重庆八中高2026届12月适应性月考(四)
数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写
清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1.已知复数z满足(1-2i)z=|-i|,则z为
A.5+5 B.一5一3
D.一5
c. 5-3
2.已知集合U={-1,0,1,2},A={x∈Z||x-1|<2},则CA=
A.{-1,0,1} B. |0,1,2}
C.{-1,2} D {-1}
3.样本数据19,20,21,23,13,16,24,28的第25百分位数为
A.16 B.17
C.17.5 D.20
4.若sin(π-0)=√3cos(3-)
,则tan2θ=
B. 515
A.√3
D.-51
C.-√3
5.有学员甲、乙、丙、丁、戊参加某培训，现要分配到三个不同的项目组：项目A需1人，项目B
和C各需要2人.分配方案数为a,甲和乙被分配到同一项目的概率为p,则a、p的值分别为
A. a=30,p=5
B a=30,p=5
D. a=15,p=5
C.a=15,p=5
,1+4,=-2,
6.已知数列{a}是等比数列，a?+a?+a?=-8, ,则a?=
A.-2√2 B.±2√2 C.-2 D.±2
第1 页·预祝考试顺利7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P是抛物线C上一动点，0为坐标原点，Q在线段PF上，且
满足4PQ=QF,则直线0Q的斜率的最大值为
A
B.1
C.√2 D.2
8.为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，
(B) S(B),
即 ,其中S(A),S(B)为事件A,B对应区域的面积，U表示样本空间.图1中，事件
A与事件B相互独立的是
U B=U AB
AB
B A
A
AB AB
① ② ③
图1
A.①② B.①③
C. ②③ D.①②③
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题
目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
T4
9.已知f(x)= sin(nx+)(u>0,0≤φ≤2)
的最小正周期为π,且将函数f(x)的图象向左平行移动
个单位长度得到g(x)的图象，则下列说法正确的是
A.w=2
B.当φ=0时，函数g(x)=-cos2x
(2,o) ⑨=3
C.若 是函数g(x)的一个对称中心，则
9=4 T8
D.当 时，函数f(x)在区间[-a,a]上单调递增，则a的最大值为
P(ā)=2,P(B)=3,P(AB)=2,
10.设A,B是一个随机试验中的两个事件，且 ,则
B.P(AB)=3
AP(A+B)=3
D.P(BlA)=5
C. P(A|B)=4
11.已知函数f(x)=a*-a*,a>1,则下列说法正确的有
A 对任意的a>1,f(x)均有两个零点
B.若方程f(x)=m有两实根，则m∈[-∞,1]
C.若正实数s,t满足f(s)+f(t)=0,则s+t≥2
D.若s+t=0,则f(s)+f(t)≥0
]第2页·预祝考试顺利三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
23
12. 已知平面向量a=(n,1),b=(1,n),向量a与b夹角的余弦值为
,且(a-kb)⊥a(k为实数),
则k=_______.
13.从数字1,2,3,4,5中不重复地选取组成五位数，若该数满足千位和十位上的数字均比各自相
邻数字大(形如“低—高一低—高一低”),则称其为“龙脉数”,则所组成的数是为“龙脉数”
的概率为______
3a?+1,当a为奇数，
14.已知数列{a的前n项和为S,,且满足a?=4,an?={a
则S1so=_____.
2,当a。为偶数，
四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinC=csin2A.
(1)求A;
(2)若c-2b=2,a=2√7,求sin(A-B).
16.(本小题满分15分)
如图2,在三棱柱ABC-A?B?C?中，侧面BCC?B?是正方形，CB⊥平面ABB?A?,AB=BB?=2,点
M在线段A?B?上，点N在线段AC上，满足A?N//平面BCM.
(1)若点M是线段A?B?的中点，求线段AN的长度；
(2)若点N是线段AC上靠近A的三等分点，求平面ABM与平面BMC?所成角的余弦值.
