文档内容
南通市 2024 届高三第一次调研测试
数 学
2024.01.24
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上指定位置上，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交
回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝
A．{－2，－1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}
2．已知z＋＝8，z－＝6i，则z＝
A．25 B．16 C．9 D．5
3．若向量a＝(λ，4)，b＝(2，μ)，则“λμ＝8”是“a∥b”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设{a}为等比数列，a＝2a＋3a，则＝
n 2 4 6
A． B． C．3 D．9
5．从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能
A．每个面都是等边三角形
B．每个面都是直角三角形
C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形
D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形
6．已知直线y＝x－1与抛物线C：x2＝2py(p＞0)相切于M点，则M到C的焦点距离为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为(0，＋∞)，若xf′(x)＜2f(x)，则
A．4e2f(2)＜16f(e)＜e2f(4) B．e2f(4)＜4e2f(2)＜16f(e)
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学科网（北京）股份有限公司C．e2f(4)＜16f(e)＜4e2f(2) D．16f(e)＜e2f(4)＜4e2f(2)
8．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为 10cm
和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最
小值为
A．20cm B．30cm C．40cm D．60cm
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩(单位：环)，得到如下数据：
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
则
A．甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差
B．甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值
C．甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数
D．甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差
10．设函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，f(3)＝1，则
A．f(－1)＝1 B．f(x)＝f(4＋x)
C．f(x)＝f(4－x) D．∑f(k)＝－1
11．已知点M在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，点P(0，1)，Q(1，2)，则
A．存在点M，使得|MP|＝1 B．∠MQP≤
C．存在点M，使得|MI|＝|MQ| D．|MQ|＝|MP|
12．我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何
体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理
可以证明：一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆
心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等．现有一
个半径为R的球，被一个距离球心为d(d＞0)的平面截成两部分，记两部分的体积分别
为V，V(V＜V)，则
1 2 1 2
A．V＝(R－d)2(2R＋d) B．V＝(R＋2d)(2R－d)(3R＋d)
1 2
C．当d＝时，＝ D．当d≤时，≥
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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学科网（北京）股份有限公司13．已知函数f(x)＝则f(log )＝ ．
2
14．已知(x－1)(x＋2)4＝a ＋ax＋ax2＋ax3＋ax4＋ax5，则a ＝ ，a ＋a ＋a ＋a
0 1 2 3 4 5 2 1 2 3 4
＋a＝ ．(注：第一空2分，第二空3分)
5
15．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)(ω＞0)，若f(x)＝f(x)＝－，|x －x|的最小值为，则f()＝
1 2 1 2
．
16．已知椭圆E：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F，F，设P，Q是E上位于x轴上方的两
1 2
点，且直线 PF 与 QF 平行．若 4|PF|＝|QF|，2|PF|＝5|QF|，则 E 的离心率为
1 2 1 1 2 2
．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)
已知AB是圆锥PO的底面直径，C是底面圆周上的一点，PC＝AB＝2，AC＝，平面
PAC和平面PBC将圆锥截去部分后的几何体如图所示．
(1)证明：OC⊥平面PAB；
(2)求二面角A－PB－C的余弦值．
18．(12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知tanB＝，tanC＝，b＝6．
(1)求A和c；
(2)若点D在AC边上，且BD2＝AD2＋CD2，求AD．
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学科网（北京）股份有限公司19．(12分)
记正项数列{a}的前n项和为S，满足1，，a 成等差数列．
n n n
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)设集合A＝{k|a＝，k∈N*，n∈N*}，求集合A．
k
20．(12分)
已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，离心率为．过
点(4，0)的直线l与C的右支交于M，N两点，设直线AM，BM，BN的斜率分别为k，k，
1 2
k．
3
(1)若k＝，求k；
2 3
(2)证明：k(k＋k)为定值．
2 1 3
21．(12分)
某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的 3个
红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个
红球，则该顾客中奖．
(1)若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；
(2)现有编号为1~n的n位顾客按编号顺序依次参加活动，记X是这n位顾客中第一个
中奖者的编号，若无人中奖，则记X＝0．证明：E(X)＜．
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学科网（北京）股份有限公司22．(12分)
已知函数f(x)＝lnx－．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若a＞0，记x 为f(x)的零点，m＝，n＝a＋1．
0
①证明：m＜x＜n；
0
②探究x 与的大小关系．
0
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