文档内容
重庆八中高2026届12月适应性月考(四)
数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写
清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1.已知复数z满足(1-2i)z=|-i|,则z为
A.5+5 B.一5一3
D.一5
c. 5-3
2.已知集合U={-1,0,1,2},A={x∈Z||x-1|<2},则CA=
A.{-1,0,1} B. |0,1,2}
C.{-1,2} D {-1}
3.样本数据19,20,21,23,13,16,24,28的第25百分位数为
A.16 B.17
C.17.5 D.20
4.若sin(π-0)=√3cos(3-)
,则tan2θ=
B. 515
A.√3
D.-51
C.-√3
5.有学员甲、乙、丙、丁、戊参加某培训，现要分配到三个不同的项目组：项目A需1人，项目B
和C各需要2人.分配方案数为a,甲和乙被分配到同一项目的概率为p,则a、p的值分别为
A. a=30,p=5
B a=30,p=5
D. a=15,p=5
C.a=15,p=5
,1+4,=-2,
6.已知数列{a}是等比数列，a?+a?+a?=-8, ,则a?=
A.-2√2 B.±2√2 C.-2 D.±2
第1 页·预祝考试顺利7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P是抛物线C上一动点，0为坐标原点，Q在线段PF上，且
满足4PQ=QF,则直线0Q的斜率的最大值为
A
B.1
C.√2 D.2
8.为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，
(B) S(B),
即 ,其中S(A),S(B)为事件A,B对应区域的面积，U表示样本空间.图1中，事件
A与事件B相互独立的是
U B=U AB
AB
B A
A
AB AB
① ② ③
图1
A.①② B.①③
C. ②③ D.①②③
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题
目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
T4
9.已知f(x)= sin(nx+)(u>0,0≤φ≤2)
的最小正周期为π,且将函数f(x)的图象向左平行移动
个单位长度得到g(x)的图象，则下列说法正确的是
A.w=2
B.当φ=0时，函数g(x)=-cos2x
(2,o) ⑨=3
C.若 是函数g(x)的一个对称中心，则
9=4 T8
D.当 时，函数f(x)在区间[-a,a]上单调递增，则a的最大值为
P(ā)=2,P(B)=3,P(AB)=2,
10.设A,B是一个随机试验中的两个事件，且 ,则
B.P(AB)=3
AP(A+B)=3
D.P(BlA)=5
C. P(A|B)=4
11.已知函数f(x)=a*-a*,a>1,则下列说法正确的有
A 对任意的a>1,f(x)均有两个零点
B.若方程f(x)=m有两实根，则m∈[-∞,1]
C.若正实数s,t满足f(s)+f(t)=0,则s+t≥2
D.若s+t=0,则f(s)+f(t)≥0
]第2页·预祝考试顺利三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
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12. 已知平面向量a=(n,1),b=(1,n),向量a与b夹角的余弦值为
,且(a-kb)⊥a(k为实数),
则k=_______.
13.从数字1,2,3,4,5中不重复地选取组成五位数，若该数满足千位和十位上的数字均比各自相
邻数字大(形如“低—高一低—高一低”),则称其为“龙脉数”,则所组成的数是为“龙脉数”
的概率为______
3a?+1,当a为奇数，
14.已知数列{a的前n项和为S,,且满足a?=4,an?={a
则S1so=_____.
2,当a。为偶数，
四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinC=csin2A.
(1)求A;
(2)若c-2b=2,a=2√7,求sin(A-B).
16.(本小题满分15分)
如图2,在三棱柱ABC-A?B?C?中，侧面BCC?B?是正方形，CB⊥平面ABB?A?,AB=BB?=2,点
M在线段A?B?上，点N在线段AC上，满足A?N//平面BCM.
(1)若点M是线段A?B?的中点，求线段AN的长度；
(2)若点N是线段AC上靠近A的三等分点，求平面ABM与平面BMC?所成角的余弦值.
C?
C
N
B
B?
三
M
A A,
图2
3 页·预祝考试顺利17.(本小题满分15分)
.
2
-2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,点M-3,2)
已知双曲线厂：
在双曲线『上.
(1)求双曲线厂的标准方程；
(2)双曲线厂的右顶点为A,过点(-4,0)的直线l与双曲线『交于B,C两点(B,C不在x轴
上).若直线AB和AC分别与直线x=4交于P,Q两点，证明：以PQ为直径的圆被x轴截得的弦
长为定值.
18.(本小题满分17分)
(x)=2x2-(a+1)x+alnx,a∈(0,1).
已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：方程f(x)=f(a)有两个根x?,x?(x?0时，koo>0,要求直线0Q
的斜率的最大值，则y?>0.设P(m,n 圈因为4PQ=QF,所以4PQ=QF,即
4-2
4(x?-m,y?-n)=(1-x?,-y?),解得： 由于n2=4m,则 故
直线OQ的斜率的最大值为2,收选D.
8. 】对于①:由题图知：A为B的子集，所以P(AB)=P(4),而B为U的真子集，则P(B)<1,
所以P(A)P(B)0,∴②=2,故A选项正确；B.当φ=0时，函数f(x)=sin 2x,将
π4
g(x)=sim2x+4)=sin 2zx+2)=cos2x,
函数f(x)的图象向左平行移动 个单位长度，则
数学参考答案·第1页(共6页)4
B选项错误；C. f(x)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平行移动 个单位长度得到
(0)
(x)=sin 2(x+4)+9=cos(2x+7),
若 是函 数 g(x)的 一 个 对 称 中 心，则
2×12+9=2+kckeZ),φ=3+ kπ(keZ),∵O≤D≤2,=3, φ=4
时，
,故C选项正确； D.当
:-2a+4,2a+4=-2,2
f(x)=sin 2x+4),
, 函数f(x)在区间[-a,a]上单调递增，.