C?
C
N
B
B?
三
M
A A,
图2
3 页·预祝考试顺利17.(本小题满分15分)
.
2
-2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,点M-3,2)
已知双曲线厂：
在双曲线『上.
(1)求双曲线厂的标准方程；
(2)双曲线厂的右顶点为A,过点(-4,0)的直线l与双曲线『交于B,C两点(B,C不在x轴
上).若直线AB和AC分别与直线x=4交于P,Q两点，证明：以PQ为直径的圆被x轴截得的弦
长为定值.
18.(本小题满分17分)
(x)=2x2-(a+1)x+alnx,a∈(0,1).
已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：方程f(x)=f(a)有两个根x?,x?(x?<x?);
(3)在(2)的条件下，证明：2-√a<x?<2-a.
19.(本小题满分17分)
线上的产品质量，设置了n个等间隔的质量检测时间点，编号从1到n,相邻
时间点间隔为1小时.每天质量监控部门会从这n个时间点中随机选取若干个时间点(至少选取一
个)去进行产品抽检，选取的抽检时间点中最小编号为X(最早抽检时间),最大编号为Y(最晚抽
检时间).Y-X称为抽检时间跨度，是抽检方案设计中的关键参数，它反映了抽检在时间轴上的覆
盖范围.
(1)当n=3时，求E(X);
(2)求P(X≤2)和P(Y≥n-1);
(3)求E(X)+E(Y)的表达式.
]第4页·预祝考试顺利重庆八中高2026届12月适应性月考(四)
数学答 案
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C A B C D C
2=1-2(1-25(1+2)=5+3i
1. 由(1-2i)z=|-i|,故： ,故选A.
2. 】集合U={-1,0,1,2},A={x∈Z||x-1<2}={0,1,2},故CA={-1},故选D.
3. 】根据题意，数据从小到大排列为13,16,19,20,21,23,24,28,由于8×25?,则该
16+19=17.5,
组数据的第25百分位数为 故选C.
4. 】“ si(π-9)=√3os(-).…sine=√5 2cs+2sine),
∴sinθ=-√3cosθ, tanθ=
-J3,: tan20=-tan? =√3,
故选A.
P=30=5,
5. a=C,C2C2=30.其中甲、乙分在2人组，有C?C!≤6种，所以 ,故选B.
6. 析】设等比数列{a,3的公比为q,a,+a,+a?=+4s+as-q2=a5+1+a2)=-8,a+a
十-一×2++×-(+1+82)-2,
,两个式子相比，得a2=4→a?=±2.又由于a?,a,a,同号，且
=-2,故选C.
7. 】因为F(1,0),设Q(x?, ?显然 。<0 ，koo<0;当y?>0时，koo>0,要求直线0Q
的斜率的最大值，则y?>0.设P(m,n 圈因为4PQ=QF,所以4PQ=QF,即
4-2
4(x?-m,y?-n)=(1-x?,-y?),解得： 由于n2=4m,则 故
直线OQ的斜率的最大值为2,收选D.
8. 】对于①:由题图知：A为B的子集，所以P(AB)=P(4),而B为U的真子集，则P(B)<1,
所以P(A)P(B)<P(A),所以P(AB)≠P(A)P(B),因此①不正确；对于②:由图得B=U,则P(B)=P(U)=1,
P(AB)=P(4),则有P(AB)=P(A)P(B),所以图中事件A,B相互独立，因此②正确；对于③:设图中的小的长
P(4)=m(4)n4B)+)4AB)-4S-2
P(AB)=n(U)=4s=4
方 形 的面 积 为 S,由
P(B)=(B) (B)t)AB)-4S-2,
,所以P(AB)=P(A)P(B),所以题图中事件A,B相互独立，因此③正确，
故选C.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求
的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9 10 11
题号
ACD ACD AC
答案
m1=2=2,
9. A. 又∵o>0,∴②=2,故A选项正确；B.当φ=0时，函数f(x)=sin 2x,将
π4
g(x)=sim2x+4)=sin 2zx+2)=cos2x,
函数f(x)的图象向左平行移动 个单位长度，则
数学参考答案·第1页(共6页)4
B选项错误；C. f(x)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平行移动 个单位长度得到
(0)
(x)=sin 2(x+4)+9=cos(2x+7),
若 是函 数 g(x)的 一 个 对 称 中 心，则
2×12+9=2+kckeZ),φ=3+ kπ(keZ),∵O≤D≤2,=3, φ=4
时，
,故C选项正确； D.当
:-2a+4,2a+4=-2,2
f(x)=sin 2x+4),
, 函数f(x)在区间[-a,a]上单调递增，.
