拼，若王
燕获胜的概率为 ，且每轮比赛都分出胜负，则最终张策获胜的概率为
【答案】
【解析】①第一局王燕胜，第二局张策胜，第三局张策胜，②第一局张策胜，第二局王燕胜，第三局
张策胜，③第一局，第二局张策2胜，∴比赛结束时乙获胜的概率
16.四棱锥 各顶点都在球心 为的球面上，且 平面 ，底面 为矩形，
，设 分别是 的中点，则平面 截球 所得截面的面积为
.
【答案】
【解析】如下图所示，
易知四棱锥 外接球与以 为棱长的长方体的外接球相同；
由题意可知球心 为 中点，
故球O的直径 ，解得
由 分别是 的中点可得 ，可得 平面 ；
所以球心 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
设球心 到平面 的距离为 ，截面圆的半径为 ，
在三棱锥 中，易知 平面 ，且 ，所以 ，
而 ，由等体积法得 ，
所以 ，故截面面积为 ．
四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）已知数列 满足 ，且点 在直线 上.
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 前 项和为 ，求能使 对 恒成立的 （ ）的最小值.
【解析】（1）点 在直线 上
得 ， ---------------------2分
所以数列 是以首项为 ，公差为2的等差数列． --------------------3分
故 ，即 ． ---------------------5分
（2） ---------------------6分
所以
， ---------------------8分
要使 对 恒成立，
,即 ---------------------9分
又 ，所以 的最小值为9. --------------------10分
18.（本小题满分12分）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 的角平分线交BC于 ，且 ，求 面积的取值范围．
【解析】（1）因为 ，由正弦定理得 ---------------------2分
又 ，所以 ---------3分
因为 为锐角三角形，所以 ， ，
又 在 上单调递增，所以 ，即 ； ---------------------5分
（2）由（1）可知， ，所以在 中， ，
由正弦定理得： ，所以 ，---------------------7分
所以 ． ---------------------9分
又因为 为锐角三角形，
所以 ， ， ，解得 ， ---------------------11分
所以 ，即 面积的取值范围为 ． ---------------------12分
19.（本小题满分12分）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．
针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年
前5个月的带货金额：
月份 1 2 3 4 5
70
带货金额 /万元 350 440 580 880
0
（1）计算变量 ， 的相关系数 （结果精确到0.01）．
（2）求变量 ， 之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额．
（3）该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：
参加过直播带货 未参加过直播带货 总计
女
25 30
性
男
10
性总
计
请填写上表，并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关．
参考数据： ， ， ，
， ．
参考公式：相关系数 ，线性回归方程的斜率 ，截距
．
附： ，其中 ．
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
【解析】（1） -----------------2分
（2）因为 ， ，
， ， -------------------4分
所以 ， ， ------------------6分
所以变量 ， 之间的线性回归方程为 ，
当 时， （万元）．
所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元． ---------------------8分
（3）补全完整的列联表如下．参加过直播带货 未参加过直播带货 总计
女
25 5 30
性
男
15 10 25
性
总
40 15 55
计
---------------------9分
零假设 ：参加直播带货与性别无关，
根据以上数据，经计算得到 ，---------------------11分
根据小概率值 的独立性检验我们推断 不成立，即参加直播带货与性别有关，该判断犯错误
的概率不超过 . ---------------------12分
20.（本小题满分12分）如图，三棱柱 的底面是等边三角形， ，
，D，E，F分别为 ， ， 的中点.
（1）在线段 上找一点 ，使 平面 ，并说明理由；
（2）若平面 平面 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
【解析】（1）如图所示：当点 为 的中点时， 平面 ， ---------------------1分
证明如下：设 为 中点，连接 .
因为在三棱柱 中， ， ---------------------2分
分别为 的中点，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形.
所以 ， ---------------------4分
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ---------------------5分
（2）如图所示：
取 中点 ，连接 .
因为 ， ，
所以 为正三角形，所以 . ---------------------6分
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，
因为 为等边三角形，所以 . ---------------------7分
以 为原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
依题意得 ，--------------8分所以 ， .
设平面 的法向量 ，
则由 ，得 ，令 ，得 . --------------------9分
取平面 的法向量 ，
设平面 与平面 所成二面角的大小为 ，
则 . ---------------------11分
所以 ，
所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 . ---------------------12分
21.（本小题满分12分）已知直线 与抛物线 相切于点A，动直线 与抛物
线C交于不同两点M，N（M，N异于点A），且以MN为直径的圆过点A.
（1）求抛物线C的方程及点A的坐标；
（2）当点A到直线 的距离最大时，求直线 的方程.
【解析】（1）联立 ，消 得 ，
因为直线 与抛物线 相切，
所以 ，解得 或 （舍去）， --------------------2分
当 时， ，解得 ，所以 ， --------------------4分
所以抛物线C的方程为 ，点A的坐标为 ； ---------------------5分
（2）显然直线 的斜率存在，
可设为 ，
由 ，消 得 ，
则 ，， ---------------------7分
，
因为以MN为直径的圆过点A，
所以 ，
即 ， ---------------------8分
整理可得 ，
所以 ，
化简得 ，
所以 ，
所以 或 ，
即 或 ， ---------------------9分
当 时，直线 ，
即 ，所以直线 过定点 （舍去）， --------------------10分
当 时，直线 ，满足 ，
即 ，所以直线 过定点 ， ---------------------11分
当直线 与 垂直时，点A到直线 的距离最大，
又 ，所以 ，
所以直线 的方程为 . -------------------12分
22.（本小题满分12分）已知函数 ， .
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）解： 的定义域为 ，
当 时， ，
， ---------------------2分
设 ，则 ，
令 ，解得 ， --------------------4分
当 时， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增.
所以， ，则 对任意的 恒成立，
所以，函数 的单调递增区间为 ，无递减区间. ---------------------6分
（2）解：当 时， 恒成立等价于 在 上恒成立，
设 ， ---------------------8分
则 ，
设 ， ---------------------9分
则 图象为开口向上，对称轴为 的抛物线的一部分，
当 时， ， 在 单调递增，且 ，---------------------10分
所以， ，即 ，则函数 在 上单调递增，
又因为 ，所以 在 恒成立，满足题意；
当 时， ， ，
所以方程 有两相异实根，设为 、 ，且 ，则 ，
当 时， ， ， 在 上单调递减，
又因为 ，故当 时， ， ---------------------11分
所以， 在 上不恒成立，不满足题意.
综上， 的取值范围为 . ---------------------12分