π8
-2a+4≥-2且2a+4<2,…a<8,
故a的最大值为 ,故D选项正确，故选ACD.
P(B)=3
P(4)=1-P(④)=2,P(B)=3 .又由P(A+B)=P(A)+P(B)-
10. 】对于A, 所以
P(AB)=2+3-P(AB)=6-12=3,
,故A正确；对于B,PB)=P(AB)+P(AB)=3,变形可得
u15-4-
P(AB)=3-P(AB)=3-12=4,
B错误 对于C, ,C正确；对于D,
a10--。 D正m,教t KCD
P(4)=P(AB)+P(AB)=2,
,则有
P(AB)=--P(AB)=12,故i
ro)=(a+a2)ma,
1. 】对A选项，f(x)=0=a3=a
,即x=±1,故A逸项正确；对于B选项，
,
由于a>1,故f'(x)>0,f(x)在(-∞,0)和(0,+∞o)上单增，注意x趋近于一∞时，f(x)趋近于-1,x从小于0
一侧趋近于0时，f(x)趋近于1,x从大于0一侧趋近于0时，f(x)趋近于-∞,x趋近于+∞时，f(x)趋近于+∞,
f(s)+f()=0,
故若方程f(x)=m有两实根，m∈(-1,1),B选项错误；对于C选项，发现 ,又由于f(x)在(0,+∞)
1=,
ra)=(), s+1=s+1≥2,C
上增，如果 ,则f(s)+f(t)≠0矛盾，故有 故
选项正确：对于D选项，不妨令s20>t,f0+TO= f(9+/(-)=“-a2+a”-a2=(c+)-a+
g()=1+在(1,+∞)上增，当s∈(0,1)时，I0,当s=1时，f(s)+f()=0,故D选项错误，故选AC.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
题号 12 13 14
3一2 25
答案 350或357
cs(a. )=□a1-112+-3
又(a-kb)⊥a,∴a2-kb·a=0,
12. 夹角公式：
=- 2+1-2
32
,故答案为：
13. 】由1,2,3,4,5可构成不重复数字的个数有A=120,记由1,2,3,4,5可构成不重复
的“龙脉数”为事件A,则A包含的结果有①十位和千位数只能是4,5的结果有A2A3=12;②十位和千位数只能
1
P(4)=120=15,
是3,5的结果有A2A2=4种由古典概率的计算公式可得，
,故答案为：
14. 】(1)当a?为奇数时，a?=4=3a?+1,则a=1,数列{a,}的项依次为a?=1,a?=4,a?=2,
数学参考答案·第2页(共6页)a?=4=2,
aa=1,as=4,..,数列{a}是周期为3的数列，所以Ss?=50×(1+4+2)=350;(2)当a为偶数时，
则a=8,数列{a}的项依次为a?=8,a?=4,a?=2,a?=1,a?=4,a?=2,a?=1,...,数列{a}是首项为8,
从第2项起周期为3的数列，所以S?s0=8+49×(4+2+1)+4+2=357,故答案为：350或357.
四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
解：(1)∵asinC=csin2A,
由正弦定理得：sin AsinC=sinC·2sin Acos A, …………………………………(3分)
cos A=2
∴在三角形内，
又00,
x+y2?=322-4,yv?=3m2-4
所以 ……………………………………(6分)
=x-2
设直线AB:y=x -2(x-2),, 令x=4,得
o=2-2,故F4, x-2),2(4. 2-2)
同理可得 ……………………(8分)
42+2e),
记以PQ为直径的圆与x轴交于M,N两点，圆心为
……………………………………………………(9分)
()-(L?(?O)--y·y0
从而 ………………………(11分)
(2--2·,-2-(x-2×,-2)-(m-0?-6
所以
…………………………………………………(14分)
所以|MN|=2为定值. ……………………………………(15分)
18.(本小题满分17分)
(1)解：f'(x)=x-(a+1)+α(x-JX-),
令f'(x)=0,则有x=a或x=1, ……………………………………(2分)
从而f(x)在(0,a)上递增，在(a,1)上递减，在(1,+∞)上递增. ………………(4分)
(2)证明：令g(x)=f(x)-f(a),则g'(x)=f'(x).
由(1)可知，g(x)在(0,a)上递增， (a,1)上递减，在(1,+∞)上递增.
………………………………………………………(6分)
又g(a)=0,故g(1)=f(1)-f(a)<0,
由x→+∞,g(x)→+∞0,则存在x?∈(1,+∞),有g(x?)=0,………………(8分)
故g(x)存在两个零点x?=a和x?. ……………………………………(9分)
(3)证明：由a∈(0,1),则有2-a>1,2-√a>1.
又由f(x)在(1,+∞)上递增，
即证f(2-√a)0.
令φ(a)=2(a-1)+In(2-a)-Ina,
数学参考答案·第4页(共6页)(@)=2+-2-2(a-2)<0,
,故φ(a)在(0,1)上递减.
又φ(1)=0,则φ(a)>φ(1)=0,得证； ……………………………………(14分)
再证f(2-√a)0,故7(1)在(0,1)上递增，
故η(t)<η(1)= 由以上两方面可知，f(2-√a)