π8
-2a+4≥-2且2a+4<2,…a<8,
故a的最大值为 ,故D选项正确，故选ACD.
P(B)=3
P(4)=1-P(④)=2,P(B)=3 .又由P(A+B)=P(A)+P(B)-
10. 】对于A, 所以
P(AB)=2+3-P(AB)=6-12=3,
,故A正确；对于B,PB)=P(AB)+P(AB)=3,变形可得
u15-4-
P(AB)=3-P(AB)=3-12=4,
B错误 对于C, ,C正确；对于D,
a10--。 D正m,教t KCD
P(4)=P(AB)+P(AB)=2,
,则有
P(AB)=--P(AB)=12,故i
ro)=(a+a2)ma,
1. 】对A选项，f(x)=0=a3=a
,即x=±1,故A逸项正确；对于B选项，
,
由于a>1,故f'(x)>0,f(x)在(-∞,0)和(0,+∞o)上单增，注意x趋近于一∞时，f(x)趋近于-1,x从小于0
一侧趋近于0时，f(x)趋近于1,x从大于0一侧趋近于0时，f(x)趋近于-∞,x趋近于+∞时，f(x)趋近于+∞,
f(s)+f()=0,
故若方程f(x)=m有两实根，m∈(-1,1),B选项错误；对于C选项，发现 ,又由于f(x)在(0,+∞)
1=,
ra)=(), s+1=s+1≥2,C
上增，如果 ,则f(s)+f(t)≠0矛盾，故有 故
选项正确：对于D选项，不妨令s20>t,f0+TO= f(9+/(-)=“-a2+a”-a2=(c+)-a+
g()=1+在(1,+∞)上增，当s∈(0,1)时，I<a2<a2,f(s)+f(1)=g(a)-g(a)<0,当s∈(1,+∞)时，
由于
1<a3<a3,f(s)+f(t)=g(a')-g(a)>0,当s=1时，f(s)+f()=0,故D选项错误，故选AC.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
题号 12 13 14
3一2 25
答案 350或357
cs(a. )=□a1-112+-3
又(a-kb)⊥a,∴a2-kb·a=0,
12. 夹角公式：
=- 2+1-2
32
,故答案为：
13. 】由1,2,3,4,5可构成不重复数字的个数有A=120,记由1,2,3,4,5可构成不重复
的“龙脉数”为事件A,则A包含的结果有①十位和千位数只能是4,5的结果有A2A3=12;②十位和千位数只能
1
P(4)=120=15,
是3,5的结果有A2A2=4种由古典概率的计算公式可得，
,故答案为：
14. 】(1)当a?为奇数时，a?=4=3a?+1,则a=1,数列{a,}的项依次为a?=1,a?=4,a?=2,
数学参考答案·第2页(共6页)a?=4=2,
aa=1,as=4,..,数列{a}是周期为3的数列，所以Ss?=50×(1+4+2)=350;(2)当a为偶数时，
则a=8,数列{a}的项依次为a?=8,a?=4,a?=2,a?=1,a?=4,a?=2,a?=1,...,数列{a}是首项为8,
从第2项起周期为3的数列，所以S?s0=8+49×(4+2+1)+4+2=357,故答案为：350或357.
