文档内容
新高二开学摸底考试卷 01
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：人教A版2019
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A A A D B A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 BD BD ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． /
13．
14
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）（23-24高一下·四川雅安·期末）已知向量 ， ．
(1)若 与 垂直，求实数k的值；
(2)已知O，A，B，C为平面内四点，且 ， ， ．若A，B，C三点
共线，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量坐标线性运算结合垂直关系的坐标运算，列出方程求解即可；（2）由向量的加减、数乘运算表示 ， ，再由共线定理解出实数m的值．
【详解】（1） ，
则 ，
因为 与 垂直，所以 ，
解得 ．
（2） ，
，
，
，
因为A，B，C三点共线，所以 ．
所以 ，
解得 ．
16．（本题满分15分）（23-24高一下·湖南长沙·期末）对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满
分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为 ， ， ， ， ，
并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的
中点值作代表）；
(2)现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间 的学生实际
成绩的平均数与方差分别为78分和 ，第三组 的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分
和1，求第四组 的学生实际成绩的平均数与方差.
【答案】(1)众数为 ；平均数为
(2)平均数为 ；方差为
【分析】（1）根据频率分布直方图的众数和平均数的定义和计算方法，即可求解；（2）根据题意，得到分数在区间 的学生为10人，分别为 ，得到 ，设第三组
分别为 ，得到 ，设第四组分别为 ，其平均数和方差为 ，求得 ，结合
，即可求解.
【详解】（1）解：根据频率分布直方图的众数的定义，可得这800名学生成绩的众数为 ，
这800名学生成绩的的平均数为：
（分）.
（2）解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人，
各段抽取的人生分别为：12人，16人，6人，4人和2人，
其中分数在区间 的学生为10人，分别为 ，
其中平均成绩与方差分别为 ，则 ，
设第三组学生实际成绩分别为 ，其平均数和方差为 ，则 ，
设第四组学生实际成绩分别为 ，其平均数和方差为 ，
由 ，可得 ，
由 ，
可得 ，解得 ，
所以第四组 的学生实际成绩的平均数为 与方差为 .
17．（本题满分15分）（23-24高一下·湖南郴州·期末）随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安
全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中
学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文
件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为 ，乙每次解开密
码的概率为 ，每次是否解开密码也互不影响．设 ，
， ，
(1)已知概率 ，
（i）求 的值．
（ii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率．(2)若 ，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值．
【答案】(1)（i） ；（ii） ；
(2) .
【分析】（1）（i）根据独立性性质建立方程，即可求解；（ii）由（i）知：
，设 “甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则
，再根据互斥加法公式和独立性乘法公式即可求解；
（2）由 可得 ，从而求得 ，再利用基本不等式即可求得最小值.
【详解】（1）（i）由题知 ，
解得： ，
（ii）由（i）知： ，
设 “甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则
与 互斥， 与 与 分别相互独立，
所以
，
因此，甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为 ．
（2）由题知： ，
，
设 “甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则
与 互斥， 与 与 分别相互独立，
所以
，，当且仅当 时等号成立，
．
故甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值为 .
18．（本题满分17分）（23-24高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体 中，四边形
是菱形， 平面 ， ， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)线段 上是否存在点 ，使得 ∥平面 ？若存在，指出点 的位置并证明；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点 ，当 与 重合时，使得 ∥平面 .
【分析】（1）连接 交于点 ，则由四边形 为菱形，得 ，由 平面 ，
得 ，再利用线面垂直的判定定理可结论；
（2）由题意可证得 两两垂直，则以 为原点， 所在的直线分别为 建立
空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：连接 交于点 ，
因为四边形 为菱形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）解：取 的中点 ，连接 ，
因为四边形 为菱形， ，所以 为等边三角形，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 两两垂直，
所以以 为原点， 所在的直线分别为 建立空间直角坐标系，设 ，则 ，
所以 ，
假设存在点 ，使得 ∥平面 ，
设 ，则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
由 ，得 ，
此时 与 重合， 平面 ，
所以存在点 ，当 与 重合时，使得 ∥平面 .
19．（本题满分17分）（23-24高一下·河北衡水·期末）对于平面向量
，定义“ 变换”： ，其中
表示 中较大的一个数， 表
示 中较小的一个数.若 ，则 .记 .
(1)若 ，求 及 ；
(2)已知 ，将 经过 次 变换后， 最小，求 的最小值；
(3)证明：对任意 ，经过若干次 变换后，必存在 ，使得 .
【答案】(1)
(2)1349.
(3)证明见解析
【分析】（1）先根据已知的新定义求出 ，从而可求出 及 ；（2）根据 求出 ，从而可求出 ，进而可得
且 ，则可求出 的最小值；
（3）分 ， ， 和 四种情况讨论即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）因为 ，
所以 或
所以 ，
即 .
由题意可得 ，
，
，
根据规律可得 且 ，
由 且 可得 的最大值为674，所以 ，
所以 ，此后进入循环.
所以当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
所以 最小时， 的最小值为1349.
（3）证明：当 时，显然存在 ，使得 .
当 时， ，即 ，存在 ，使得 .
同理，当 时，存在 ，使得 .
当 时，若 ，则 ，存在 ，使得 .若 ，设 .
假设对任意 ，则 均不为0.
因为 ，所以 .
若 ，则 ，
若 ，则 ，
所以 ，
所以 ，即 .
因为 ，所以 ，
所以 ，
与 矛盾，故假设不正确，即存在 ，使得 .
综上，对于任意 ，经过若干次 变换后，必存在 ，使得 .
【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的新定义，解题的关键是对平面向量新定义的正确理解，根
据新定义求解，考查分析问题的能力、理解能力和计算能力，属于难题.