四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
解：(1)∵asinC=csin2A,
由正弦定理得：sin AsinC=sinC·2sin Acos A, …………………………………(3分)
cos A=2
∴在三角形内，
又0<A<π,∴A=3.
……………………………………(5分)
(2)在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2bc cosA,
得：b2+c2-bc=28. ……………………………………(7分)
又由条件可知c=2b+2代入上式有：b2+2b-8=0,
∴b=2或b=-4(舍负). ……………………………………(9分)
si B=25, B-25
在△ABC中，由正弦定理得 ………………………(11分)
si(4-B)=sm 4esB-Cs sm B=巨×252×257
…………………………………………………………(13分)
16.(本小题满分15分)
解：(1)如图，过M作A?B?的垂线交A?C?于点E,连接CE, Z C.
C
因为M是线段A?B?的中点，所以E是线段A?C的中点.
又因为EM//C?B?//CB,所以平面BCM即为平面BCEM.
E/
N
又A?N//平面BCEM,ANc平面AA?C?C,
B
y
且平面AA?C?C 圈平面BCEM=CE, I
A
M
所以CE//A?N. x< A?
又E为A?C?的中点，
AN=-4cz1×√2AB=√2.
所以N是线段AC的中点，则
………………………………………………(5分)
(2)由(1)问，当点N是线段Ae上靠近A的三等分点时，
因为CE// A?N,则点E是线段AC?上靠近C?的三等分点.
又 EM垂直于A?B, 点M是线段A?B?上靠近B的三等分点…………………(8分)
系如图：
M(3,2.0),
则A(2,0,0),B(0,0,0), ,C?(0,2,2),
BM=(3,2,0),BC?=(0,2,2).
所以
易知平面ABM的法向量为m=(0,0,1). ……………………………………(10分)
设平面BMC?的法向量为n=(x,y,z),
:元-2-2)-
则 取n=(3,-1,1), ………………………………(13分)
所以平面ABM与 面BMC所成角的余弦值为：
ces(m,而)n
……………………………………(15分)
17.(本小题满分15分)
数学参考答案·第3页(共6页)-
2-3m2=1.
,设a=2m,c=√7m,∴b=√3m,则双曲线
(1)解：由已知
M(23,2)
又点 在双曲线厂上，解得m=1,∴a=2,b=√3,
一3=1.
所以双曲线厂的标准方程为 ……………………………………(5分)
(2)证明： 设直线BC:x=my-4,B(x,y,),C(x?,y?),
由 得(3m2-4)y2-24my+36=0,
3m2-4≠0且△=576m2-144(3m2-4)>0,
x+y2?=322-4,yv?=3m2-4
所以 ……………………………………(6分)
=x-2
设直线AB:y=x -2(x-2),, 令x=4,得
o=2-2,故F4, x-2),2(4. 2-2)
同理可得 ……………………(8分)
42+2e),
记以PQ为直径的圆与x轴交于M,N两点，圆心为
……………………………………………………(9分)
()-(L?(?O)--y·y0
从而 ………………………(11分)
(2--2·,-2-(x-2×,-2)-(m-0?-6
所以
…………………………………………………(14分)
所以|MN|=2为定值. ……………………………………(15分)
18.(本小题满分17分)
(1)解：f'(x)=x-(a+1)+α(x-JX-),
令f'(x)=0,则有x=a或x=1, ……………………………………(2分)
从而f(x)在(0,a)上递增，在(a,1)上递减，在(1,+∞)上递增. ………………(4分)
(2)证明：令g(x)=f(x)-f(a),则g'(x)=f'(x).
由(1)可知，g(x)在(0,a)上递增， (a,1)上递减，在(1,+∞)上递增.
………………………………………………………(6分)
又g(a)=0,故g(1)=f(1)-f(a)<0,
由x→+∞,g(x)→+∞0,则存在x?∈(1,+∞),有g(x?)=0,………………(8分)
故g(x)存在两个零点x?=a和x?. ……………………………………(9分)
(3)证明：由a∈(0,1),则有2-a>1,2-√a>1.
又由f(x)在(1,+∞)上递增，
即证f(2-√a)<f(x?)=f(a)<f(2-a).
……………………………………(11分)
先证f(a)<f(2-a),
令h(a)=f(a)-f(2-a)=-2a2+2a-aln2-a,
h(a)<0,即证2(a-1)+In(2-a)-Ina>0.
令φ(a)=2(a-1)+In(2-a)-Ina,
数学参考答案·第4页(共6页)(@)=2+-2-2(a-2)<0,
,故φ(a)在(0,1)上递减.
又φ(1)=0,则φ(a)>φ(1)=0,得证； ……………………………………(14分)
再证f(2-√a)<f(a),
令H(a)=(2-√o)-f(o)=a-1)(√x+号)+an2-Ja
7(0)=2+1--1+1Q(2-)-21nt<0,
令t=√a∈(0,1),即证；
又，n()=t+1+2+--2=(-)>0,故7(1)在(0,1)上递增，
故η(t)<η(1)= 由以上两方面可知，f(2-√a)<f(a)<f(2-a),证毕.
…………………………………………………………(17分)
19.(本小题满分17分)
解：记n个等间隔的质量检测的时间点为M,则M={1,2,3,…,n),每天选若干个时间点进行检测等价于考虑
集合M的非空子集.
(1)当n=3时，M={1,2,3},
的结果 圈：{1,{2,{3,{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.…………(2分)
从而X的分布为：
2 3
X 1
47 27 1-7
P
E(X)=1×→+2×2+3×1=号
因此 ……………………………………(4分)
(2)所有抽检子集的总数为2”-1个，
X≤2:表示最小编号不超过2,即X=2或X=1.
P(X=2)=2-1
当X=2时，这要求编号2在子集中，且编号1不在子集中，这样的子集数量有2”?2个，从而有
……………………………………(6分)
P(X=1)=22-1.
当X=1时，这要求编号1在子集中，这样的子集数量有2”1个，从而有
P(X≤2)=2-1+2-1=32×2-2
从而有 ……………………………………(8分)
Y≥n-1: 表示最大编号至少有n-1,即Y=n-1或Y=n.
当Y=n-1时，这要求编号n-1在子集中，且编号n不在子集中，这样的子集数量有2”?2个，
P(Y=n-1)=2-1
从而有 ……………………………………(9分)
PY=n)=2-1
当Y=n时，这要求编号n在子集中，这样的子集数量有2”1个，从而有
从而有PY≥n-1)=P(Y=n-1)+P(Y=n)=22-1+2-1_3×2-1
…………………………………………………………(10分)
(3)X=k:公 示最小编号为k,这要求k在子集中，1,2,…,k-1不在子集中，
这样的子集的个数有2”*个，
P(X=)=2-1-2-×(k=1,2,…,n),
…………………………(12分)
E(X)=LAP(X=A)=222-×2=2“-1二=22-s.
所以 ………………(13分)
数学参考答案·第5页(共6页)S=1×1+2×2+…n×①,
s=1×?+2×+…n②,
②-①相减得：
六
S=2-2-2=2-2+4=2-”+2=2×2"-(n+2),
所以，
E(x)=22-×2×2“-(7+2)_2(2-)-—=2-2”-1
所以 ……………(15分)
由对称性可知P(X=k)=P(Y=n+1-k),
所以(n+1-k)P(Y=n+1-k)=(n+1-k)P(X=k)=(n+1)P(X=k)-kP(X=k),
E(Y)=(n+D∑P(X=k)-kP(X=k)=n+1-E(X),
即E(Y)+E(X)=n+1. ……………………………………(17分)
数学参考答案·第6页(共6页)
